Matemáticas 3ESO. edebé

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1 Mtemátics ESO eeé

2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Números rcioles COMPETENCIAS BÁSICAS Competeci mtemátic Relizr cálculos co úmeros rcioles e iferetes situcioes. Utilizr el cálculo metl como herrmiet pr gilizr ls opercioes ritmétics. Competeci e comuicció ligüístic Orgizr l iformció e itegrrl co los coocimietos propios. Competeci pr preer preer Utilizr e form eficiete recursos, técics y estrtegis pr uevos preizjes y grtizr su eficci. CONTENIDOS. Frccioes.. Frccioes equivletes. El cojuto e los úmeros rcioles.. Cocepto e úmero rciol.. Represetció y oreció e los úmeros rcioles.. Números rcioles y úmeros ecimles. Opercioes co úmeros rcioles.. Sum, rest, multiplicció y ivisió.. Potecició y ricció.. Opercioes comis. Porcetjes Ui

3 PREPARACIÓN DE LA UNIDAD Los úmeros turles so los úmeros que utilizmos pr cotr, y form u cojuto, el cojuto e los úmeros turles que represetmos por l letr : {,,,,,,,,, 0,,,...} Dos úmeros turles so primos etre sí cuo su úico ivisor comú es. Pr clculr el M.C.D. e os o más úmeros se multiplic los fctores primos comues ichos úmeros elevos l meor expoete. Pr clculr el m.c.m. e os o más úmeros se multiplic los fctores primos comues y o comues ichos úmeros elevos l máximo expoete. El cojuto e los úmeros eteros se represet por l letr y está represeto por los úmeros turles preceios e sigo y el 0. : {...,,,, 0,,,,...} U frcció es l expresió e u ivisió etre os úmeros, el umeror y el eomior. Así, : E geerl ls películs e cie se gr fotogrms por seguo, o lo que es lo mismo, e u seguo, se gr imágees, que luego proyects logr geerr l sesció e movimieto e l ptll. Cuátos seguos ur u fotogrm? E u miuto, cuátos fotogrms hy? E el cie muo l frecueci e grció er e uos fotogrms por seguo. E este cso cuátos fotogrms hy e u miuto? Culquier frcció es u úmero eciml limito o ilimito perióico. Decimles limitos:,;,; 0, Decimles ilimitos perióicos Puros: Mixtos: 0,, Números rcioles

4 . Frccioes Los úmeros eteros, positivos y egtivos, o st pr expresr cties que se preset hitulmete. Así por ejemplo, pr reprtir u litro e rj etre cico migos ee efecturse l ivisió : que puee expresrse meite l frcció. U frcció es to expresió e l form eteros, sieo 0. To frcció cost e os térmios: Numeror Deomior e l que y so úmeros U frcció puee iterpretrse e tres forms istits: FRACCIÓN COMO PARTE DE UN TODO O UNIDAD FRACCIÓN COMO DIVISIÓN ENTRE DOS ENTEROS FRACCIÓN COMO RAZÓN DE MEDIDA A B C D Cuo ecimos que hemos esto u curto e hor espero, sigific que hemos iviio l hor e prtes y el tiempo e esper correspoe u e ests prtes. Pr reprtir L e rj etre cico migos efectumos l ivisió :. : 0, L e l logi- L logitu e AB es tu e CD. RECUERDA Ls frccioes, igul que los úmeros eteros, puee ser positivs o egtivs. To frcció positiv puee expresrse como el cociete e os úmeros eteros, mos positivos o mos egtivos. To frcció egtiv puee expresrse como el cociete e os úmeros eteros, uo e ellos positivo y el otro egtivo. Ls frccioes puee clsificrse e: Frccioes propis: frccioes meores que l ui. Frccioes igules l ui: Frccioes impropis: frccioes myores que l ui ui Ls frccioes co sigo puee represetrse sore l rect e form preci como represetmos los úmeros eteros. 0 Ui

