Tasas de crecimiento poblacional (r): Una mirada desde el modelo matemático lineal, geométrico y exponencial 1

Transcripción

1 Pogm Gdudo en Demogfí Mesí en Ciencis en Demogfí Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo memáico linel, geoméico y exponencil 1 Anldo Toes-Degó, Ph.D. 2 Fom de ci: Toes-Degó, A. (2011). Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil. CIDE digil, 2(1), Recupedo de hp://soph.md.cm.up.edu/ demo/index.php/cide-digil/publicciones. Resumen: Uilizndo los esuldos de los censos y 2000 se clcul el cecimieno poblcionl ene mbos censos uilizndo el modelo memáico linel, geoméico y exponencil. El popósio de ese bjo es ecopil dichos lgoimos de l mne que puedn se uilizdos p fcili el nálisis de l s de cecimieno. Plbs clves: Modelos memáicos demogáficos, Poblción bse, s de cecimieno, Censo, Pueo Rico. Inoducción El ineés fundmenl de l demogfí se concen en El esdo y L dinámic de l poblción en el iempo. Uno de los objeivo de l demogfí es dd pecismene en esudi los movimienos que se pesenn en ls poblciones humns. Dicho movimieno es en función de los es componenes que povocn cmbios en el esdo lo lgo del iempo: ncimienos, defunciones y migción. Es deci, medid que ls pesons ncen, mueen o se mueven, los númeos oles de hbines en un áe cmbin. Es po l zón que eiemos que en cieo peíodo de iempo, el mño de un poblción puede cece, mnenese consne o disminui, dependiendo del efeco que esén ejeciendo esos deeminnes o componenes de cmbio. Dichos componenes (ncimieno, defunciones y migción) cen dos pocesos deno de l dinámic de un poblción que son objeo de nálisis. El pime poceso inoduce nuevos elemenos l poblción donde inevienen l fecundidd o nlidd y l inmigción, se les conoce como poceso de end. El segundo poceso excluye 1 Tbjo écnico demogáfico elbodo po el Ceno de Invesigciones Demogáfics de Pueo Rico (CIDE). 2 Cedáico Asocido del Pogm Gdudo en Ciencis en Demogfí; Coodindo del Ceno de Invesigción Demogáfico (CIDE), Recino de Ciencis Médics de l Univesidd de Pueo Rico. Emil: nldo.oes1@up.edu

2 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil individuos de l poblción donde inevienen l molidd y l emigción, se les conoce como poceso de slid. Ls elciones ene esos dos pocesos es l que povoc que el mño de l poblción esé expueso cmbi coninumene. Sin embgo, un s de cecimieno poblcionl puede se esimd suponiendo que ese cecimieno sigue cieo pón peesblecido. Los nálisis más uilizdos en demogfí pen del supueso que l poblción sigue cieo modelo memáico, y el pocedimieno consise en esim l elción funcionl que lo explic. Genelmene se considen es modelos básicos: Aiméico, geoméico y exponencil. Anes de desoll ls ss de cecimienos desde l ópic de los modelos memáicos es conveniene enende el concepo de l mpliud (). Ampliud () L mpliud () se efiee l disnci en iempo ene los dos punos de efeenci, eniéndse P y P +n especivmene. L mism se obiene buscndo l difeenci ene ls dos fech. mes mes 12 (1) di dis 365 (2) Cómo podemos sfom l mpliud en un vlo numéico? Cómo podemos clcul l mpliud ene dos iempos? Si cd ño epesen un unidd 1,2,3 enones cuno epesen un mes o un dí deno de cd unidd? Si un unidd epesen un ño y cd ño iene 12 meses, uilizndo l ecución (1) podemos demos que un mes epesen mes 1mes Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

