Temas Tipler Temas 21 y 25 Alonso - Finn

Transcripción

1 Tema : lectostática * Ley de oulomb y campo eléctico. - Ley de oulomb - oncepto y definición de campo eléctico * Distibuciones de caga. Aplicaciones - Dipolo - Hilo - Anillo - Disco * Flujo eléctico. Ley de Gauss. Aplicaciones - Lámina - ilindo - sfea * Potencial eléctico. - Deteminación del campo a pati del potencial Aplicaciones - Dipolo - sfea *apacidad. ondensadoes. Aplicaciones - ondensado plano-paalelo - ondensado cilíndico - ondensado esféico. - Asociación de condensadoes * Dielécticos. * negía potencial electostática. Temas -4 Tiple Temas y 5 Alonso - Finn

2 La atacción electostática de cuepos cagados elécticamente se conoce desde la antigua Gecia. Ley de oulomb y campo eléctico. Se obsevó ue tas fota el ámba (elekton en giego), este mateial ataía peueños objetos. Sabemos ue hay dos clases de caga, positiva y negativa (en el SI se miden en coulomb, ). ualuie fagmento de mateia tiene apoximadamente cantidades iguales de cada clase. Al cagalo (po fotamiento u oto pocedimiento) esa situación de euilibio se modifica.

3 Ley de oulomb hales oulomb (76-86) estudió cuantitativamente la fueza ejecida po un cuepo cagado sobe oto. Los esultados de sus obsevaciones conducen al enunciado de la ley ue lleva su nombe. s análoga a la ley de la gavedad po la dependencia con la distancia, peo difiee en tanto en cuanto esta inteacción puede se atactiva o epulsiva según sea el tipo de caga de los cuepos.

4 ampo eléctico omo en el caso gavitatoio, paa maneja esta inteacción a distancia se intoduce el concepto de campo, en este caso eléctico. La caga i poduce un campo en todo punto del espacio, capaz de ejece una fueza sobe cualuie ota caga, y se define como: F ( peueña) olviendo a la ley de oulomb, se tiene ip k i ip ˆ ip Su unidad en el SI es el olt po meto (/m) punto de campo P posición de la fuente i Gáficamente, se pueden cuantifica a tavés de las líneas de campo.

5 Distibuciones de caga. Distibuciones discetas. Dipolo eléctico. l campo eléctico asociado a una distibución de cagas puntuales es: P i ip i k i ip ˆ ip aso elevante de este tipo de distibución es el dipolo electico. Se descibe po su magnitud momento dipola eléctico p p L P k ˆ P P ˆ P Paa puntos muy distantes ( p+ p- p >> L), la expesión apoximada del campo es dip P P pp p k 5 P P

6 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. Si los cuepos cagados son extensos y no pueden manejase como puntos, habemos de dividilos en elementos de caga d suficientemente peueños. l difeencial de campo a ue cada d da luga es k d d ˆ donde es la distancia desde el elemento de caga al punto de campo. l campo neto se obtiene mediante integación: k ˆ d d Según cuales sean las dimensiones elativas de los cuepos cagados, hablaemos de distibuciones de caga en línea, en supeficie o en volumen.

7 Se descompone el campo según x e y k dxs k dxs cos dx ˆ î k dxs sen d y stas expesiones se integaán a la longitud L, esto es de x=x a x. onviene cambia de vaiable yp sen ; lo ue conduce a: k Εx sen - sen y Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. Línea cagada unifomemente. dx s y csc d Paa una línea muy laga se tendá θ p,θ p x ; Ε - cos - cos y ; y k y p k y p

8 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. je de un anillo cagado unifomemente. n este caso, la simetía de la distibución pemite conclui ue el campo esultante ha de esta diigido según el eje. Su magnitud se obtendá opeando del modo siguiente d z k d cos k d z k zd z k zd k z d k z z k z a / kˆ

9 Distibuciones de caga. Distibuciones continuas. je de un disco cagado unifomemente. Pasamos así a una distibución de caga en supeficie. amos a apovecha el esultado pevio, y descomponemos el disco en anillos de adio a y anchua da. stos poducen un campo kdz z a d / La caga en dicho anillo es kˆ d da ada e integando a toda la supeficie se llega a k z z z z b kˆ sta expesión se puede adapta paa escibi el campo geneado po un plano infinito. Bastaía con toma b muy gande, lo ue conduciía a: z k kˆ z

