Los modelos económicos tratan de describir teorías económicas basados en las interrelaciones existentes entre ciertas variables macoeconómicas.

Transcripción

1 MODELOS VAR Y VAR ESTRUCTURAL Los modelos económicos raan de describir eorías económicas basados en las inerrelaciones exisenes enre cieras variables macoeconómicas. Tales inerrelaciones suguieren cieros comporamienos regulares del pasado que afecan a las observaciones presenes*. Sin embargo, dado que el pasado no deermina compleamene el presene, se genera una pare no explicada, la cual esá asociada a un conjuno de: shocks esocásicos Los cuales juegan un papel imporane en relación a las diferenes eorías macroeconómicas *Véase, M. Haanaka, Time-Series based Economerics Uni Roos and Coinegraion, Advanced Tex in Economerics, 996.

2 En algunas ocasiones, las formas funcionales que gobiernan el conjuno de inerrelaciones no son deerminadas de manera específica por la eoría económica La economería adopa al modelo lineal de ecuaciones simuláneas () como méodo de aproximación β X + L+ ε { ε } E[ ε ] E [ ] ' ε ε Ω iid βx + βx () siendo { X },{ ε } procesos esocásicos vecoriales de orden k: observable y no observable. las marices de coeficienes: β,, L β reflejan los posulados de las diferenes eorías económicas sobre las inerrelaciones de las variables bajo esudio.

3 La economería esrucural, especialmene la modelación (), uvo un gran auge enre Bajo ese esquema, el rabajo eórico se concenró en el desarrollo de méodos de esimación que uviesen en cuena el sesgo de simulaneidad: El cual resula de la correlación enre: los érminos de error y algunas variables explicaivas El rabajo prácico giró en orno a la consrucción de grandes y complicados modelos económicos que consideraban un gran número de variables endógenas bajo el enfoque de la Comisión Cowles. Sims 98 muesra como para lograr la fase de idenificación en la aplicación del modelo de ecuaciones simuláneas se requiere de un conjuno de resricciones lineales o de exclusión no necesariamene soporadas por la eoría económica. / Charemza y Deadman, 997, New Direcions in Economeric Pracice. 3

4 Es de mencionar, que ales resricciones presuponen causalidades unidireccionales y definen como equivalenes a los concepos de causalidad y exogeneidad. Una de las mayores objeciones al modelo de ecuaciones simuláneas se desprende de la famosa críica de Lucas. Es decir, no hay razón para pensar que la esrucura de las relaciones económicas permanece invariane ane inervenciones de políica. Sims sugiere como modelo alernaivo el modelo VAR definido como: X + L+ AX + AX { e} iid Ee [ ] e () el cual se considera como un modelo de series de iempo de forma reducida, donde no se considera de manera explícia las relaciones conemporáneas enre las variables bajo análisis dado que odas ienen carácer endógeno.. El inerés inicial sobre la modelación VAR surge de la incapacidad de los economisas para reconocer la verdadera esrucura de la economía 4

5 En ese modelo se evia el problema del manejo de resricciones eóricas para la idenificación. Por consiguiene, ese modelo se conviere en la aníesis de la modelación bajo ecuaciones simuláneas donde el sopore es dado por una eoría económica paricular. Como lo presenan Darnell y Evans, el rabajo de Sims sobre modelación VAR se desarrolla en un momeno caracerizado por: () pronósicos inadecuados de los modelos macroeconómicos, basados en ecuaciones simuláneas, siguiendo la radición de la comisión Cowles. Hechos que Amisano y Giannini asocian con: (i) el colapso del Sisema Breon Woods y (ii) los shocks peroleros. () Gran desarrollo de los modelos de series de iempo. 5

6 Algunas críicas a la Modelación VAR Darnell y Evans (99) () La exigencia de un comporamieno esacionario en las variables puede conducir a ransformaciones que de acuerdo a Plosser y Schwer puden llevar a resulados erróneos () gran sensibilidad de los modelos ane la inclusión de nuevas variables al conjuno inicial de información. (3) el efeco de la selección de la longiud del rezago sobre el desempeño del pronósico (4) la fala de senido económico en el proceso de orogonalización de las innovaciones (5) la reordenación del sisema, mediane el esquema de riangulación inferior, llevada a cabo con el fin de aislar los efecos de las diferenes políicas o shocks aleaorios, presena problemas de inerpreación, ya que por una pare, en la concepción general del modelo VAR no se hace referencia alguna a ecuaciones de ipo esrucural, sin embargo, en el análisis de impulso respuesa ése parece ser un sisema de forma reducida derivado de uno esrucural. / Véase, Darnell y Evans (99), The Limis of Economerics. / Véase, Amisano y Giannini (997), Topics in Srucural VAR Economerics. 3/ Véase, Plosser y Schwer (978) 6

