1 Los números reales VAMOS A CONOCER QUÉ NECESITAS SABER? Los números racionales. Los números irracionales. Los números reales y su representación

Transcripción

1 Los úmeros reles VAMOS A CONOCER Los úmeros rcioles Los úmeros irrcioles Los úmeros reles y su represetció Itervlos Ríces y sus propiees Rciolizció Aproximció e úmeros y su error Notció cietífic QUÉ NECESITAS SABER? Operr co úmeros rcioles Reliz ls siguietes opercioes: ) ) c) + 0 Frccioes propis e impropis Expres como frcció impropi los siguietes úmeros mixtos: ) + ) + c) + Expres como úmero mixto ls siguietes frccioes impropis: ) ) c) + : +

2 L civilizció grieg y ituí l existeci e úmeros «icomesurles» que o poí ser expresos como frcció e os úmeros, como por ejemplo l mei e l logitu e l igol e u curo e lo ó l rzó existete etre l logitu e u circufereci y su iámetro. Y

3 8 Mtemátics Y Notció El símolo represet l cojució lógic «y». Por ejemplo: «p Z N» quiere ecir «p perteece Z y perteece N».. Los úmeros rcioles El cojuto e los úmeros rcioles, Q, está formo por tos ls frccioes e l form sieo p u úmero etero y u úmero turl p istito e cero. p Q Z N : p co 0 Pso e eciml frcció Too úmero eciml excto, perióico puro o mixto se puee expresr como u frcció.! Poemos expresr culquier frcció como u úmero eciml, solo st co iviir el umeror etre el eomior. RECUERDA tiee como expresió eci- Do el úmero, l frcció ml el úmero o. 000 Do el úmero x, como sólo hy u cifr eciml e el perioo, multiplicmos el úmero por 0 y le restmos el úmero iicil: 0x... x... 9x Despejo oteemos x, u frcció e expresió eciml. 9 Tomemos hor el úmero x. Primero multiplicmos el úmero por l ui segui e ttos ceros como cifrs ecimles perióics y o perióics tegmos. Luego multiplicmos el úmero por l ui segui e ttos ceros como cifrs ecimles o perióics tegmos y restmos: 000x... 00x x Despejo e l expresió terior oteemos cuy expresió eciml es. x, u frcció 900. Expres como eciml ls siguietes frccioes y clsific los úmeros ecimles oteios: ) ) c). Expres como frcció los siguietes úmeros ecimles: ) 00 ) c) 00 e) 9

4 Los úmeros reles 9. Los úmeros irrcioles Oservemos el siguiete úmero eciml: Este úmero eciml o es excto y e él o se puee efiir u perioo, por tto estmos te u úmero que o puee ser rciol. Oservció Etre os úmeros rcioles hy ifiitos úmeros irrcioles. Los úmeros irrcioles tiee u expresió eciml ifiit o perióic. Ejemplo Demostrr que o es rciol. Supogmos que frcció irreucile: es rciol, etoces se porí expresr como u irreucile ( y o tiee ivisores comues) Despejo y elevo l curo teemos: De est expresió se euce que es pr, por tto p. Sustituyeo e l expresió : Co esto cocluimos que tmié es pr, q. Si emrgo esto es u cotricció y que er irreucile y hor umeror y eomior so ivisiles etre : ( p) p p p p OJO! L frcció q q E cosecueci o se puee expresr como u frcció y, por tto, es u úmero irrciol. er irreucile El úmero π El úmero π es u ejemplo e úmero irrciol. Durte mucho tiempo coseguir l mejor proximció e este úmero h sio u reto mtemático. E l ctuli se cooce miles e milloes e cifrs e este úmero. π Los úmeros que se otiee como solució e l ecució x, oe Q co 0 y o es u curo perfecto, so irrcioles.. Escrie os úmeros irrcioles compreios etre y.. Ecuetr os úmeros rcioles y os irrcioles etre 0 0 y Iic cuáles e los siguietes úmeros so rcioles y cuáles irrcioles: ) ) c) 0 Y