10 Flujo eléctico. Ley de Gauss. l flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie ceada S se define como S ṋ da S da donde n es el vecto unitaio nomal a la supeficie. Desde un punto de vista físico, el flujo de un campo es popocional a la magnitud de las fuentes del campo englobadas po la supeficie. Paa el caso específico del campo eléctico dicha elación viene establecida po la ley de Gauss. enc da n da 4kenc S S

11 Flujo eléctico. Ley de Gauss. La ley de Gauss euivale a la de oulomb. Paa pobalo, es necesaio ecui al concepto de ángulo sólido, análogo tidimensional del común. A ṋ ˆ Acos Se mide en esteoadianes, y es el mismo paa toda supeficie ue cote el cono dado. Su magnitud es la supeficie de la esfea de adio unidad secada po el cono. Paa el cono de apetua máxima 4 4 mientas ue al degenea en una ecta, se obtendía el valo mínimo,. ayamos a la expesión del flujo eléctico, y consideemos una sola caga puntual como fuente.

12 Flujo eléctico. Ley de Gauss. S k ˆ da S dacos k k s d Si la caga se encuenta dento de la supeficie, la apetua angula paa abacala es la misma ue paa la esfea unidad, lo ue llevaía a: 4k Si la caga fuese extena, tomando peueños conos se obsevaía ue estos ataviesan la supeficie en dos ocasiones. Se tendían dos contibuciones idénticas a la integal del ángulo sólido, salvo poue la componente nomal del campo a la entada y la salida de la supeficie han de tene signos opuestos. Po ello, dichas contibuciones se anulan. Resumiendo, se tiene: i i,enc j,ext enc o

13 Flujo eléctico. Ley de Gauss. Lámina unifomemente cagada. sta distibución es simética especto al plano Z. Una taslación abitaia según X o Y, no modifica la distibución de cagas y, además cualuie eje otogonal al plano Z es también un elemento de simetía, po lo cual: () (z)kˆ ; (z) ( z) Po ello, si se toma una supeficie como la de la figua, la ley de Gauss simplifica notablemente la esolución de este poblema: (z) A enc dv Az, z a; Paa puntos extenos al plano, el campo seá: a a z (z a) kˆ kˆ z Mientas ue en su inteio z (z a) kˆ enc dv Aa, z a

14 Flujo eléctico. Ley de Gauss. ilindo unifomemente cagado. Paa esta distibución una taslación abitaia o un gio según el eje Z no altea la distibución de cagas. Además cualuie eje otogonal al Z es de simetía, po lo cual: () (R) Rˆ Nuevamente, al toma una supeficie como la de la figua, la ley de Gauss simplifica notablemente la esolución de este poblema: enc (R) RL dv R L, R a ; donde a es ahoa el adio del cilindo cagado. Se llega así a ue, en el inteio: R (R a) Rˆ Mientas ue en el exteio (R a) a Rˆ R enc a L, R a a R

15 Flujo eléctico. Ley de Gauss. sfea unifomemente cagada. Paa este tipo de distibución, una otación en tono a cualuie eje ue pase po el cento del sistema deja todo inalteado: () () ˆ Las supeficies de integación elegidas ahoa seán esfeas concénticas a la distibución: enc () 4 4 dv, R con R adio de la distibución de caga. Paa el inteio de esfea se tiene: ( R) ˆ ; enc 4 R, R Y en el exteio R ( R) ˆ

16 Potencial eléctico. La fueza eléctica es consevativa y, al igual ue en el caso de la gavitatoia, esto pemite maneja una función enegía potencial U asociada a ella. Paa una vaiación difeencial dl en el luga de aplicación de la fueza sobe una caga puntual, du viene definida po du Fdl dl ste incemento de enegía es popocional a la magnitud de la caga desplazada, al igual ue la fueza eléctica depende de la caga sobe la ue se mide. Así como intodujimos el campo eléctico, definimos la función potencial eléctico: d du dl La unidad de potencial en el SI seá J/, ue tiene po nombe volt (). onsideemos el caso de una caga puntual. s habitual toma como oigen de potencial un punto muy alejado del sistema. ntonces: P P 4 ˆ dl b 4 P a d b a dl 4 P a b dl

17 Potencial eléctico. amos a apovecha el ejemplo de la caga puntual paa descibi la epesentación gáfica cuantitativa del potencial escala. () 4 Los campos escalaes se epesentan mediante cuvas euiescalaes. La tasa de cambio de la magnitud escala ente dos supeficies se fija. n el caso del potencial eléctico de la caga puntual, las cuvas euipotenciales son esfeas. emos ue estas supeficies son nomales a las líneas de campo eléctico. sto es así po la popia definición del potencial: d dl si d, dl

