PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico 204- Indicaciones Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas. Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 0 y 2 No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras. Duración del examen: 3 horas.. Dada la curva : 2 x 2 2 z 2 8 x y 4. Hallar: a. La longitud de arco de desde el punto P 4, 0, 0 hasta el punto Q 2, 2, pts b. La curvatura k t y la torsión t de la curva en todo punto de la curva. 2 pts 2. Dada la función f :R 2 R definida por f x, y x r y 3 x 4 y 2 3 2, si x, y 0, 0 0, si x, y 0, a. Analizar la diferenciabilidad de f en el punto 0, 0 para r 2. 2 pts b. Para r, hallar la derivada direccional de f en el punto 0, 0 en todas las direcciones unitarias u a, b R 2 donde existan. 2 pts a. Dada la superficies : z x 2 y 2. i. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangentepala superficie S en el punto Q a, b, a 2 b 2. pto ii. Sea P u, v, w la proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre el plano tangentepasen el punto Q. Sabiendo que u 2 v 2 w 2 f a, b hallar f a, b. pto b. Dada la función f x, y e x2 y 2 x 2 y 2,, si x, y 0, 0,, si x, y 0, 0 Hallar los vectores unitarios u a, b R 2 tales que D u f 0, 0 existe.. 2 pts a. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangentepala superficie S : arctan xy e yz2 0, y 0 que contiene a la recta L : x 2, y 0. 2 pts b. Si : P F t, t R es una curva regular enr n y v es un vector fijo. Si para todo t R, F t y v son ortogonales y F 0 es también ortogonal a v. Probar que F t es ortogonal a v, para todo t R. 2 pts CONTINÚA

2 5. Dada la función f x, y x 3 y 5x 2 y 3xy 2. Hallar los puntos críticos de f y analizar su naturaleza. 4 pts 6. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos relativos de la función f x, y, z xyz sujeta a la condición x 2 y 2 z 2 a 2, donde a es una constante positiva.además indicar los puntos donde se alcanzan dichos extremos. 4 pts Evaluación elaborada por todos los profesores del curso. Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau San Miguel, 30 de junio de 203 2

3 que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico Indicaciones Resolversólo4delas5preguntaspropuestas Enumerardelal0laspáginasdesucuadernilloenlapartesuperiorderechaydesarrollar las preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas y2 3y4 5y6 7y8 9y0 Noestápermitidoelusodecorrectoreslíquidos,libros,apuntesnicalculadoras.. Dadas las curvas: :F t t,e t,t 2,t 0, y C:G r 3 r,e4r, 2r,r 0,. a. Encontrarlaecuacióndelplanoosculadordelacurva enq,puntointerseccióndelas curvas y C. 3pts b. Calcularlacurvaturaylatorsiónde enelpuntoq. 2pts 2. Seaf x,y x 3 y 3 3axy,donde x,y R 2.Hallarlospuntoscríticosdef yanalizarsu naturalezasegúnlosvaloresdea R. 5pts 3. a. Dadalasuperficie S x,y,z R 3 :z x 2 y 2.Hallarlaecuacióncartesianadel planotangentepalasuperficiesquecontienealpuntom 0,3,4 yes perpendicularalplano :x 2y 2z pts b. Dadalafunción f:r 2 R,definidaporf x,y xy 3.Analizarladiferenciabilidad defen 0,0. 2.5pts 4. DadalasuperficieS x,y,z R 3 : x 2 4 y z2 5.Hallarlasdimensionesdel tetraedrodemenorvolumenquesepuedeformarconlostresplanoscoordenadosyunplano tangentealasuperficiesenunpuntodelprimeroctante. 5pts a. Dadalafunción f: R 2 R,definidapor f x,y, si x 0, y 0 x y, si x 0 o y 0 i. Analizarsiexisteladerivadadireccionaldefen 0,0 enlasdireccionesunitarias u a,b R 2 cona 0yb 0. pto ii. Analizarladiferenciabilidaddefen 0,0. b. Dadalaparametrizacióndelacurva : F t tu t 2 v t 3 2 u v,t 0, ; pto dondeuy vsondosvectoresunitariosfijosenr 3 queformanunángulode 3 radianes. Analizar si F es una parametrización regular. 3 pts Norberto Chau San Miguel, 27 de febrero de 203