5 0 Mtemátics Y. Los úmeros reles R Q Z 0 π El cojuto e los úmeros reles está formo por el cojuto e los úmeros rcioles y el e los úmeros irrcioles. Este cojuto se represet co el símolo R. N 0 El cojuto e los úmeros reles se puee represetr e u rect, l rect rel, oe c úmero se correspoe co uo e sus putos. Represetció e úmeros e l rect rel Represetció e úmeros rcioles Pr represetr u frcció teemos que iviir el segmeto e el que se ecuetre e tts prtes como iique el eomior, utilizo el teorem e Tles, y mrcr el umeror. Números ecimles Si queremos represetr e l rect u úmero rciol expreso e form eciml, simplemete teemos que psrlo frcció y represetrl Represetció e úmeros irrcioles E geerl, os resultrá imposile represetr co exctitu u úmero irrciol. Lo que se suele hcer es iicr el segmeto oe se ecuetr. Este segmeto puee ser t pequeño como quermos, epeieo el úmero e ecimles que utilicemos pr proximr. Represetció e úmeros irrcioles e l form Estos úmeros se puee represetr e form exct utilizo el teorem e Pitágors. Pr ello teemos que costruir u triágulo cuy hipoteus mi l ríz usc y trsportr est istci l rect co el compás Represet e l rect rel los siguietes úmeros irrcioles: ) ) c) 0 π

6 Los úmeros reles. Topologí e l rect rel.. Relcioes e ore Dos os úmeros reles y : Diremos que es meor que, <, si es positivo. Diremos que es myor que, >, si es egtivo. Diremos que es meor o igul que,, si < ó. Diremos que es myor o igul que,, si > ó. Aemás, teemos ls siguietes propiees: Dos os úmeros reles istitos y, siempre < ó >. Si, + c + c, pr culquier úmero rel c. Si y c 0, etoces c c. Si y c 0, etoces c c... Itervlos U itervlo es u cojuto e úmeros reles que se correspoe co u segmeto o u semirrect e l rect rel. Itervlo ierto Itervlo cerro Itervlo semiierto Itervlo semiierto Semirrect iert, + (, ) { x R : < x < }, x R : x, ) x R : x < (, { x R : < x } ( ) { x R : < x} Semirrect cerr, + ) x R : x Semirrect iert Semirrect cerr ( ), x R : x < (, x R : x Defiicioes U itervlo es ierto cuo sus extremos o perteece l itervlo. U itervlo es cerro cuo sus extremos perteece l itervlo.. Represet gráficmete y expres meite itervlos y cojutos: ) los úmeros reles meores que. ) los úmeros reles myores o igules que y meores que. c) los úmeros reles myores o igules que. los úmeros reles meores que y myores que Represet gráficmete y expres meite itervlos: ) x R : x < c) x R : x e) { x R : x } ) x R : < x x R : < x < 0 f) x R :0 x Y

7 Mtemátics Y. Potecis e expoete rciol.. Potecis e expoete turl Potecis por recurreci L efiició e poteci e expoete turl por recurreci es: 0 +, pr N Defiimos elevo l -ésim poteci,, co u úmero rel y u úmero turl, como el resulto e multiplicr veces el úmero por sí mismo: veces... Propiees e ls potecis 0 m m ( ) m m m +m ( ) Simplificr ls expresioes utilizo ls propiees e ls potecis: ( ) : : : + ( ) 8 ( ) : 8 ( ) 8 8 Potecis e l clculor Pr clculr potecis co l clculor utilizmos l tecl shift comi co l tecl e multiplicció pr iicr los expoetes. Poemos oservr que ecim e l tecl prece el icoo «x y». Pr clculr eemos itroucir: shift.. Potecis e expoete etero Pr efiir potecis e expoete etero ecesitmos efiir ls potecis e expoete egtivo. Este tipo e potecis ee cumplir ls propiees e ls potecis e expoete turl, por tto: + ( ) 0 U poteci co expoete egtivo es el iverso e est mism poteci co expoete positivo. 9. Simplific y expres el resulto como u poteci e expoete positivo: ( ) ( : ) : :( : ) ) c) e) ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) : ( ) ) f) ( ) :( : ) :