7 (6) Las funciones de impulso-respuesa y de descomposición de varianza que ilusran las caracerísicas dinámicas del modelo empírico son obenidas a ravés de una écnica mecánica que se enendió como no relacionada con la eoría económica. Sin embargo, ésa implica una esrucura económica paricular que en la mayoría de las ocasiones es difícil de reconciliar con la eoría económica. Conexión enre el VAR Esándar y los Sisemas de Ecuaciones Simuláneos La conexión enre el sisema de ecuaciones simuláneas y el modelo VAR esándar se iene algebraicamene, pueso que el modelo () puede obenerse a parir de () premuliplicando por B, así: A A M B B e B ε B B En la prácica, la esimación del sisema se lleva a cabo a ravés del VAR esándar (). Si la mariz B fuese conocida ano los parámeros del modelo esrucural () como como los shocks esrucurales ε podrían ser deerminados. (3) 7

8 Las diferenes críicas a la modelación VAR conduce al desarrollo del enfoque VAR esrucural. Técnica que permie al invesigador el uso de la eoría económica para ransformar el modelo VAR de forma reducida en un sisema de ecuaciones esrucurales () Los parámeros son esimados imponiendo resricciones esrucurales conemporáneas o de largo plazo. () El impulso-respuesa y la descomposición de varianza pueden ser inerpreados esrucuralmene. Una alernaiva de VAR Esrucural es el desarrollado por Shapiro y Wason (988), y Blanchard y Quah (989), donde se uilizan resricciones de largo plazo para idenificar la esrucura económica de la forma reducida. Tales modelos ienen caracerísicas de largo plazo que son consisenes con resricciones eóricas usadas para la idenificación de los parámeros. 8

9 SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS O SISTEMA PRIMITIVO En algunas ocasiones las formas funcionales que gobiernan el conjuno de inerrelaciones no son deerminadas de manera específica por la eoría económica. La economería adopa al modelo lineal de ecuaciones simuláneas B { ε} E[ ε ] E B ' [ ε ε ] Y iid BY + BY Ω No singular + L+ ε () 9

10 VAR ESTANDAR Modelo de forma reducida donde no se iene como propósio explicar la relación conemporánea enre las variables del sisema. Y W + Θ Y Θ Y + V p p () EV [ ] EV [ V ' ν ] EV [ V ' s] s θ... θ, i Mi,... Θ i... θ... θ M, i MMi, Vecor ruido blanco W, Θ, Θ,..., Θp y v [ θ, L, θ, L, θ, L ] ' Θm w θ m, m, mm, m, p, mm, p

11 Modelo Esrucural y Modelo de Forma Reducida Sisema bivariado: y z b b b b z y + γ + γ y y + γ + γ y z + ε + ε y z Perurbaciones ruido blanco No correlacionadas enre si Ω σ y σz Shocks esrucurales Esacionarias Sisema que incorpora feedback. y Si b ε iene un efeco conemporáneo indireco z sobre z. Igualmene, b ε iene un efeco conemporáneo indireco sobre y En forma maricial: b b y z b y b + z + γ γ ε z γ γ VAR esrucural o primiivo y ε B X Γ + Γ X - + ε z y ε ε Tal sisema no puede ser esimado ya que esá correlacionado con y y con z

12 A ravés de manejo algebráico maricial se iene: B BX B Γ + B Γ X + B ε X B Γ + B Γ X + B ε El VAR esándar: X A + A X + e y z a a a y e a + a a z + e e e e B ε B y ε z ε VAR esándar e ε y b ε b b z B bb b b e ε z b ε b b y

