Existencia de soluciones para un problema de Bénard-Marangoni

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Existencia de soluciones para un problema de Bénard-Marangoni R. Pardo 1, H. Herrero 2 1 Dpto. de Matemática Aplicada, Facultad de Ciencias Químicas, Univ. Complutense de Madrid, Madrid, Spain rpardo@mat.ucm.es. 2 Dpto. de Matemáticas, Facultad de Ciencias Químicas, Univ. de Castilla-La Mancha, Ciudad Real, Spain. henar.herrero@uclm.es. Palabras clave: Navier Stokes, Bénard-Marangoni, bifurcación Resumen Demostramos la existencia de soluciones débiles para un problema estacionario de Bénard-Marangoni, son soluciones que bifurcan desde el estado básico conductivo. 1. Introducción El problema de Bénard-Marangoni es un problema de convección térmica en el que se tienen en cuenta los efectos del empuje vertical y la tensión superficial [1, 9, 7]. Está modelizado con un sistema de EDP s de Navier-Stokes acopladas con la ecuación del calor [2]. Utilizamos la aproximación de Oberbeck Boussinesq, que supone que la densidad es una función lineal del incremento de temperatura en el término del empuje vertical, y es constante en los restantes términos. También supondremos que la tensión superficial es una función lineal del incremento de temperatura y que la superficie libre no está deformada. Existen resultados teóricos de existencia de soluciones para algunos problemas de este tipo [6], pero sin la condición de la tensión superficial. En dicha condición de contorno aparecen derivadas tangenciales del campo de temperatura. Para definir derivadas tangenciales en la frontera, en el sentido de las trazas, necesitaremos derivadas segundas en el interior del dominio. De este modo, el término en la frontera contiene derivadas del mismo orden que el término en el interior. Para sortear esta dificultad, consideramos la formulación débil. Mediante el teorema de la divergencia, transformamos la integral de frontera en una integral definida en el interior del dominio. Reformulamos el problema en sentido débil. Nuestra formulación es válida para cualquier dominio acotado con frontera plana en su 1

2 R. Pardo, H. Herrero parte superior. Este resultado es una base para abordar la formulación fuerte del problema completo y el estudio de bifurcaciones locales que se resuelve en la Ref. [8]. Obtenemos un resultado de bifurcación local de soluciones débiles basado en el Teorema de Crandall Rabinowitz, ver [3], nuestro resultado principal es el teorema 7. Modelización En las referencias [5, 4] se puede encontrar el modelo estacionario completo para este problema Pr u + Pr p + ( u ) u = Pr R e 3, in (1) + ( u ) = B 1 + B u 3, in (2) div u = 0, in (3) donde u es el campo de velocidades del fluido, su temperatura y p la presión. Los parámetros del problema vienen representados por Pr, que es el número de Prandtl, R el número de Rayleigh y B, el número de Biot. El número de Prandtl resume las características del fluido y el número de Rayleigh representa el efecto del empuje vertical. El número de Biot es proporcional al coeficiente de intercambio de calor de la superficie del fluido con la atmósfera. es un dominio acotado de R 3 con fronteras planas en la dirección vertical. Descomponemos la frontera en dos subdominios := {x 3 = 1}, Γ 0 = \. (4) Consideraremos las siguientes condiciones de contorno u i Γ0 = 0, i = 1, 2, u 3 = 0, (5) u i n + M n = 0, Γ0 \{x 3 =0} = 0 on, i = 1, 2, (6) x i ( B) n + = 0. (7) = 0, {x3 =0} donde n es el vector normal exterior y M es el número de Marangoni, proporcional al cociente entre fuerzas de tensión superficial (térmicas) y fuerzas viscosas. Definiciones y notación Denotaremos por H 1 0,Γ () = { u H 1 () : u Γ = 0 }. Definimos el espacio de Hilbert X := H 1 0,Γ 0 () 2 H 1 0 (), (8) con el producto escalar y la norma inducida dados por u, v X := i=1 u i v i, u X = ( u, u X ) 1/2, (9) 2