8 Los úmeros reles.. Potecis e expoete rciol Ates e efiir ests potecis vmos hcer u pequeñ reflexió: si queremos que ls propiees e ls potecis e expoete etero se pue exteer ls potecis e expoete rciol, l propie ( ) c eerá ser ciert, y como too úmero rciol se puee expresr como u frcció, teremos lo siguiete: ( ) co N c RECUERDA Si, etoces! m Defiiremos l poteci como l ríz m-ésim e. m m Ríces equivletes Se ice que os ríces so equivletes si l expresrls como poteci ls frccioes que etermi los expoetes so equivletes. m q p p m q Expresr e form e poteci y escriir ríces equivletes: Poteci Ríces equivletes Ríces reuciles Se ice que u frcció es reucile si se puee simplificr. Si el expoete que etermi u ríz es u frcció reucile, poemos simplificrl y sí, su vez, simplificremos l ríz. irreucile Simplificr ls siguietes ríces: 8 ) c) 0 ) 0 0. Expres e form e poteci: ) ) c). Expres como ríz ls siguietes potecis: ) ) c) 8. Simplific ls siguietes ríces: ) ) c). Oté os ríces equivletes e c u: 0 ) ) c) Y

9 Mtemátics Y. Ls ríces: propiees y opercioes RESUELTAS Reuce comú íice ls ríces: El mcm e los íices es 0. Así, ls ríces equivletes será: 0, 0 0, 0 Ore e meor myor ls siguietes ríces: Si reucimos comú íice: Ahor, oreo ls ríces equivletes oteemos: < < 8 8 < <.. Reucció e ríces comú íice Vmos reucir ls ríces. Expresmos ls ríces e form e poteci: íice comú:. Reucimos los expoetes comú eomior y volvemos expresr ls potecis e form e ríz. El mcm e los eomiores es 0: Extrcció e fctores e u ríz Vmos extrer fctores e l ríz 9 :. Descompoemos el rico e fctores primos: 0 9 y Diviimos el expoete e c fctor primo etre el íice e l ríz. El cociete es el expoete el fctor primo que sle fuer e l ríz y el resto es el expoete el fctor primo que que etro e l ríz: Ejemplo 8.. Itroucció e fctores e u ríz Poemos itroucir u fctor etro e u ríz elevo icho fctor l íice e l ríz: ( ) 0 ( ). Extre toos los fctores posiles: ) ) c) 9 9. Itrouce los fctores etro e l ríz: ) ) c) e). Ore ls siguietes ríces e myor meor:

10 Los úmeros reles.. Sum y rest e ríces Dos ríces so semejtes si tiee los mismos íices y ricos. Pr sumr o restr vris ríces ests tiee que ser semejtes. + ( + ) 8 ( ).. Proucto y cociete e ríces Pr multiplicr o iviir os ríces ests tiee que teer el mismo íice. Ríces e l clculor Pr clculr ríces co l clculor utilizmos l tecl shift comi co l tecl e ivisió pr iicr los íices. Poemos ver que ecim e l tecl prece el icoo «x / y». Pr clculr eemos itroucir: shift pr culquier N pr culquier N Si ls ríces o tiee el mismo íice siempre poemos reucirls íice comú y luego operr. ( ).. Poteci y ríz e u ríz m m m ( ) m pr culesquier, m N pr culesquier, m N RESUELTAS Oper y simplific: Ejemplo ( ) ( ). Oper y simplific: ) ) Oper y simplific: ) ) c) 8 9. Oper y simplific: ) ) c) Y

