Comparar fracciones y decimales. 4to. Grado Universidad de La Punta

Transcripción

1 Comparar fracciones y decimales to. Grado Universidad de La Punta

2 CONSIDERACIONES GENERALES La siguiente secuencia didáctica de comparación de expresiones fraccionarias y/o decimales incluye juegos colectivos que, a la vez que aportan problemas en otro contexto, favorecen la memorización de ciertos resultados y la disponibilidad de estrategias que serán útiles para abordar en situaciones descontextualizadas. Después de jugar, se vuelve sobre el trabajo de comparación de fracciones o decimales descontextualizado, ya que es posible que los alumnos se apoyen en lo realizado para proponer estrategias de resolución o justificar la veracidad de las comparaciones realizadas. Este trabajo promoverá que las estrategias de comparación se vuelvan cada vez más disponibles, o sea ya no se discutan, sino que son aceptadas como válidas y seguras. En las discusiones acerca de las comparaciones entre fracciones, es frecuente que los alumnos utilicen expresiones como el de arriba es menor que el de abajo. Esta es una buena ocasión para identificar los componentes de la escritura fraccionaria (numerador y denominador), pues en la enunciación de esas generalizaciones se torna necesario hablar de ellos. Por ejemplo: Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es más grande la que tiene numerador mayor. Si las fracciones tienen igual numerador, me fijo en el denominador. También es importante que los alumnos reflexionen acerca de las relaciones que es posible establecer entre los decimales cuando se comparan, y al hacerlo designar los elementos (parte entera, parte decimal) de una escritura con coma. En tal sentido, algunas conclusiones podrían ser: No siempre el número que tiene más cifras es el mayor. Si hay que comparar dos decimales de distinta parte entera es mayor el de mayor parte entera. Si tengo que comparar dos decimales de igual parte entera, me fijo en el número que está después de la coma, que es el que manda. Es muy importante que las conclusiones se registren haciendo anotaciones en los cuadernos y en carteleras o láminas. Así, los nombres cobran sentido para mejorar la comunicación y permiten volver sobre denominaciones que son, en general, poco significativas cuando se presentan junto a las primeras aproximaciones a la escritura fraccionaria. Eligiendo adecuadamente los números puestos en juego y discutiendo los argumentos usados en la comparación, pueden establecerse criterios generales que se podrán aceptar como válidos y que no será necesario justificar en futuras comparaciones. Para que los alumnos puedan establecer algunas generalizaciones, necesitamos intervenir específicamente en ese sentido. En algún caso, podemos plantear nuevos ejemplos para ver si los alumnos usan espontáneamente los mismos 2

3 argumentos, en otros podremos plantear que exploren varios casos similares o que analicen un contraejemplo. Es importante que los alumnos realicen las comparaciones usando como recurso la representación grafica. No se pretende que el alumno incorpore una serie de algoritmos para comparar fracciones, lo que se intenta es que construya sus propios algoritmos usando sumas conocidas, fracciones equivalentes, expresiones gráficas y así ir aproximándolo a los algoritmos convencionales. Por último debemos tener en cuenta que a veces aparecen dificultades para establecer el orden total, porque los alumnos van tomando parejas de fracciones o decimales y escribiendo lo que resulta de esa comparación parcial. 3

4 ÍNDICE DE LA PROPUESTA Actividad 1: Representando gráficamente. Representar gráficamente fracciones dividiendo el entero distintas maneras. Actividad 2: Cuál es mayor? Comparar fracciones utilizando representaciones gráficas. Actividad 3: Gana el Mayor. Comparar fracciones a través de un juego de cartas para luego establecer relaciones de orden entre fracciones. Actividad : Para Analizar. Comparar números decimales utilizando el dinero (en estos casos precios de productos) como herramienta de contextualización. Actividad : Gana el Menor. Comparar números decimales a través de un juego de cartas para luego establecer relaciones de orden entre decimales. Actividad 6: Casita robada. Comparar fracciones y decimales a través de un juego de cartas para luego establecer relaciones de orden entre dichos números.

