UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÒMICAS CÀLCULO DIFERENCIAL APLICADO FUNCIONES Y GRAFICAS GUIA DE TRABAJO

Transcripción

1 INTERVALOS UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. Finitos Abierto Subconjunto de todos los números comprendidos entre a y b, ecluyendo a y b, simbólicamente (a, b) = { / a < < b} Gráficamente - a b Cerrado Subconjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a, b] = { / a b} Gráficamente - a b Semi-abierto o semi-cerrado (a, b] = { / a < b} - a b [a, b) = { / a < b} - a b Intervalos Infinitos: (a, ) = { / > a} - a [a, ) = { / a} - a

2 (-, a) = { / < a} - a (-, a] = { / a} - a Ejercicios. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica (,3) (0,3] [-, ) (-,) [-0.5, 4.5) ( ] [ ) ( ) Desigualdades Proposiciones tales como, se llaman desigualdades. En particular, y son desigualdades estrictas. La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Propiedades. Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera. El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. Desigualdades lineales

3 Ejemplo ( ) UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Solución: (- 8, + ) ( - 8 Ejemplo Primercaso Segundo caso Solución: 5, ] ( 3 3 ( 5 3 ] 4 3

4 Ejemplo 3. UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Solución: (-, 4] ] 4 Desigualdades Cuadráticas Ejemplo Factorando ( - 3)( -) 0 ( - 3)( -) 0 Igualando a cero Luego, = 3 y = Estos valores dividen a la recta real en tres intervalos: ; ; [3, ) Tomando puntos de prueba dentro de cada intervalo y remplazando en la desigualdad, obtenemos que para =0 y para = 4 la desigualdad no se cumple, mientras que para =, si, luego el intervalo solución es: Solución: [, 3] [ ] 3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Definición: a a a si si a 0 a 0 Propiedades. a b b a b. a b a b ó a b

5 Ejemplo 5: 7 9 Solución: UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA Por la propiedad tenemos que: Solución: (,8 ) ( ) - 8 Ejemplo 6. 3 Por propiedad tenemos: Primer 3 3 caso Segundo caso 3 3 Solución:, ) (, ) ( ) ( EJERCICIOS: resolver las siguientes desigualdades..

6 RELACIÒN Y FUNCIÒN Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto del producto cartesiano A B, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A B, por lo tanto: Ejemplo: Dados los conjuntos A = {,, 3, 4, 5}, B = {, 3, 5, 6} y la relación R definida como mayor que que vincula elementos de A con los de B (en ese orden) Forma implícita: R = {(, y) AB / y} Forma eplícita: R = {(,); (3,); (4,); (4,3); (5,); (5,3)}

7 El conjunto de pares ordenados que forman parte de R está compuesto por un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y además satisfacen la condición que define esa relación. Se dice que: Elementos de una relación R y o (, y ) R Volvamos al ejemplo anterior: El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que forman parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama de flechas es el de donde parten las flechas. El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de B que forman parte de la relación son el segundo componente de las parejas; en el diagrama de flechas es al que llegan las flechas. El Dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el Dominio es un subconjunto del conjunto de Partida, ya que algunos elementos del conjunto inicial pueden no formar parte de la relación. Simbólicamente: Dada R (AB), D R = { / A (,y) R} Imagen es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos una flecha. El conjunto Imagen es un subconjunto del conjunto de Llegada, ya que algunos elementos del conjunto final pueden no formar parte de la relación. Al conjunto Imagen, también se le llama Domino de Imágenes. Simbólicamente: En nuestro ejemplo: Dada R (AB), I R = { y / y B (,y) R}

8 Conjunto de Partida = {,, 3, 4, 5} Conjunto de Llegada = {, 3, 5, 6} Dominio R = {, 3, 4, 5} Imagen R = {, 3} DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función (f) es una regla que produce una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponda un elemento y sólo un elemento del segundo. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Recordemos que toda función es una relación pero toda relación no es función. Todas las relaciones que son funciones están definidas para un determinado intervalo de números en el conjunto de los Reales en un plano cartesiano. Si nombramos la función como y=f(), decimos que es la variable independiente de dicha función cuyos valores están definidos por el DOMINIO, además, y es la variable dependiente (pues depende de los valores que tome ) cuyos valores están definidos por el RANGO de la función. Como se definió anteriormente una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a X (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de una función está formado por aquellos valores de X (números reales) para los que se puede calcular la imagen de f(). RANGO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina f(), su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f() de los valores de X que pertenecen al Dominio de dicha función.