11 Mtemátics Y. Rciolizció Como hemos visto, si,. Sigo e u ríz si, y solo Si es pr, teemos que 0, por tto: ± Si es impr, teemos que tiee el mismo sigo: Por ejemplo: ± 8 8 Rciolizr u frcció es elimir ls ríces e su eomior... Frccioes co u ríz e el eomior Vmos rciolizr frccioes el tipo. Pr ello multiplicmos el umeror y el eomior por, co lo que oteemos: Pr rciolizr u frcció el tipo multiplicmos el umeror y el eomior por y simplificmos Frccioes co u iomio e el eomior Ls frccioes que vmos rciolizr será e uo e los siguietes tipos: + c c c Pr rciolizr frccioes co u iomio e el eomior multiplicmos umeror y eomior por el cojugo el eomior. Defiició El cojugo e u iomio + es el iomio. De est form, l multiplicrlos oteemos u ifereci e curos: ( + )( ) + + ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) + + ( + ) ( + ) 0. Rcioliz y simplific ls siguietes expresioes: ) c) e) g) ) f) h) +

12 Los úmeros reles 8. Aproximcioes. Error soluto y reltivo Decimos que u proximció es e ore cuo oteemos u úmero rciol co ecimles. Pr expresr el ore e proximció iicmos el omre e l cifr hst l que se quiere reoer; sí, u proximció ls écims es e ore, ls cetésims es e ore, ls milésims es e ore Métoos e proximció Aproximció por efecto o trucmieto: se elimi ls cifrs ecimles prtir el ore cosiero. Aproximció por exceso: se elimi ls cifrs ecimles prtir el ore cosiero y se ñe u ui l últim cifr eciml. Reoeo: se elimi tos ls cifrs ecimles prtir el ore iico y, si l cifr siguiete l ore cosiero es myor o igul que, se ñe u ui l últim cifr eciml que icluimos. 8.. Error soluto y reltivo El error soluto (E ) e u proximció V e u úmero V r es el vlor soluto e su ifereci: El error reltivo (E r ) e u proximció V e u úmero V r es el vlor el cociete el error soluto etre V r : E r E V V r E V V r V V r Cots pr el error soluto E muchs ocsioes o coocemos exctmete el úmero que queremos proximr. E esos csos o poemos clculr exctmete el error. r EJEMPLOS Aproximr 9 hst ls iezmilésims (ore ). Trucmieto: 9 Por exceso: 0 Reoeo: 0 Aproximr 89 hst ls milésims (ore ). Trucmieto: Por exceso: Reoeo: Aproximr 0 98 hst ls milloésims (ore ). Trucmieto: 0 98 Por exceso: 0 99 Reoeo: 0 98 RECUERDA El vlor soluto e u úmero es icho úmero igoro el sigo. +! L cot el error soluto iic e cuáto os poemos equivocr como máximo l utilizr u proximció. Cots el error soluto Ore Trucmieto Aproximció por exceso Reoeo Décims Cetésims Milésims Oservció Cuto meores se los errores más exct será uestr proximció.. Aproxim por efecto, por exceso y reoe los siguietes úmeros reles hst ls milésims y hst ls iezmilésims: ) ) c) 998 π. Clcul el error soluto y el error reltivo pr el ejercicio terior. E cso e o poer clculrlo exctmete, iic l cot el error cometi. Y