5 Actividad 1: Distintas representaciones, un mismo número. MATERIALES Cada grupo dispone de cuadrados iguales de 10 cm x 10 cm (también se puede utilizar papeles glasé). ORGANIZACIÓN En grupos de 2 alumnos. DESARROLLO Nota: 1 Cada integrante del grupo tomá un cuadrados y lo dobla por la mitad, de tal manera que te queden dos rectángulos. Nuevamente lo doblan por la mitad. Pinta uno de las partes en la que quedo dividido el entero. El alumnos debe obtener lo siguiente: Nota: 2 Toman cada uno otro cuadrado, pero ahora lo doblan por sus diagonales. Pinta uno de las partes en la que quedo dividido el entero. El alumnos debe obtener lo siguiente: 3 Ahora responde: A. En cuántas partes quedo dividido cada entero? B. En el primer caso, Qué figura es cada parte? y en el segundo caso? C. Cómo son esas partes con respecto a las otras del mismo entero? D. Qué fracción del entero se obtuvo en cada caso? E. Qué conclusión pueden elaborar? Nota: Lo fundamental es mostrar al alumno que no importa la manera en que se divida el entero siempre y cuando esas partes sean iguales. ACTIVIDADES DE CIERRE

6 1 Qué fracción representa la parte sombreada en cada caso? A. B. C. D. E. F. - Qué representación corresponde a la misma fracción? - A que conclusión puedes llegar. 2 Representá gráficamente 8 dividiendo el entero de tres maneras diferentes. 6

7 3 Franco dice que en la siguiente representación la parte sombreada es un cuarto del entero: Notas: Es correcto lo que sostiene Franco? Justifica tu respuesta En este ejercicio las respuestas pueden ser muy variadas. Algunos alumnos podrán decir que SI pero no tendrán en cuentan que las partes no son iguales (los cuatros triángulo son distintos en termino de forma, pero tienen igual área). Otros podrán decir que NO sosteniendo que el rectángulo no fue dividido en cuatro partes iguales. En ambos casos habrá que guiarlos a que dividan al entero de tal manera que las partes sean iguales y así poder establecer que en realidad la parte sombreada es dos octavos, es decir un cuarto, como se observa en la siguiente figura: Los conceptos desarrollados en esta actividad serán utilizados en las próximas actividades de esta secuencia. 7

8 Actividad 2: Cuál es el mayor? Analizá el razonamiento de Irene y el de Gustavo: Irene dice que 1 es menor que 8 por que al representar gráficamente ambas fracciones la parte sombreada de la primera es menor que la segunda. 1 8 Gustavo dice que 1 es menor que 8 por que 1 es menor que 2 1 y 8 es mayor que porque es Usando el razonamientos de Irene determiná que fracción es menor en cada caso. A. 3 y 8 3 B. 3 1 y 2 C. y 6 2. Usando el razonamientos de Gustavo determiná que fracción es menor en cada caso. A. 3 2 y 6 B. 2 3 y C. y 6 Notas: Es importante hacer notar que lo fundamental para comparar desde la representación gráfica es que el entero en ambos casos es el mismo. Los conceptos desarrollados en esta actividad serán utilizados en las próximas actividades de esta secuencia. 8

9 Actividad 3: Gana el Mayor. MATERIALES Un mazo de 0 cartas con palos (distinta representación y diferentes colores) como se muestran a continuación: ORGANIZACIÓN Grupos de cuatro alumnos. REGLAS DEL JUEGO Se reparten 12 cartas a cada jugador con las representaciones numéricas hacia arriba, formando pilas personales. Los colocan a la vez en el centro, la carta superior de su pila. El que tiene la carta de mayor valor se lleva las cuatro cartas y las coloca aparte en otra pila personal. Las cartas llevadas no se vuelven a usar. VARIANTES Si hay empate se juega otra vuelta y el ganador se lleva todas las cartas. Gana quien tiene más cartas al final del juego. Se pueden cambiar las reglas del juego y en lugar de ganar la carta de mayor valor gane la de menor valor. ACTIVIDADES 9

10 1 En una mano del juego salieron las siguientes cartas: Carlos Francisca Alejandra Federico Quién gano la mano? Por qué? 2 En otra mano, tres de los jugadores, pusieron en el centro las siguientes cartas:? Carlos Francisca Alejandra Federico - Qué carta le debería salir a Federico para ganar la mano? - Tiene una solo opción? Si tu respuesta es no escribí todas las opciones que tiene. 3 Considerando todas las cartas: - Con cuál de las cartas ganarías todas las manos? Por qué? - Y con cuál perderías todas las manos? Por qué? Considerando todo el mazo, decidí qué cartas son menores que uno. Luego, escribí una regla que te ayude en otra oportunidad que tengas que comparar fracciones. ACTIVIDADES DE CIERRE 1 Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas. En el caso de ser falsas justificar. Martina: Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, la fracción es mayor que uno Rulita: Si el numerador de una fracción es mayor que el denominador, la fracción es mayor que uno 10