9 La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma Y de abajo hacia arriba. Gráficamente: f El dominio está dado por los elementos de salida: y el rango está dado por los elementos de llegada que son imágenes de cada elemente del dominio:. Se identifica también en este documento que eiste el CODOMINO y son todos los elementos del conjunto Y (los que son y no son imágenes) en la función de la gráfica C. Para determinar el dominio de una función tenga en cuenta lo siguiente:. Si f () es polinómica entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales, es decir Domf ( ) / (, ) Domf ( ) R p( ). Si f () es de la forma f ( ) entonces el dominio se epresaría así: q( ) Domf () R a i donde los a i son aquellos valores tales que q ( a i ) 0 3. Si f () es de la forma f ( ) n p( ) y n es par, entonces el dominio se ( ( esto nos muestra el hecho que si el índice de la raíz es par la cantidad subradical no puede ser negativa) 4. Si f () es de la forma f ( ) ln( p( )) el dominio se epresaría así: f ( ) / p( ) 0 R Ejemplos: epresaría así: Dom f ) / p( ) 0 R Dom Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:. Sea la función constante...

10 Como es una función cuadrática es decir de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f() = R y El eje Y empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4 lo que quiere decir que el Rango = [ 4, + ). 5.. Igualando el denominador a cero: se encuentra que = con lo que el. Para hallar el rango se despega la variable quedando asì entonces el 6. es una función con raíz cuadrada por lo que el dominio está restringido es decir con lo que 4 entonces: El Dominio f ( ) / 4 R o lo que es lo mismo 4,. Y para el rango tenemos que despejar a así: y 4 por tanto el rango son todos los números reales.

11 4 7. f ( ) En esta función tenemos dos casos, el de la raíz de índice par y la variable en el denominador, por tanto se debe cumplir que 0, f ( ) R / es decir el Dominio EJERCICIOS. Hallar el dominio de cada función FUNCION LINEAL. Una función b lineal se define por f ( ) m b. Donde m y b son constantes y m 0. Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su intercepción y u ordenada al origen es b. El dominio de cualquier función lineal es (, ), y el rango es igual a su dominio siempre y cuando m 0

12 b b b b m0, b0 m0, b0 m0, b0 m0, b0 FUNCION CONSTANTE. Una función constante es una función lineal de la forma f ( ) b, donde b es un número real. El rango para este tipo de función es b. b b b 0 b 0 En la definición de función lineal se utilizó el término pendiente, el cual corresponde a la medida de la inclinación de la línea recta que representa a la función. Una forma de medir dicha inclinación es comparar su cambio vertical (la elevación) con el cambio horizontal (el avance) cuando se avanza a lo largo de la recta de un punto fijo hacia otro, es decir, dados dos puntos distintos y y, y la razón de cambio en y al cambio en, se epresa y y m,

13 Ejemplo. Trace la gráfica de la recta que tiene pendiente de / 3 y pasa por el punto,4. En primer lugar, hay que localizar el punto,4 en una gráfica, como se muestra en la figura, después con la definición de pendiente, y y m 3 Hay que moverse dos unidades hacia arriba en la dirección y, y después tres unidades a la derecha en la dirección, para ubicar otro punto de la gráfica (denotado con P) la recta que pasa por,4 y P, es la gráfica que se pide. Ejemplo. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos, y 5,3. Si,, y y 5,3, y y y m 3 ( ) 4 5 7, entonces Si los puntos se ubican en forma contraria la pendiente sigue siendo la misma. Ejemplo 3. Calcule la pendiente, si fuera posible, de cada una de las rectas siguientes. a) 3 Tras una simple inspección, se tiene que 3,5 y 3, 4 son dos puntos que satisfacen la ecuación 3. Utilizando estos puntos para encontrar la pendiente tenemos y y m Pendiente indefinida 3 ( 3) 0 Corresponde esta ecuación a una función? Eplique. b) y 5