13 8 Mtemátics Y Órees e mgitu Gig- 0 9 Meg- 0 Kilo- 0 Hecto- 0 Dec- 0 Deci- 0 Ceti- 0 Mili- 0 Micro- 0 No Notció cietífic Normlmete los úmeros que mejmos so pequeños, pero e muchs ocsioes trjmos co úmeros muy gres, como por ejemplo: l istci e l Tierr l Sol. el úmero e cteris e u cultivo. E otrs ocsioes l cti que eemos mejr es t pequeñ que su expresió requiere muchs cifrs ecimles, como por ejemplo: el grosor e u hoj e ppel. l istci el elce moleculr. Est circustci hizo que se ier u otció pr simplificr ls expresioes muy gres o muy pequeñs. Oservemos los siguietes úmeros: : Pr que u úmero esté expreso correctmete e otció cietífic ee teer l siguiete form: c 0, oe es u úmero etero Oservemos que tiee u sol cifr eter y que el resto e ls cifrs so ecimles. Uso e l clculor Pr escriir u sigo egtivo e el expoete primero eemos pulsr l tecl EXP y espués l tecl +/. E u úmero expreso e otció cietífic el expoete l que está elevo el 0 es el ore e mgitu. Escriir e otció cietífic los siguietes úmeros: Escrie e otció cietífic los siguietes úmeros: ) c) iezmilésims e) ) milloes milésims f) illoes. Los siguietes úmeros está ml expresos e otció cietífic. Corrígelos: ) 0 c) e) ) f) 0

14 Los úmeros reles Sum y rest e otció cietífic Pr sumr y restr úmeros expresos e otció cietífic ecesitmos que toos esté expresos co el mismo ore e mgitu. MATEMÁTICAS DE PROFESIÓN Ls competecis mtemátics Hemos pso el sumo 0 ore co lo que mos sumos so el mismo ore y poemos sí sumr ormlmete E est ocsió hemos pso 8 0 e ore ore. Si vmos sumr o restr úmeros escritos e otció cietífic eemos escriirlos e el ore e mgitu myor que prezc. 9.. Proucto y ivisió e otció cietífic Pr multiplicr y iviir úmeros expresos e otció cietífic simplemete teemos que operr ls potecis e 0 por u lo y el resto e l expresió por otro. + ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) Hemos escrito correctmete el resulto e otció cietífic. ( 0 ): ( 8 0 ) ( : 8 ) Uso e l clculor e otció cietífic Co u clculor poemos expresr úmeros e otció cietífic utilizo l tecl EXP. Por ejemplo, pr expresr 0 eeremos tecler EXP y os precerá e ptll l expresió 0, que represet el úmero que estámos usco. Ejemplo Expresmos 0 8 e l clculor e otció cietífic tecleo:.. Reliz ls siguietes opercioes e otció cietífic: ) c) 0 : 0 +/ EXP 8 +/. Reliz ls siguietes opercioes utilizo l clculor: ) ( ) ) c) 9 8 ( 0 ) :( 0 ) ( 0 ) ) 0 ( 0 9 ) ( 0 ) c U competeci es el cojuto e coocimietos, hilies y ctitues suficietes pr relizr u etermi ctivi e form eficz. Poemos clsificr e siete ls competecis e Mtemátics: Pesr y rzor. Ls Mtemátics yu esrrollr el rzomieto strcto. Argumetr. Utilizr el rzomieto lógico pr poer emostrr ls cosecuecis e u ie o situció. Comuicr. Utilizr el leguje e form clr y precis, expresáose correctmete. Moelr. Utilizr los moelos mtemáticos pr proximr situcioes reles. Plter y resolver prolems. Utilizr ls herrmiets que os proporcio ls Mtemátics pr efretrse istitos prolems. Represetr. Relizr represetcioes mtemátics e situcioes reles e iterpretr ichs represetcioes. Utilizr vces técicos. L iformátic es u herrmiet que ee ser utiliz pr esrrollr el resto e competecis. c Y

15 0 Mtemátics Y INFORMÁTICA MATEMÁTICA Mtemátics e Microsoft El progrm Mtemátics e Microsoft es u herrmiet muy útil que poemos utilizr pr corregir los ejercicios e l ui. L mejor form e coocer u progrm es utilizáolo, por tto, u vez istlo lo mejor es relizr los ejemplos que expoemos cotiució. Pr isertr ríces eemos hcer clic e o e e l clculor que prece l izquier. Itroucimos e l líe e eició los siguietes tos: L clculor Pulsmos INTRO e el teclo, o ie hcemos clic e el otó el progrm, y oteemos: Si itroucimos e el progrm ó o oteremos u sli e tos, sio que teremos t sólo el resulto umérico. Co est herrmiet poemos rciolizr too tipo e expresioes, por ejemplo: + Pr escriir frccioes pulsmos el otó e l clculor. L clculor os yurá l hor e itroucir ls expresioes e l líe e eició. Hcemos clic e el otó y oteemos l rciolizció e l expresió. Pr preer utilizr el progrm poemos prcticr corrigieo los ejercicios e l ui, como por ejemplo los e simplificció e expresioes, los e rciolizció o los e otció cietífic.