5 .. Frccioes equivletes Dos frccioes equivletes represet l mism prte e l ui y verific que el proucto e cruz e sus térmios el mismo resulto. Ls frccioes y c so equivletes si se cumple: c Pr oteer u frcció equivlete u poemos proceer e os mers prtir e l propie fumetl e ls frccioes equivletes: Multiplicmos el umeror y el eomior por u mismo úmero etero istito e 0. Diviimos el umeror y el eomior por u mismo úmero etero istito e 0. : : FÍJATE Dos frccioes, positivs o egtivs, so equivletes si represet el mismo puto sore l rect. 0 Si iviimos, coseguimos simplificr l frcció. To frcció puee simplificrse hst llegr l frcció irreucile. U frcció se llm irreucile si el umeror y el eomior so úmeros primos etre sí. Vemos los iferetes proceimietos pr clculr l frcció irreucile equivlete u. Frccioes equivletes Diviimos sucesivmete el umeror y el eomior etre ivisores comues e mos hst oteer l frcció irreucile :0 : : Descompoemos el umeror y el eomior e fctores primos. Diviimos el umeror y el eomior por los fctores comues Clculmos el M.C.D. e los térmios e l frcció. Diviimos el umeror y el eomior por su M.C.D. M.C.D. (00, 0) : 0 0 : 0. Se ee reprtir pes y slchichs prtes igules etre comesles. Cómo efecturís el CB reprto?. Determi si ls siguietes frccioes so equivletes. ) y c) y e) y ) y ) y 0 f) y 0 0. Simplific ests frccioes hst oteer ls irreuciles equivletes. 0 0,,,,,, Explic qué proceimieto hs utilizo.. Si tiees os frccioes culesquier y hlls sus frccioes irreuciles correspoietes, puees etermir prtir e ésts si ls frccioes iiciles so equivletes? Justific tu respuest. Números rcioles

6 FÍJATE Hemos visto que tos ls frccioes equivletes represet el mismo puto sore l rect. Así pues, c úmero rciol le correspoe u úico puto sore l rect.. El cojuto e los úmeros rcioles Y cooces el cojuto e los úmeros turles y el e los úmeros eteros. Vmos efiir u uevo cojuto que egloe ls frccioes... Cocepto e úmero rciol D u frcció culquier, poemos clculr ifiits frccioes equivletes. FRACCIÓN FRACCIONES EQUIVALENTES 0, 0,,...,,,... El cojuto formo por u frcció y tos sus equivletes es u úmero rciol. C u e ls frccioes que form u úmero rciol es u represette e icho úmero. Así, ls frccioes represet el mismo ú-,,... mero rciol. El represette cóico e u úmero rciol es l frcció irreucile e eomior positivo, represette e ese úmero. Así: Número rciol Represette cóico, 0,,,...,,,... FÍJATE Los úmeros eteros so u cso prticulr e úmeros rcioles cuyo represette cóico tiee eomior. Auque poemos represetr u úmero rciol meite culquier e ls frccioes que lo form, es hitul utilizr el represette cóico. El cojuto e los úmeros rcioles se esig meite l letr. Este cojuto icluye l e los úmeros eteros y, por tto, l e los úmeros turles.. Determi el represette cóico e c uo e los siguietes úmeros rcioles. 0 0,,,,, 0. Cuátos úmeros rcioles iferetes hy e est serie? 0, 0, 0 0,,, 0 Ui

7 .. Represetció y oreció e los úmeros rcioles Pr represetr u úmero rciol sore l rect seguimos el siguiete proceimieto: Cosiermos el represette cóico el úmero rciol. Efectumos l ivisió eter el umeror etre el eomior. El cociete e est ivisió etermi los os úmeros eteros que so extremos el segmeto oe se siturá el úmero rciol. Diviimos el segmeto etermio por estos os úmeros eteros e tts prtes como iic el eomior e l frcció y tommos tts prtes como iic el resto e l ivisió. RECUERDA Pr iviir u segmeto e prtes igules poemos recurrir l métoo e Tles: Diujmos el segmeto y trzmos ese uo e sus extremos u semirrect. Sore ést situmos cosecutivmete u mismo segmeto e logitu ritrri tts veces como ivisioes eseemos relizr. Uimos el extremo lire el último segmeto co el extremo lire el segmeto y, cotiució, trzmos proyeccioes prlels ese los extremos e c segmeto. 0 0 ; Accee l pági wtch?vgsnhznmmo óe ecotrrás u vieo explictivo e como iviir u segmeto e prtes igules utilizo el métoo e Tles. Oserv que si el úmero rciol es positivo, querá situo l erech el 0 y, si es egtivo, l izquier. Al orer os úmeros rcioles, represetáolos sore l rect y oservo sus posicioes reltivs poremos comprrlos. c c Si está situo l erech e, se verific >. 0 > > 0 > Comprció e úmeros rcioles Poemos comprr úmeros rcioles si ecesi e represetrlos sore l rect. Pr comprr úmeros rcioles e istito eomior etermimos primero sus represettes cóicos, los reucimos comú eomior y comprmos ls frccioes oteis. Si os frccioes tiee el mismo eomior positivo, es myor l que tiee el myor umeror. Así: pues 0 > >. Represet gráficmete estos úmeros rcioles.,,,. Ore e myor meor estos úmeros rcioles.,,,,, 0. Escrie cico úmeros rcioles compreios etre y. Iicció: puees teer e cuet que l semisum e os úmeros (el resulto e su sum iviio etre ) siempre será igul u úmero compreio etre mos y situo e el puto meio el segmeto que etermi. Números rcioles

