DEBER N 3 MONOTONÍA Y PARIDAD DE FUNCIONES

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1 1. Conteste las siguientes preguntas: DEBER N 3 MONOTONÍA Y PARIDAD DE FUNCIONES a) Cuándo una función es creciente? Explique. b) Cuándo una función es estrictamente creciente? Explique. c) Cuándo una función es decreciente? Explique. d) Cuándo una función es estrictamente decreciente? Explique. x si x < 1 2. Demostrar que la función f definida por :f(x) = { x 2 si 1 x 4 8x 1/2 si x > 4 es estrictamente creciente. 3. Demostrar que la función g definida por g(x) = 1 x 2 +1 es monótona a trozos 4. Demostrar que la función h definida por h(x) = x 3 es estrictamente creciente en R. 5. Determinar si las siguientes funciones son pares e impares: a) f(x) = x 2 b) g(x) = x 2 3 c) h(x) = 1 x x 3 +1 d) j(x) = x e) f(x) = x x 2 x FUNCIÓN LINEAL, ECUACIÓN DE LA RECTA 6. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) A(4, 1) y B( 4,6) b) A(3,0) y el origen 7. Sea L la recta que pasa por los puntos A = ( 2, 3) y B = (2, 5), encuentre la ecuación de la recta y realice un gráfico: 8. Encontrar la ecuación general de la recta dadas las siguientes condiciones y dibujar. a) Pasa por el punto ( 3,4) y tiene pendiente 5 b) Pasa por los puntos (0, 4) y (2, 8) c) Pasa por el punto (2,2) y es paralela a y = 3x 4 2 d) Pasa por (3, 6) y es perpendicular a la recta 3y = 5x 3 + 3

2 APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL 1. Por razones de comparación, un profesor quiere cambiar la escala de calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de manera que la calificación máxima siga siendo 100 pero el promedio sea 65 en lugar de 56. ( a ) Encuentre una ecuación lineal que haga esto. [Sugerencia: el profesor quiere que 56 se convierta en 65 y 100 permanezca como 100. Considere los puntos (56,65) y (100, 100) y, de manera más general, (x, y), donde x es la calificación anterior y y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto pendiente. Exprese y en términos de x]. ( b ) Si en la nueva escala 62 es la calificación más baja para acreditar, cuál fue la calificación más baja para acreditar en la escala original? 2. El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la fórmula L = 1,53t 6.7, dónde L es la longitud (en cm) y t es el tiempo (en semanas). La longitud prenatal se puede determinar por ultrasonido. Calcule la edad de un feto cuya longitud es 28 centímetros. Respuesta: 23 semanas aproximadamente. 3. Un bebé pesa 10 libras (lb) al nacer y tres años después alcanza 30 lb. Suponga que el peso W (en lb) en la infancia está relacionado linealmente con la edad (t en años). (a) Exprese W en términos de t. Rta.: W = 20 t + 10 (b) Cuál será W cuando el niño cumpla 6 años? Rta.: 50 lb. 3 (c) A qué edad pesará 70 lb? Rta.: 9 años. (d) En un plano tw (t en x) y (W en y) trace una gráfica que muestre la relación entre W y t para 0 t Inscripciones en una escuela Una escuela proyecta que las inscripciones disminuirán mientras el grupo de solicitantes en edad escolar empieza a reducirse. Han estimado que el número de solicitudes para los próximos años se comportarían de acuerdo con la función a = f(t) = t Donde a equivale al número de solicitudes de admisión a la escuela y t es igual al tiempo en años medido desde el año actual (t = 0). a ) Esta función es un ejemplo de qué clase de funciones? b ) Cuál es el número de solicitudes esperadas dentro de 5 años? Dentro de 10 años?

3 c ) Cree que esta función es precisa como un indicador de pronóstico indefinidamente en el futuro? Qué tipos de factores influirán el dominio restringido en t? 5. La gráfica que relaciona las temperaturas en grados Celsius con la de grados Fahrenheit es una línea recta. El agua se congela a 0 y 32, y hierve a 100 y 212. a ) Suponiendo que y corresponden a x, escriba la ecuación que relaciona a x y a y. b ) Trace la gráfica de la ecuación de la parte (a). c ) A qué temperatura Fahrenheit corresponden 20? d ) A qué temperatura Celsius corresponden 86? 6. Las ballenas azules recién nacidas miden alrededor de 24 pies de largo y pesan 3 toneladas. Los cetáceos jóvenes son amamantados durante 7 meses y, al momento del destete, muchos miden 53 pies de largo y pesan 23 toneladas. Denotemos con L y W la longitud en pies y el peso en toneladas, respectivamente, de una ballena de t meses de edad. a ) Si L y t están relacionados linealmente, exprese L en términos de t. b ) Cuál es el aumento diario en la longitud de una ballena joven? (Use 1 mes = 30 días.) c ) Si W y t están relacionados linealmente, exprese W en términos de t. d ) Cuál es el aumento diario en el peso de una ballena joven? 7. Derrape de un automóvil. La policía ha usado la fórmula v = 30fd para estimar la velocidad (en millas por hora) de un automóvil, que derrapó un tramo de d pies al frenar. La literal f es el coeficiente de fricción, determinado por la clase de camino [como concreto, asfalto, grava o chapopote (brea)] y si está húmedo o seco. En la tabla se dan algunos valores de f. A 45 millas por hora, aproximadamente cuántos pies derrapará un automóvil en un camino de concreto seco? Redondee su respuesta al pie más cercano. Concreto Chapopote Húmedo Seco

