Tema 7 (II) FUNCIONES DE UNA VARIABLE DERIVADAS Derivada de una función en un punto La función f () es derivable en el punto a f ( a + ) f ( a) si eiste el límite: lím Este límite recibe el nombre de f (a), y eiste cuando resulta un número real finito Ejemplo: Dada la función f ( ) +, su derivada en el punto f ( + ) f () vale f () lím Como f ( + ) ( + ) + ( + ) + y f ( ), se tendrá: + f () lím lím ( ) lím lím( ) Luego, f ( ) Interpretación geométrica de la derivada La derivada, f (a), es un número que da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f () en el punto P ( a, f ( a)) La ecuación de dica recta tangente será: y f ( a) f ( a)( a) Ejemplo: La recta tangente a la función f ( ) + en el punto de abscisa, será: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ) se obtiene: y ( ) y + 9 Derivabilidad, continuidad y derivadas laterales Para que una función sea derivable en un punto son precisas dos condiciones: Que la función sea continua en dico punto Que las derivadas laterales eistan y coincidan en ese punto Derivadas laterales f ( a + ) f ( a) + f ( a + ) Izquierda: f ( a ) lím Dereca: f ( a ) lím + + La derivada, f (a), eiste cuando f ( a ) f ( a ) Geométricamente significa que la tangente a la curva en el punto ( a, f ( a)) es la misma tanto si se traza por la izquierda como por la dereca Las derivadas laterales no coinciden en los puntos angulosos, en los picos de las funciones Por tanto, en esos puntos no eiste la derivada f ( a)
Esta condición es particularmente importante en las funciones definidas a trozos Para esas funciones resulta obligado estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos Continuidad y derivabilidad La relación entre derivabilidad y continuidad es la siguiente: si f () es derivable en a f () es continua en a El recíproco no es cierto Esto es, f () es continua en a f () es derivable en a Ejemplo: La función, < 0 f ( ) es continua en 0 pero no es derivable 0 Función derivada La función derivada de una función f () es una nueva función que asocia a cada número real su derivada Se denota por f () Su definición es la siguiente: f ( + ) f ( ) f ( ) lím Notación: La función derivada de f () suele denotarse f () df ( ) dy Si y f () escribiremos y f ( ) También es frecuente escribir f ( ) o y d d Reglas de derivación para las operaciones con funciones Derivada de una constante por una función: F ( ) k f ( ) ( F ( ) ) ( k f ( ) ) k f ( ) Derivada de una suma o diferencia de funciones: F ( ) f ( ) + ) ( F ( ) ) ( f ( ) + ) ) f ( ) + g ( ) Derivada de un producto de funciones: F ( ) ( f g) )( ) f ( ) ) ( F ( ) ) ( f ( ) ) ) f ( ) ) + f ( ) g ( ) Derivada de la opuesta de una función: F ( ) ( ) F( ) f f ( ) f ( ) Derivada de un cociente de funciones: ( ) f ( ) f ( ) ( ) F( ) ) ) 6 Derivada de la función compuesta: f ( ) ( f ( )) F ( ) f ( ) ) f ( ) g ( ) ( )) F ( ) f ( )) ( F ( ) ) ( f ( ) ) f ( )) g ( ) Derivadas sucesivas ( ( ) ) f ( ) Ejemplo: Si f ( ) f f (), ) ) f ( ) o f n ( ) 8 7 f ( ), se tiene: f ( ) 8 ; 6 7 8 6 ; f ( ) 6 6 7 8 6 ) f ( ) 6 7 8,, f 7) ( ) 6 7 8 8) ) f ( ) 6 7 8 8! Para n > 8, f n ( ) 0,
Tabla de la derivada de las funciones usuales En esta tabla: c, n, a y e son números; designa la variable independiente e y o f representan funciones de TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Función simple Derivada Función compuesta Derivada y c y 0 y y n y, n R y n y a, a > 0 a ln a y n y ( f ( )), n n( f ( )) f ( ) f ( ) y f () y f ( ) f () n n f ( ) y a, a > 0 f ( ) a ln a y e y e f () y e f ( ) y f ( ) e f ( ) y log a log a e y log a f ( ) log a e f ( ) y ln f ( ) y ln f ( ) y f ( ) y sen cos y sen f ( ) y f ( )cos f ( ) y cos sen y cos f ( ) f ( ) sen f ( ) y tag + tag y tag f ( ) y f ( )( + tag f ( )) y arcsen y arccos y arctag Ejemplos: a) y 7 + + 0, + e f ( ) y arcsen f ( ) ( f ( )) f ( ) y arccos f ( ) ( f ( )) f ( ) y arctag f ( ) + + ( f ( )) 7 + 0 + 0 6 b) y ( + ) 0, ln 0,e c) y ln( ( )( ) ) ln( ) + ln( ) y + d) y sen + cos tag cos sen ( + tag ) e) y arcsen ( ) arccos( ) y ( ) 0 ( ) ( )