4 que se hayan incorporado durante la realización de las evaluaciones. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico Indicaciones Resolver sólo 5 preguntas de las 6 propuestas. Resolver las preguntas de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas y 2 3 y 4 5 y 6 7 y 8 9 y 0 y 2 No está permitido el uso de correctores líquidos, libros, apuntes ni calculadoras. Duración del examen: 3 horas.. Dada la parametrización de la curva : F t cost, sen t, ln cost, t 0, 2. a. Encontrar la longitud de arco de la curva que se inicia en el punto, 0, 0 hasta el punto, 3, ln 2. 3 pts 2 2 b. Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto Q donde el planop : x y interseca a la curva. pto 2. Los planos tangentes a la gráfica de la función f x, y 2x 2 2x y 2 en el punto P 0 a, b, son perpendiculares al planop : x y 2z. Hallar los valores de a, b y las ecuaciones cartesianas de dichos planos tangentes. 4 pts 3. Dada la función f :R 2 R, definida por f x, y xy. Analizar la diferenciabilidad de f en 0, 0 cuando. 4 pts 2 4. Sea f x, y axy x 4 y 4, donde x, y R 2 y a 0;. a. Hallar los puntos críticos de f según el valor de a. 2 pts b. Determinar la naturaleza de los puntos críticos hallados en a). 2 pts 5. Sea la función f x, y, z x 2 y 2 bxy az donde a, b son constantes reales tales que a b 2.Hallar los valores de a y b de manera que f tenga un extremo relativo en el punto,, sujeta a la restricción x 2 y 2 z pts 6. Considere la curva parametrizada por F t 3 4 t2, t, 4 t3 t, t R. a. Probar que la curvatura t de es diferente de cero en todo punto F t. 2 pts b. Si dado t R, t denota el ángulo que forma el vector v 0, 0, con el vector binormal B t a la curva en todo punto F t, probar que la torsión es t cos 2 t. 2 pts Evaluación elaborada por todos los profesores del curso. Coordinador de teoría : Profesor Norberto Chau San Miguel, 2 de diciembre de 203

5 PO TIFICIAU IVERSIDADCATÓLICADELPERÚ ESTUDIOSGE ERALESCIE CIAS EXAME FI ALDECÁLCULO3 Semestre Académico 203- Indicaciones Resolversólo5preguntasdelas6propuestas. Resolverlaspreguntasdeacuerdoalasiguientedistribución: Pregunta Páginas y2 3y4 5y6 7y8 9y0 y2 Noestápermitidoelusodecorrectoreslíquidos,libros,apuntesnicalculadoras. Duracióndelexamen:3horas.. Sea lacurvaparametrizadapor F t t, t 2t, 2t 2 2t, t 3 4,. a. Hallarlaecuacióncartesianadelplanoosculadoralacurva enelpunto Q,,2. 2pts b. Calcularlacurvaturaylatorsiónde enelpuntoq. 2pts 2. Analizar la naturaleza de los puntos críticos de la función 3. Sealafunciónf x,y 4. f x,y xy 3 5xy 2 x 2 y. x 2 y 2 x 2 y 2,si x,y 0,0 0,si x,y 0,0 a. AnalizarsifesdiferenciableentodoR 2. 2pts b. HallartodoslosvectoresunitariosUtalesqueD U f 0,0 existe. pto c. HallartodoslosvectoresunitariosUtalesqueD U f, 0. pto a. Hallartodoslospuntosdelasuperficie S x,y,z :z e x y sen x y cuyoplanotangenteesparaleloalplanop:x y z 0. 2pts b. DadalasuperficieS x,y,z R 3 :xyz,donde x,y,z 0,demostrarquelos planos tangentes en cualquier punto de S forma con los tres planos coordenados un tetraedro de volumen constante. 2 pts 5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar el punto de la superficie S x,y,z :x 2 y 2 z 2 máscercanoalpuntoq 3,, Dadaunafunciónf declasec 2 enr 2,sea z f x,y,donde x v 2 u 2, y v u. Hallarelvalordelaconstante A,ylasfuncionesh u,v,k u,v talesque 2 z u 2 z A z 2 v u x h u,v 2 z x k u,v 2 z 2 x y Evaluación elaborada por todos los profesores del curso. Coordinador de teoría: Profesor Norberto Chau San Miguel, de julio de 203