13 Propiedades esadísicas de e ye [ ] E[ e ], E e VARe ( ) σ y + b σ z ( b b ) [ ] E[ e e ], E e e, VARe ( ) σ z + b σ y ( b b ) [ ] Ee e ( b b ) σy σz + ( b b ) Se define su mariz de VAR-COV: ee VAR COV ( e ) COV( e e ) ( ee ) VAR( e ) 3

14 Sisema Primiivo o de Ecuaciones simuláneas VAR esándar A B B A B B e B M ε Relaciones conemporáneas implícias en la esrucura de la mariz de varianza-covarianza Es la forma primiiva idenificable dadas las esimaciones OLS del modelo VAR esándar? La respuesa es NO a menos de que se impongan resricciones adecuadas al sisema primiivo. La explicación se ve claramene al comparar el número de parámeros del VAR esrucural con el número de parámeros del esándar. 4

15 VAR esándar : { ( ) ( ) ( )} a a a a a a e e ee,,,,,, var, var,cov 9 parámeros VAR esrucural o primiivo: { b b b b },,,, γ, γ, γ, γ, σy, σz parámeros No es posible la idenificación VAR Esrucural Véase, W Enders, (995), Applied Economeric Time Series, Wiley. 5

16 Méodos para llevar a cabo la idenificación: Sisema recursivo Sims (98): b Si sobre el sisema primiivo () se supone que b B VAR esrucural : y b bb z b γ bγ γ bγ y y + ε z + γ γ b ε z εz La esimación OLS del sisema conduce a los parámeros esimados del siguiene VAR esándar: y a a a y e z a a a z e + + De esa forma se iene: a b b b a γ b γ 6

17 a a a a γ b b γ γ γ Dado que: e e ε b y var var ε z ( e ) ( e ) ε z σ + b σ y z σ z Se ienen 9 parámeros ano en el VAR esrucural como en el VAR esándar. Por consiguiene, los parámeros esrucurales pueden ser recuperados al igual que los shocks esrucurales: { ε } { ε } y, z cov ( e e ) b σ z Bajo ese esquema de resricción los dos shocks esrucurales afecan a y en ano que z an solo es afecada por ε z 7

18 Represenación MA* Todo VAR(P) iene una represenación MA. X A + A X + + A X + e p p L, e Represenación VAR ( ) A L X A + e donde A( L) ( I A A ) L p X i µ + Φe i i Represenación MA ( I A ) L p µ A A (, ) Φ I ; Φ AΦ i min pi j j i j Véase, H Lukepohl, (993), Inroducion o Muliple Time Series Analysis, Springer-Verlag 8

19 En general se puede llevar a cabo la siguiene ranformación, la cual evia ener correlación conemporánea enre los residuales del VAR: Dado que es definida posiiva P no singular / P e e p I X µ + ΦiP Pe i i X i µ + Cw ' [ ] E ww I i i Análisis de Impulso - Respuesa: X X M Cw Cw donde: w w o 9

20 Para el ejemplo ya analizado: y z a a a a a a y z e e + + y z a a a a e e y z i i i i + µ µ pero dado que: e e b b b b y z ε ε y z b b a a a a b b y z i i y z i i + µ µ ε ε

21 si definimos C i A i b b b b se iene: y z y µ µ + z i ( ) ( ) ( ) ( ) c i c i c i c i X µ + Ci ( ) i i Los ( ) Ci son uilizados para generar los efecos deε y y { y } y { z }. ε y i ε z ε i ε z sobre los pah de

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25 Modelo A: Lukepohl : Amisano y Giannini y Ay + L+ A p y p + e AR e + φe + φe MA ( L) y Ke KA Ke Ky ε (, Σ KΣ ' ) ε ~ K * * * Ay + L+ Aiy i + L+ Apy p e Una selección adecuada de producirá una mariz de covarianza diagonal K + ε donde A : KA * i i Represenación MA: Asociada a shocks esrucurales y θε + θε + θε +L donde θ j : φ j K Represenan la respuesa del sisema ane Shocks esrucurales Si una forma esrucural es idenificada, el Impulso-Respuesa será único 5

26 Ke E ε [ Kee ] [ ] ' K ' Eεε ' KΣ e K ' Σ ε Σε K e K Mariz diagonal ' Σ n( n ) Elemenos por encima de la diagonal iguales a cero Ecuaciones independienes Para resolver de forma única para n elemenos de K se necesian n ecuaciones n Son necesarios ( n+) resricciones adicionales Los elemenos sobre la diagonal de K n ( n+ ) n n ( n ) sobre K Resricciones adicionales sobrek 6

27 K k M M k n k n L L O L Cadena Causal de Wold El impulso-respuesa esá idenificado No necesariamene riangular Los ceros o resricciones pueden aparecer en cualquier pare de la mariz Si se iene exaca idenificación de los shocks I-R esará idenificado Un mayor número de resricciones pueden ser impuesas Tes de compaibilidad Si K es riangular inferior el impulso resulane θj es el mismo que el obenido a ravés de la descomposición de choleski Las resricciones sobre K deben ser adecuadas. Sisema * K ( K) dk R vec R K d K n( n+ ) Xn n( n+ ) X Mariz de selección Sujeas a: ' Σ K Σ K Vecor fijo e ε 7

28 Proposición 9. Lukepohl: Condición necesaria y suficiene para alcanzar idenificación local ( ) Dada Σ una mariz diagonal definida posiiva y una mariz no singular. ε n x n K ( n x n) Se iene que para una mariz simérica y definida posiiva e ( n x n) y una mariz R K r x n y un vecor fijo d K ( n x ) el sisema * iene una única solución para K y los elemenos de la diagonal si y solo si Σ ε Σ ( ) D rango + K + ( Σ K ) D ( K K ) R K e K C σ D K n + n ( n+ ) Donde n x n( n+ ) es una mariz de duplicación D K ( ) + D : K D ' K D K - D ' K C σ n ( n ) x n( n+ ) Mariz de selección de los elemenos de vech( Σ ε ) por debajo de la diagonal principal La solución global única se obiene si los elemenos de la diagonal son resringuidos a Demosración basada en Rohenberg (97) 8

29 Modelo B: Lukepohl : Amisano y Giannini 9

30 n ( n ) Resricciones adicionales sobre Las resricciones para la idenificación ' Sisema **: sujeo a CC Σ e c ( C) dc R vec ( C) dc R vec c Proposición 9. Lukepohl: ( ) ( ) Sea C n x n mariz no singular. Se iene que para una mariz simérica y definida posiiva Σ n n y una mariz R C ( r x n ) el sisema ** iene una única solución local si y solo si: e x D rango + K ( C I ) R C n n 3

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32 Proposición 9.3 Lukepohl: Sean marices no singulares. Enonces para una mariz simérica y definida posiiva, el sisema de ecuaciones (*) iene una solución única si y solo si: B A y n nx Σ e (*) ( ) ( ) rango n R R A B A D A D C K K e K Σ + + 3

33 Son sobre Σ e la idenificación y la esimación FIML de los parámeros de los modelos K, C, y AB se basa en el análisis de funciones de verosimiliud. En general Función de verosimiliud l T c T lnσ r ( Σ Σˆ ) donde ˆ Σ ˆVˆ T V ' Concenrada con respeco a Π Marix Differenial Calculus wih Applicaions in Saisics and Economerics, J. Magnus and H. Neudecker, Wiley,

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39 Ejemplo: Modelo AB Sean q i m : Produco :Tasa de inerés : Dinero real q i m e : Residuales del VAR de forma reducida ( e, e, e ) ' Modelo de Pagan (995) e e e q i m a e + b ε Curva IS a b 33 ε e i q m a 3 IS e m + b ε LM Regla de ofera monearia Curva inversa LM ε IS LM m ' ( ε, ε, ε ) ~ (, I ) 3 a a a 3 e b b ε b 33 39

40 Conjuno de resricciones en forma implícia: ( ) a a a a a a A vec K ( ) b b b b b b B vec C Son necesarias resricciones ( ) + n n n 3 n 4

41 Conjuno de resricciones en forma explícia: b b b b b b b b b a a a a a a a a a 4

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47 La condición de rango se cumple si el número de columnas de la mariz J son linealmene independienes. ( ) Ω w s d vec σ σ σ Ω S Ω w s d σ σ σ γ Ω s x n d n d n x Donde ( ) [ ] [ ] [ ] Ω + + Σ S B B D S B D J n B n ( ) ( ) Σ Σ vec vech D n ( ) ' ' n n n n D D D D

48 Modelo C Amisano y Giannini A L y e Dado el modelo VAR ( ) Sea C mariz ( nxn) inverible e ε C donde E( ε) E ' ( εε) In Generado por una combinación lineal de perurbaciones oronormales. e ε l C E [ ee ] [ ] ' ECε ε ' C ' T ( ) [ ] T ' C c logc r( C CΣˆ ) ' CICΣ n ' CCΣ e e Función de verosimiliud ' Σ e CC Σ e ' ' ( CC ) C C 48 4

49 La condición ' CC Σ e Impone un conjuno de resricciones no lineales sobre el espacio de parámeros Condiciones necesarias y suficienes para idenificación local Con el propósio de ganar idenificación, se supone que los parámeros conenidos en la mariz C saisface el siguiene conjuno de resricciones no lineales, independienes y no conradicorias: rxn Rango fila compleo Esimación F.I.M.L. R vecc d vec C S + s rx γ n xl Rango columna compleo l n r n RS x [ ] Rs d vec C Sγ + s Uilizando la regla de la cadena se encuenra el vecor score del vecor de elemenos libres de γ rxl rx f ' ' ( γ) f ( vecc)s 49 4

50 Condiciones de primer orden para la maximización de la función de verosimiliiud respeco a γ f ' ' ( γ) f ( vecc) S [ ] xl ' ( γ) S f( vecc) [ ] lx f En fila En columna [ ] [ ] ' Dada la mariz de información IT( γ) E f( γ) f ( γ) ' ' S f( vec( C) ) f ( vec( C) ) S I T [ ]S ' ( γ) S I ( vecc) T Uilizando dicha mariz de información I T γ y el vecor Score f( γ) el algorimo score para enconrar un esimador F.I.M.L. de γ ( ) se puede implemenar γ γ [ I ( γ )] f( γ ) n+ n+ ~ γ T n n C ~ vec C ~ S ~ γ + s

51 Condición de orden n( n ) resricciones Necesaria pero no sufuciene Condición de rango Si suponemos que la mariz es inverible, el verdadero vecor vecc * es localmene Idenificado si y solo si: el sisema ( I C) D ~ x [ ] con la mariz una única solución admisible en x C ( ) La mariz RI C D ~ evaluada en * iene rango columna ~ D n : n x n x : nx( n ) / ( ) n n C ( n ) ( n ) / rango columna compleo vecor de elemenos libres R n R( I ) n [ ] C D ~ evaluada en C * iene Permien alcanzar un modelo idenificado o sobre-idenificado Tes validación de las resricciones ( L( Σˆ ) L( Σ ~ )) LR ~ χ ( m) m Número de resricciones de sobre idenificación 5

52 Caso Triangular Esa meodología invesiga los efecos dinámicos de perurbaciones o shocks de nauraleza dicóoma sobre un sisema bivariado esacionario bajo el supueso de que: el shock ε METOLOGIA DE BLANCHARD Y QUAH (989): RESTRICCIONES DE LARGO PLAZO no iene efeco de largo plazo sobre el nivel de la variable y en ano que el shock ε si afeca al nivel en el largo plazo. Así, se pare del siguiene sisema bivariado esacionario: X y z ε ε El primer paso consise en esimar un modelo VAR esándar adecuado sobre el sisema bivariado ε X A X + + A X + e L P p Σ e mariz de varianza-covarianza W. Enders, 995. Applied Economeric Time Series, Wiley. 5

53 Dado que el sisema es esacionario, bajo el eorema de descomposición de Wold, se iene la siguiene represenación VMA: X Φ e + Φ e + Φ e + L donde Φ I Igualmene, el sisema puede ser planeado a ravés de shocks esrucurales : X C ε + C ε + C ε + L y z c c c c c c + ε ε c c ε ε + L c k ε no iene efecos sobre el nivel de y k c k es el efeco de ε sobre y k períodos adelane 53

54 de al forma que se puede presenar a ravés de las siguienes ecuaciones: k k y c ε k + c ε k k k k z cε + cε k k k k k donde las perurbaciones ε y ε son independienes y ruido blanco Ω 54

55 De las ecuaciones aneriores se iene: ( ) ( ) Φ L e C L ε Suponiendo que C o es no singular puede ser reescria como sigue: ( ) ( ) Φ L e C L C Cε de donde se deriva: ( ) ( ) Φ L C LC e C ε 55

56 Es decir: e e c c ε c c ε Mariz C del Modelo C De donde se generan las siguienes 3 ecuaciones: V ar e V ar C ov ( ) ( c) + ( c) ( e) ( c) + ( c) ( e e ) + c c c c La resricción adicional se deriva del hecho de que ε no iene efecos de largo plazo sobre y, es decir que: k c k ε k 56

57 ( ) ( ) ( ) ( ) + e e z y L A L A L A L A z y ( ) e LX L A X + ( ) [ ] X e L L A I ( ) [ ] e L L A I X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k e e L k a L k a L k a L k a D e e L L A L L A L L A L L A D z y D :deerminane 57

58 Así: ( ) a( k) k+ k+ {[ L ] e + [ a ( k) L ] e } D y ε No iene efecos de largo plazo sobre y k+ { [ L ] c ε } k+ [ a ( k) L ] cε + a( k) Cuara resricción: k+ [ a ( k) L ] c+ a( k) k+ [ L ] c 58

59 V ar e V ar C ov ( ) ( c) + ( c) ( e) ( c) + ( c) ( e e ) + c c c c k+ [ a ( k) L ] c+ a( k) k+ [ L ] c Sisema no lineal 4 ecuaciones y 4 incógnias La solución del sisema de ecuaciones no lineales conformado permie deerminar 4 posibles soluciones para C o. La selección específica de C o se deriva del análisis de impulso-respuesa. Una vez deerminada C o se pueden consruir las marices C i i,,... y recuperarsen los shocks esrucurales. Análisis de impulso respuesa Descomposición de varianza 59

60 Z Blanchard y Quah (989)* invesigan los efecos dinámicos de largo plazo de shocks de ofera y de demanda en un sisema bivariado: X X PIB Tasa de desempleo εs ε εd No iene efecos de largo plazo sobre el produco real Sisema Esacionario Shocks esrucurales Represenacion MA asociada al modelo esrucural: Z Γε +Γε E + LΓ [ ] ' εε I ( L) ε *Blanchard, O and D, Quah, (989) The Dynamics Effecs of Aggregae Demand and Supply Disurbances, American Economic Review 79. 6

61 Represenación VAR esándar Z p i Φ i i + e [ ] ' e Ee Z e Esacionario Teorema de Descomposición de Wold Represenación VMA Z + L e + Ce + Ce C ( L) e Relación enre los shocks esrucurales y las innovaciones de la forma reducida: C ( L) e Γ( L) ε 6

62 e Γ ε C ( L) Γ( L) Γ Relación enre la mariz de efecos de largo plazo de los residuales de la forma reducida y la mariz equivalene de los shocks esrucurales: Γ Γ ( ) C( ) Γ C( ) Γ( ) Mariz de varianza-covarianza de la forma reducida: ' Γ Γ e Sisema de 3 ecuaciones y 4 incógnias 6

63 La idenificación de Γ requiere de la imposición de una resricción adicional La descomposición de Blanchard-Quah consise en la imposición de resricciones sobre la mariz de efecos de largo plazo de los shocks esrucurales Γ Resricciones de neuralidad de largo plazo ( ) F ( ) Σ ( ) ' C C e C ( ) ( I Φ L Φ ) 3 P F ΓΓ ( ) ( ) ' 63

64 donde ( ) Γ Γ j j Γ Γ Γ Γ Γ,,,, j j j j j Por consiguiene puede ser definido como: ( ) Γ ( ) Γ Γ Γ Γ Γ k k k k k k k k j j j j j j j j X lim X lim X lim X lim,,,,,,,, ε ε ε ε La resricción de neuralidad de largo plazo, k k X lim ε 64

65 Por consiguiene Γ( ) es de la forma: Γ ( ) j j Γ Γ j, j, j Γ j, Γ( ) Puede ser esimada mediane la descomposición de Choleski Triangular inferior 65

66 Caso no riangular Recen behavior of oupu, unemploymen, wages and prices in Colombia: wha wen wrong? L. E. Arango, A.M. Iregui y L.F. Melo 66

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