14 De igual manera tómese los puntos pendiente y y m ( ) 4 3,5 y,5 Corresponde esta ecuación a una función? Eplique. 0, y utilícese la definición de Si se conocen dos puntos de una recta, es posible obtener la ecuación de la recta. En primer lugar, se encuentra la pendiente con la fórmula de ésta, luego se utiliza su valor en la forma y m( ) y que recibe el nombre de forma puntopendiente con uno de los puntos dados. Si lo que se conoce es la pendiente y la intercepción con el eje y tiene las coordenadas (0, b ). Entonces, se obtiene que la fórmula es y m b, que se conoce como forma pendiente-intercepto. Ejemplo 4. Obtenga la formula de la función lineal representada en la recta que pasa por los puntos ( 4,3) y (5, 7). En primer lugar se obtiene la pendiente, por medio de la definición y y m ( 4) 9 Como (, y) puede usarse cualquiera de ( 4,3) y (5, 7), en la forma puntopendiente de la ecuación de la recta. Si se emplea ( 4,3) tenemos y m( ) y 0 y ( 4) 3 9 y y 9 9 Luego la función lineal es 0 3 f ( ) 9 9

15 Ejemplo 5. Dibuje la gráfica de la función lineal f ( ) 3. Diga el dominio y el rango. Por tratarse de una función lineal no constante, tanto el dominio como el rango es (, ), por otro lado para trazar la gráfica de la función ubique la intercepción con y, (0,3). Desde este punto, use la pendiente para ir dos unidades hacia abajo y una a la derecha. Este segundo punto se emplea para obtener la grafica de la figura Ejemplo 6. Dibuje la gráfica de la función lineal f ( ). f ( ) Nótese que el punto de intercepto es (0,), desde este punto, use la pendiente para introducir una unidad hacia abajo y dos unidades a la derecha, este segundo

16 punto (,3) se emplea para obtener la grafica uniéndolo con el primero como muestra la figura EJERCICIOS:. Dibuje la gráfica de cada función lineal. Escribe el dominio y el rango. a) f ( ) 5 b) h( ) c) k( ) 3 d) g( ) 4 e) f( ) 4. Cuál de las siguientes ecuaciones define una función lineal? Eplique. 5 a) y 4 b) c) y y d) y 3. Determine una ecuación que satisfaga las condiciones que se eponen. son funciones? a) Pasa por (9,5) ; pendiente 0. b) Pasa por (9,0) ; pendiente indefinida. 4. Hallar (si es posible) la función que pasas por los dos puntos. a) (3,4) y (5,8) b) * (,5) y ( 8,) c) d), 5 5 y 4, , 4 3 y, Halle la función de la recta que satisface las condiciones que se eponen. 5 a) m ; b 8 3

17 b) m5; b 5 c) m ; b 6. Eplique por qué la forma punto-pendiente de una ecuación no puede usarse para encontrar la ecuación de una recta vertical. 7. TARIFAS DE TAXIS. a) Suponga que un taista cobra $.50 por milla. Complete la tabla con la respuesta correcta para el precio f( ) que cobra por un viaje de millas. f( ) 0 3 b) La función lineal que da una regla para la cantidad que cobra es f( ). c) Trace la gráfica de esta función para el dominio 0,,,3 FUNCION CUADRATICA Una función es una función cuadrática si y solo si puede escribirse de la forma, donde son constantes y. Por ejemplo: A las funciones cuadráticas también se les llama funciones de segundo grado porque en la epresión el mayor eponente de la variable es. La representación grafica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. En la parábola se pueden distinguir varios elementos: abertura, vértice, eje de simetría, intercepto con el eje y e intercepto con el eje.