8 Si ccees l pági ce.mec.es/_eso/frccio es_ecim les_porcetjes/frccio es_.htm porás utilizr u pplet pr verigur cuátos ecimles, como máximo, form el períoo el úmero eciml correspoiete u frcció e eomior... Números rcioles y úmeros ecimles Too úmero rciol puee expresrse meite u frcció y ést, su vez, como u úmero eciml.,,,,,... 0,... Too úmero rciol puee expresrse meite el úmero eciml que result e iviir el umeror etre el eomior e uo culquier e sus represettes. A tos ls frccioes equivletes e u mism frcció les correspoe el mismo úmero eciml. Expresió eciml e u úmero rciol puee rse los si- Al uscr l expresió eciml e u úmero rciol guietes csos: El resto e l ivisió : es 0 espués e scr u o vris cifrs ecimles. 0, 00 0, 0 0 Oteemos u úmero eciml limito.,;, El resto e l ivisió : uc es 0, por más ecimles que squemos. Puesto que el resto ee ser meor que el ivisor, llegrá u mometo e que se repetirá y, por tto, ls cifrs el cociete tmié se repetirá. 0, Oteremos sí u úmero eciml ilimito perióico. Si el períoo empiez imeitmete espués e l com, es u úmero eciml ilimito perióico puro.,..., 0, Si el períoo o empiez imeitmete espués e l com, es u úmero eciml ilimito perióico mixto.,..., so ls que se re- E u úmero eciml ilimito y perióico ls cifrs que llev el sigo pite, es ecir, ls que form el períoo. Así, poemos clsificr los úmeros rcioles como sigue: 0. Escrie los siguietes úmeros ecimles iico cuál es su períoo y clsifíclos segú se perióicos puros o mixtos.,...,,...,,..., 0,...,,...,,... Números rcioles Decimles limitos Decimles ilimitos Perióicos puros Perióicos mixtos. Clsific e limitos e ilimitos los siguietes úmeros ecimles: ;; 0,;,; 0,,...;, ;, ;,.. Clsific e puros o mixtos los úmeros ecimles ilimitos perióicos. Ui

9 Expresió frcciori e u úmero rciol Acmos e ver que too úmero rciol es u úmero eciml limito o ilimito perióico. ) ),,,, L firmció recíproc tmié es ciert, es ecir, too úmero eciml limito o ilimito perióico es u úmero rciol. FÍJATE El cojuto e los úmeros rcioles es l uió el cojuto e los úmeros ecimles limitos y el e los ilimitos y perióicos. L frcció geertriz e u úmero eciml limito o ilimito perióico es l frcció irreucile equivlete icho úmero eciml. El úmero rciol correspoiete l eciml o será quel que teg ich frcció como represette cóico. EJEMPLO Hll l frcció geertriz el úmero eciml limito,. Llmmos x l frcció geertriz: EJEMPLO Hll l frcció geertriz el úmero eciml perióico puro, ). Llmmos x l frcció geertriz: ) x, EJEMPLO Hll l frcció geertriz el úmero eciml perióico mixto 0, ). Llmmos x l frcció geertriz: ) x 0, x, Multiplicmos l expresió e x por l poteci e 0 ecesri pr elimir l com: 00 x Despejmos x y simplificmos l frcció: Así:, x 00 Multiplicmos l expresió e x por l poteci e 0 ecesri pr que l com quee justo espués el primer períoo: 00 x, A l expresió otei le restmos l expresió iicil: 00 x,... x, x x x Despejmos x y simplificmos l frcció: x ) Así:, Multiplicmos l expresió e x por l poteci e 0 ecesri pr que l com quee justo espués el primer períoo, y por l poteci e 0 ecesri pr que l com quee justo tes el primer períoo: 00 x,... 0 x,... Restmos ls os expresioes oteis: 00 x,... 0 x, x 0 x 0 x Despejmos x y simplificmos l frcció: ) Así: 0, x 0 Pr compror que l frcció otei es l correct, sólo teemos que iviir su umeror etre su eomior.. Hll l expresió eciml e estos úmeros r cioles.,,,,,,. Hll l expresió frcciori e los siguietes úmeros ecimles. ) ) ) ),0; ;,; ; ; ; 0, ) ) ), 0, 0, 0 00, ;, ; 0, Qué sucee cuo el úmero es perióico puro e períoo? Números rcioles