3 Un problema de Bénard-Marangoni para u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) X. Consideramos el subespacio de X X 0 := { u X : div u = 0}. (10) Definimos análogamente el espacio de Hilbert Y := H0, 1 {x 3 =0} () con el producto escalar y la norma siguientes, ϑ Y := ϑ + B ϑ, Y := (, Y ) 1/2, (11) Definimos ahora el espacio de Hilbert X := {u = ( u, ) X Y }, con el producto escalar y la norma dados por u, v X := Pr u, v X +, ϑ Y, u X := ( Pr u 2 X + 2 Y ) 1/2, (12) donde v := ( v, ϑ). Sea ahora X 0 := X 0 Y, X 0 es un subespacio cerrado de X. Denotaremos por X 0 el espacio dual de X 0, obviamente X 0 = X 0 Y donde X 0, Y denotan los espacios duales de X 0 e Y respectivamente. Dado f = ( f, g) X 0 Y, el producto de dualidad vendrá dado por f, v X := f, v X + g, ϑ Y,Y, v = ( v, ϑ) X 0 Y, (13) donde f, v X denota el producto de dualidad de X 0 a X 0 y g, ϑ Y,Y el producto de dualidad Y a Y. Se define la norma f X 0 := sup { f, v X v X 0, v X0 1 } (14) Formulación débil del problema lineal no-homogéneo asociado Consideremos en primer lugar el problema linear no-homogéneo asociado. Vamos a desacoplar en este caso el problema en velocidad del problema en temperatura. El resultado principal es la proposición 5 en la que demostramos la existencia de soluciones. Dada f = ( f, g) X 0 buscamos funciones u,, p definidas en que verifican el siguiente problema en sentido débil u + p = f, en, (15) = g, en, (16) div u = 0, en, (17) con las condiciones de contorno (5)-(7). Esta ecuación lineal puede desacoplarse del siguiente modo. En primer lugar resolvemos la ecuación para la temperatura: dado g calcular, que resuelve (16) junto con las condiciones de contorno mixtas (7). En segundo lugar calculamos la velocidad u resolviendo el problema de Stokes (15), (17) junto con las condiciones de contorno mixtas de tipo 3

4 R. Pardo, H. Herrero Dirichlet (5) y Neumann no-homogéneas (6), donde la temperatura se introduce como un dato de frontera. Primer paso: resolvemos la ecuación de la temperatura. Dado g Y, diremos que es una solución débil de (16) con condiciones de frontera mixtas (7) si y sólo si tenemos ϑ + B ϑ = g, ϑ Y,Y ϑ H0, 1 {x 3 =0} (). (18) El Lema de Lax-Milgram y la definición de la norma en H0, 1 {x 3 =0} (), ver (11), implica la existencia de una solución débil. Lema 1. Dado cualquier g Y (dual de Y 0 ), existe una única H0, 1 {x 3 =0} () que resuelve la formulación débil (18), y H 1 0, {x3 =0} () g Y. (19) Segundo paso: resolvemos la ecuación de la velocidad, introduciendo la temperatura como un dato de frontera conocido. La temperatura sería la solución débil que nos proporciona el Lema 1. Para definir derivadas tangenciales en la frontera, en el sentido de las trazas, necesitaríamos derivadas segundas en el interior del dominio. El Lema 1 garantiza que la temperatura tiene derivadas primeras de cuadrado integrable, pero esto no es suficiente y se plantea un conflicto de regularidad. Recurrimos al teorema de la divergencia y transformamos la integral de frontera en una integral definida en el interior del dominio. Reformulamos el problema en sentido débil. Nuestra formulación es válida para cualquier dominio acotado con frontera plana en su parte superior. Lema 2. Sea un dominio acotado con frontera Lipschitz, tal que = Γ 0 con {x 3 = cte}. Si H 2 () entonces v 1 + v 2 = x 2 v, v X 0. (20) Las funciones Lipschitzianas son diferenciables en todos los puntos de su dominio, excepto en un conjunto de puntos de medida nula. Esto implica que en cada punto de la frontera de un dominio lipschitziano, excepto en un conjunto de medida cero, existe un plano tangente bien definido. Esto permite extender el Teorema de la divergencia a dominios Lipschitzianos div F dx = F n, para todo dominio Lipschitz, (21) donde F W 1,1 (; R 3 ) es un campo vectorial. Observación 3. La demostración del Lema 2 necesita cambiar el orden de las derivadas parciales segundas. El Teorema de Schwartz establece que las derivadas parciales cruzadas conmutan el orden para cualquier función de clase C 2 (). Además, por definición de derivada en sentido débil ψ = 2 ψ = 2 ψ = 4 ψ, ψ C 2 c ()