11 Lila: Si el numerador y el denominador tienen el mismo número, la fracción es igual a uno. 2 Analizá la siguiente situación: En el cumpleaños de Rulita una de las tortas estaba dividida en 8 porciones. Martina comió 2 porciones. En el cumpleaños de Flequillo una de las tortas (que era igual a la torta del cumpleaños de Rulita) estaba dividida en porciones. Martina comió 2 porciones. Martina dice que en ambos cumpleaños comió la misma cantidad de torta. - Tiene razón Martina? - Si no tiene razón, en qué cumpleaños comió más torta? - Cuántas porciones debería haber comido en uno de los cumpleaños para poder decir que comió lo mismo. Nota: 3 Que fracción es mayor: 3 o 1. Por qué? Escribí una regla general. El alumno podrá justificar diciendo que: 3 1 mayor que y mostrar gráficamente su conclusión. 3 1 mayor que por que si al entero lo dividimos en cuatro partes iguales en la primera fracción tomamos 3 de esas parte y en la segunda solo una de las partes. 3 1 mayor que por que al tener igual denominador es mayor el que tiene mayor numerador. Dar dos fracciones mayor a: 11

12 1 A. y 2 2 B. y 3 C. y A. Ordena en cada caso las fracciones de menor a mayor y justificá: 1 2 ; ; ; ; B. 2 7 ; ; ; ; C ; ; ; ; D ; ; ; ; 2 8 Notas: En distintas clases, a continuación del juego, el docente deberá realizar discusiones colectivas alrededor de situaciones como las presentadas anteriormente. Las conclusiones deben ser registradas en carteles y cuadernos ya que se convertirán en puntos de apoyo para abordar nuevos conceptos. Los conceptos desarrollados en actividades anteriores son utilizados en esta actividad. Los conceptos desarrollados en esta actividad serán utilizados en las próximas actividades de esta secuencia. 12

13 Actividad : Para Analizar. ACTIVIDADES 1 Analizá la siguiente situación: En una librería Matías y Lucia discuten sobre cuál de las lapiceras es más cara: $ 1, $ 1,2 Matías sostiene que es más cara la que cuesta $ 1,2 por el número tiene más cifras. Lucia, por el contrario, dice que la más cara es la que cuesta $ 1, porque al tener igual número en la parte entera y al fijarse en la parte decimal el número que sigue después de la coma es mayor el que el 2. - Quién tiene razón? Justificá tu respuesta. - Inventá una situación similar a dada. 2 Analizá la siguiente tabla: Precios de FRUTAS del 6/9/2010 del Mercado Central de Buenos Aires Fruta Calidad Precio x Kg BANANA - 2,1 LIMÓN 1ra 2,27 LIMÓN 2da 1,8 MANDARINA - 1,2 NARANJA - 1,30 PERA 1ra 2,72 PERA 2da 2,21 Información extraída de Notas: A. Cuál es la fruta más cara por kilogramo? Y la más barata? Por qué? B. Si comparamos el kilogramo de limón de 1ra calidad con el kilogramo de pera de común, cuál cuesta más? Justifica tu respuesta. C. Que conviene más: comprar un kilogramo de mandarina o un kilogramo de naranja, teniendo en cuenta el precio. Por qué? Los precios podrán ser actualizados ingresando a la página web mencionada. Los conceptos desarrollados en esta actividad serán utilizados en las próximas actividades de esta secuencia. 13

14 Actividad : Gana el Menor. MATERIALES Un mazo de 0 cartas, como se muestran a continuación: ORGANIZACIÓN Grupos de cuatro alumnos. REGLAS DEL JUEGO Se reparten 12 cartas a cada jugador con las representaciones numéricas hacia arriba, formando pilas personales. Los colocan a la vez en el centro, la carta superior de su pila. El que tiene la carta de menor valor se lleva las cuatro cartas y las coloca aparte en otra pila personal. Las cartas llevadas no se vuelven a usar. VARIANTES Gana quien tiene más cartas al final del juego. Se pueden cambiar las reglas del juego y en lugar de ganar la carta de menor valor gane la que tenga mayor valor. 1

15 ACTIVIDADES 1 En una mano del juego salieron las siguientes cartas: Laura Diego Marcia Lorena Quién gano la mano? Por qué? 2 En otra mano, tres de los jugadores, pusieron en el centro las siguientes cartas:? Fernando Luis José Micaela - Qué carta le debería salir a Micaela para ganar la mano? - Tiene una solo opción? Si tu respuesta es no escribí todas las opciones que tiene. 3 Considerando todas las cartas: - Con cuál de las cartas ganarías todas las manos? Por qué? - Y con cuál perderías todas las manos? Por qué? Ordena las cartas mayores que uno y menores que dos en forma creciente (es decir de menor a mayor). ACTIVIDADES DE CIERRE 1 Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas. En el caso de ser falsas justificar. Rulita: El número que tiene mayor cantidad de cifras en su parte decimal es mayor. Flequillo: Si dos números decimales tienen distinta parte entera es mayor el de mayor parte entera. 1

