Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Transcripción

1 UNIVRSIDAD NACIONAL D COLOMIA SD MDLLÍN FACULTAD D CINCIAS-SCULA D FÍSICA FÍSICA D OSCILACIONS ONDAS Y ÓPTICA MÓDULO # 19: L SPCTRO LCTROMAGNÉTICO TORÍA CLÁSICA- Dieg Lui Aritizábal R., Rbert Retrep A. Prfere, uela de Fíia de la Univeridad Nainal de Clmbia Sede Medellín 1 Tema Intrduión Sbre la implifiaión La euaine de Maxwell en frma integral La euaine de Maxwell en frma diferenial Interpretaión de la euaine de Maxwell Paar de la frma integral a la frma diferenial La euaión de nda eletrmagnétia. Tería láia La Fuerza de Lrentz e interaión de la OM n la materia. Taller bre OM Intrduión La nda eletrmagnétia (radiaión eletrmagnétia, OM) e una mbinaión de amp elétri y magnéti ilante y perpendiulare entre í, que e prpagan a travé del epai tranprtand energía eletrmagnétia de un lugar a tr. A diferenia de la nda meánia, m el nid, que neeitan un medi material para prpagare, la radiaión eletrmagnétia e puede prpagar en el vaí. La luz e ól una muy pequeña prión de la OM, e deir, del denminad epetr eletrmagnéti, Figura 1. Maxwell dearrlló una euaine, atualmente denminada euaine de Maxwell, de la que e deprende que un amp elétri variable en el tiemp genera un amp magnéti y, reípramente, la variaión tempral del amp magnéti genera un amp elétri: e puede viualizar la radiaión eletrmagnétia m d amp que e generan mutuamente, pr e n neeitan ningún medi material para prpagare. La euaine de Maxwell también predien que la velidad de prpagaión de eta nda e la velidad de la luz, que en el vaí equivale aprximadamente a km/ (); también predie que ella e prpagan perpendiularmente a la ilaine del amp elétri y magnéti que, a u vez, n perpendiulare entre í, Figura 2. l bjetiv de éte módul e mtrar l que e afirma en éte párraf.

2 Sbre la implifiaión n l módul # 16, # 17, # 18 bre óptia fíia, ól e tuv en uenta el amp elétri de la luz (también nid n el nmbre de amp ópti), en uy a e aimiló éte m i fuera una imple elngaión, n el fin de failitar la mprenión de la mayría de l etudiante del ur, debid a que n tienen fundamentaión en eletrmagnetim. Aí para la ituaión de la OM de la Figura 2, que e una OM plana y armónia que e enuentra plarizada linealmente en el plan XZ (la plarizaión la define el amp elétri) y que viaja en direión +Z, e eribiría, 2 x x = A en kz - wt + φ i l heh de que en l materiale dielétri e pueda depreiar l efet magnéti erá demtrad en éte módul. Adiinalmente en el módul ya e expreará explíitamente la naturaleza eletrmagnétia de la luz y en general de tda la OM, pr l que e eribirán la euaine rrepndiente a l d amp: elétri y magnéti, = en kz - wt + φ i x = en kz - wt + φ j y La euaine de Maxwell en frma integral n la Tabla 1 e ilutran la euaine de Maxwell en el vaí en u frma integral. Tabla 1 Nmbre Ley de Gau del amp elétri Ley de Gau del amp magnéti Ley de Faraday-Henry (y Lenz) Ley de Ampere-Maxwell q uaión integral enerrada φ = d = [1] ε φ = d = 0 [2] dφ d = dr = - =- d [3] dt dt dφ d = dr = μ i μ ε = μ i μ ε d [4] dt enerrada enerrada dt Si hay auenia de arga y rriente elétria, que erá el a que n interea en éte módul para mtrar que la OM e prpagan en vaí mplet, la euaine de Maxwell en u frma integral tman la frma de la Tabla 2.

3 Tabla 2 Nmbre Ley de Gau del amp elétri Ley de Gau del amp magnéti Ley de Faraday-Henry (y Lenz) Ley de Ampere-Maxwell uaión integral φ = d =0 [5] φ = d = 0 [6] dφ d = dr = - =- d [7] dt dt dφ d = dr = μ ε = μ ε d [8] dt dt 3 n la Tabla 1 y 2 l ímbl ignifian: irulaión del amp elétri, φ fluj del amp elétri, φ fluj del amp magnéti, ξ irulaión del amp magnéti, amp elétri, amp magnéti, t tiemp, uperfiie, línea urva, d diferenial de uperfiie, dr diferenial de deplazamient bre la urva. La ntante permitividad del vaí y u valre n, μ 4π 10 N.A 7-2 μ y ξ ε n la rrepndiente permeabilidad y ε 8, C. N. m La euaine de Maxwell en frma diferenial n la Tabla 3 e ilutran la euaine de Maxwell en el vaí en u frma diferenial. Tabla 3 Nmbre Ley de Gau del amp elétri uaión diferenial ρ = [9] ε Ley de Gau del amp magnéti = 0 [10] Ley de Faraday-Henry (y Lenz) Ley de Ampere-Maxwell = - t [11] = μ j + μ ε t [12] Si hay auenia de arga y rriente elétria, que erá el a que n interea en éte módul para mtrar que la OM e prpagan en vaí mplet, la euaine de Maxwell en u frma diferenial tman la frma de la Tabla 4.

