Integrales Dobles sobre regiones generales.

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Francisca Mora San Segundo
hace 6 años
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octorado en Educación Matemática Integrales obles sobre regiones generales. El teorema de Fubini puede ser etendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos.

1 octorado en Educación Matemática Integrales obles sobre regiones generales. El teorema de Fubini puede ser etendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cua área, denotada como da, está dada por: da d d d d Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana R tiene la forma: f, da maneras: R. Esta integral doble puede ser calculada de dos PRIMERO haciendo un barrido vertical f, d d b a f ( ) g( ) SEGUNO: Haciendo primero un barrido horizontal f, d d d c f g( ( ) )

2 octorado en Educación Matemática Cuando se va a calcular una integral doble en una región general, no rectangular, debemos distinguir dos casos diferentes: Regiones Tipo I, en las que debe integrarse primero la variable, Regiones Tipo, en las que debe integrarse primero la variable. Regiones tipo I Se dice que una región plana es tipo I si ace entre las gráficas de dos funciones continuas de, es decir:, / a b, g g g son continuas en a,b 1 donde g 1 EF: Si f es continua en una región tipo I tal que, / a b, g g, Entonces: 1 b g ( f a g1( ), da f, d d ) Regiones tipo II Se consideran las regiones planas de tipo II, que se pueden epresar como, / c d, g f donde g f son continuas. EF: Si f es continua en una región tipo II tal que, / c d, g f, Entonces: d f c g ( f ( ), da f, d d ) Ejemplo 1 Evalúe la integral doble las parábolas 1 da, en donde es la región limitada por Nota: Para determinar cuál variable conviene integrar primero, debemos de dibujar la región de integración determinar si es del Tipo I o es del Tipo II. Veamos el respectivo gráfico: Es una región tipo I que puede escribirse como, / 1 1, 1

3 octorado en Educación Matemática Ejemplo. Evalúe la integral da, donde es la región limitada por la recta 1 la parábola 6 Nota: Para determinar cuál variable conviene integrar primero, debemos de dibujar la región de integración determinar si es del Tipo I o es del Tipo II. Veamos el respectivo gráfico: Esta región es de tipo I II simultáneamente, pero si la miramos como región tipo I es más complicada porque el límite inferior consta de dos partes. Por tanto es preferible epresar la región como tipo II así: 6, / 1, - Igualamos las ecuaciones de las gráficas 1 reemplazo los valores de cada ecuación para obtener: , 5 con estos dos valores encontramos las respectivas coordenadas de cada punto 1, 5, da 1 1 d d d Nota. Si se hubiera epresado a como una región de tipo I se habría obtenido la integral: da d d d d Que requiere más trabajo que el método anterior.

4 octorado en Educación Matemática Ejercicios Evalúe la integral doble. 1. da donde, /,, da donde, / 0 1,,0. da donde, / 1 e,,0 sen. da donde, / 0,, e da donde, / 0,,0 6. cos da donde esta a cot ada por 0,, 1 7. da donde es la región triangular con vértices: 0,0, 1,1,, 8. da donde está encerrada por 0, da donde está acotado por el circulo con centro en el origen radio es la región triangular con vértices: 0,0, 1,, 0, 10. da donde 11. etermine el volumen del solido acotado debajo del plano - z 0 acotada por, arriba de la región 1. etermine el volumen del solido acotado debajo de la superficie región acotada por, z arriba de la

5 octorado en Educación Matemática Referencias: Stewart, J. (010). Cálculo de Varias Variables. Trascedentes Tempranas. Seta edición. Edamsa Impresiones S.A. de C. V. Iztapalapa, Méico,. F. Leithold, L. (1998). El cálculo. Traducción de la séptima edición en inglés de: THE CALCULUS 7. ISBN Printed in Meico. Grupo Meicano MAPASA, S.A. E C.V. Referencias de apoo complementarias: Apóstol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (nd edición). John Wile & Sons. ISBN Bourbaki, Nicolas (00). Integration I. Springer. ISBN En particular los capítulos III IV. Burton, avid M. (005). The Histor of Mathematics: An Introduction (6th edición). McGraw-Hill. p. 59. ISBN Cajori, Florian (199). A Histor Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp ISBN

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