16 Lila: Si dos números decimales tienen igual parte entera es mayor el que tiene más cifras en su parte decimal. 2 Martina dice que: 3, 26 es menor que 3, 27 Pero no pudo explicar porque. - Te animas a ayudarla a decir por qué. - Podés dar tres números mayores a 3,26 con igual parte entera? 3 Completá con tres números que cumplan la condición: 2, , 7 Completa con >, < o =: A. 2, , B., 28..., 1 C. 1, , 3 D., 6..., 60 E. 2, F. 6, , 73 Ordena de mayor a menor los siguientes números decimales y justificá: 16

17 A., 8, 1,, 9 B. 2, 7 2, 6 2, 7 2, 9 C. 1, 7 16, 17, 1, D. 3, 1, 6 0, 7 1, 8 Notas: En distintas clases, a continuación del juego, el docente deberá realizar discusiones colectivas alrededor de situaciones como las presentadas anteriormente. Las conclusiones deben ser registradas en carteles y cuadernos ya que se convertirán en puntos de apoyo para abordar nuevos conceptos. Los conceptos desarrollados en actividades anteriores son utilizados en esta actividad. Los conceptos desarrollados en esta actividad serán utilizados en la próxima actividad de esta secuencia. También ver secuencia 1_b_II, actividad donde se trabaja el cero. 17

18 Actividad 6: Casita Robada. MATERIALES Un mazo de 0 cartas, como se muestran a continuación: ORGANIZACIÓN Grupos de cuatro alumnos. REGLAS DEL JUEGO Se colocan, en el centro de la mesa, cuatro cartas separadas y el resto del mazo formando una pila. Todas las cartas deben tener la representación numérica hacia arriba. En su turno, cada jugador saca la primera carta de la pila y puede levantar una carta de la mesa con la condición de que esta última sea igual o menor que la carta que sacó de la pila o un comodín ULP. Si no encuentra ninguna carta menor, dejará su carta sobre la mesa. VARIANTES Cuando se acaban las cartas de la pila, gana el jugador que obtuvo más cartas. Para armar el mazo de cartas otra posibilidad es poner medios, tercios y sextos. 18

19 Se pueden cambiar las reglas del juego y establecer que para levantar una carta de la mesa la condición es que esta última sea igual o mayor que la carta que sacó de la pila. ACTIVIDADES 1 Cuatro compañeros estaban jugando y en un momento del juego en la mesa estaban las siguientes cartas: Marcelo sacó del mazo la siguiente carta: Podrá robar alguna carta? Por qué? 2 En otro momento del juego sobre la mesa estaban: Al sacar del mazo, Marisa obtuvo: Según ella, no pude robar ninguna carta. Tendrá razón? Por qué? 3 Si sobre la mesa están las siguientes cartas: 19

20 - Qué carta deberé sacar del mazo para poder robar? Por qué? - Es única la respuesta anterior. Justificá. Considerando todas las cartas del mazo: - Cuál es la menor? Y la mayor? - Con qué carta siempre se podrá robar? Ordena de mayor a menor las cartas mayores que cero y menores que uno. ACTIVIDADES DE CIERRE 1 Dá tres fracciones mayores que: A. 0, B. 1, 2 C., 6 2 Dá tres números decimales menores que: A. 3 B. 2 C. 1 3 Completá con tres fracciones que cumplan la condición: 0, , 8 Completá con tres números decimales que cumplan la condición: A. Completa con >, < o =: 3 1,... B. 2, C.... 1, 2 D. 3 0, Ordena de menor a mayor los siguientes números y justificá: 20

21 A , 2 1, B. 0, 2 0, C. 1, 8 1 D. 2 7 Analizá la siguiente situación: Diana y Felipe fueron a la verdulería: 3 Diana compró kg. de papa. 7 2, 1 17, 2 7 Felipe, por su parte, compró 0, 8 kg. de la misma verdura. - Quién compro más papa? - Alguno de ellos compró más de un kilo? Justificá tu respuesta. Notas: En distintas clases, a continuación del juego, el docente deberá realizar discusiones colectivas alrededor de situaciones como las presentadas anteriormente. Los conceptos desarrollados en actividades anteriores son utilizados en esta actividad. 21