4 Tabla 4 Nmbre uaión diferenial Ley de Gau del amp elétri = 0 [13] Ley de Gau del amp magnéti = 0 [14] Ley de Faraday-Henry (y Lenz) Ley de Ampere-Maxwell = - t [15] = μ ε t [16] 4 n la Tabla 3 y 4 l ímbl ignifian: amp magnéti, divergenia del amp elétri, divergenia del rtainal del amp elétri, rtainal del amp magnéti. Interpretaión de la euaine de Maxwell Ley de Gau del amp elétri nuniad de la frma integral l fluj del amp elétri (mejr eletrtáti) a travé de ualquier uperfiie errada (denminada uperfiie gauiana) e prprinal a la arga elétria neta enerrada en ea uperfiie. nuniad de la frma diferenial La divergenia del amp elétri e prprinal a la denidad vlumétria de arga elétria en una región (eta región e infiniteimal). Interpretaión La línea de amp elétri generad pr arga elétria en rep n línea abierta: e riginan en la arga pitiva (manantiale) y e umergen en la arga negativa (umider), Figura 3. Dada una ditribuión de arga elétria, y una uperfiie gauiana, al amp elétri en ualquier punt del epai (adentr, bre afuera de la uperfiie gauiana) ntribuyen tda la arga elétria (tant la que e enuentran adentr de la gauiana m afuera); in embarg, al fluj del amp elétri a travé de la uperfiie gauiana ól ntribuyen la arga elétria que e enuentran adentr de éta, Figura 4. xiten mnpl elétri: Hay divergenia del amp elétri dnde e enuentren arga elétria. Dnde haya arga pitiva hay divergenia de amp elétri y dnde haya arga negativa hay nvergenia (divergenia negativa).

5 5 Figura 3: Mnpl elétri Figura 4: Al fluj del amp elétri a travé de ntribuyen la arga enerrada Vide: tará argad un uerp? a/eta_argad.html Vide: Deteión del ign de una arga elétria.

6 detein_ign_arga.html Vide: Cargar el eletrpi pr ntat a/arga_ntat.html 6 Vide: Cargar el eletrpi pr induión arga_induin.html Ley de Gau del amp magnéti nuniad de la frma integral l fluj del amp magnéti a travé de ualquier uperfiie errada e er. nuniad de la frma diferenial La divergenia del amp magnéti e er. Interpretaión La línea de amp magnéti n línea errada, Figura 5: la línea de amp que entran a una uperfiie gauiana prveniente de una fuente de amp magnéti (que eté adentr afuera de la gauiana) vuelven a alir, Figura 6. deir n exiten mnpl magnéti: n exiten fuente de amp magnéti que ean manantiale umider úniamente; tda la fuente magnétia n a la vez manantiale y umider. Pr tant, n exiten regine (infiniteimale) del epai dnde etén ubiada fuente que generen divergenia neta de amp magnéti. Vide: l levitrón evitrn.html Vide:

7 quilibri magnéti-gravitainal equilibri_mahgneti_gravitainal.html 7 Figura 5 Figura 6 Vide: Cntruión de una brújula

8 a/brujula.html Ley de Faraday-Henry (y Lenz) Señala el amp magnéti variable en el tiemp m fuente de amp elétri. nuniad de la frma integral 8 La irulaión del amp elétri a travé de una trayetria errada e igual a MNOS la variaión tempral del fluj del amp magnéti a travé de ualquier uperfiie limitada pr ea trayetria, Figura 7. nuniad de la frma diferenial l rtainal del amp elétri e igual a MNOS la variaión tempral del amp magnéti. n tra palabra la variaión tempral del amp magnéti e fuente de rtainal ("trbellin") de amp elétri. Interpretaión La línea de amp del amp elétri generad pr variaine temprale del amp magnéti n línea errada. deir, la variaión tempral del amp magnéti genera "trbellin" de amp elétri rtgnal a la direión en que fluye el amp magnéti, Figura 8. Figura 7

9 9 Figura 8 Vide: Ley de Faraday a/ley_faraday.html Ley de Ampere-Maxwell Señala m fuente de amp magnéti tant a la arga elétria en mvimient (rriente elétria), m a l amp elétri variable en el tiemp (rriente de deplazamient). nuniad de la frma integral A la irulaión del amp magnéti a travé de una trayetria errada (denminada línea amperiana) ntribuyen tant la rriente elétria enerrada pr la trayetria m la variaine del fluj de amp elétri a travé de ualquier uperfiie limitada pr diha trayetria. nuniad de la frma diferenial Al rtainal del amp magnéti ntribuyen tant la denidade de rriente elétria m la variaión tempral del amp elétri (denidad de rriente de deplazamient). n tra palabra tant la denidade de rriente elétria m la variaión tempral del amp elétri n fuente de rtainal ("trbellin") de amp magnéti.