3 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Po oo ldo, si un unidd epesen un ño y cd ño iene 365 dís (excepo el ño bisieso que ocue cd cuo ños con 366 dís), uilizndo l ecución (2) podemos demos que un dí epesen dí 1dí P pode enende l mecánic de l mpliud () omemos el siguiene ejemplo: si se dese esim l poblción (P ) ene el 1 o de bil del 2000 (P ) l 1 o de julio (poblción mid de ño) del 2000 (P +n ), lo pimeo que se debe esolve es l mpliud () que medi ene esos dos punos de ineés. P clcul l mpliud podí esolvese de dos mnes. Pimeo: si uilizmos el mes como puno de efeenci p clcul l mpliud ene P y P +n podímos indic que ene el 1 o de bil l 1 o de julio hy excmene un disnci de 3 meses (bil, myo y junio). P clcul l mpliud de dich disnci podímos muliplic l cnidd de meses po el fco , es deci: ƒ mes 1mes Además, l mpliud puede clculse dividiendo l cnidd de meses en l mpliud ene 12 meses, es deci: ƒ mes meses L mpliud eflej un disnci de.25 ene el peiodo de inees (P y P +n ). Segundo, si uilizmos el dí como puno de efeenci p clcul l mpliud ene P y P +n podímos indic que ene el 1 o de bil l 1 o de julio hy excmene 144 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

4 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil un disnci de 91 dís (30 dís en bil, 31 dís en myo y 30 dís en junio). P clcul l mpliud de dich disnci podímos muliplic l cnidd de dís po el fco , es deci: ƒ dis 91 dis 1di Además, l mpliud puede clculse dividiendo l cnidd de dís en l mpliud ene 365 dís, es deci: ƒ dis dis L mpliud eflej un disnci de.25 ene el peiodo de inees (P y P +n ). Tomemos oo ejemplo, si nueso ineés es clcul l disnci en iempo ene dos censos, po ejemplo, 1899 y 19 donde l fech de efeenci del censo del 1899 fue el de noviembe y l del 19 fue el 15 de bil esímos hblndo poximdmene de un mpliud de ños. No obsne, l mpliud debe se lo más ceeo posible. Nos podemos pec que ene el de noviembe de 1899 l de noviembe de 1909 se eflejn excmene un mpliud de ños. Ene el de noviembe del 1909 l 15 de bil del 19 hy unos 156 dís (20 dís ene el l 30 de noviembe, 31 dís en diciembe, 31 dís en eneo, 28 dís en febeo, 31 dís en mzo y 15 dís bil). Esos 156 dís epesen un mpliud, confome los dos méodos, de: ƒ dis 156 dis 1di ó ƒ dis dis 145 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

5 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Es deci si ene el de noviembe de 1899 l de noviembe de 1909 se eflejn excmene un mpliud de ños y ene el de noviembe de 1909 l 15 de bil de 19 l mpliud fue de.43 podemos conclui que l mpliud ene los censos del 1899 y 19 fue de.43 ños. Ts de Cecimieno Aiméico Aihmeic gowh e (Eng) Tux de coissnce ihméique (F) Tmbién conocido como s de cecimieno linel, es el más simple de odos, supone que l poblción iene un compomieno linel y po ende, l zón de cmbio se supone consne donde se incemen en l mism cnidd cd unidd de iempo consided. Es deci, en el modelo iméico el supueso básico consise en que l poblción cece en un mismo mono (cnidd) cd unidd de iempo. Es s solo es consejble p peíodos coos de iempo (meno de dos ños). L fómul p l s de cecimieno bjo el supueso modelo iméico es: n P P (P ) (3) 1 P n P P (4) P donde n P P (5) P +n P Ts de cecimieno nul iméico. Poblción l momeno cul. Poblción l momeno inicil o poblción bse o poblción inicil. L mpliud o disnci en iempo ene ls dos poblciones de efeenci. 146 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