18 Potencial eléctico. Deteminación de a pati de. amos a analiza con más detalle la definición del potencial eléctico: d d lddl cos tan dl tan dl Paa un desplazamiento abitaio, la componente de en dicha diección es la deivada dieccional del potencial electostático. Además, el máximo incemento de seobsevaá paa un desplazamiento pecisamente en la diección del vecto campo eléctico, peo en sentido opuesto a este. Matemáticamente, esos dos esultados se taducen en ue el campo eléctico es, salvo po el sentido, el gadiente del potencial eléctico. Podemos detemina las componentes del campo eléctico, po ejemplo, en catesianas, si analizamos desplazamientos paalelos a los ejes X, Y y Z sucesivamente: d ld x d ld y d ld z d dx x x dx d d d d dy y y ux uy uz dy dxdydz d zdz z dz

19 Potencial eléctico. Dipolo. l potencial debido a un sistema de cagas puntuales, de acuedo con el pincipio de supeposición, es: 4 i i donde i es la distancia desde la caga i-ésima hasta el punto de campo P. olvamos al caso de un dipolo eléctico. La expesión exacta del potencial seá: La expesión asintótica paa puntos de campo muy distantes (especto a la distancia ente las cagas del dipolo) es: p dip 4

20 Potencial eléctico. sfea cagada unifomemente. l potencial debido a una distibución continua de caga es: d 4 donde es la distancia desde el elemento de caga hasta el punto de campo P. Paa distibuciones de alta simetía, la integación diecta del campo seá más sencilla. eámoslo paa este caso ya estudiado. Recodemos: ( R) R ˆ ; ( R) on el oigen de potenciales en infinito, evaluamos pimeo fuea de la distibución: R R (P R) ˆ P P Paa el inteio, se tendá: R (P R) ˆ dl R P R 6 R P ˆ ˆ dl R P ˆ dl

21 apacidad. ondensadoes. Los conductoes tienen potadoes de caga móviles, luego en una situación estática el campo eléctico en su inteio debe anulase. Po tanto, el potencial es constante en un conducto. La ley de Gauss muesta ue no puede habe cagas en deseuilibio en su inteio. La caga neta se localizaá sobe la supeficie. amos a considea un sistema fomado po un solo conducto (esféico po simplifica). La caga se distibuiá unifomemente sobe su supeficie, lo ue implicaá: ( R) ˆ ( R) 4 4 conducto 4R La azón ente la caga y el potencial ue aduiee un conducto aislado es su capacidad 4R

22 apacidad. ondensadoes. s más común habla de capacidad cuando nos efeimos a condensadoes. Un condensado es un dispositivo fomado po dos conductoes (placas) ue aduieen cagas de igual magnitud y signo opuesto. l cociente ente la magnitud de la caga de las placas y la difeencia de potencial ente ellas es, al igual ue en el caso del conducto aislado, constante paa una geometía fija La unidad de capacidad en el SI es el faad (F). sta unidad, desde un punto de vista páctico, es demasiado gande (una esfea conductoa debeía tene un adio R9 9 m paa ue su capacidad fuese unitaia), po lo ue habitualmente se emplean sus submúltiplos, como el micofaad ( F= -6 F), el nanofaad ( nf= -9 F) y el picofaad ( pf= - F). n la expesión de la capacidad de la esfea conductoa, se ve ue dimensionalmente la pemitividad del vacío es un cociente ente capacidad y longitud. 8,854 F/ m

23 apacidad. ondensadoes. ondensado plano-paalelo. n este tipo común de condensado, las placas son dos láminas metálicas planas (delgadas) paalelas, sepaadas una distancia (d) mucho meno ue las dimensiones ue definen el áea (A) de dichas placas. ntonces, las placas son, a efectos pácticos, asimilables a dos planos cagados muy extensos (indefinidos). l campo poducido po tal distibución, vimos ue es: k kˆ kˆ kˆ Supeponiendo los efectos de las dos placas, se tiene ue en la egión ente placas: kˆ A z d z kˆ dl A Así pues, la capacidad del condensado de placas paalelas es: d A A d z d A z dz d A A