10 Interpretaión La línea de amp magnéti generad tant pr rriente elétria m pr variaine temprale del amp elétri n línea errada. Ademá de la arga en mvimient, la variaión tempral del amp elétri genera "trbellin" de amp magnéti rtgnal a la direión en que fluye el amp elétri, Figura Figura 9 Paar de la frma integral a la frma diferenial Para paar de la frma integral de la euaine de Maxwell a la frma diferenial, e neeari apliar l terema de la divergenia y del rtainal. Terema de la divergenia: Ad A dv V n dnde V e el vlumen enerrad pr la uperfiie S. A e una funión vetrial (amp vetrial). Terema del rtainal: Adr A d

11 n dnde S e la uperfiie limitada pr la urva. A e una funión vetrial (amp vetrial). De la frma integral de la ley de Gau para el amp elétri deduir la frma diferenial q φ = d = ε enerrada Apliand el terema de la divergenia, 11 d dv V De la denidad de arga vlumétria e tiene, dq ρ = dv q = V' ρdv Pr l tant la ley de Gau tma la frma, 1 dv = V ε V' ρdv Cm l habrá divergenia de amp elétri dnde haya preenia de arga elétria e pueden igualar V y V nluyénde que, ρ ε que e la ley de Gau del amp elétri en frma diferenial. De la frma integral de la ley de Gau para el amp magnéti deduir la frma diferenial φ = d = 0 Apliand el terema de la divergenia, d dv V Pr l tant la ley de Gau tma la frma,

12 V dv = 0 nluyénde que, 0 que e la ley de Gau del amp magnéti en frma diferenial. 12 De la frma integral de la ley de Faraday-Henry deduir la frma diferenial dφ d = dr = - =- d dt dt Apliand el terema del rtainal, dr d De la definiión de fluj e tiene, dφ d = d = d dt dt t Pr l tant la ley de Faraday-Henry tma la frma, = - t d= -.d t ' que e la ley de Faraday-Henry en frma diferenial. De la frma integral de la ley de Ampere-Maxwell deduir la frma diferenial dφ d = dr = μ i μ ε = μ i μ ε d dt enerrada enerrada dt Apliand el terema del rtainal, dr d

13 De la definiión de fluj e tiene, dφ d = d = d dt dt t De la definiión de denidad de rriente elétria, di j u d N 13 en dnde u N e el verr nrmal a la uperfiie que e atraveada pr la arga elétria, N i jd u jd y pr l tant la ley de Ampere-Maxwell tma la frma, d= μ j d μ ε d t ' '' = μ j + μ ε t que e la ley de Faraday-Henry en frma diferenial. La euaión de nda eletrmagnétia Cmbinand la denminada euaine de Maxwell en el vaí (e deir, in preenia de arga, q=0, =0 y de rriente elétria, i=0, J = 0 ), Maxwell enntró que l amp elétri ( ) y magnéti ( ) induid e prpagaban en el vaí m nda aplada iland rtgnalmente entre ella y prpagánde a la velidad de la luz en la direión eñalada pr el prdut vetrial. L d amp (que e prpagan imultáneamente y en fae) frman l que e ne m nda eletrmagnétia radiaión eletrmagnétia. Cniderar que iniialmente l amp n, = i = j Reemplazand en la ley de Gau en frma diferenial para el amp elétri en el vaí (e deir in preenia de arga elétria: q=0, =0), euaión [13], e btiene, = 0

14 i j k i 0 x y z 0 x e deir el amp elétri induid n depende de x. 14 Reemplazand en la ley de Gau en frma diferenial para el amp magnéti, euaión [14], e btiene, = 0 i j k j 0 x y z 0 y e deir el amp magnéti induid n depende de y. Reemplazand en la ley de Faraday-Henry en frma diferenial, euaión [15], e btiene, = - t i j k i j x y z t k + j j y z t y pr l tant, 0 y e deir el amp elétri induid n depende de y. Adiinalmente, z t [17]

