IES CASTELAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO - (RESUELTOS por Antonio nguiano) ATEÁTICAS II Timpo máimo: horas minutos Contsta d manra clara raonada una d las dos opcions propustas Cada custión s puntúa sobr puntos La caliicación inal s obtin d dividir l total ntr OPCIÓN A º) Calcular la distancia ntr los planos La distancia ntr dos planos parallos s pud hallar d divrsas ormas Una d llas consist n dtrminar un punto d uno d los planos calcular su distancia al otro plano Un punto d s P(,, ) la distancia d un punto a un plano vin dada por A B C D d P,, qu aplicada al caso qu nos ocupa s: A B C la órmula d (, ) d ( P, ) ( ) 6 6 ( ) unidads d, A nguiano
º) Estudiar l sistma sgún los valors d rsolvrlo para Las matrics d coicints ampliada son las siguints: ado Dtr Compatibl incóg n Para min º Vamos cuál s l rango d para los valors antriors: Para ado r In Compatibl incóg n Para min dt º < Nota: S hac constar qu la indtrminación s con dos grados d librtad, s dcir, qu l sistma s transorma n la cuación Paramtriando dos incógnitas rsulta : R Solución µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ,, : ; ; d Para
{ },, C C C Incompatibl Para Rsolvmos, como s pid, par, qu rsulta l sistma compatibl dtrminado: Aplicamos la Rgla d Cramr:
º) S considra la unción S pid: a ) Calcular sus trmos rlativos b ) Calcular c ) Dibujar la gráica d la unción a ) < P áimo para rlativo áimo, :, : > Q ínimo para rlativo ínimo b ) dt dt Hopital L In Hopital L In
c ) Para rprsntar la unción tndrmos n cunta qu s trata d una unción continua n su dominio, qu s R; qu, sgún l apartado antrior, tin una asíntota horiontal para Para una maor prcisión n la gráica vamos a dtrminar sus puntos d inlión: 8 ± ± ± ±, :, : B I P A I P X Y () P O Q B A
º) Hacr un dibujo d la rgión limitada por las curvas sn cos las rctas Calcular su ára Las gráicas d las uncions sno cosno s dirncian n qu tinn un dsas d (9º) (La palabra cosno s driva d complmnto dl sno) S trata d dos uncions continuas cuo dominio s R l rcorrido d ambas s [-, ]; l priodo d ambas s Tnindo n cunta qu l cosno d un ángulo s igual al sno dl ángulo complmntario, las gráicas d las uncions sno cosno son las qu s indican a continuación, prsadas n l intrvalo d un giro / sn / / /6 / / - cos Como pud obsrvars, n l intrvalo comprndido por las dos rctas vrticals, los ordnadas d la curva sn son maors qu las d cos, por lo cual l ára pdida s la siguint: S S ( sn cos ) d [ cos sn ] ( cos sn ) cos sn cos sn cos sn ( ) u S
OPCIÓN B º) Dtrminar las asíntotas d la unción, así como sus trmos rlativos Rprsntarla gráicamnt Las asíntotas pudn sr horiontals, vrticals oblicuas Horiontals: son los valors initos qu toma cuando tind a valr ininito; son d la orma tin No Vrticals: son los valors d qu anulan l dnominador Oblicuas: son d la orma n m, sindo: m m [ ] n m n Asíntota oblicua: Para dtrminar los trmos rlativos rcurrimos a las drivadas: 6 6 6 6 6
( ) ( ) No ha máimo ni mínimo (Para punto d inlión) ( ) > ínimo para ( ) ínimo P, Por sr la unción simétrica con rspcto al orign, (-) - (), la unción tin un máimo rlativo n l punto Q, Para qu ist un punto d inlión para s ncsario qu no s anul la trcra drivada para st valor 6 ( 6 6) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 6 6 6 6 ( ) ( ) 6 6 ( 6 6) ( ) ( ) ( ) 6 ( 6 ) ( ) Eist punto d inlión para P I O(, ) La curva pasa por l orign d coordnadas, qu s l único punto n qu corta a los js Por tratars d una unción racional stá dinida para todos los valors rals d, cpto para aqullos valors qu anulan l dnominador; n st caso l dominio d D R, la unción s: { } Para dtrminar la tndncia n las asíntotas d la unción tndrmos n cunta los its latrals siguints la simtría A la iquirda d la tndncia s Con los datos obtnidos con antrioridad tnmos lmntos suicints para raliar l dibujo d la gráica d la curva con la suicint prcisión, qu s la siguint
Y - () O X
º) Estudiar la posición rlativa d las rctas s r La prsión mdiant cuacions implícitas d las rctas s: s s r r El sistma qu orman las rctas s: Las matrics d coicints ampliada son: Estudimos, n primr lugar l rango d : { } C C C Ahora vamos a dtrminar l rango d : { },, L L L cruan s s r rctas Las
º) Enunciar l Torma d Roll Dmostrar mdiant un jmplo qu la condición d qu la unción s drivabl n todos los puntos dl intrvalo abirto (a, b) no s suprlua no pud allar la drivabilidad ni tan siquira n un punto El torma d Roll s pud nunciar dicindo: Si () s una unción continua n l intrvalo [a, b] drivabl n (a, b) si s c a, b tal qu () cumpl qu (a) (b), ist al mnos un punto La condición d drivabilidad s imprscindibl para podr aplicar l Torma d Roll, cua intrprtación gométrica s la qu s indica n l gráico siguint Y () (a) O a b (b) X Eist al mnos un valor comprndido ntr a b para l cual la tangnt a la curva s horiontal Pro para qu sto sa así s imprscindibl qu la unción sa drivabl n todos los puntos dl intrvalo Y () D no cumplirs la condición d drivabilidad pud ocurrir como n l caso dl jmplo siguint d la unción considrada n l intrvalo [-, ] dond s cumpl qu (-) () qu, admás, la unción s continua n su dominio qu s R - O X Para l punto prtncint al intrvalo [-, ] la unción no s drivabl, como pud obsrvars, no ist ningún punto dl intrvalo dond la tangnt a la unción sa horiontal
º) Rsolvr la cuación Para acilitar l dsarrollo dl dtrminant rstamos la primra ila a las otras dos rsulta: Las solucions d la cuación son: