Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 7: Resonancia

Transcripción

1 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Ínice e temas e la nia oncepto e resonancia esonancia en circuitos serie esonancia serie por variación e inuctancia ( ) esonancia serie por variación e capacia ( ) esonancia serie por variación e frecuencia ( f ) esonancia en circuitos paralelo Multiresonancia Dualia oncepto e resonancia Dao un circuito serie,, se ice que está en resonancia cuano, por moificación e algún parámetro, se logra la iguala :, conición para la cual la impeancia el circuito quea reucia al valor e la resistencia,. Puee ecirse también que ao un circuito paralelo,, el mismo está en resonancia cuano, por moificación e algún parámetro, se logra la iguala : B B, conición para la cual la amitancia el circuito quea reucia al valor e la conuctancia, G. En base a las efiniciones aas el concepto e resonancia quea claro que en too circuito resonante sólo hay flujo e energía activa entre la fuente e alimentación y el circuito, cancelánose too intercambio e energía reactiva entre la fuente y los elementos y el circuito.el factor e potencia e too circuito resonante es igual a la unia Hoja e 8

2 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia esonancia en circuitos serie a impeancia e un circuito serie,, viene aa por : j Para lograr resonancia se ebe verificar que :, iguala que puee obtenerse moificano, o esonancia serie por variación e inuctancia ( ) Definimos como inuctancia resonante,, al valor ao por : Sieno, el valor eficaz e la tensión alterna senoial e frecuencia f / Л, e la fuente que alimenta al circuito serie, el valor eficaz e la intensia e corriente viene ao por : one En la Figura se ha representao la variación ela intensia e corriente en función el valor e inuctancia Puee observarse que en un entorno e valores próimo a la inuctancia e resonancia (,8, ) la intensia e corriente el circuito se eleva consierablemente.uanto menor sea la relación /, mayor será el pico o valor máimo e intensia e corriente en resonancia. Figura orriente en función e Hoja e 8

3 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Hoja e 8 Por otra parte, el factor e potencia el circuito es negativo ( capacitivo ) para too valor e inuctancia menor al e resonancia, y positivo ( inuctivo ) para toa inuctancia mayor a.el ángulo e fase e la intensia e corriente para la conición vale φ arc tg ( / ) y para la conición >> tiene a Л / [ ra ]. a tensión en la resistencia y en la capacia variará e igual forma que la intensia e corriente.a tensión sobre ambos elementos será máima cuano la inuctancia posea el valor e resonancia.,ma ma, a tensión máima sobre la resistencia es igual a la e la fuente e alimentación, mientras que la sobretensión en el capacitor es proporcional a la relación /, lo que puee ocasionar picos e tensión en resonancia e hasta veces el valor e la tensión e alimentación (, ) a tensión en la inuctancia, venrá aa por : one uano la tensión en la inuctancia es máima ebe verificarse que : one e Puesto que tanto, como y el valor,no pueen ser cero, la tensión en la inuctancia será máima cuano : Desarrollano el término, obtenemos : e one : a tensión en la inuctancia será máima cuano el valor e sea igual a ma, ao por : ma

4 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Por consiguiente la máima tensión en la inuctancia se alcanza para un valor mayor a la inuctancia e resonancia y su valor viene ao por :,ma ( ) ( ) one y reemplazano en la epresión e la tensión máima en la inuctancia, obtenemos :, ma válio para a tensión máima en la inuctancia es ligeramente mayor que en la capacia y a meia que isminuye la resistencia tiene a igualarse a ésta.. En consecuencia la sobretensión en la inuctancia será el mismo oren e magnitu que la sobretensión en la capacia en circuitos e pequeña resistencia, ao que múltiplo el valor e la tensión e alimentación es inversamente proporcional al valor e la resistencia el circuito.en otras palabras, a menor resistencia mayor sobretensión en los elementos reactivos esonancia serie por variación e capacia ( ) Definimos como inuctancia resonante,, al valor ao por : a intensia e corriente varía en forma similar al caso e resonancia por variación e inuctancia presentano un incremento en el entorno (,8, ).El valor máimo e la intensia e corriente epene el valor e la resistencia sieno mayor cuanto menor sea ésta.el factor e potencia el circuito para too valor e capacia menor a es negativo ( circuito capacitivo ) y positivo ( circuito inuctivo ) para too valor e capacia mayor a.el ángulo e fase e la intensia e corriente para la conición tiene a Л / [ ra ] y para la conición >> tiene al valor ao por φ - arc tg ( / ). a tensión en la resistencia y en la capacia variará e igual forma que la intensia e corriente.a tensión sobre ambos elementos será máima cuano la capacia posea el valor e resonancia.,ma, ma a tensión máima sobre la resistencia es igual a la e la fuente e alimentación, mientras que la sobretensión en la inuctancia es proporcional a la relación / lo que puee ocasionar picos e tensión en resonancia e hasta veces el valor e la tensión e alimentación (, ) Hoja e 8