10 Ls frccioes e l clculor Algus clculors cietífics está preprs pr operr co úmeros rcioles e form frcciori. So ls que ispoe e l tecl Oserv cómo efectumos l operció /c /c /c EXE Comprue si l clculor h oteio el resulto correcto.. Opercioes co úmeros rcioles Hemos visto que u úmero rciol está formo por u frcció y tos sus equivletes. Pr sumr, restr, multiplicr o iviir úmeros rcioles, tomremos represettes e estos úmeros y operremos como si se trtse e frccioes... Sum, rest, multiplicció y ivisió Oserv cómo summos los siguietes úmeros rcioles: 0 RECUERDA Reucir frccioes míimo comú eomior sigific hllr us uevs frccioes equivletes ls primers cuyo eomior se el míimo comú múltiplo e los eomiores e ls frccioes s. E el cso e y teemos: m.c.m. (, ) : ; : ; Si ccees l pági mth.et/worksheets/frctio_clcul tor.php porás utilizr u pplet pr sumr, restr, multiplicr y iviir frccioes. Escogemos u represette e c úmero rciol. Poemos elegir culquier; hor ie, pr gilizr el cálculo es cosejle utilizr los represettes cóicos, y. Summos ests frccioes. Pr ello, reucimos ls frccioes míimo comú eomior. El resulto e l sum es el úmero rciol el cul es u represette. Aálogmete, pr restr, multiplicr o iviir úmeros rcioles, opermos tmié co represettes e c uo e ellos, geerlmete los cóicos por secillez. Oserv los ejemplos : : Pr operr co úmeros rcioles se escoge u represette e c uo y se efectú l operció correspoiete. Ui

11 Propiees e l sum y e l multiplicció L sum y l multiplicció e úmeros rcioles tiee u serie e propiees, lgus e ells similres ls que estuiste pr los úmeros eteros. Osérvls cotiució. PROPIEDADES DE LA SUMA Propie comuttiv. Si cmimos el ore e los sumos, el resulto o vrí. c c Propie socitiv. E u sum e vrios sumos, el resulto o epee e cómo se grupe. c e c f Elemeto eutro. El 0 es el elemeto eutro e l sum, pues l sumr 0 culquier úmero rciol el resulto es el mismo úmero. Elemeto opuesto. Do culquier úmero rciol, existe otro úmero rciol llmo el opuesto,, que sumo él el elemeto eutro. 0 0 e f PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Propie comuttiv. Si cmimos el ore e los fctores, el resulto o vrí. c c Propie socitiv. E u proucto e vrios fctores, el resulto o epee e cómo se grupe. c e c f Elemeto eutro. El es el elemeto eutro e l multiplicció, pues l multiplicr por culquier úmero rciol el resulto es el mismo úmero. Elemeto iverso. Do culquier úmero rciol istito e 0, ( 0), existe otro úmero rciol llmo el iverso,, que multiplico por él el elemeto ui. e f Propie istriutiv e l multiplicció respecto e l sum. Pr multiplicr u úmero rciol por u sum e úmeros rcioles, poemos multiplicr el úmero rciol por c uo e los sumos y sumr los resultos oteios. c e c f e f. Comprue meite ejemplos c u e ls propiees e ls opercioes co úmeros rcioles que prece e est pági.. Clcul: CB 0 ) c) 0. Clcul: CB ) ). Hll el opuesto e c uo e los úmeros rcioles siguietes. ) ) 0 :,,,, Números rcioles

12 . Efectú: ) ) c) ) :.. Potecició y ricció E lgus ocsioes, poemos ecotrros co multipliccioes e úmeros rcioles igules, como l siguiete: cutro veces Este proucto puee expresrse como, y es l poteci e se el úmero rciol y expoete el úmero turl. Pr clculr l poteci e u úmero rciol, clculremos l poteci e uo e sus represettes, geerlmete el cóico por secillez. Así, por ejemplo: Si el expoete e l poteci es u úmero etero egtivo, poemos trsformrl e otr e expoete positivo. Oserv: Ls opercioes co potecis e se u úmero rciol y expoete u úmero etero se efectú e mer similr ls opercioes co potecis e se u frcció y expoete u úmero etero. Ui RECUERDA veces... MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE POTENCIA DE UN PRODUCTO m m m m : c c POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE POTENCIA DE EXPONENTE 0 m m 0 ( 0) CB