16 Los úmeros reles RESUELTAS Simplific ls siguietes ríces y extre fctores cuo se posile: ) c) 0 ( ) ) ( ) Rcioliz: ) c) + e) ) + + f) Solució ( ) Solució ) ) ( ) ( ) + ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 9 9 ) ( )( ) + ( + )( ) c) ( ) c) ( )( + ) ( ) ( )( ) + ( + )( ) Rcioliz: ) ) c) + + Solució ) ) e) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + ( + ) ) ( + ) + c) f) ( + ) ( ) ( )( + ) ( + ) + ( ) + + ( )( + ) ( + 0) ( ) ( + 0) ( + 0) Y

17 Mtemátics Y FINALES EJERCICIOS Los úmeros rcioles. Expres ls siguietes frccioes e form eciml: ) c) e) ) 9 9 f) 8. Expres los siguietes úmeros ecimles e form e frcció: )... g) 0... ) e) 0... h) 0... c) f) 0... i) Ecuetr tres ejemplos e frccioes cuy expresió eciml se u úmero eciml perióico puro. 0. Ecuetr tres ejemplos e frccioes cuy expresió eciml se u úmero eciml perióico mixto.. Ecuetr tres ejemplos e frccioes cuy expresió eciml se u úmero eciml excto.. Reliz ls siguietes opercioes. Si o puees relizrls irectmete, ps primero los úmeros ecimles frcció y luego efectú ls opercioes, pso el resulto e uevo úmero eciml: ) + 8 ) 8 + c) ( ) Los úmeros reles. Clsific los siguietes úmeros segú se rcioles o irrcioles: ) 8 c)... e) 9 ) f). Escrie os úmeros rcioles compreios etre y 0.. Escrie os úmeros irrcioles compreios etre... y.... Represet e form exct e l rect rel: ) ) c). Iic si so verers o flss ls siguietes firmcioes. Justific l respuest: ) Hy úmeros rcioles que tiee u expresió eciml ifiit. ) Los úmeros eteros so quellos que tiee u expresió eciml exct. c) U úmero irrciol se puee expresr como u frcció. Hy frccioes que tiee u expresió eciml ifiit o perióic. e) Existe úmeros irrcioles que o so úmeros reles. f) Existe úmeros eteros que o so rcioles. Topologí e l rect rel 8. Represet gráficmete y escrie el itervlo y el cojuto e toos los úmeros reles que verifique: ) Ser myores que y meores que. ) Ser meores que y myores que. c) Ser myores o igules que. Ser meores que. e) Ser meores que 8 y myores o igules que. f) Ser myores o igules que y meores o igules que. g) Ser meores o igules que. h) Ser myores o igules que y meores que. 9. Represet gráficmete y escrie los itervlos que represet los siguietes cojutos: ) x R : x ) c) { x R : < x } { x R : x < } 0. Represet gráficmete y escrie los itervlos que represet los siguietes cojutos: ) x R : x < ) { x R : x } c) { x R : x } { x R : x > 9} e) { x R :0< x < }. Iic tres úmeros que perteezc c uo e los itervlos el ejercicio terior.

