CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E900 (A) Primer parcial () 685 7 () Para las funciones f() & g() +, f determinar f + g,, f g, g f y sus respectivos dominios g () Graficar la siguiente función z si z ; G(z) si z>; z +4 siz< (4) Un granjero dispone de 00 m de valla para cercar dos corrales adyacentes (véase figura) Epresar el área A encerrada como función de y (B) Segundo parcial () Hallar los valores para las constantes a, b de modo que la siguiente función sea continua en todos los reales si ; f() a + b si <<; si Dibujar la gráfica de f() con los valores obtenidos + () lím 0 +5+5 () lím + +4 canekazcuamm: / / 006
EVALUACIÓN GLOBAL E900 (4) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() 4 en el punto (, ) Obtener la derivada por medio de la definición (5) Sea la función f() +4 6 +, proporcionar (a) Dominio y raíces de la función Puntos de discontinuidad y su clasificación (b) Asíntotas verticales y horizontales (c) Esbozo de la gráfica (C) Tercer parcial () (a) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por +5y y, en el punto (, ) (b) Calcular H () si H(y) 4y + y + 9y () Una escalera de m de longitud está apoyada contra una pared vertical Si el etremo inferior de la escalera resbala alejándose de la pared a una velocidad de m/s, con qué rapidez resbala hacia abajo su etremo superior cuando su etremo inferior está a m de la pared? () Para la función h() 4 8 + 8, (a) Encontrar los intervalos en los cuales f es creciente o bien decreciente (b) Halle los valores máimos y mínimos locales de f (c) Encuentre los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo Encuentre los puntos de infleión (d) Bosquejar la gráfica de la función (4) Qué dimensiones debe poseer una caja sin tapa, de base cuadrada, si su volumen es V 00 cm yse construye con la menor cantidad de material posible?
Respuestas EVALUACIÓN GLOBAL E900 () 685 7 (A) Primer parcial Esta desigualdad equivale a 685 7 685 7 658 7 7 Luego el conjunto solución es [658, 7] 658 7 () Para las funciones f() & g() +, f determinar f + g,, f g, g f y sus respectivos dominios g Para el domino de f() D f { R } { } 0 R { R } { } R y para el dominio de g() D g { R { } } { } + 0 R R [ ), + luego, la función suma es y su dominio, (f + g)() f()+g() + + D f+g D f Dg [, Por otro lado, la función cociente es ( f g ( R ) (, + ) () f() g() ( ) + { }) [ ), + ) [, + ) { }
4 EVALUACIÓN GLOBAL E900 y su dominio, { D f (D f Dg ) { R g() 0 } } g { [ ) { }, + { R } } + 0 { ([ ) { }) { }}, + R (, ) ( ), +, (, + ) { } mientras que, la composición es (f g)() f[g()] f( +) + y su dominio, D f g { { [ } D g g() D f ) }, + + { [ ), + + } { [ ) 4, + 4 } { [ ), + } { [ 4 ), + } 8 [ ) (, 8 ) 8, + Por útimo, la otra composición es + (g f)() g[f()] + + y su dominio, La desigualdad D g f { D f f() Dg } { equivale a + 0 + ( ) } 0 + 4 0
EVALUACIÓN GLOBAL E900 5 Y esta última se cumple si + 0&4 > 0 o bien + 0&4 < 0; &4 > o bien &4 < ; & > 4 [ ) ( ), +, + ( ), + luego entonces comprobamos que { D g f (, o bien & < 4 ( ; o bien, ] (, ) ; (, ] ; ) ( )} (, +, ) ( ), + () Graficar la siguiente función z si z ; G(z) si z>; z +4 siz< Al tabular tenemos que G( ) 0, G( )8,G( ) 7, G( ), G(0), G(), G( + ) La gráfica de esa función G(z) es G(z) 0 8 7 z (4) Un granjero dispone de 00 m de valla para cercar dos corrales adyacentes (véase figura) Epresar el área A encerrada como función de