13 Semos que clculr l ríz cur e u úmero es uscr otro úmero que elevo l curo se igul l primero. FÍJATE Así, por ejemplo: si y sólo si pues Poemos tmié clculr l ríz eésim e u úmero rciol: es el úmero rciol que elevo l poteci eésim es igul l primero. c c si y sólo si U ríz e u úmero rciol puee teer u resulto, os o iguo segú l pri el íice y el sigo el rico. c c Íice el ricl c Rico Ríz Ríz ±? Pri el íice Impr Impr Pr Pr Sigo el rico Número e ríces U (positiv) U (egtiv) Dos (positiv y egtiv) No tiee. EJEMPLO Efectú: ) El íice es pr y el sigo el rico positivo, luego terá os ríces, u positiv y otr egtiv: pues ) El íice es impr y el sigo el rico egtivo, luego terá u ríz egtiv: ) pues ) El íice es impr y el sigo el rico positivo, luego terá u ríz positiv: ± pues ) c). Efectú si es posile, rzoo tu respuest: 0 ) ) c) ) EJEMPLO 0. Ore e meor myor estos úmeros rcioles Ore e meor myor estos úmeros rcioles. Hllmos el represette cóico e c uo e los úmeros rcioles. Reucimos míimo comú eomior los represettes cóicos. Filmete los oremos e meor myor ,,,,,,,,, 0, 0,, < < <,,,, 0 Números rcioles

14 U cosejo A mei que efectúes ls opercioes, simplific siempre que te se posile. De este moo, utilizrás úmeros meores y, por lo tto, ls opercioes te resultrá más secills... Opercioes comis Al igul que co ls frccioes, co los úmeros rcioles poemos efectur opercioes comis. Ésts se rige por ls misms orms e priori estlecis e los emás cojutos uméricos: Resolució e prétesis. Operció e potecis y ríces. Multipliccioes y ivisioes e el ore e que prece. Sums y rests. Oserv e los siguietes ejemplos cómo efectur opercioes comis co úmeros rcioles. RECUERDA c c : c EJEMPLO Efectú: Resolvemos, e primer lugr, los prétesis y espués el resto e ls opercioes teieo e cuet su priori. : 0 : : 0 U cosejo Es recomele e frccioes oe teemos opercioes e el umeror y el eomior, resolver por sepro los os térmios oteieo sí u frcció más secill. De este moo evitrás efectur muchs opercioes l vez y cometerás meos errores. EJEMPLO Efectú: Primero efectumos por sepro ls opercioes que prece e el umeror y el eomior el seguo miemro: ; Reescriimos l operció comi sustituyeo ls opercioes el umeror y el eomior por los vlores hllos. Resolvemos ls iferetes opercioes teieo e cuet su priori Ui

15 EJEMPLO Efectú: : Efectumos ls opercioes el umeror y el eomior teieo e cuet su priori. Resolvemos sustituyeo umeror y eomior por ls frccioes oteis: 0 : 0 EJEMPLO Efectú: : Efectumos ls opercioes el umeror y el eomior teieo e cuet su priori. Resolvemos sustituyeo umeror y eomior por ls frccioes oteis. 0 : :. Efectú: : : ) ) c) ) e) : :. Efectú: : : ) ) c) ) : : : : 0. Utiliz l clculor wiris, ispoile o lie, pr compror los resultos e ls ctivies Números rcioles