Más ejemplos: a) F ( ) ( + ) F ( ) ( + ) (6 ) F ( ) ( + ) / b) ( ) + / F ( ) ( + ) ( ) F 8 a) y ln( ) 6 b) y lo + ) log e + a) y 0 y 0 ln0 b) c) y ( ) ln y e (6 ) e + d) Si f ( ), aplicando logaritmos: ln f ( ) ln ln f ( ) Derivando: ln + f ( ) f ( ) ( ln + ) ) f ( ) a) y sen cos b) y sen y sen cos sen cos c) y y a) y cos ( ) y cos( ) sen( ) ( ) b) y ln cos ( sen) tag cos c) y ta ) y ta ) + ( + tag ( )) 6 a) y arcsen ( ) ( ) / b) y arcsen 7 a) y arccos( ) ( ) b) y arctag (+ ) + ( + ) + + f ( ) ln +
Derivación implícita Una función está definida implícitamente cuando la variable dependiente no está despejada Así, la epresión y + 0, con < e y > 0, define a y como función de de forma implícita En este caso, puede despejarse fácilmente, pues y + 0 y y f ( ) Pares de esta función son (, ), (, ) o (6, ) La epresión y y + y 0 también define y como función de, pero a diferencia del caso anterior, no podemos despejar y Pares de esta función son (0, 0) o (, ) En el primer caso, la obtención de la derivada de y es muy fácil: f ( ) ( ) También podríamos calcular la derivada sin necesidad de despejar, pues si y f (), la epresión y + 0 ( f ( ) ) + 0 Si derivamos, miembro a miembro, aplicando la regla de la cadena, se tiene: ( f ( ) ) f ( ) + 0 f ( ) f ( ) Normalmente no sustituimos y por f (), pudiendo derivar directamente así: y + 0 y + 0 y Con esto, la derivada en el punto (, ) vale y ; y en el punto (6, ), y 6 Aplicando el mismo procedimiento a la epresión y y + y 0, se tiene: + y y + 0 ( y y + ) 0 y y y + + Luego, el valor de la derivada en el punto (, ) será y + Ejemplo: Si y es una función de, derivable, que verifica la ecuación + 6y + y 8 0, alla y por derivación implícita Comprueba que el punto (, ) pertenece a la gráfica de la ecuación y alla y en ese punto Derivando directamente en la epresión + 6y + y 8 0 se tiene: + y + 6y + 6 + yy` 0 y ( + y) ( + y) + y Observa que el sumando y 6y 6y + 6y 6 se deriva implícitamente como un producto: ( ) El punto (, ) es de la curva, pues + 6 + 8 0 + 8 La derivada en ese punto valdrá: y (, ) +
6 Idea de diferencial de una función Como se indicó anteriormente, la ecuación de la recta tangente a la curva y f (), en el punto P ( a, f ( a)), viene dada por y f ( a) f ( a)( a) Esta recta, cuya pendiente es f (a), es la función lineal que más se aproima a f () en un entorno del punto a Ejemplo: Para allar la ecuación de la tangente a la curva y en el punto de abscisa, se procede así: y si, y(), y () / Luego, la tangente es: y ( ) y + Idea de diferencial Se llama diferencial de f () en el punto a al producto f ( a) d Esto es, dy df ( a) f ( a) d En general, si y f () dy df ( ) f ( ) d Así, para y + dy ( ) d Cuantitativamente, la diferencial da la diferencia de los valores que toma la recta tangente en los puntos a y a + a + d (o en general, puntos: y + d) Geométricamente, la diferencial es el incremento sobre la recta tangente En el triángulo PQR, de la figura: RQ dy tag α f (a) dy f ( a) d Pq d Parece evidente que si d es un valor pequeño, también será pequeño el valor de dy, y más pequeña aún, la diferencia entre el valor sobre la curva f () y el valor sobre la recta tangente (En la figura se indica esa diferencia con el nombre de error) Esto permite concluir que, en un entorno del punto a, la función y f () y la recta tangente, y f ( a) + f ( a)( a), toman valores aproimados: [ y f ()] [ y f ( a) + f ( a)( a) ] Esto es: f ( a + ) f ( a) + f ( a), para pequeño Ejemplo: En el punto, la función y puede aproimarse por la recta y + (Véase el ejemplo anterior) Así, la raíz cuadrada de,,,, +,0