RESOLVIENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA

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1 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com RESOLVIENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 98 () Ddos los pnos P(,,-) y Q(,,), se pide: ) Deemin ls ecciones pméics y conins de l líne ec qe coniene mbos pnos P y Q. b) Obengnse ls ecciones pméics y conins de l líne ec qe psndo po el pno P es plel l ec de ecciones coníns: RESOLUCION: ) Se n veco dieco de l ec: ) ( ( ) ( ) ( PQ d d. Ecciones pméics: Ecciones conins: c) Obencion del veco dieco de l ec dd, desde ss ecciones pméics (hcemos ) : d ecciones pméics de l ec plel po el pno P: y ss ecciones conins:

2 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 97 () Demos qe si los es ldos de n iánglo esán en pogesión geoméic, l zón esá 5 5 compendid ene y. RESOLUCION: (envid po Jeónimo Bs, noviembe ) Consideemos n iánglo donde ss ldos esán en pogesión geoméic. Definmos los ldos como y. Sbemos qe en odo iánglo se cmple qe n ldo es meno qe l sm de los oos dos, po desigldd ingl. Eso, plicdo neso poblem, nos d qe < < < < < < De l pime inección se ve qe, po lo no podemos dividi ene od l epesión y obenemos qe Dividiendo ene l segnd inección, se conclye qe. Usndo l ece inección y dividiendo ene se obiene Po lo no, de y se obiene el sisem Aplicndo l esolvene de segndo oden se obiene Peo como, sólo se conside l íz posiiv, es deci. Al esolve con el mismo méodo se obiene Nevmene, como, sólo se om l íz posiiv, es deci. Con los úlimos esldos, y po y Como se qeí demos. RESOLUCIÓN: (de csnchi) Sen, b, c, los es ldos de n iánglo de modo qe b. y c..

3 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com Del eoem del coseno p el ldo : b c. b. c. cos A Como cos A se veific qe b c. b. c b c. b. c O se: ( b c) ( b c) De lo cl, l ssii l elciones de pobesión geoméic ene los es ldos, se iene: (.. ) (.. ) qe l simplific: ( ) ( ) qedndo en definiiv:.( ).( ).( ).( ) si epesenmos gáficmene ls dos pábols: y y enconmos los pnos de coe con el eje hoizonl (eje ): Los vloes de qe esmos bscndo son qellos en donde l pime pábol es negiv y l segnd posiiv, lo qe l obsev el gáfico vemos qe h de se: 5 5

4 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 96 (6) Hll el vlo de l inegl: siendo z / I sh5z z C ( z ).. dz RESOLUCIÓN: Singliddes: z ( doble) ( z ). z z i ( simple) z i ( simple) Singliddes en el ineio de C: z, z i, z i. sh5z Descomposición de en fcciones simples: ( z ). z A B C D Az.( z ) B( z ) Cz ( z i) Dz ( z i) ( z ). z z z z i z i l idenific, esl: A, B, C i /, D i / sh5z sh5z sh5z sh5z sh5z Po no, A B C D, y se iene qe ( z ). z z z z i z i sh z sh z sh z sh z I A dz B dz C dz D dz z z z i z i C C C C i i πi( A. sh() 5Bch() Csh( 5i) Dsh(5i)) πi( A. sh() 5.. sh(5i) sh(5i)) πi En definiiv: I C sh5z. dz πi z ( z ).

5 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 95 (89) Dd l cónic: y y 4 6y 8 Deemin l ec pol del pno (,), el polo de l ec y-7 y s ceno, si eise. RESOLUCIÓN: (envid po Jeónimo Bs, ocbe ) Se define como cónic l lg geoméico de pnos en el plno cesino cmplen l sigiene ección genel Es ección pede escibise de fom micil de l sigiene mne qe Donde Escibimos ho l miz de nes cónic Y mbién ls mices djns Aho smos el es de los deeminnes p clsific nes cónic Como nes cónic (qe ho se llmá ) es n pábol. Ddo n pno P del plno con coodends definimos n ec pol de P especo de l cónic l ec de ección micil En el pno l ec pol esl Se L n ec. Enonces n pno Q del plno es n polo de L n cónic si L es l pol de Q especo de l cónic. Se ho L l ec P clcl s polo, se pede bj bjo coodends poyecivs, es deci, n pno del plno se lo epesen medine n en de componenes bjo l nsfomción

6 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com Usndo el pno y l miz en (), enemos Qe se nsfom en el sigiene sisem linel Donde son ls componenes de l ec pol Como L es nes ec pol esdi, podemos eemplz y s ls coodends poyecivs de. El neio sisem linel se nsfom enonces en Al esolvelo se obiene Como se obiene qe el polo Q de L es. Si n pno no posee ec pol n cónic, enonces ese pno se llm ceno. Ls coodends de dicho pno qe no ienen ec pol, veificn qe p el sisem los coeficienes de e de l ec pol son nlos, po lo qe l ec no eise. P sbe si dicho sisem iene solción p neso cso, se debe veific qe Y vimos qe po lo no el sisem no pesen solción, y esl qe odos los pnos ienen pol. Po lo no, nes pábol no iene ceno.