6 EVALUACIÓN GLOBAL E900 y Por un lado el perímetro es P 4 +y 00, por lo que y 00 4 00 4 El área total es: A y Si sustituimos y por tenemos al área epresada como función de : ( ) 00 4 (00 4) A () (B) Segundo parcial () Hallar los valores para las constantes a, b de modo que la siguiente función sea continua en todos los reales si ; f() a + b si <<; si Dibujar la gráfica de f() con los valores obtenidos En los puntos donde f() podría no ser continua es en yen, donde las tres partes de rectas que componen a la gráfica de f no coincidiesen, luego entonces, tenemos que obligar a que ése no sea el caso, esto es, que f() sea continua en ellos; para esto tenemos que hacer que sean iguales: lím f() f( ); lím f() lím lím f() + (a + b) a + b; lím lím +(a + b) a( ) + b a + b; f() lím + +( ) f() Como se tienen que cumplir simultáneamente ambas condiciones, se tiene que cumplir el sistema { a + b ; a + b Restando a la segunda la primera tenemos que 4a 4 a y sustituyendo este valor en la primera, +b b La gráfica de la función f() es:
EVALUACIÓN GLOBAL E900 7 f() Observemos que la recta y a + b tiene que pasar por los puntos (, ) y (, ), luego, su pendiente debe ser m + 4 y su ecuación entonces es: 4 y ( +) y + y +, es decir, a &b + () lím 0 Racionalicemos el numerador multiplicando a él y al denominador por el binomio conjugado de + que es + + : Luego entonces, + ( + + )( + ) ( + + + ) ( + + ) ( + + ) ;si 0 + + lím 0 + lím 0 + + +0+ () lím + +5+5 +4 Tanto +5+5 como + 4 tienden a + cuando +, pero observemos que ) (+ 5 +5 + 5 +5+5 ( +4 + 4 ) +5 ( + 4 )
8 EVALUACIÓN GLOBAL E900 Como si 0, que es el caso, pues hacemos tender a a+, tenemos que ) + 5 +5+5 +5 (+ 5 +5 + 5 ( +4 + 4 ) ( + 4 ) +5 + 4 y por último, tenemos que lím + +5+5 +4 lím + + 5 +5 + 4 +0+5 + 0 +5 +5 6 (4) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() 4 en el punto (, ) Obtener la derivada por medio de la definición La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto; esto es m lím f() f() ( )( ) lím lím 4 lím ( 4 +) lím ( ) ( ) ( ) y la ecuación de la recta tangente es entonces y ( ) y + y + (5) Sea la función f() +4 6 +, proporcionar: (a) Dominio y raíces de la función Puntos de discontinuidad y su clasificación Dominio: D f { R + 0 } { R } ( + 4)( ) 0 { R 4 & } R { 4, } (, 4) ( 4, ) (, + ) Raíces: Las raíces de f son las que satisfacen: { R +4 60 } { R ( + 8)0 } { R ( + 4)( )0 } { 4, } Pero como 4 D f, entonces la única raíz de f es Discontinuidades: Como f es una función racional, es continua en su dominio, por lo que sus puntos de discontinuidad son 4 &
EVALUACIÓN GLOBAL E900 9 Calculemos: ( + 4)( ) lím f() lím 4 4 ( + 4)( ) lím ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 7 7 Luego la discontinuidad en 4 es removible, no es esencial ( ) lím f() lím Observemos que ( ) es positiva para próimo a y el signo de f() nos lo da Por lo que la discontinuidad en es esencial: de hecho es infinita (b) Asíntotas verticales y horizontales Por lo que acabamos de ver, es la única asíntota vertical Para determinar las asíntotas horizontales calculemos ( lím f() lím + 4 +4 6 ± ± + lím 6 ) ( ± + ) + 4 lím 6 ± + Por lo que la recta y es la única asíntota horizontal (c) Gráfica de la función f() Tabulamos f(0) 4 Y dibujamos la gráfica de la función f(): f() 4 (C) Tercer parcial () (a) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por +5y y, en el punto (, )