16 RECUERDA U porcetje es u proporció expres como u cti e c 00 uies. Así pues, poemos expresrl como u expresió frcciori co eomior 00 o como u expresió eciml: % 0, 00. Porcetjes Pr clculr el tto por cieto e u cti st multiplicr ich cti por el úmero eciml que represet el porcetje: % e 0 0 0, Aumeto o ismiució porcetul Es hitul, e l vi cotii, expresr escuetos, icremetos slriles o impuestos meite porcetjes. Pr clculr el umeto (o ismiució) porcetul e u cti st co multiplicr ich cti por l ui umet (o ismiui) co el umeto (o ismiució) porcetul expreso e form eciml. EJEMPLO 0 Deciimos comprr u sofá cuyo precio iicil es e 0 y tiee u escueto el %. Pr trsportrlo, cotrtmos u trsportist cuy trif se es e 0 co u recrgo el % pr tryectos superiores 0 km. Cuáto os costrá e totl l compr y el trsporte el sofá si uestr vivie se ecuetr 0 km? El precio el sofá tiee u escueto el %, sí pues restremos l expresió eciml el porcetje l ui y lo multiplicremos por l cti iicil: El trsporte tiee u recrgo el el %, sí pues l expresió eciml el porcetje l ui y lo multiplicremos por l cti iicil: Totl 0, 0,; 0 0, 0, 0,,; 0, 0, EJEMPLO Comprmos us ccioes por vlor e 00. El primer mes sue u 0 % y el seguo vuelve suir u 0 % más. Clcul el precio e ls ccioes l seguo mes. Qué tto por cieto e sui represet?. r mes: umeto el 0 % : 00, 00; El umeto e ls ccioes h sio: 00.º mes: umeto el 0 % : 00, % El precio e ls ccioes es e que represet u umeto el % e su vlor iicil. FÍJATE Pr clculr el tto por cieto equivlete e umeto o ismiució e porcetjes eceos st multiplicr los umetos o ismiucioes sucesivs. E el ejemplo :,,, ( % e umeto). Clcul el precio fil e u rtículo cuyo precio es, si se le plic u umeto e u % e IVA. E el ejemplo hemos plico los porcetjes eceos que so vrios umetos o ismiucioes porcetules sucesivos plicos u cti. Iterés simple Otr plicció muy utiliz ivel ecoómico es el iterés simple. El iterés simple es l cti que prouce u cpitl urte u períoo e tiempo co u umeto porcetul etermio (llmo tipo e iterés). I c i t (c cpitl, i iterés e form eciml, t tiempo e ños). Clcul el iterés que prouce 000 si os ofrece u iterés el % ul urte ños. 0 Ui

17 RESUELTAS E u estio se v celerr u cocierto. Si el primer í se vee e ls etrs, el seguo í el resto, y ú que 00 etrs e tquill, cuál es l cpci el estio? Compresió el eucio Vuelve leer tetmete el eucio y hz u esquem co los tos el prolem. Primer í Después el seguo í que por veer e ls etrs, o ie 00. Si llmmos x l cpci el 0 estio: 0 Ejecució el pl e resolució Despejmos el vlor e x. x x 000 Seguo í 00 Plificció e l resolució Costruimos l siguiete tl e tos. Revisió el resulto y el proceso seguio L cpci el estio es e 000 persos. Compromos el resulto completo l tl e tos. ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER Primer í Primer í Seguo í Seguo í Tres hermos se reprte u premio e 0. Si el primero recie e lo que recie el seguo; y el seguo, e lo que otiee el tercero, cuáto iero te- rá c hermo l fil?. Dos migs v comerse u pizz cuo u e ells ice: «Tomré l mit e l curt prte e lo que quee espués e que tú hys cogio tres curts prtes e l mit». Determi l frcció e pizz que cogerá c u e ese mometo. Qué frcció e l pizz querá pr más elte?. Etre ls prtes y ls prtes e u úmero existe u ifereci e. Cuál es ese úmero?. Si l sext prte e los e u úmero se greg los e sus y se sustre l tercer prte e sus, se otiee. Hll icho úmero. 0. Si pogo l primer cifr e u úmero e cutro cifrs e último lugr, otego u seguo úmero que es los el primero. Determi el úmero. Números rcioles

18 SÍNTESIS Frcció tiee ifiits Frccioes equivletes co eomior cie represet u Porcetje permite efiir puee expresrse como NÚMERO RACIONAL tmié se expres como Número eciml se utiliz sus Represettes pr relizr Opercioes U frcció es to expresió e l form eteros, sieo 0. Ls frccioes y c so equivletes si se cumple: c e l que y so úmeros U frcció es irreucile si el umeror y el eomior so úmeros primos etre sí. El cojuto formo por u frcció y tos sus equivletes es u úmero rciol. C u e ls frccioes que form u úmero rciol es u represette e icho úmero. L frcció irreucile e eomior positivo que es represette e u úmero rciol se llm represette cóico e icho úmero. Too úmero rciol puee expresrse meite el úmero eciml que result e iviir el umeror etre el eomior e uo culquier e sus represettes. Too úmero rciol es u úmero eciml limito, ilimito perióico puro o ilimito perióico mixto. Del mismo moo, too úmero eciml limito o ilimito y perióico es u úmero rciol. L frcció geertriz e u úmero eciml limito o ilimito y perióico es l frcció irreucile equivlete icho úmero eciml. Ui