6 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Refeene Pueo Rico, si omndo l poblción según el censo de con un poblción l 1 o de bil de 3,522,037 y p el censo de 2000 con un poblción l 1 o de bil de 3,808,6 podemos bjo el supueso iméico desoll l s de cecimieno. No olvidemos que p l s de cecimieno es necesio dos poblciones de efeenci: un poblción de efeenci se le conside como poblción bse o puno de efeenci (P ). Muchos lo econocen como l poblción más lejd ene los dos punos o simplemene l menos eciene ene los dos punos. El oo puno de efeenci es ddo po l poblción más cecn (P +n ). L mpliud o disnci en iempo ene los dos punos de efeenci es simbolizd po l le, donde l mism se obiene buscndo l difeenci ene ls dos fechs. Según ls fechs de los censos ib menciondos l mpliud ene uno y el oo censo es de ños. Po consiguiene, l s de cecimieno linel o iméico poblcionl p el peíodo podí clculse confome ls ecuciones (3), (4) y (5), vemos: 2000 P P (P ) P P (P ) ( ) P P P ( ) % % % Independienemene de l ecución selecciond el vlo obenido del cálculo de l s de cecimieno iméic () es usulmene pesendo de fom pocenul. Al clcul el cecimieno poblcionl iméico de Pueo Rico ene el ño y el ño 2000 enconmos que l mism fue de peo l plicle el po cieno decimos que l s de cecimieno poblcionl iméic fue de.81 po cieno, siendo ese el vlo que nomlmene es pesendo l consideción de los ineesdos. Po consiguiene es bien noml escuch, que en un lug (Pueo Rico) p el peiodo l ( l 2000) l s de cecimieno (iméic) poblcionl fue no ( Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

7 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil po cieno) o simplemene (.81). De fom simple y conceo, qué signific dicho esuldo?, o más un, cómo se debe inepe dicho esuldo? L s de cecimieno () obenid bjo l modlidd linel o iméic (=.81 po cieno) se puede inepe, que ene el peiodo del l 2000 como incemeno nul, l poblción de Pueo Rico umeno.81 pesons po cd 0 hbines. Sin embgo, es ecomendble y po supueso conveniene elev el deciml un vlo eneo p que pued se enendido fácilmene. Al muliplic l s de cecimieno (= ) po mil podemos deci que el incemeno nul de l poblción en Pueo Rico p el peiodo de l 2000 fue de 8.1 pesons po cd 00 hbines. De fom concluyene podemos indic que l s de cecimieno () poblcionl de.81 po cieno nos sugiee que en Pueo Rico ene el l 2000 el incemeno nul poblcionl fue de 8.1 pesons po cd 00 hbines. Obsevemos en l bl 3 que en el ño 1940 l s de cecimieno fue de 2.1 lo que sugiee un incemeno de poblción de 21 pesons po cd 00 hbines ene el peiodo del 1930 l Ts de Cecimieno Geoméico Geomeic gowh e (Eng) Tux de coissnce géoméique (F) Tmbién conocido como ineés compueso, es s supone un cecimieno pocenul consne en el iempo. A difeenci del modelo neio, dich s mniene consne el pocenje de cecimieno po unidd de iempo y no el mono (cnidd) po unidd de iempo, po no, se puede us p peíodos lgos. L fómul p l s de cecimieno poblcionl bjo el supueso geoméico pueden se vis, vemos: 1/ n P 1 P (6) 148 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

8 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil n P 1 P (7) donde Ts de cecimieno nul geoméico. P +n Poblción l momeno cul. P Poblción l momeno inicil o poblción bse o poblción inicil. L mpliud o disnci en iempo ene ls dos poblciones de efeenci. Refeene Pueo Rico, si omndo l poblción según el censo de con un poblción l 1 o de bil de 3,522,037 y l del censo de 2000 con un poblción l 1 o de bil de 3,808,6 podemos bjo el supueso geoméico desoll l s de cecimieno. No olvidemos que p l s de cecimieno es necesio dos poblciones de efeenci: un poblción de efeenci se le conside como poblción bse o puno de efeenci (P ). L mpliud o disnci en iempo ene los dos punos de efeenci es simbolizd po l le, donde l mism se obiene buscndo l difeenci ene ls dos fechs. Según ls fechs de los censos ib menciondos l mpliud ene uno y el oo censo es de ños. Po consiguiene, l s de cecimieno poblcionl geoméico p el peíodo podí clculse confome ls ecuciones (6) y (7), vemos: P P / / 1 P P % % 149 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