7 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 94 (8) Se el conjno X{,,,4,5}. Considéense ls fnciones f y g definids de X en X: f{<,>,<,5>,<,>,<4,>,<5,>} g{<,4>,<,>,<,>,<4,>,<5,>} y hállense ls fnciones compess gof y fog. RESOLUCIÓN: (envid po Jeónimo Bs, 4 sepiembe ) ) elemenos imágenes de f: {,5,,} elemenos imágenes de g: {4,,,} b) Po no: (gof)()g[f()]g(); (gof)()g[f()]g(5); (gof)()g[f()]g(); (gof)(4)g[f(4)]g()4; (gof)(5)g[f(5)]g(); (fog)()f[g()]f(4) (fog)()f[g()]f() (fog)()f[g()]f() (fog)(4)f[g(4)]f()5 (fog)(5)f[g(5)]f() gof{<,>,<,>,<,>,<4,4>,<5,>} fog{<,>,<,>,<,>,<4,5>,<5,>}

8 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 9 (8) Deemínese lgún pocedimieno de cálclo p el ceno de n cónic. Deemin ls coodends del ceno de l cónic RESOLUCIÓN: 5y 4y 6 y Po definición el ceno B(,q) de n cónic es el conjgdo de clqie de los pnos (,m,n) de l ec del infinio. O se: de donde q (, m, n) m ( q) n( q) y eniendo en cen qe m y n son biis: q q sisem linel, qe p qe se compible y deemindo debe se: A (son ls cónics de ipo elípico o hipebólico) En el ejemplo del enncido es: po lo qe: 5y 4y 6 y,,, 5, A eise ceno 5 Resolvemos el sisem: Ceno: q 4/ 6 5q q 7 / 6

9 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com B (4/ 6, 7 / 6)

10 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 9 (67) Uiliz el pocedimieno de decisión llmdo méodo de edcción l bsdo p compob si es vedde l poposición RESOLUCIÓN: [( p q) ] [ p ( q ) ] El méodo de edcción l bsdo fim qe el eoem [( p q) ] [ p ( q ) ] seá cieo si es cieo el eoem conecípoco [ p ( q ) ]! [( p q) ]! (conio de l esis del eoem implic el conio de l hipóesis) Simplificndo es úlim epesión medine epesiones eqivlenes: o bien: o se: de donde: o se:!!! [ p ( q ) ] [( p q) ]! p p p '! ( q ) ( p q)!!! ( q ) ( p q)!! ( q ) ( p q)!! p ( q ) p ( q ) y es úlim epesión es cie obvimene (ley de idenidd). Po no es cieo el p q p q. eoem ddo [( ) ] [ ( )]

11 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 9 (86) Hll ls ecciones del plno ngene y de l ec noml l speficie epesend po X en el pno coespondiene, v. RESOLUCIÓN: Deeminción de l ec noml: X X v (,,) N (,, ) (, v, v ) X X X X v v,, Ec. Vecoil: X X (,) λ. N λ Ecciones conins: y z Ección del plno ngene en (, ) : Ección del plno ngene: (, y, z ).,, [ X X (,) ]. N (, y, z ).,, ( ) ( y ) z -y-z

12 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 9 (5) Ddo n númeo posiivo, n, hll l sm de odos los númeos posiivos infeioes.n, qe no sen múliplos de ni de 5. RESOLUCIÓN: - Tol de númeos infeioes.n: T {,,,..., n}. - Tol de múliplos de conenidos en T: M {,4,6,..., n} - Tol de múliplos de 5 conenidos en T: M 5 { 5,,5,...n} - Tol de múliplos de y de 5 conenidos en T: M {,,...n} Ls scesiones T, M, M5 y M son pogesiones iméics cys difeencis especivs son,, 5 y. El conjno T iene n éminos, el conjno M iene 5n éminos, el conjno M5 iene n éminos y el conjno M iene n éminos Sbemos qe l sm de los n éminos de n pogesión iméic de pime émino y de úlimo émino n ped dse po l epesión n.( ) S n n. En los es csos neioes seí: n( n) Sm de los éminos de T: S n ( T ) 5n(n ) (qedn inclidos odos los númeos: los qe son múliplos de, los qe son múliplos de 5, los qe son múliplos de y de 5 simlánemene, y los qe no son múliplos ni de ni de 5) 5n( n) Sm de los éminos de M: S n ( M ) 5n(5n ) (qedn inclidos no múliplos de solmene como múliplos de y de 5 simlánemene) n(5 n) Sm de los éminos de M5: S n ( M 5) 5n(n ) (qedn inclidos no múliplos de 5 solmene como múliplos de y de 5 simlánemene) n( n) Sm de los éminos de M: S n ( M) 5n( n ) (es sm esá inclid no en Sn(M5) como en Sn(M)) L sm bscd p los númeos qe no son múliplos de ni de 5 es: S S n n ( T ) S ( M ) S ( M 5) S ( M) 5n(n ) 5n(5n ) 5n(n ) 5n( n ) n n n