18 La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo, teniendo en cuenta lo siguiente: Si con entonces la parábola abre hacia arriba y su punto mínimo es el vértice. Si con entonces la parábola abre hacia abajo y su punto máimo es el vértice. El vértice V es un punto de coordenadas en el cual La recta paralela al eje y que pasa por el vértice se llama eje de simetría. La parábola tiene un intercepto con el eje y en el punto, este valor se halla al remplazar por 0 en la función. Mientras que los interceptos con el eje, se hallan al remplazar por 0 en.

19 El dominio una función cuadrática es el conjunto (números reales), el rango es el intervalo si la parábola abre hacia arriba, y es si la parábola abre hacia abajo. EJERCICIOS Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el rango En los ejercicios del al 4 no haga la grafica. Para la parábola, encuentre el vértice. El vértice corresponde al punto más alto o más bajo de la grafica?. Repita el ejercicio anterior si 3. Para la parábola, encuentre la intersección con el eje, las intersecciones con el eje y el vértice.

20 4. Repita el ejercicio anterior si EN LOS EJERCICIOS DEL 5 AL 8 ESTABLEZCA SI MAXIMO O MINIMO Y ENCUENTRE ESE VALOR. TIENE UN VALOR FUNCION RACIONAL Una función es una función racional si donde son polinomios y. El dominio de está formado por todos los números reales ecepto los ceros del polinomio que está en el denominador. Por ejemplo, las funciones: racionales y sus dominios son respectivamente:. son funciones El rango de una función racional puede determinarse al trazar su gráfica. GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los valores para los cuales la función no está definida. Asíntota vertical La recta es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional, si tiende a o si cunado tiende a por la izquierda o por la derecha. Asíntota horizontal La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de una función racional, si cuando o cuando.

21 FUNCION EXPONENCIAL Una función eponencial es una función de la forma donde es una constante positiva. Recordemos que:. n a a. a. a... a nveces. a 0 3. a a n 4. a n a mn m 5. a a a m mn a 6. a n a m mn 7. n a a n n n 8. ab a b n Eisten dos tipos de funciones eponenciales las cuales se ilustran a continuación: y a si 0 a, si a FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Se llama función eponencial natural a aquella función eponencial cuya base es el número e, es decir y e ; donde e es un número irracional cuyo valor aproimado es e

22 EJEMPLOS Resolver la siguiente ecuación eponencial haciendo uso de las propiedades: 8 Solución De donde:. Solución: ) 4)( ( 0 4 La segunda ecuación es imposible por lo tanto la solución es: 4 EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales: ) = 8 ) 0 = 00 3) 4-3 = 8 4) 5 - = 5 5) = 64 6) 7 + = 9 7) 8)

23 4e 9) 3 e UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA 0) 4e e Para resolver los ejercicios del 8 al 0 recuerde la equivalencia entre la función eponencial natural y el logaritmo natural. FUNCION LOGARITMICA La función logarítmica de base es la inversa de la función eponencial de base. Los valores de la función se denotan como y puesto que y la función eponencial con base son inversas se puede afirmar que: El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su recorrido es el conjunto de los números reales. La función, tiene las siguientes características: a. Si entonces aumenta a medida que aumenta. b. Si, disminuye a medida que aumenta. c. Si entonces es positivo si. d. Si, entonces es negativo si e. La función no está definida para f. La función logarítmica corta al eje siempre en g. h. Si entonces tiende a menos infinito a medida que tiende a cero por la derecha. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS a. b. c. d. e.

24 f. g. Ejemplo: Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar la epresión Solución: Ejemplo: Graficar la función Dominio Recorrido Asíntota: Corte : Creciente 0,5 0,5 0,5 4 8 y EJERCICIOS:. Dadas las funciones determine: Dominio, Rango, Asíntota, Corte con el eje y determine si es creciente o decreciente.

25 a. b.. Epresa como un solo logaritmo aplicando las propiedades. a. b. 3. Resolver las siguientes ecuaciones: a. b. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. La función valor absoluto es una función específica que permite calcular la distancia de cualquier número real a cero y se representa como. La función valor absoluto se define de la siguiente forma: El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, mientras el rango son los reales mayores o iguales a cero. GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO En la grafica se observa que el valor absoluto de un número real nunca es negativo, es decir,.