5 Un problema de Bénard-Marangoni donde C 2 c () es el conjunto de funciones C 2 () con soporte compacto ω. Por tanto, si H 2 () entonces = 2, x 2 = 2 x 2, para casi todo x. (22) En particular, si H 2 () podemos asegurar que 2 ψ = ψ, 2 ψ = ψ, ψ L 2 (). (23) x 2 x 2 Demostración del Lema 2. Sea n = (n 1, n 2, n 3 ), teniendo en cuenta la definición de, resulta que n Γ1 = e 3, y entonces n 1 = n 2 = 0, n 3 = 1, on. (24) Ahora, teniendo en cuenta (24) y el hecho de que = Γ 0 podemos escribir φ n 3 = φ n 3, φ H0, 1 Γ x 0 (). (25) 1 Además, gracias al Teorema de la divergencia, tenemos que φ n 3 = ( ) φ +, (26) para cualquier φ H 1 (). Teniendo en cuenta el Teorema de la divergencia, y la definición de vector normal en, ver (24), resulta que ( ) para cualquier φ H 1 0, Γ 0 (). Además, ( ) φ n 1 = Γ 0 φ + en concecuencia, de (27) y (28), podemos escribir 2 φ n 1 + φ n 1 = 0, (27), φ H 1 (), (28), φ H 1 0, Γ 0 (). (29) De (25)-(26), recordando la igualdad de Schwarz de las derivadas segundas cruzadas, ver (22), y la ecuación (29), deducimos, como primera conclusión, que 5, φ H 1 0, Γ 0 (). (30)

6 R. Pardo, H. Herrero Análogamente, sustituyendo x 1 por x 2 en (25)-(29) consecutivamente, obtenemos que es posible sustituir x 1 por x 2 en (30), y como segunda conclusion, tenemos x 2 x 2 x 2, φ H 1 0, Γ 0 (). (31) Por la definición de X 0, ver (10) y (8), para cualquier v X 0, sus componentes v 1, v 2 H 1 0, Γ 0 (). Eligiendo por tanto v 1 y v 2 como funciones test en (30) y (31) respectivamente, obtenemos que v 1 + v 1 v 2 = + v 2 x 2 x 2 y debido a que div v = 0, se concluye la demostración. ( v1 + v ) 2, v X 0, x 2 Definimos la forma bilineal a : X 0 X 0 R del siguiente modo, para u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) X 0, a( u, v) := Pr i=1 u i v i (32) y, dado f X 0 y H1 0, {x 3 =0} (), buscamos u = (u 1, u 2, u 3 ) X 0 tal que a( u, v) = f, v v X 0,X M Pr, v X 0. (33) El Lema de Lax-Milgram y la definición de norma en X 0, ver (9), implican la existencia de una solución débil de nuestro problema de Stokes con condiciones de contorno mixtas de tipo Dirichlet y Neumann no homogéneas. Lema 4. Dado f X 0 y H1 0, {x 3 =0} (), existe un único u = (u 1, u 2, u 3 ) X 0 que resuelve (33), y u X 1 Pr f X 0 + M H 1 0, x3 =0 (). (34) Definimos a continuación la forma bilineal a : X 0 X 0 R del siguiente modo, para u = ( u, ), v = ( v, ϑ) X 0, a(u, v) := Pr i=1 u i v i + ϑ + B ϑ + M Pr v. (35) Diremos que u = ( u, ) X 0 es una solución débil de las ecuaciones (15) (17) junto con las condiciones de contorno (5) (7) si a(u, v) = f, v X + g, ϑ Y,Y, v = ( v, ϑ) X 0 Y. (36) 6