19 Frccioes. Cómo se represet mtemáticmete u frcció? R Di qué iic los os térmios e u frcció.. De u fic e hectáres esemos oteer prcels e l mism extesió. Cuáts hectáres terá c prcel? Expres el resulto e form e frcció.. Escrie u frcció equivlete co eomior 0. R Puees hllr u frcció equivlete co eomior?. Simplific ls siguietes frccioes. R 0 0 ) ) c) ) 0 El cojuto e los úmeros rcioles. Rzo si l siguiete firmció es verer o fls: «Etre os úmeros rcioles istitos siempre existe otro úmero rciol».. Determi el represette cóico e estos úmeros rcioles. 0, 0,, 0, Por qué costumr utilizrse los represettes cóicos y o otros?. Puees hllr l frcció geertriz e u úmero eciml ilimito o perióico? Justific tu R respuest. 0. Ls frccioes y so represettes e u mismo úmero rciol? E cso firmtivo, etermi su represette cóico. Di si ls frccioes cosiers so equivletes. 0. Represet sore l rect uméric los úmeros rcioles R siguietes. 0,,, 0. Demuestr e tres mers istits que ls frccioes 0 y so equivletes. Escríelos oreos e myor meor.. Hll l expresió eciml e estos úmeros rcioles. R,,,,,. Ore e meor myor los siguietes úmeros:,;, ; ;, ;,, ;,.. Clsific estos úmeros ecimles e limitos o ilimitos:,;,...;,;,...; 0,...;,; 0,...; 0, De los úmeros ecimles ilimitos, i cuáles so perióicos puros y cuáles so perióicos mixtos.. Hll l expresió frcciori e los siguietes úmeros R ecimles:, ; 0, 0;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ; 0,. Opercioes co úmeros rcioles. Clcul: R ) ) c) :. Clcul metlmete:. Hll el opuesto y el iverso e los siguietes úmeros rcioles.. Expres e form e u sol poteci:,,, :,,,, ) c) ) ) : : Números rcioles

20 . Clcul: ) ) 0. Hll l frcció resultte. ) ) Us l clculor pr expresr los resultos e form eciml y compror que so correctos.. 0 : ) c) : ) ) Utiliz l clculor wiris, ispoile o lie, pr compror los resultos oteios.. Efectú ls siguietes opercioes utilizo frccioes geertrices. A ),, c),, ),, ) 0,, :,,. Clcul: A 0 ) 0, :, ) 0, : 0, ( ) ( ), :, 0, :,. E períoo e rejs u tie e rop plic u 0 % e escueto e toos sus rtículos Cuáto eeremos pgr por u ptló y u cmiset que tes cost y respectivmete?. Durte cuáto tiempo h esto eposito u cpitl e 00 l % si h proucio u iterés e 00? Prolems. U reloj trs e hor e u sem. Cuáto trsrá e cutro ís? Y e u mes?. U comercite vee los e u piez e tel. Al í siguiete, vee e piez por l mñ y por l tre. Determi l frcció e tel vei y l que le que por veer.. U epósito e gu que coteí e su cpci perió e su coteio. Más tre se ñió el totl, pero A perió l mit e l prte que coteí l pricipio. Qué prte el epósito queó lle? 0. U tre iici su tryecto co u grupo reucio e vijeros. E l segu estció el úmero e persos que sue es os quitos e ls que hí iicilmete. E l tercer j l tercer prte e los que hy e el tre. E l curt se pe persos, y que filmete vijeros e el tre. ) Cuáts persos hí l iicir el tryecto? ) Cuáts persos h utilizo este servicio?. U tgrm está formo por cico triágulos, u curo y u trpecio que puee coplrse e iferetes m- A ers pr costruir figurs geométrics istits.. E mrzo el precio e l gsoli er e cétimos e euro. E myo suió u %, e julio volvió suir u 0 % y e septiemre jó u %. Cuáto pgmos e septiemre si llemos el coche co 0 L e gsoli? Si ccees l pági u gráfic co l evolució e los precios e l gsoli e los últimos ) Qué frcció el tgrm represet c u e ls piezs que lo compoe? ) Qué frcció el tgrm está colore? Si ccees l pági mes_si g t_.html ecotrrás u tgrm iterctivo que puee yurte relizr l ctivi. Ui