9 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Al clcul el cecimieno poblcionl de Pueo Rico ene el ño y el ño 2000, bjo l modlidd geoméico, enconmos que l mism fue de = peo l plicle el po cieno decimos que l s de cecimieno geoméico fue.79 po cieno. De fom concluyene podemos indic que l s de cecimieno () poblcionl de.79 po cieno nos sugiee que en Pueo Rico ene el l 2000 el incemeno nul poblcionl fue de 7.9 pesons po cd 00 hbines. Ts de Cecimieno Geoméico simplificdo (Bocz) Oo méodo p obene l s de cecimieno geoméico es evindo el uso de los logimos y cundo el peíodo de iempo no es muy lgo (5 ños), se sugiee l uilizción de l expesión simplificd de Albino-Bocz, vemos: 2 P k P donde n n P P (8) P +n P Ts de cecimieno nul geoméico (simplificdo de Bocz). Poblción l momeno cul. Poblción l momeno inicil o poblción bse o poblción inicil. L mpliud o disnci en iempo ene ls dos poblciones de efeenci. Refeene Pueo Rico, si omndo l poblción según el censo de con un poblción l 1 o de bil de 3,522,037 y p el censo de 2000 l poblción del con un poblción l 1 o de bil de 3,808,6 podemos bjo el supueso geoméico desoll l s de cecimieno plicndo el méodo de simplificción de Albino-Bocz, uilizndo l ecución (8), vemos: 150 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

10 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil P P 2000 P P % L s de cecimieno () obenid bjo l modlidd geoméic del méodo simplificdo de Albino-Bocz (=.78 po cieno) se puede inepe que ene el peiodo del l 2000 como incemeno nul l poblción de Pueo Rico umeno 7.8 pesons po cd 00 hbines. Ts de Cecimieno Exponencil Exponenil gowh e (Eng) Tux de coissnce exponenielle (F) A difeenci del modelo geoméico el modelo exponencil supone que el cecimieno se poduce en fom coninu y no cd unidd de iempo. Ese supueso oblig susiui l expesión "(1 + )" po "Exp( )". L jusificción de es susiución se fundmen en pincipios del Cálculo Memáico, y su demosción no seá evidencido en ese documeno. L fómul p l s de cecimieno poblcionl bjo el supueso exponencil pueden se vis, vemos: lnp n lnp (9) n ln( P P ) () 151 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

11 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil 1 n ln(p donde P ) (11) P +n P ln Ts de cecimieno nul exponencil. Poblción l momeno cul. Poblción l momeno inicil o poblción bse o poblción inicil. L mpliud o disnci en iempo ene ls dos poblciones de efeenci. Logimo nul. Refeene Pueo Rico, si omndo l poblción según el censo de con un poblción l 1 o de bil de 3,522,037 y p el censo de 2000 con un poblción l 1 o de bil de 3,808,6 podemos bjo el supueso exponencil desoll l s de cecimieno. Según ls fechs de los censos ib menciondos l mpliud ene uno y el oo censo es de ños. Po consiguiene, l s de cecimieno poblcionl exponencil p el peíodo podí clculse confome ls ecuciones (9), () y (11), vemos: 2000 lnp lnp ln38086 ln % 2000 ln(p P ) ln(38086 / ) ln( ) ln(p P ) 1 ln( ).1ln( ).1( ) % Según esos esuldos se puede indic que l s de cecimieno () poblcionl de 0.78 po cieno nos sugiee que en Pueo Rico ene el l 2000 el incemeno nul poblcionl fue de 7.8 pesons po cd 00 hbines. Según l bl 1 podemos visulmene comp los esuldos de cd uno de los modelos memáicos uilizdos p obene l s de cecimieno. El modelo 152 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

12 Po cieno Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil iméico (linel) iende se más gnde que los oos dos modelos. Po lo genel el modelo geoméico y exponencil iende pecese. Tbl 1. Difeenes s de cecimieno nul, Pueo Rico: Años Ampliud Poblción P Ts de Cecimieno Anul % Aiméico Geoméico Exponencil Nov.,1899 **** 953,243 **** **** **** Abil 15, ,118, Eneo 1, ,299, Abil 1, ,543, Abil 1, ,869, Abil 1, ,2, Abil 1, ,349, Abil 1, ,712, Abil 1, ,196, Abil 1, 3,522, Abil 1, ,808, Gáfic 1 Po cieno de l s de cecimieno nul, Pueo Rico: Exponencil Geoméico Aiméico Años censles Fuene: Gáfico elbodo po el D. Anldo Toes con dos obenidos de l bl Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