0 EVALUACIÓN GLOBAL E900 El punto sí pertenece a la gráfica de la función, pues sus coordenadas,y satisfacen la ecuación ya que () + 5() () () ( ) + (5 4) ( 4) + 0 La pendiente de la recta tangente es la derivada, por lo que derivamos implícitamente con respecto a, obteniendo: 6 +0yy 6y 6 yy 0 (0y 6 y)y 6 +6y y 6y 6 0y 6 y y 5y y En particular, en el punto (, ) la derivada vale y (, ) () 5 () 4 0 6 4 9 4 y la ecuación de la recta tangente es y 9 4 ( ) y 9 4 9 4 + y 9 4 9 8 4 y 9 4 4 (b) Calcular H () si H(y) 4y + y + 9y Derivamos: H (y) 8y 4y + 9y (y + )9 9y 9y y 8y 9y 9 y + 8y y 4y y + y y + y 6y y (9y) 9(y +) 8y 9y Por lo que H () () () + 6() () Una escalera de m de longitud está apoyada contra una pared vertical Si el etremo inferior de la escalera resbala alejándose de la pared a una velocidad de m/s, con qué rapidez resbala hacia abajo su etremo superior cuando su etremo inferior está a m de la pared? Véamos la figura que corresponde a lo que se plantea:
EVALUACIÓN GLOBAL E900 y(t) (t) m/s Sabemos que d dt m/s y que (t)+y (t) 9, luego entonces, d dt +y dy dt dy 0 dt d y dt y Cuando m y 9 9 69 7 7070 y por lo tanto dy dt 7 () 04808 m/s d dt () Sea la función h() 4 8 + 8 (a) Encontrar los intervalos en los cuales f es creciente o bien decreciente Para ello calculamos su derivada h () 4 6 4( 4) 4( + )( ) y averiguamos su signo mediante la tabla siguiente Signo de Intervalo + h () h() es < (< 0 < ) decreciente < < 0(< ) + + creciente ( <)0 << + + decreciente ( < 0 <) < + + + + creciente (b) Hallar los valores máimos y mínimos locales de f Los puntos críticos de la función son precisamente, 0 & En la función tiene un mínimo local, pues la función ahí pasa de ser decreciente a ser creciente Eso mismo ocurre en, comprobando que la función es par y el valor mínimo es h(±) (±) 4 8(±) + 8 6 + 8
EVALUACIÓN GLOBAL E900 En 0 la función vale h(0) 8 y se trata de un máimo, pues ahí la función pasa de ser creciente a ser decreciente (c) Encontrar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo así como los puntos de infleión Calculamos la segunda derivada de la función h () [h ()] (4 6) 6 ( 4 ) ( + )( ) Su signo nos lo da la tabla siguiente: Signo de Intervalo + h () h() es cóncava hacia ) < (< + arriba << + abajo ( ) < < + + + arriba En yen la función tiene sendos puntos de infleión pues la curva cambia el sentido de su concavidad y es continua Además h (± ) ( ± ) 4 ( 8 ± ) +8 6 9 6 96 + 6 +8 9 8 9 9 (d) Bosquejar la gráfica de la función Tenemos que ± ±547005, por lo tanto, la gráfica de la función h() es: f() 8 9
EVALUACIÓN GLOBAL E900 (4) Qué dimensiones debe poseer una caja sin tapa, de base cuadrada, si su volumen es V 00 cm yse construye con la menor cantidad de material posible? Dibujemos la figura de la caja con esas características: y y Sabemos que el volumen de la caja es V h Y que debe ser 00 cm, luego h 00 La cantidad de material que usamos es el área de la caja A +4h Esta función es de dos variables, h, pero si de la epresión del volumen despejamos por ejemplo h 00 y la sustituimos en la epresión del área, se obtiene A +4 00 + 00 ; la tenemos epresada como función de una sola variable: Su derivada es [A()] 00 y su punto crítico se obtiene cuando [A()] 00 0 00 00 600 600 84466 Como A () + 00 > 0 para >0, se trata de un mínimo, efectivamente; entonces, h 00 600 / 600 600/ 600/ Estarás de acuerdo en que estas dimensiones óptimas de la caja no son usuales en el mercado