24 apacidad. ondensadoes. ondensado cilíndico. n este caso las placas son dos cilindos conductoes coaxiales, uno de adio R y oto de adio inteno R, ambos de longitud L (L>>R, R ). on esta condición, las distibuciones de caga son pácticamente cilindos indefinidos cagados unifomemente en supeficie. enc (R) l L Rl (R) Rˆ RL De auí deivamos la difeencia de potencial ente las placas y la capacidad: R dl RL R L R R dr R ln( R L / R ) L ln( R / R ) o la capacidad po meto / L L ln( R / R )

25 apacidad. ondensadoes. ondensado esféico. Las placas son ahoa dos esfeas conductoas concénticas, la inteio de adio R y la exteio de adio inteno R. Las cagas se distibuián unifomemente en supeficie. n la zona intemedia: (R R ) 4 R Rˆ De auí pasamos a la difeencia de potencial y la capacidad: R R 4 R 4 R Rˆ dl RR R 4 R dr R R R R 4 R R 4RR

26 apacidad. ondensadoes. Asociaciones de condensadoes. Asociación en paalelo De la definición de capacidad: Asociación en seie Y de la elación ente las tes magnitudes: ) ( i i e e i i e e

27 Dielécticos. n un mateial dieléctico o aislante, a difeencia de un conducto, no se dispone de potadoes de caga capaces de desplazase libemente bajo la acción de un campo. emos abajo el efecto de un campo eléctico paa sustancias no conductoas, bien apolaes (izuieda) o polaes. n cualuiea de los dos casos, el esultado es el mismo: las cagas positivas tienden a desplazase siguiendo el campo, mientas las negativas lo tienden a hace en el sentido inveso: las moléculas se polaizan en la diección del campo.

28 Dielécticos. amos a analiza la influencia de su pesencia en los fenómenos elécticos. onsideamos paa ello una situación sencilla, un condensado plano-paalelo y estudiaemos de foma semicuantitativa las vaiaciones ue se poducen en este sistema. n las poximidades de las placas, apaece una concentación elativa de cagas en exceso del tipo opuesto al de la placa. sto se taduce, paa una caga fija en las placas, en una disminución de la intensidad del campo dento del condensado: donde es la constante dieléctica del mateial.

29 Dielécticos. Si seguimos apoyándonos en el condensado planopaalelo, constatamos ue la disminución del la intensidad del campo implica una meno difeencia de potencial ente las placas: de d dl iz sto, en la páctica, epesenta un incemento en la capacidad del condensado: Siendo más específicos, paa el caso conceto del condensado plano: A A d d donde, poducto de la pemitividad del vacío po la constante dieléctica del medio, es la pemitividad del dieléctico. uando opeemos con mateiales aislantes, las expesiones ue veníamos manejando hasta ahoa se habán de modifica, de manea ue la pemitividad del medio apaeceá en luga de la del vacío. Así, po ejemplo, la ley de Gauss se expesaá como: enc da S

30 negía potencial electostática. La enegía potencial electostática de una distibución de cagas es el tabajo ue se inviete en tanspota dichas cagas desde posiciones muy distantes ente sí hasta sus posiciones finales en el sistema. Paa dos cagas, supuesta fija la caga, el tabajo paa lleva la hasta su posición es: Si se añade ota caga al sistema, el tabajo adicional seá: l tabajo neto paa junta las tes cagas es: 4 ) ( W 4 4 ) ( W W

31 negía potencial electostática. La enegía potencial electostática U de un sistema de n cagas puntuales, genealizando, es: U n i i i Paa una distibución continua de caga, opeaíamos del modo ue ya hemos puesto en páctica peviamente: U d Paa una distibución de caga en volumen se tendía Si fuese en supeficie U da S distibuci ón U dv distibuci on ste tipo de distibución apaece, en paticula, paa medios conductoes. ntonces U S distibución da j j S j j da donde la suma se extiende ahoa a los cuepos conductoes con cagas j y potenciales j. j j j j

32 negía potencial electostática. Un condensado es un dispositivo ue enta dento de estas situaciones. Teniendo en cuenta las caacteísticas específicas de estos sistemas podemos escibi: Ucondensado j j ( ) j Tomemos la última expesión en el caso del condensado plano-paalelo U A d d (Ad) La enegía apaece como poducto del volumen del condensado (Ad) po cieta expesión ue tiene magnitud de enegía po unidad de volumen. No lo pobaemos, peo, de hecho, la enegía electostática de un sistema se puede evalua altenativamente como integal de dicha densidad de enegía: U dv todo el espacio