26 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES Las funciones no son números. Pero al igual que ellos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse como veremos a continuación. SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES. La suma y diferencia de funciones se determina de la siguiente manera: Los dominios respectivos de son respectivamente de manera que el dominio de la función suma o de la función diferencia son: Ejemplo. Sean., entonces: (Ver figura ) y = ^- y = ^ y = ^ PRODUCTO DE FUNCIONES. Figura.

27 El producto de dos funciones se establece de la siguiente manera: Los dominios respectivos de son de manera que el dominio de la función producto es: Ejemplo. Sean., entonces: (Ver figura ) y = ^- y = ^4 + ^3-8^ y = ^ COCIENTE DE FUNCIONES. Figura. El cociente de dos funciones se define de la siguiente manera: Los dominios respectivos de son respectivamente de manera que el dominio de la función cociente es: Ejemplo. Sean., entonces: El dominio (Ver figura 3)

28 y = ^ - y = ^+-7 y = ^ + - 7/ ^ - EJERCICIOS. Figura 3.. Dada las siguientes funciones, encuentra: intercepto de la gráfica de f con los ejes coordenados, el dominio, rango de f y Dibuje la gráfica de f. a. b... Sean las funciones,,, definida en los R, determina: a. b. c. d. e. f. 3. Sean las funciones,,, definida en los R, determina: a. b. FUNCIONES POR PARTES O A TROZOS Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable independiente (variable ), esto hace que en muchos casos se necesite

29 hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se definen como funciones por partes o a trozos. La función valor absoluto es un caso especial de una función por partes Ejemplos Para esta función si la variable independiente toma valores inferiores a -3 el criterio es, pero si son valores mayores o iguales que -3 el criterio es. Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente grafica: y Note que De igual manera que el ejemplo anterior, para valores menores o iguales acero el criterio es y para valores estrictamente mayores que cero el criterio es Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente grafica:

30 y Otro elemento importante a tratar aquí es que las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la función. Ejemplo : Representemos la función resultante. Paso. Paso. Paso 3. Gráfica.

31 D = R Ejemplo : Representemos la función resultante. Paso. Paso. Paso 3. Gráfica. D = R - El costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso en una determinada empresa es. La regla que utiliza esta empresa es la siguiente: el costo es de.5 centavos de dólar hasta por un onza, mas un dólar por cada onza sucesiva hasta onzas ( peso máimo admitido por correo). Eplícitamente tenemos la función por partes:

32 Siguiendo estos criterios la grafica seria la siguiente: y Esta clase especial de las funciones por partes se le denomina función escalón o escalonada. Ejemplo: Sea la función f definida por Determine el dominio y el rango y dibuje su gráfica. Solución. El dominio de f es. La figura muestra la gráfica de la función; consta de una porción de la recta y = + para la cual. El punto (3,5) y la parte de la recta y= + para la cual. Los valores de la función son números menores que, el numero 5 o números mayores que 7. Por tanto el rango de la función es el número 5 y aquellos números en

33 Observación.. En algunos ejemplos las funciones están epresadas con el dominio restringido, Sea la función Entonces el dominio de f consta de todos los números reales entre y 0 incluidos estos. FUNCIÓN COMPUESTA Sean dos funciones. La función dada por se llama compuesta de.el dominio de es el conjunto de todas las del dominio de tales que este en el dominio de. Ejemplo. Dadas las funciones, encontrar y a) b)

34 Solución a) UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA b) Observe en este último (inciso ) que no todas las del dominio de (por ejemplo ) son tales que este en el dominio de. Ejercicios. En los ejercicios del al 3 evaluar la función como se indica. Determine su dominio y grafique En los ejercicios del 4 al 5 encontrar y 4. 5.