5 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Hoja 5 e 8 a tensión en la inuctancia, venrá aa por : one uano la tensión en la capacia es máima ebe verificarse que : one e Puesto que tanto, como y el valor no pueen ser cero, la tensión en la capacia será máima cuano : Desarrollano el término, obtenemos : ( ) a tensión en la capacia será máima cuano se verifique : ma omparano la epresión e ma con el valor e capacia para el que el circuito serie está en resonancia,, surge que la tensión máima en la capacia se prouce antes e alcanzar la resonancia.dicha tensión máima venrá aa por :,ma e one, en forma aproimaa poemos establecer que la máima tensión en la capacia resulta igual a : ma, para válio

6 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia a tensión máima en la capacia es ligeramente mayor que en la inuctancia y a meia que isminuye la resistencia tiene a igualarse a ésta.en consecuencia la sobretensión en la capacia será el mismo oren e magnitu que la sobretensión en la inuctancia en circuitos e pequeña resistencia esonancia serie por variación e frecuencia ( f ) a frecuencia para la que resulta nulo el componente reactivo e un circuito serie y pone al mismo en conición e resonancia viene aa por : e one f π a epresión e cálculo e la frecuencia e resonancia, f, se enomina fórmula e Thompson. a intensia e corriente varía e forma similar a los casos e resonancia por variación e inuctancia o e capacia, sieno mayor el pico a la frecuencia e resonancia cuanto menor la resistencia,, tal como puee apreciarse en el siguiente gráfico : El factor e potencia resulta en atraso para frecuencias menores a la e resonancia y en aelanto para frecuencias mayores a f.el ángulo e fase e la intensia e corriente tiene a Л / [ ra ] para frecuencia teniente a cero y a - Л / [ ra ] para frecuencias mucho mayores que la e resonancia.en la siguiente figura se muestra la variación e impeancia el circuito serie,, en función e la frecuencia : Hoja 6 e 8

7 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Hoja 7 e 8 uano el circuito serie está a frecuencia e resonancia, sobre la resistencia quea aplicaa la tensión e alimentación.os elementos reactivos, por otra parte, quean sometios a sobretensiones el mismo valor que tienen lugar a iferentes frecuencias para la inuctancia y para la capacia, frecuencias que aemás no son iguales a la frecuencia e resonancia. En el caso e la inuctancia, la tensión será máima cuano : one : one Puesto que ni, ni, ni, pueen tomar valor cero, para que se verifique ebe cumplirse en consecuencia : 5 operano obtenemos : one e a frecuencia para la que se prouce el pico e tensión en la inuctancia vale :,ma f π a sobretensión máima en la inuctancia tiene lugar a una frecuencia mayor que la frecuencia e resonancia el circuito serie. En el caso e la capacia, la tensión será máima cuano : one : one

8 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Puesto que ni, ni, ni, pueen tomar valor cero, para que se verifique en consecuencia : ebe cumplirse operano obtenemos : e one a frecuencia para la que se prouce el pico e tensión en la capacia vale : f,ma π a sobretensión máima en la capacia tiene lugar a una frecuencia menor que la frecuencia e resonancia el circuito serie. a máima tensión en la inuctancia viene aa por :,ma,ma one,ma,ma,ma,ma,ma reemplazano,ma obtenemos :,ma,ma one es mucho mayor que y, en consecuencia :, ma Q one Q El factor Q se enomina factor e mérito o e calia el circuito serie resonante por frecuencia. Hoja 8 e 8

9 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia a tensión máima sobre la capacia viene aa por :,ma,ma,ma,ma,ma,ma,ma,ma porque es mucho mayor que aplicano la efinición e factor e mérito Q, obtenemos :, ma Q Vale ecir que cuano la resonancia en el circuito serie se obtiene por variación e frecuencia, sieno la resistencia pequeña en comparación con el cociente /, la sobretensión en el capacitor y en la inuctancia es e igual valor y viene aa por el proucto el factor e mérito el circuito multiplicao por el valor eficaz e la tensión e alimentación. Tenieno en cuenta la epresión el factor e mérito, Q y la fórmula e Thompson, Q Q ma ma Q P vale ecir que el factor e mérito o e calia, es igual al cociente e la potencia reactiva en resonancia en la inuctancia ( o máima energía almacenaa por ciclo ) iviia por la potencia activa en resonancia isipaa en la resistencia ( o máima energía isipaa por ciclo ). En los circuitos serie reales, la resistencia el capacitor es prácticamente espreciable y toa la potencia activa el circuito se isipa en la resistencia el inuctor.por tal motivo, el factor e mérito es una característica constructiva propia e los inuctores. os circuitos serie se utilizan ampliamente en raiocomunicaciones como selectores e frecuencia y para tal aplicación interesa que el circuito opere en una bana estrecha e frecuencias.vale ecir que, la corriente el circuito se eleve por resonancia entro e una bana estrecha e valores e frecuencia.esto recibe el nombre e sintonización., ma Hoja 9 e 8

10 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia os límites e frecuencia entre los cuales el circuito serie ebe entrar en resonancia se fijan por convención en los puntos e potencia mita ( valores e frecuencia en los que la potencia activa es igual a la mita el valor en resonancia ). a mita e la potencia activa, P,5, respecto el valor en resonancia viene aa por : P,5,5 e one :,5, 77 as frecuencias para las que el circuito serie esarrolla la mita e la potencia activa, enominaas y se calculan resolvieno la siguiente ecuación :,5P,, que poemos reescribir e la siguiente manera elevano ambos miembros al cuarao :, e one,,, ± ± orenano términos obtenemos :,, ecuación e la forma a b c cuya solución es :, b b ac ±, por lo tanto : a a ± ± ±, para los valores usuales e, y empleaos en los circuitos serie resonantes se cumple que : por lo que las frecuencias corresponientes a los puntos e potencia mita vienen aas por : Hoja e 8

11 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia os signos e las epresiones e y surgen e la conición que la frecuencia ebe, por efinición, ser siempre un valor positivo. a iferencia entre las frecuencias corresponientes a los puntos e potencia mita se enomina ancho e bana y resulta igual a : Tenieno en cuenta la epresión el factor e mérito : se euce que : Q Q f y, en consecuencia el ancho e bana viene ao por : o bien f.por otra parte, las Q Q frecuencias para los puntos e potencia mita pueen epresarse como : f f f f Q Q En consecuencia, el factor e mérito efinio como Q ( )/, es el parámetro básico para el iseño e circuitos serie a emplear como selectores e frecuencia esonancia en circuitos paralelo El circuito paralelo formao por tres ramas que contiene caa una un elemento (, ó ) es sólo teórico ya que no es posible construir un inuctor real con resistencia nula.por tal motivo nos limitaremos a señalar algunas e sus características comparánolas con el circuito serie. a amitancia e un circuito paralelo e tres ramas viene aa por : Y j a conición e resonancia se obtiene cuano la parte imaginaria e la amitancia es nula, lo que puee lograrse variano, o e forma tal que : Sieno el valor eficaz e la tensión e la fuente e alimentación, cuano el circuito está en resonancia la intensia e corriente viene aa por el cociente / tal como en el caso el circuito serie. Hoja e 8

12 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Pero, en el circuito paralelo la intensia e corriente en resonancia es el menor valor e corriente con el que opera el circuito puesto que, cuano no hay resonancia a la intensia e corriente e la rama se le suma en cuaratura la intensia e corriente resultante e las ramas y, resultano una mayor intensia e corriente total.en la siguiente figura se muestra la variación e intensia e corriente en función e la frecuencia para el circuito paralelo : Otra iferencia importante consiste en que la tensión sobre caa uno e los elementos está impuesta por la fuente y, en consecuencia, no se proucen sobretensiones en los elementos y. En la rama se verifica que a bajos valores e frecuencia o e inuctancia ( según sea el parámetro que se varíe para obtener la resonancia ) la intensia e corriente es elevaa y isminuye a meia que aumenta la frecuencia o la inuctancia según una hipérbola equilátera. En la rama, en cambio, la corriente varía linealmente con la frecuencia o la capacia ( según sea el parámetro que se varíe para obtener resonancia ) aumentano a meia que crece el parámetro consierao. esumieno, la corriente en la rama es constante, la corriente en la rama es mucho mayor que la e la rama para valores e inuctancia o e frecuencia bastante menores a los e resonancia y la corriente en la rama es muy pequeña respecto a la e la rama para valores e capacia o e frecuencia bastante menores a los e resonancia.en resonancia, las intensiaes e corriente en las ramas y se igualan y son mayores que la e la rama. El circuito paralelo que es posible realizar en la práctica consta e os ramas sieno una e ellas inuctiva y e impeancia j y la otra capacitiva, e impeancia c j y recibe el nombre e circuito tanque,aluieno al hecho que en resonancia la fuente sólo entrega potencia activa y la energía reactiva recibia antes e la resonancia quea almacenaa en los elementos y intercambiánose entre los mismos. a epresión e la amitancia e un circuito paralelo e os ramas e impeancias y viene aa por : Y j j j ( ) j Hoja e 8

13 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Hoja e 8 cuya parte real viene aa por : ( ) ( ) e Y y cuya parte imaginaria viene aa por : m Y a resonancia se prouce cuano m Y, lo que puee lograrse variano uno cualquiera e los siguientes parámetros :.- resistencia e la rama inuctiva,.- resistencia e la rama capacitiva,.- inuctancia.- capacia.- frecuencia angular, m Y que puee reescribirse como : Dese el punto e vista e la electrotecnia interesa analizar la resonancia obtenia por variación e capacia, ya que usualmente se mejora el factor e potencia e los circuitos muy inuctivos agregano una rama capacitiva en paralelo.a compensación serie el factor e potencia no se emplea ebio a que se manifiestan sobreintensiaes e corriente y sobretensiones perjuiciales. Orenano los términos e la ecuación que resulta e consierar nula la parte imaginaria e la amitancia el circuito paralelo, obtenemos : ( ) ecuación e la forma c b a cuya solución es : ( ), ± la conición para que puea proucirse resonancia es : ( ), ao que si la cantia encerraa por el operaor raíz cuaraa es negativa, no eiste una solución real.

14 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Si se cumple la iguala entre ambos términos eistirá un único valor e capacia para el que se prouce resonancia; si el término e la izquiera es mayor que el e la erecha, se tenrán os valores e capacia que proucen resonancia e los cuales se eberá emplear siempre el menor porque e ésa manera se minimiza la corriente en la rama reactiva. En efecto, la intensia e corriente en la rama capacitiva,, viene aa por : a menor valor e, mayor será el enominaor y como constante, resulta una menor. onsieremos el siguiente ejemplo : un circuito paralelo e os ramas tiene en una e ellas una resistencia e 6,5 [ Ω ] en serie con una inuctancia e, [ mh ].En la otra rama se halla una resistencia e,5 [ Ω ] en serie con un capacitor e valor variable.os valores e la capacia que proucen resonancia en el circuito cuano se lo alimenta con una fuente e tensión alterna senoial e valor eficaz constante igual a [ V ] y frecuencia igual a 5 [ Hz ], vienen aos por :, ( ) ± reemplazano valores obtenemos :, 6,5 [ ] (,6,,5 ) (,6, ) ± 6,5 (,6, ),6,,5,5 ±, 57,8,5 ± 99,76, 67, µ 9, 9, Empleano el valor, resulta una intensia e corriente en la rama capacitiva e :,5,6 67, [ mf],8 [ F] [ A ] Empleano el valor, resulta una intensia e corriente en la rama capacitiva e : 7,5 6,6,8 [ A ] Hoja e 8

15 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Por otra parte, la intensia e corriente en la rama inuctiva vale : 6,5 (,6, ) De one quea claro que el menor valor e capacia evita que la rama capacitiva presente una importante sobrecorriente.a intensia e corriente entregaa por la fuente estano el circuito en resonancia obtenia con la capacia e valor, vale : [ A ] e Y ( ) ( ) reemplazano valores obtenemos : 6,5,5,65 6,5 6 (,6,8 ) [ 6,5 (,6, ) ] 6,5,5,5,5 7,6,5 8,9 68,8 5,5 7, 7,6 (,6, ) 6 (,6,8 ) [ A ] El valor obtenio puee verificarse hallano la suma e las intensiaes e corriente e las ramas inuctiva y capacitiva, vale ecir : ϕ arctg ϕ arctg los argumentos e las intensiaes e corriente en las ramas inuctiva y capacitiva valen : ϕ,6, arctg 6,5 9º,5,6,5,8 ϕ arctg 6 87º,8 la intensia e corriente suministraa por la fuente, valrá : e j 9º,5 7 e j 87º,8,9 j6,7,65 j6,98 5 [ A ] as componentes imaginarias e las corrientes e las ramas inuctiva y capacitiva resultan prácticamente el mismo valor por lo que la intensia e corriente suministraa por la fuente está en fase con la tensión e ésta y toma un valor e 5 [ A ] Hoja 5 e 8

16 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Hoja 6 e Multiresonancia Dao un circuito formao por os ramas en paralelo e impeancias j y j c para que icho circuito sea resonante se ebe verificar ( ver ) que : m Y Si toos los elementos e circuito tienen un valor eterminao, la resonancia sólo se porá lograr por variación e la frecuencia angular,.multiplicano ambos miembros e la iguala anterior por, obtenemos : reorenano términos, resulta : a frecuencia e resonancia,, venrá aa por : Si las resistencias y son iguales al cociente, la frecuencia e resonancia,, resulta : o que significa que el valor e la frecuencia angular e resonancia,, es ineterminao.en otras palabras, el circuito es resonante cualquiera sea el valor e la frecuencia e ecitación.este tipo e circuito se enomina multiresonante

17 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia Dualia El principio e ualia amite varias interpretaciones según su campo e aplicación.dese el punto e vista el análisis e circuitos eléctricos poemos ecir que aa una cierta relación entre parámetros eléctricos e una forma cualquiera, cuano ichos parámetros son reemplazaos por sus uales, la relación se conserva inalteraa ( tanto física como matemáticamente ). os parámetros eléctricos uales son, básicamente : tensión - intensia e corriente impeancia amitancia resistencia conuctancia inuctancia - capacia reactancia suceptancia Si consieramos la epresión general el teorema e Thévenin, aa por : Th Th E eemplazano en la epresión anterior toos los parámetros por sus uales, obtenemos : N Y N que es la epresión el Teorema e Norton.Obsérvese que la relación entre parámetros no se moifica al reemplazarlos por sus uales ( término a término ). El teorema e Thévenin epresa la relación entre parámetros eléctricos pertenecientes a un lazo simple ( o malla ), mientras que el teorema e Norton relaciona parámetros eléctricos corresponientes a un noo.dese ése punto e vista se puee afirmar que los elementos malla y noo son uales. En efecto, aa una re múltiple cualquiera tal que su número e ramas e enlace sea igual al número e ramas e árbol, sabemos que el número e ecuaciones e intensiaes e corriente e malla necesario para resolver icha re es igual al número e ecuaciones e tensiones e noo.a epresión general e la solución e la re por el métoo e intensiaes e corriente e malla es la siguiente : i z i, j i eemplazano los parámetros e la ecuación anterior por sus uales, resulta i que es la epresión e la solución e la re por el métoo e tensiones e noo.nuevamente se pone e manifiesto la ualia noo malla. y i, j i Hoja 7 e 8

18 ontrol Eléctrico y Accionamientos Teoría e ircuitos nia 7: esonancia El principio e ualia se puee así etener a objetos e circuitos eléctricos más complejos resultano las siguientes ualiaes : coneión serie - coneión paralelo coneión estrella - coneión triángulo El principio e ualia eléctrica permite obtener fácilmente la relación entre un ao grupo e parámetros conocia la relación entre sus uales. Sea, por ejemplo, la relación entre la tensión en bornes, u, e una inuctancia,, al ser recorria por una intensia e corriente, i : u i t eemplazano término a término los parámetros u,, i por sus uales i,, u, obtenemos : i u t que es la epresión e la intensia e corriente, i, que recorre una capacia cuano se le aplica una tensión, u. Veamos otro ejemplo.sean os impeancias, y, conectaas en paralelo.a impeancia equivalente,, viene aa por :, si reemplazamos las impeancias por sus uales, resulta : Y, Y Y Y Y epresión que permite calcular la amitancia equivalente, Y,, e os amitancias, Y y Y, conectaas en serie. Hoja 8 e 8