21 Más foo. Hll l frcció irreucile equivlete y l expresió eciml e ests frccioes. Pr ser l expresió eciml que oteremos prtir e u úmero rciol, escompo e fctores primos los eomiores e ls frccioes irreuciles y complet l tl. FACTORES DEL DENOMINADOR...,... o mos. Limit Ni... i ,,,,, ,... o mos, juto otros.. Extre fctor comú e c u e ls expresioes siguietes. ) c) ) x x ). Expres e form e u úic poteci, si x 0: x x Clcul el vlor e l expresió si x. EXPRESIÓN DECIMAL Perióic pur Perióic mixt y y y ( ) ( ). Escrie l expresió frcciori e los siguietes úmeros ecimles: ) ) ) ) ) ),, 0,,,,,,,,,, ) 0, 0 0, 0, 0, 0 ) ),,,. Iic cuáles e ellos so puros y cules so mixtos.. Ore e meor myor ls siguietes frccioes:,,,,,, 0,.. Reliz ls siguietes opercioes uso úmero ecimles A y comproo el resulto luego co sus corres- poietes frccioes geertrices: ) ) ),, c) ) ),, ) ) ),, 0 ) ) ) 0, 0, x : : x x. Clcul: ) ),, 0 ) e),, c) : f). Sc fuer e l ríz el máximo e fctores posiles: 0 ) ) 00 ) e) 0 c) 0. Clcul y expres el resulto e l frcció irreucile que correspo: ) c) ) ) :. Clcul: ) c) ). Clcul: 0 : 0 ) ) ) 0, 0, c) ) ) ),, ) 0 :,, : :,, ),,, ) Números rcioles

22 INVESTIGA. E l vi cotii ls letes tiee multitu e Se utiliz e gfs y letes e cotcto pr corregir efectos visules, pero tmié e cámrs fotográfics, e telescopios o e microscopios pr oservr ojetos lejos o pequeños. respoe ls siguietes cuestioes: ) Escrie l efiició e ioptrí. ) Como es u lete cuys ioptrís so egtivs? y si so positivs? c) Escrie l relció que existe etre ls ioptrís y l istci focl. ) Cuáts ioptrís tiee u lete cuy istci focl es e m? Y si l istci focl es e cm? e) U lete e ioptrís qué istci focl tiee? Y e 0,0 ioptrís? U e ls uies que crcteriz ls letes so ls ioptrís, cuy mgitu epee fumetlmete e l geometrí e l lete. Co l yu e los siguietes elces: CA/optic_geometric.htm Al uir os letes elgs poemos oteer otr lete cuy istci focl es: f f f sieo f y f l istci focl e ls os letes elgs. f) Cuál será l istci focl e u lete form por u lete e istci focl m y otr e istci focl 0 cm? Cuáts ioptrís terá? EVALUACIÓN CB Elige l frcció equivlete. ) ) 0 c) 0 0 hst llegr u frcció irre- Simplific l frcció ucile. Ore e meor myor estos úmeros rcioles. Determi l frcció geertriz e los siguietes úmeros ecimles: ), ), c) 00, Clcul: 0 0,,, ) ) Expres el resulto e form eciml y e form e porcetje. 0 0 : CB CB Efectú: ) c) ) ) Clcul: : Co L e gu se h lleo ocho vsos igules. Cuál es l cpci e c vso? U pre ispoe e su testmeto que el hijo myor heree e lo que heree el meio y éste, e lo que reci el pequeño. Si l morir, el pre teí u cpitl e 0, cuáto iero hererá c hermo? Ui

23 CRÓNICA MATEMÁTICA Los hiúes iic ls frccioes escriieo el umeror sore el eomior. Los áres optro este sistem y le ñiero l rr horizotl. Así, se crero los símolos ctules. Metles preciosos L purez el oro se mie e quiltes. Cuo ecimos que u ojeto e oro tiee quiltes, sigific que e prtes el ojeto, so e oro. E cmio, pr l plt lo hitul es meir l purez e milésims. Cuo ecimos que u ojeto e plt es e 00 milésims, sigific que e 000 prtes el ojeto, 00 so e plt. Demuestr tu igeio Oserv co eteimieto est emostrció y ecuetr el fllo lógico que llev u cosecueci evietemete erróe. Se y os úmeros eteros que cumple:, es ecir, L últim igul puee trsformrse sucesivmete e ls siguietes: 0 0 ( ) ( ) Y si hor iviimos los os miemros por, que: Curos mágicos E u curo mágico tos ls fils, colums y igoles sum l mism cti. Complet el siguiete curo mágico. Coéctte l siguiete pági y mplí tus coocimietos sore curos mágicos. ~ figuer/curio so.html Números rcioles

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