35 INTERSECCION ENTRE DOS FUNCIONES Dadas dos funciones f y g, la intersección entre ellas es el punto o puntos (,y) tales que f() = g(). Ejemplos:. Hallar la intersección entre las funciones f ( ) 4 3 g( ) Solución : Igualamos las dos funciones así: 4 3 luego resolvemos la ecuación 4 3 ahora remplazamos este valor en cualquiera de las dos funciones para hallar la pareja ordenada f ( ) 4() por tanto el punto de intersección es (, ).. Hallar la intersección entre las funciones f ( ) 3 g( ) 4 Solución : Igualamos las dos funciones así: 3 4 luego de donde 5 3 cuyas parejas respectivamente son: g ( 5) 4(5) 3 g( 3) 4( 3) 0 por tanto los puntos de intersección son: ( 5, 3) y ( -3, 0) APLICACIONES FUNCIÒN COSTO TOTAL. Sea la función de costo total, la cual está dada por la suma de los costos variables con los costos fijos, es decir,, donde representa los costos variables y representa los costos fijos. FUNCIÒN INGRESO TOTAL Sea la función de ingreso total, la cual está dada por el producto entre el precio y el número de unidades que se vendan de un producto, es decir,, donde representa el precio y representan el número de unidades. FUNCIÒN UTILIDAD Sea la función de utilidad, la cual está dada por la diferencia entre los ingresos y los costos, es decir,. A continuación te presentamos algunos ejercicios resueltos para que te puedas guiar y resolver de manera acertada los ejercicios propuestos sobre esta temática en particular.

36 Ejercicio No. Peripheral Visions Inc., produce cintas de audio con calidad de estudio de concierto en vivo. La compañía publica un anuncio en un boletín comercial. El costo del anuncio es de $00. Producir cada cinta cuesta $0, y la compañía cobra $4 por cada una. a) Eprese el costoc como función de, el número de cintas producidas. El costo fijo es de $00, y por cada cinta que se produce el costo variable es de $0. Por tanto, el costo se epresa como función de, el número de cintas que se produce es: C( ) 0 00 (C en dólares). b) Eprese el ingreso R como función de, el número de cintas vendidas. Puesto que cada cinta se vende en $4, el ingreso está dado por R( ) 4 c) Para qué valor de el ingreso es igual al costo? La compañía estará en equilibrio (sin utilidad ni pérdida) mientras el ingreso iguale al costo, es decir R( ) C( ). Por tanto R( ) C( ) Lo que significa que si se producen y venden 5 cintas, la compañía estará en equilibrio. d) Trace la gráfica del costo y del ingreso en el mismo sistema de coordenadas e interprete la gráfica. Para trazar la gráfica de cada uno se procede asi: En el caso de C( ) 0 00, ubique la intercepción con y, (0,00); se remplaza 5 (que es el valor de equilibrio) en la función y vemos que ésta pasa por el punto (5,600), se traza una recta uniendo los puntos. Para el caso de R( ) 4, se ubica la intercepción con y en (0,0), se traza la recta pasando por el punto (5,600) pues este es el punto de equilibrio.

37 En la figura se observa que si se producen y se venden 5 cintas, tanto el costo como el ingreso son de $600. Si se producen y se venden menos de 5 cintas, la compañía pierde dinero. En el caso de más de 5 cintas, se presenta una utilidad. Ejercicio No. Una compañía ha determinado que el costo de producir de su producto por semana está dado por: unidades Evalúe el costo de producir:.. 3. Solución:. El costo de producir unidades por semana està dado por: Luego el costo de producir unidades por semana es de El costo de producir unidades por semana està dado por: Luego el costo de producir unidades por semana es de 3. El costo de producir ninguna unidad por semana está dado por:

38 Luego el costo de producir ninguna unidad por semana es de Ejercicio No. La demanda mensual, de cierto artículo al precio unidad está dada por la relación dólares por El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de por unidad y los costos fijos son de al mes. Qué precio por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máima mensual? Solución: El costo total (en dólares) de producir unidades al mes es La demanda está dada por Sustituyendo en, se tiene que: El ingreso (en dólares) obtenido por vender unidades a dólares por unidad es La utilidad y el costo (en dólares) està dada entonces por la diferencia entre el ingreso Sustituyendo en, se tiene que: La utilidad es una función cuadrática de, es decir, tiene la forma