13 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 89 (4) Clcl:. d ) Usndo el significdo geoméico de l inegl definid. b) Medine n cmbio de vibles. RESOLUCIÓN: ) Resolción po el significdo geoméico: Llmndo y, se iene qe l inegl es bid sobe el inevlo cedo [,] y.d, qe epesen el áe po l cv y. Tl cv es, elevndo l cddo: y, con y > es deci, se de n semicicnfeenci cend en (-,) y con dio nidd. El áe qe be l semicicnfeenci sobe el inevlo, es, po no: [ ] En definiiv: π π. d π b) Resolción medine n cmbio de vibles: π / π /. d cos θ. dθ π / π / ( ). d. d 4 π / π / sen θ.cosθ. dθ π / π π π / π / cosθ.cosθ. dθ ( cosθ ). dθ θ senθ ( senπ sen( π )) π / π / 4

14 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 88 (6) Se conside n ocedo egl de is cm. Deemin ls dimensiones del cilindo de evolción de volmen máimo inscio en dicho ocedo cyo eje esé sobe l digonl. RESOLUCIÓN: Seccionmos siméicmene el ocedo. Se ABCD el plno de sección del ocedo y deeminemos l disnci AB y AE en fnción de l is : AB Po no, se iene: AE h / / / / A AE AB 4 4 h / h h / Como es, seá es h, con lo qe el volmen del cilindo en fnción de V π π π ( ) h y ss dos pimes deivds: V '( ) π 6π, V" ( ) π π p qe se nle l pime deivd: V '( ) π 6π / si V"() π > volmen minimo si / V"(/) π 4π π < volmen mimo,

15 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com po no, ls dimensiones pedids son: /, h /

16 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 87 (6). Ddo n conjno G, con esc de gpo especo n ley inen, *, demos qe el conjno H de los elemenos de G qe pemn con clqie oo elemeno de G, consiyen n gpo, llmdo ceno del gpo G, con especo l mism ley inen *.. En el gpo de los movimienos de igldd qe dejn invine n cddo, encon el ceno H de dicho gpo. RESOLUCIÓN:. Vemos qe el ceno H es n gpo, compobndo qe se veificn ls condiciones de definición de n gpo: - * es ley inen en H:, y H, G, (. y)..( y. ).(. y) (. ). y (. ). y.(. y) (. y) es pemble (. y) H - * es sociiv en H: Tivilmene, pes H es pe de G y l opeción * es sociiv en G. - El elemeno neo en H es el mismo elemeno neo,, de G: Tl elemeno es el mismo elemeno neo del gpo G, pes: G,.. H - Todo elemeno de H ienen n siméico especo *: H, G,.. (. ) (. ) (. ). (. ). H..(. ) (. )..... En ese cso, el gpo esá consiido po co gios y co simeís iles: Los co gios: G: de º (o 6º) G: de 9º G: de 8º G: de 7º Ls co simeís iles: S: lededo del eje MN S: lededo del eje KL S: lededo del eje BD S4: lededo del eje AC L bl de ls opeciones seá l sigiene:

17 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com G G G G S S S S4 G G G G G S S S S4 G G G G G S S4 S S G G G G G S S S4 S G G G G G S4 S S S S S S4 S S G G G G S S S S S4 G G G G S S S S4 S G G G G S4 S4 S S S G G G G Como se obsev, ls únics opeciones qe pemn son ls de G y G: El ceno es, po no: H { G, G} Es deci, los elemenos qe consiyen el ceno son el gio de º y el gio de 8º.

18 Memáic, Físic, Asonomí, csnchi.com PROBLEMA 86 (9) Clcl e e d RESOLUCIÓN: ( e ) c e d( e ) d d cg e e e ( e ) z z d lim d lim c( e ) lim c( e ) lim c( e ) e e e z z z z z z z z z π π cg() lim cg( e ) lim cg( e ) cg() cg( ) cg() e z