13 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Aplicción de l Ts de Cecimieno en gupos específicos Es posible plic l s de cecimieno gupos poblcionles con cies cceísics homogénes (géneo, esdo civil, educción, fuez bjdo, ene oos) o po gndes gupos eáeos (poblción joven, poblción dul, poblción viej, poblción femenin en edd epoduciv, ene os). P pode plic l s de cecimieno divess poblciones evluemos l poblción femenin y l poblción de viejos de 65 ños o más. Refeene Pueo Rico, si omndo l poblción femenin según el censo de con un cnidd l 1 o de bil de 1,816,395 mujees y l poblción femenin del censo de 2000 con un cnidd l 1 o de bil de 1,975,033 mujees podemos desoll l s de cecimieno. No olvidemos que p l s de cecimieno es necesio dos poblciones de efeenci: un poblción de efeenci se le conside como poblción bse o puno de efeenci (P ). L mpliud o disnci en iempo ene los dos punos de efeenci es simbolizd po l le, donde l mism se obiene buscndo l disnci ene ls dos fechs. Según ls fechs de los censos ib menciondos l mpliud ene uno y el oo censo es de ños. Po consiguiene, l s de cecimieno poblcionl femenin p el peíodo podí clculse confome l modlidd linel o iméic uilizndo l ecución (3), l modlidd geoméic uilizndo l ecución (7) y l modlidd exponencil uilizndo l ecución (9), vemos: 154 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

14 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Aiméico Geoméico Exponencil n P P (P ) P P n 1 lnp n lnp 2000 Pf Pf ( Pf ) % Pf Pf % 2000 lnpf lnpf ln ln % De fom concluyene podemos indic que l s de cecimieno () de l poblción femenin de.87 po cieno nos sugiee que en Pueo Rico ene el l 2000 el incemeno nul poblcionl femenino fue de 8.7 mujees po cd 00 mujees. Po oo ldo en Pueo Rico, si omndo l poblción de 65 ños o más, que según el censo de l 1 o de bil l cnidd e de 340,884 pesons y l poblción de 65 ños o más l 1 o de bil del censo del 2000 l cnidd e de 425,137 pesons, es posible desoll l s de cecimieno. Po consiguiene, l s de cecimieno poblcionl viej (65 ños o más) p el peíodo podí clculse confome l modlidd linel o iméic uilizndo l ecución (3), l modlidd geoméic uilizndo l ecución (7) y l modlidd exponencil uilizndo l ecución (9), vemos: 155 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

15 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Aiméico Geoméico Exponencil n P P (P ) P P n 1 lnp n lnp 2000 P65 P65 (P ) % P P % 2000 lnpf lnpf ln ln % Podemos conclui que l s de cecimieno () de l poblción viej (65 ños o más) de 2.47 po cieno nos sugiee que en Pueo Rico ene el l 2000 el incemeno nul fue de 24.7 pesons viejs po cd 00 pesons viejs. Tiempo de Duplicción Doubling ime (Eng) Temps de doublemen (F) El cecimieno expesdo en pocenjes no es un concepo descipivo plicble muchos fines. Es un s de cecimieno del 2.5 po cieno len o celed? Un mne más cl de ilus el cecimieno de l poblción es clcul cuáno iempo le omí dich poblción duplicse confome l s cul de cecimieno. Es medid bind infomción ineesne especo l imo de cecimieno de l poblción, suponiendo que ése se consne en el iempo. Como veemos más delne, un pís que iene un s de cecimieno consne del 1 po cieno duplicí el mño de su poblción en poximdmene 70 ños; l 2 po cieno, en 35 ños; l 3 po cieno, en 23 ños. 156 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

16 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Cudo 7: Años de duplicción p divess ss de cecimieno Ts de cecimieno (%) Año de duplicción Ts de cecimieno (%) Año de duplicción Es deci, cundo umen l s de cecimieno, el mño de l poblción duplicse se educe, miens que cundo l s de cecimieno se educe, el mño de l poblción duplicse se mpli. No olvidemos que el iempo de duplicción no puede uilizse p poyec el mño fuuo de un poblción poque el mismo supone un s de cecimieno consne vés de ls décds, miens que ls ss de cecimieno cmbin. No obsne, clcul el iempo de duplicción yud ilus cuán ápidmene esá ceciendo un poblción culmene. El iempo de duplicción de l poblción de un lug puede obenese medine dos foms: piendo de l ecución de cecimieno geoméico y del méodo de los 70 ños. Tiempo de Duplicción Ecución de cecimieno geoméico Piendo de l ecución de cecimieno geoméico, es posible modific l expesión sumiendo que el iempo de duplicción esí dd po el logimo nul dos ( ) ene l s de cecimieno. L fomul esá ddo po: 157 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