15 Reemplazand en la ley de Ampere-Maxwell en frma diferenial, euaión [16], e btiene, = μ ε t i j k j με i x y z t 15 k - i με i x z t y pr l tant, 0 x e deir el amp magnéti induid n depende de x. Adiinalmente, με [18] z t n definitiva ni el amp elétri ni el amp magnéti induid dependen de x e y. Derivand la euaión [17] repet a z y la euaión [18] repet al tiemp, z zt μ ε tz t Igualand eta d última euaine e btiene, μ ε z t 2 2 que rrepnde a la euaión diferenial de nda, e deir, el amp elétri induid e prpaga m una nda TRANSVRSAL n velidad, 1 km με

16 que e la velidad de la luz en el vaí. Derivand la euaión [17] repet al tiemp y la euaión [18] repet a z, tz t μ 2 ε z 2 2 zt 16 Igualand eta d última euaine e btiene, μ ε z t 2 2 que rrepnde a la euaión diferenial de nda, e deir, el amp magnéti induid e prpaga m una nda TRANSVRSAL también n la velidad de la luz. t llevó a nluir a Maxwell que la luz n e má que una frma de radiaión eletrmagnétia. ta e ne en la hitria de la fíia m la tería eletrmagnétia de la luz tería láia de la luz. Demtrar que y etán en fae Supóngae que l amp elétri y magnéti induid n nda armónia plana, = en kz - wt + φ i x = en kz - wt + φ j y Según la euaión [17], z t Y pr l tant, w kz - wt + φ k kz - wt + φ Pr l tant, φ = φ e deir mientra e etén prpagand y induid etarán en fae. Adiinalmente e nluye que,

17 k = w k = w y m, k = w 17 = [19] y pr l tant también, = [20] imprtante antar que l amp elétri y magnéti rrepndiente a una nda eletrmagnétia n rtgnale entre í y a u vez rtgnale a la direión de prpagaión. n el a que e upu, el amp elétri vibra en en el eje x y e prpaga en direión +z; el amp magnéti vibra en el eje y y e prpaga en direión +z. t permite nluir que la nda eletrmagnétia (OM) prpagánde en el vaí n tranverale. Ademá, la plarizaión de una OM la define la vibraión del amp elétri. Tería láia Dede un punt de vita lái la fuente de radiaión eletrmagnétia e una arga elétria aelerada. Una arga libre (aquella que n etá enlazada dentr de un átm) emite radiaión eletrmagnétia uand e aelera. te e el a de la arga que ambian de velidad en línea reta dentr de un aeleradr lineal, de la emiión de ray X pr el frenad de eletrne al liinar n un metal en el tub de ray X, de la partíula argada que e mueven irularmente dentr de un iltrón y la partíula argada que ilan m en el a de la antena emira de radifreuenia. pr et que la antena emira de radiaión eletrmagnétia rrepnden a ndutre en l uale e ha generad un vltaje variable en el tiemp. n el a de er ete vltaje armóni, la nda emitida erá armónia de la mima freuenia. l análii de ete tip de antena e lleva a ab a travé de un iruit RLC. n efet, una antena e un iruit RLC que emite nda eletrmagnétia de frma efiiente. Cualquier iruit pr el que irule una rriente variable emite radiaión eletrmagnétia. Per la efiienia de emiión del iruit depende de u gemetría. n la Figura 10 izquierda e ilutra un iruit elemental n un ndenadr y alimentad pr un generadr de rriente alterna. Si e abren la plaa del ndenadr, el amp elétri altern generad entre u plaa deja de etar nfinad al vlumen entre la mima y e radia haia el exterir. La ituaión óptima aparee uand la plaa frman d varilla, m e india en la figura. Una antena lineal m la ilutrada en la Figura 10 izquierda alimentada pr rriente alterna, e puede niderar que e un dipl ilante. imprtante antar que ete radiará en tda la direine exept en la direión que vibra. n la figura 10 dereha e ilutra el amp elétri

18 rrepndiente a la radiaión eletrmagnétia emitida pr un dipl elétri que ila vertialmente; e puede bervar laramente que emite radiaión en tda la direine exept en la direión vertial. 18 Figura 10 La Fuerza de Lrentz e interaión de la OM n la materia Si una OM atúa bre una arga elétria q que e mueve n velidad V, la fuerza bre éta tiene una mpnente de naturaleza magnétia y tra de naturaleza elétria, expreada pr la fuerza de Lrentz, F= F + F = q + qv M l máxim valr de la fuerza magnétia e, F M= qv Reemplazand la euaión [20], V V F M= qv = q = F e deir, para el a de materiale dielétri, V de la arga elétria e muy pequeña (etán muy ligada) mparada n la velidad de la luz y pr l tant, F F M L que ignifia que uand la luz interatúa n material dielétri (vdri, agua, pláti, aire, ) l efet magnéti n muy débile mparad n l efet elétri. pr et que en óptia ól e tuv en uenta el amp elétri de la luz al ual e le denminó amp ópti. Taller bre OM Pendiente FIN.