39 Puesto que, la gráfica es una parábola que abre hacia abajo y la utilidad máima se alcanza en el vértice. En este caso tenemos que:. El vértice de la parábola está dado por En consecuencia un precio de por unidad debe fijarse al consumidor con el propósito de obtener una utilidad máima. La utilidad máima se puede calcular por la siguiente epresión: Por consiguiente la utilidad máima será de al mes. EJERCICIOS.. Una empresa que fabrica correas para perros, estima que el costo C (en dólares) de producir cintas, esta dada por la función a) Calcule el costo de producir 50 unidades b) Si el costo fue de U$ 700 Cuántas correas se fabricaron?. Un fabricante determina que el ingreso R por la fabricación y venta de artículos está dado por a) Calcule el ingreso si se producen y venden 00 artículos. b) Si el ingreso obtenido es U$000 determine el número de artículos vendidos.

40 TALLER I. Hallar el dominio de cada función a) b) c) d) II. Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el rango. a) b) III. Establezca si tiene un valor maimo o minimo y encuentre ese valor. a) b) IV. Dada la función, encuentra la pareja intercepto de la gráfica de f con los ejes, el dominio, el rango y dibuje la gráfica. V. Sean las funciones,,, definida en los R, determina: a) b) c) La intersección entre VI. Sean las funciones,,, definida en los R, determina: VII. Evalúa la función como se indica. Determine su dominio y grafique.

41 Trabajadores por beneficiario UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA VIII. Encontrar y a. b. IX. Una empresa que fabrica correas para perros, estima que el costo C (en dólares) de producir cintas, está dada por la función a. Calcule el costo de producir 50 unidades b. Si el costo fue de U$ 700 Cuántas correas se fabricaron? X. Un fabricante determina que el ingreso R por la fabricación y venta de artículos está dado por XI. a. Calcule el ingreso si se producen y venden 00 artículos. b. Si el ingreso obtenido es U$0000 determine el número de artículos vendidos. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico responda , ,4, Año

42 XII. UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA a. Puede entenderse este gráfico como una función? Eplique y encuentre el dominio y rango. b. Cuál es la imagen de 950? cuál es la imagen de 990? eplique su significado. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de unidades de un producto se determina por medio de U( ) Además, suponga que para cierto mes, el número de unidades producidas en el día t del mes es q( t) 000 0t. a. Encuentre p q( t ), Qué representa este resultado? b. Encuentre el número de unidades producidas y la ganancia en el día quince del mes XIII. Una agencia cobra $0 por persona por un viaje a un concierto si 30 personas viajan en un grupo. Pero para cada persona por encima de las primeras 30, el cargo se reducirá $0,0. Si representa el número de personas por encima de las primeras 30, escriba el ingreso de la agencia I( ). BIBLIOGRAFÍA CASAS H. DANIEL R. Elementos de matemáticas para Economía. Universidad del Rosario. Bogotá 007. Primera Edición l anizacion/%0departamentos/matematicas/apuntes/intervalos%0y%0s emirectas.pdf 3%9.pdf APOSTOL, TOM. Calculus. Volumen, Editorial Reverté, Barcelona 975 BAUM, ALAN Y OTROS. Cálculo Aplicado. Editorial Limusa. Méico, 99 DRAPER, JEAN E. y KLINGMAN, JANE S. Matemáticas para administración y Economía. Harla. Méico ERNEST F. HAEUSSLER, JR. RICHARD S. PAUL. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y la vida. Prentice Hall. Méico HARSHBARGER, RONALD Y REYNOLDS, JAMES. Matematicas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales. McGraw Hill. Méico 005. HOFFMANN, L. Cálculo aplicado. McGraw Hill. Méico 985. JAGDISH C. ARYA y ROBIN W. LARDNER. Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. Prentice Hall. Méico. LEITHOLD, LOUIS. Cálculo. Harla. Méico PIOTR MARIAN WISNIEWSKI y otros. Problemario de Cálculo diferencial de una variable. Internacional Thomson Editores. Méico, 00

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