4 8. Huelga de conductores. Hace algunos años los transportistas de cemento sostuvieron una huelga de 46 horas. Antes de la huelga recibían $7.50 por hora y trabajaban 260 días, 8 horas diarias durante un año. Qué porcentaje de incremento en el ingreso anual fue necesario para compensar la pérdida de estos 46 días en un año? FUNCIONES CUADRÁTICAS 1. Determinar: El vértice, e indique si este punto es máximo o mínimo, puntos de intersección con los ejes (interceptos), el intervalo donde la función es creciente y el intervalo donde la función es decreciente, dibuje la función. (compruebe la gráfica y sus elementos utilizando el graficador geogebra) a) g(x) = x 2 + 5x 6 b) h(x) = 2x 2 + x + 3 c) f(x) = 4x 2 + 8x + 7 d) i(x) = 1 2 (x2 + 6x + 5) e) f(t) = t 16t 2 f) f(t) = 2t(3 t) + 4t 2 g) f(x) = ( x 1)( x + 3) h) f(x) = (x 5)(x + 2) APLICACIONES: 2. Dieta para ratas. Un grupo de biólogos estudió los efectos nutricionales en ratas alimentadas con una dieta que contenía 10% de proteínas. La proteína estaba compuesta de lavadura y harina de maíz. Al cambiar el porcentaje P (expresado con un decimal) de levadura en la mezcla proteínica, el grupo estimó que el promedio de aumento de peso g (en gramos) de una rata, durante cierto período, estaba dado por: g = 200P P + 20 Cuál es el porcentaje de levadura que proporciona un aumento promedio de peso de 60 gramos? 3. Movimiento. Suponga que la altura h de un objeto (pelota) que se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por h = 39.2t 4.9t 2,

5 donde h está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos (a) Después de cuántos segundos el objeto cae al piso? (b) Cuándo se encuentra a una altura de 68.2 m? 4. Un campo petrolero con 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios. Por cada nuevo pozo que se perfore, la producción diaria de cada pozo decrece en 5 barriles. Escriba la producción diaria total del campo petrolero como una función del número x de nuevos pozos perforados. Determine numéricamente el número de nuevos pozos petroleros que deben perforarse para maximizar la producción diaria total del campo petrolero. 5. Unos ingenieros de tránsito están diseñando un tramo de carretera que conectará una calzada horizontal con una que tiene una pendiente del 20% (es decir, pendiente (1/5), como se ilustra en la figura. La transición suave debe tener lugar sobre una distancia horizontal de 800 pies, con una pieza parabólica de carretera para conectar los puntos A y B. Si la ecuación del segmento parabólico es de la forma y = ax² + bx + c, se puede demostrar que la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, y) sobre la parábola está dada por m = 2ax + b. (a) Encuentre una ecuación de la parábola que tienen una recta tangente de pendiente 0 en A y (1/5) en B. (b) Encuentre las coordenadas de B.

6 6. Una pieza de alambre de24 pulgadas de largo se dobla en forma de rectángulo con ancho x y largo y. (a) Exprese y como función de x. (b) Exprese el área A del rectángulo como función de x. (c) Demuestre que el área A es máxima si el rectángulo es un cuadrado. 7. Una compañía vende zapatos deportivos a distribuidores, a razón de $40 el par si su pedido es de menos de 50 pares. Si un distribuidor solicita 50 o más pares (hasta 600), el precio por par se reduce a razón de 4 centavos por el número pedido. De qué cantidad debe ser el pedido para producir la máxima cantidad de dinero para la compañía? 8. Una empresa de bienes raíces es propietaria de 218 departamentos en edificios, que están ocupados en su totalidad cuando la renta es $940 al mes. La empresa estima que por cada $25 de aumento en renta, 5 departamentos se desocuparán. Cuál debe ser la renta para que la compañía reciba el máximo de ingreso mensual? 9. Una entrada tienen la forma de un arco parabólico y mide 9 pies de alto en el centro y 6 pies de ancho en la base. Si una caja rectangular de 8 pies de alto debe caber por la entrada, cuál es el ancho máximo que la caja puede tener? BIBLIOGRAFÍA Lara, J.; Arroba, J.; (2012). Análisis Matemático. Sexta edición. Centro de Matemáticas Universidad Central del Ecuador (Quito Ecuador). Leithold, L. (2008). Matemáticas Previas al Cálculo, México, Oxford, Tercera edición Sáenz, R.; Lara, J.; Benalcázar, H.; León, H. (2003). Matemáticas Básicas. Segunda edición. Centro de Matemáticas Universidad Central del Ecuador (Quito Ecuador). Haeussler, E., Paul R. (2015). Matemáticas para Administración y Economía México, Pearson- Prentice Hall, Décima tercera edición. Swokowski, E.; Cole J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning. Décimo segunda edición. Páginas 225 y 226.