18 Los úmeros reles. Do el itervlo (, ), iic: ) Toos los úmeros eteros que perteezc l itervlo o. ) Cuátos úmeros rcioles hy e icho itervlo? c) Cuátos úmeros irrcioles hy e icho itervlo? Y úmeros reles?. Escrie los cojutos y los itervlos que represet los siguietes gráficos: ) ) c) e) 8. Escrie el cojuto que represet los siguietes itervlos y represétlos gráficmete: ) [, ] c) (, ] e) (, ) ) [, ) (, ] f) [, + ) Ls ríces: propiees y opercioes. Ore ls siguietes ríces e myor meor:. Ecuetr os ríces equivletes : ) ) c). Simplific ls siguietes ríces: ) ) c) 0 8. Itrouce los fctores etro e l ríz: ) ) c) ; ; 8; Expres e u sol ríz: ) ) 8 e) c) f). Expres como poteci e expoete rciol: ( ) ) ( ) ) e) c) f). Oper y extre fctores: 0 ) e) ) f) c) g) h) ( ) ( ) x 8 x x Rciolizció. Rcioliz: ) ) c) 8. Rcioliz: ) ) c) +. Rcioliz y simplific: ) c) e) + + ) f) + ( ) Extre toos los fctores que se posile: ) 8 9 c) 8. Rcioliz y simplific: ) c) e) + ) ) f) ( + ) ( + ) 0 + Y

19 Mtemátics Y FINALES Aproximcioes. Error soluto y reltivo. Reoe, truc y proxim por exceso ls cetésims los siguietes úmeros: ) 89 ) 0 0 e) c) f) Reoe, truc y proxim por exceso ls iezmilésims los úmeros el ejercicio terior. 9. Clcul el error soluto y el error reltivo pr ls proximcioes el ejercicio terior. 0. Complet l siguiete tl e tu cuero: Cot el error soluto. Los siguietes úmeros o está expresos correctmete e otció cietífic, corrígelos: ) ) 0 e) c) f) Reliz ls siguietes opercioes si hcer uso e l clculor: ) c) ) Reliz ls siguietes opercioes si hcer uso e l clculor: ) ) Ore Milésims Diezmilésims Ciemilésims Milloésims Diezmilloésims. Reliz ls siguietes opercioes si hcer uso e l clculor: ) 0 0 ) Reliz ls siguietes ivisioes si hcer uso e l clculor: ) 0 0 : 0 c) 0 : 0 ) 0 8 : 0 0 : 0 9 Trucmieto Reoeo Aprox. por exceso Notció cietífic. Expres co tos ls cifrs los siguietes úmeros: ) 0 c) 0 e) 0 8 ) 0 0 f) 0. Expres e otció cietífic los siguietes úmeros: ) ) e) c) f) Comprue co l clculor los resultos oteios e los tres ejercicios teriores. 9. Reliz ls siguietes opercioes hcieo uso e l clculor: ) ( 0 ) ) ( 0 ) c) PROBLEMAS 0. L ms el Sol es, proximmete, veces l ms e l Tierr. Si l ms e l Tierr es 0 kg, clcul l ms el Sol.. L Tierr tiee u ms proxim e 0 kg. Sieo que l esi mei es 0 kg/m, clcul el volume e l Tierr. ms Not: esi volume

20 Los úmeros reles. Si l istci e l Tierr l Sol es, proximmete, 0 8 km y l istci e l Tierr l Lu es 0 km, clcul l istci e l Lu l Sol e el mometo que muestr l figur.. L veloci el soio e el gu es 0 m/s. Si u sumriist tr 0 s e etectr u soio que se prouce e l superficie, qué profui se ecuetr el sumriist? Lu 90 Tierr Sol. L ms e u electró es 9 0 kg. Ls mss e u protó y e u eutró so proximmete 0 kg. Determi l ms e u átomo e zufre sieo que tiee electroes, protoes y eutroes.. L veloci e l luz es 0 8 m/s. Clcul el tiempo que trrá e recorrer km. Not: hy que psr los kilómetros metros.. L ms el electró es 9 0 kg. Si e u tuo e celerció lcz u veloci e 0 8 m/s, qué eergí ciétic terá el electró etro e icho tuo? Not: l fórmul e l eergí ciétic es E c mv. AUTOEVALUACIÓN. Ps frcció los siguietes úmeros ecimles: ) ). Ecuetr os úmeros etre 0 y 00.. Iic el itervlo, represet gráficmete y expres co esigules los cojutos siguietes: ) Los úmeros reles meores o igules que. ) Los úmeros reles myores que y meores o igules que. c) Los úmeros reles myores o igules que y meores o igules que.. Expres como ríz úic.. Expres correctmete e otció cietífic: ) c) 8 0 ) Complet l siguiete tl: Ore Milésims Milloésims Número 9 8 Aproximció por exceso Trucmieto Reoeo Cot error reoeo Cot error trucmieto. Expres e form e poteci.. Rcioliz y simplific: ) ) c) Clcul si utilizr l clculor: ) ) 0. Clcul utilizo l clculor: Y