17 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil ln2 = donde (12) ln Tiempo de duplicción de l poblción. Ts de cecimieno nul en su expesión nul, no en po cieno (iméic, geoméic o exponencil) Logimo nul. Obsevemos que si l s de cecimieno es expesd en po cienos es necesio dejl en su expesión nul, si l inención es busc el iempo de duplicción con dicho méodo. No se debe uiliz el po cieno de l s de cecimieno. Si nos efeimos l s de cecimieno poblcionl iméico de Pueo Rico ene el ño y el ño 2000 donde l mism fue de peo l plicle el po cieno decimos que el po cieno de = y nos inees clcul el iempo de duplicción con el méodo de ecución de cecimieno geoméico, l s de cecimieno poblcionl () h uilizse es l que no se h expesdo en po cieno. Un vez engmos l s de cecimieno decud, el iempo de duplicción esí ddo po, 2ln donde l poblción se duplicí en ños. Es deci, si l s de cecimieno iméic de eflejd dune el peiodo de l 2000 coninu sin cmbios, l poblción de Pueo Rico se duplicí en poximdmene 85 ños. No olvidemos que el iempo de duplicción no puede uilizse p poyec el mño fuuo de un poblción peo su cálculo yud ilus cuán ápidmene esá ceciendo un poblción culmene. 158 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

18 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil Tiempo de Duplicción Méodo de los 70 ños Es un méodo pácico y d esuldos muy pecidos l méodo nes discuido. Un mne ápid de poxim el peíodo de duplicción es dividi 70 po l s de cecimieno expesd como un pocenje. donde 70 (13) Tiempo de duplicción de l poblción. Ts de cecimieno nul en po cieno (iméic, geoméic o exponencil) Eso es posible y que l consne 70 es poduco de l muliplicción del logimo nul 2 (ln2) po 0, es deci X 0 = y se om como poximción de ese esuldo el vlo 70. Obsevemos que l s de cecimieno debe es expesd en po cienos, si l inención es busc el iempo de duplicción con dicho méodo. Si nos efeimos l s de cecimieno poblcionl iméico de Pueo Rico ene el ño y el ño 2000 donde l mism fue de peo l plicle el po cieno decimos que = po cieno y nos inees clcul el iempo de duplicción con el méodo de 70 ños, l s de cecimieno poblcionl () h uilizse es l expesd en po cieno. Un vez engmos l s de cecimieno decud, el iempo de duplicción esí ddo po, Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011

19 Tss de cecimieno poblcionl (): Un mid desde el modelo linel, geoméico y exponencil donde l poblción se duplicí en ños. O se, si l s de cecimieno iméic de po cieno eflejd dune 2000 coninu sin cmbios, l poblción de Pueo Rico se duplicí en poximdmene 86 ños. Es deci con un s nul de cecimieno del.81 po cieno en el 2000, Pueo Rico necesií poximdmene 86 ños p duplic su poblción. Refeencis U.S. W Depmen, (1900). Repo on he Census of Pueo Rico, 1899, Wshingon, D. C. U.S. Bueu of he Census (19). Thieenh Census of he Unied Ses, 19. Sisics fo Pueo Rico.. (1920). Foueen he Census of he Unied Ses, Populion of Oulying Possessions.. (1930). Fifeenh Census of he Unied Ses, Oulying Teioies nd Possessions.. (1940). Sixeenh Census of he Unied Ses, Pueo Rico.. (1950). Unied Ses Census of Populion, Pueo Rico.. (1960). Unied Ses Census of Populion, Pueo Rico.. (1970). Unied Ses Census of Populion, Pueo Rico.. (1980). Unied Ses Census of Populion, Pueo Rico.. (). Unied Ses Census of Populion,. Pueo Rico.. (2000). Unied Ses Census of Populion, Pueo Rico. 160 Toes-Degó, Anldo Revis Elecónic CIDEdigil,Vol.2 No.1, Abil 2011