7 Un problema de Bénard-Marangoni Asociado a la forma bilineal a, definimos un operador lineal y continuo A : X 0 X 0 del siguiente modo Au, v := a(u, v), v X 0 (37) donde X 0 es el espacio dual. Gracias a los lemas 2 y 4, podemos deducir la siguiente proposición. Proposición 5. Dada f = ( f, g) X 0, existe una única solución débil u = ( u, ) X 0 de las ecuaciones (15) (17) junto con las condiciones de contorno (5) (7). Además existe una constante C = C(,, Pr, B, M) tal que u X0 C f X 0. (38) Observación 6. La Propositción anterior establece que el operador inverso A 1 : X 0 X 0, definido cómo A 1 f = u, con f = ( f, g) y dónde u = ( u, ) es la solución débil de (15)-(17), (5)-(7), está bien definido y es continuo. Por las inmersiones compactas X 0 Y L 2 () 3 L 2 () podemos restringir el operador A 1 a L 2 () 3 L 2 () y considerar A 1 : L 2 () 3 L 2 () L 2 () 3 L 2 (), que es un operador compacto. Bifurcación local en el problema estacionario de Bénard-Marangoni Consideremos finalmente la formulación débil del problema de BM Sea b : X 0 X 0 X 0 R una forma trilineal dada por b(u, v, w) := i,j=1 u i v j x i w j + i=1 u i ϑ x i Θ (39) donde w = ( w, Θ). Se puede demostrar que la forma trilineal b es continua, i.e. b(u, v, w) C u X v X w X, u, v, w X 0 (40) Diremos que u = ( u, ) X 0 es una solución débil del problema de Benard-Marangoni (1) (3) con las condiciones de contorno (5) (7) si a(u, v) + b(u, u, v) = Pr R v 3 + B u 3 ϑ, v = ( v, ϑ) X 0 Y. (41) 1 + B Consideraremos que R es el parámetro de bifurcación, fijamos los restantes parámetros. En teoría de la bifurcación buscamos un valor del parámetro R = R 0 tal que la ecuación linealizada en u = 0 tenga un cero no trival. Gracias a que b es continua, u 0 = ( u 0, 0 ) X 0 Y está en el núcleo de la ecuación linealizada siempre que a(u 0, v) Pr R v 3 B 1 + B u 30 ϑ = 0, v X 0. (42) Diremos que L 0 (u 0 ) = 0, siempre que u 0 verifique la ecuación (42). El operador L 0 : X 0 X 0, gracias a la Observación 6 podemos considerar que el operador A 1 L 0 es una perturbación compacta de la identidad. Dado un cierto operador L, denotaremos por 7

8 R. Pardo, H. Herrero N (L) al núcleo del operador, de este modo N (L 0 ) representará al núcleo de la ecuación linealizada. ( La multiplicidad algebraica de R 0 es la dimension de j=1n (L 0 ) j). Diremos que R 0 es un autovalor simple generalizado si su multiplicidad algebraica es uno, en particular N(L 0 ) = span [u 0 ]. Sea L 0 el operador adjunto, gracias a la alternativa de Fredholm, dimn(l 0 ) = 1. Teorema 7. Supongamos que R 0 es un autovalor simple generalizado. Sea u 0 = ( u 0, 0 ) tal que N(L 0 ) = span [u 0 ]. Supongamos también que u 0, u 0 = 0. (43) Entonces, existe una curva de clase C 1 de soluciones débiles del problema de BM que atraviesa (R 0, 0), {(R(s), u(s)) : s < ɛ} R X 0 tal que u(s) s 0 (R(0), u(0)) = (R 0, 0), y u 0. s Además, hay un entorno de (R 0, 0) en el conjunto R X 0 para el que son las únicas soluciones no triviales del problema de BM dado por (41). Esquema de la demostración: Basta comprobar que se cumplen todas las condiciones del teorema de Crandall y Rabinowitz [3]. En particular, la condición conocida como condición de transversalidad se verifica gracias a la hipótesis (43). Para abordar los detalles, referimos a la Ref. [8]. Agradecimientos Henar Herrero está parcialmente financiada por el MCYT, MTM C02-01 y CCYT (Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha) PAC y PAI , que incluye FEDER. Rosa Pardo está parcialmente financiada por el MCYT, MTM (Ministerio de Educación y Ciencia, Spain), y GR74/07, Grupo (Comunidad de Madrid - UCM, Spain). Sección en el CEDYA 2009: EDP Referencias [1] Bénard H 1900 Rev. Gen. Sci. Pure Appli. 11, 1261 [2] Benguria, R.D. y Depassier, M.C. On the linear stability theory de Bénard-Marangoni convection. Phys. Fluids A 1(7), [3] M.G. Crandall y P.H. Rabinowitz, Bifurcation from simple eigenvalues, J. Functional Anal., Vol. 8, (1971). [4] Dauby P C y Lebon G 1996 J. Fluid Mech. 329, 25 [5] S. Hoyas, H. Herrero y A.M. Mancho. Thermal convection in a cylindrical annulus heated laterally. J. Phys. A: Math. Gen. 35, , [6] Lorca, S.A. y Boldrini, J.L. Stationary solutions for generalized Boussinesq models, J. Differential Equations 124 (1996), [7] D.A. Nield, Surface tension and buoyancy effects in cellular convection, J. Fluid Mech., 19, (1964), 341. [8] Pardo R., Herrero H. y Hoyas S. Theoretical study de bifurcations in a Rayleigh-Bénard problem. Preprint. [9] Pearson J R A 1958 J. Fluid Mech. 4, 489 8