6 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS EXAMEN FINAL DE CÁLCULO 3 Semestre Académico Indicaciones Resolversólo5delas6preguntaspropuestas Enumerardelal2laspáginasdesucuadernilloenlapartesuperiorderechaydesarrollar las preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas y2 3y4 5y6 7y8 9y0 y2 Noestápermitidoelusodecorrectoreslíquidos,libros,apuntesnicalculadoras.. Sea la curva :F t 2 sent,t 2 2, t 2 2sent,t 0, HallarlosvectoresunitariosT t,b t,n t,lacurvaturak t ytorsión t delacurvaenel puntoq,dondeelvectortangentea esparaleloalplanoyz. 2. Dada la función f x,y e xy xy, si x 0, y 0, si x 0 o y 0 a. AnalizarlaexistenciadeD u f x,y six 0,y 0,paratodovectorunitario u a,b R 2.Encasoafirmativo,calcularelvalordeD u f,. 2pts b. HallarD u f x,0,x R 0, u 0,. pto c. HallarD u f x,0,x R 0, u,0. pto 3. Dada la función f x,y x y n, si x,y 0,0 x 2 2 y 0, si x,y 0,0 Analizarladiferenciabilidaddefen 0,0,segúnlosvaloresden N. 4. Dadalafunción f x,y xy 3 kxy 2 x 2 y.hallarlospuntoscríticosdef yanalizarsu naturalezasegúnlosvaloresdek. 5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar la mínima distancia del origen decoordenadasalasuperficie S:xyz Seanz f x,y, x e v secu, y e v tanu,donde f esunafuncióndeclasec 2. Hallarlasfunciones g u,h x,y yk x,y talesque 2 z u v Elaborada por los profesores del curso Coordinador: Profesor Norberto Chau z u g u h x,y 2 z x 2 2 z y 2 k x,y 2 z x y SanMiguel,28defebrerode203

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9 PO TIFICIAU IVERSIDADCATÓLICADELPERÚ ESTUDIOSGE ERALESCIE CIAS EXAME FI ALDECÁLCULO3 Semestre Académico Indicaciones Resolversólo5delas6preguntaspropuestas Enumerardelal2laspáginasdesucuadernilloenlapartesuperiorderechaydesarrollar las preguntas, de acuerdo a la siguiente distribución: Pregunta Páginas y2 3y4 5y6 7y8 9y0 y2 Noestápermitidoelusodecorrectoreslíquidos,libros,apuntesnicalculadoras.. a. Sea la superficie S:z xarctan y x 0. DemostrarquetodoslosplanostangentesaSseintersecanenunpuntoyhallardicho punto. 2pts b. Sea f x,y xsen x 2 y 2 x x 2 y 2 cos x 2 y 2, si x,y 0,0 0, si x,y 0,0 Analizarlacontinuidaddefen 0,0. 2. Dada la curva x 2 y 4 : x y z 2pts 3. Sea a. Parametrizar,indicandoeldominiodelaparametrización. pto b. HallarlosvectoresunitariosTyBenelpuntoQ,dondelarectatangentees perperdicular al eje Y. 2 pts c. Hallarlacurvaturak t encualquierpuntodelacurva. pto f x,y xy, si x,y 0,0 x 2 y2 0, si x,y 0,0 a. Analizarladiferenciabilidaddefen 0,0. 2.5pts b. CalcularD u f, parau 2, 2..5pts CO TI ÚA

10 4. Dada la función f x,y x 3 y xy 2 25x 2 y Hallar los puntos críticos de f y analizar su naturaleza. 4 pts 5. Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar los puntos de la superficie S:x 2 y 2 z 2 9. queestánmáscercadelpunto,2, Sealafunciónf:R 2 R,definidapor f x,y 2x 3y xy ; 0. Analizarsegúnlosvaloresde : a. Ladiferenciabilidaddefen 0,0. 2.5pts b. LaexistenciadeD u f 0,0 entodadirecciónunitariau a,b R 2..5pts Elaborada por los profesores del curso Coordinador: Profesor Norberto Chau SanMiguel,23defebrerode202

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