21 Mtemátics Y MATEMÁTICAS RECREATIVAS El hotel e Hilert El mtemático Hilert poseí u hotel co ifiits hitcioes, tos ells umers. U ue í huo u coveció e úmeros turles y se lojro e su hotel, co lo que este est ocupo completmete. Al rto e lojr los úmeros turles, viiero los úmeros eteros egtivos pr l coveció y Hilert, que pr ests coss siempre hí teio ues ies, piió los úmeros turles que se psr ls hitcioes pres, e mer que ls impres quer vcís. Hecho este cmio lojó los úmeros egtivos e ls hitcioes impres y sí volvió ller el hotel y toos los úmeros quero lojos. Hy más úmeros? El cojuto e los úmeros turles (N) resuelve los prolems e orer, cotr, sumr, multiplicr Pero hy prolems que o poemos solucior utilizo este cojuto umérico, por ejemplo: x + Teemos etoces l ecesi e mplir el cocepto e úmero y oteemos sí los úmeros eteros (Z). E este cojuto ietificmos los úmeros turles como los úmeros eteros positivos y el cero. Siguieo est líe e rzomieto os ecotrmos co que este uevo cojuto umérico es isuficiete, y que o poemos resolver ecucioes como: x No poemos ecotrr u úmero etero que resuelv est ecució, por lo que se hce ecesri u uev mplició el cocepto e úmero. De est uev mplició surge el cojuto e los úmeros rcioles (Q). Este uevo cojuto cotiee l cojuto e los úmeros eteros, y que cosiermos que p p p oe Z Co este cojuto prece que teemos resuelto el prolem, si emrgo si cosiermos l ecució x o hllmos solució etro el cojuto e los úmeros rcioles y, por tto, se hce ecesri u uev mplició el cojuto umérico. Est uev mplició será el cojuto e los úmeros reles (R). U vez mplio el cocepto este cojuto os querá otrs preguts: qué ps co l ecució x?, teremos l ecesi e relizr más mplicioes el cocepto e úmero? OLIMPIADA MATEMÁTICA El úmero tiee seis ivisores:,,,, y. Cutro e ellos so pres y os so impres. Hll lguos úmeros cuyos ivisores se toos pres excepto el. Descrie l secueci e úmeros que tiee est propie. Hll lguos úmeros que teg exctmete l mit e sus fctores pres y escrie uevmete l secueci e úmeros que tiee es propie. Si puees, explic e mos csos por qué es cierto el resulto e tus coclusioes.

22 Los úmeros reles EN RESUMEN NÚMEROS REALES Números ecimles exctos o perióicos Números ecimles o perióicos Números rcioles Aproximció Números irrcioles Números eteros Notció cietífic Ríces Números turles Propiees m m Rciolizció m m m ( ) m AMPLÍA CON DESARROLLO MATEMÁTICO DE LOS NÚMEROS REALES DE NIVEL ALTO < DESARROLLO DE LA UNIDAD DIVIDIDO EN APARTADOS, CON EJERCICIOS Y PROBLEMAS < CONTENIDOS SOBRE NÚMEROS IRRACIONALES CON UN NIVEL DE º DE ESO < Y