3. Análisis de Factores
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- Rodrigo Poblete Chávez
- hace 5 años
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1 3. Análss de Factores 3.. Introduccón y objetvos. El análss de factores es un procedmento estadístco que crea un nuevo conjunto de varables no correlaconadas entre sí, llamadas factores subyacentes o factores comunes, con la esperanza de que estas nuevas varables proporconen una mejor comprensón de los datos. Uno de los objetvos báscos del análss de factores es determnar s las p varables respuesta exhben patrones de relacón entre sí, de tal manera que las varables se puedan dvdr en m grupos, y que cada grupo conste de varables altamente correlaconadas entre sí, pero bajamente correlaconadas con varables de otros grupos. Los OBJETIVOS del análss de factores son: ) Determnar s exste un conjunto más pequeño de varables no correlaconadas que explquen las relacones que exsten entre las varables orgnales. ) Determnar el número de varables (dferentes) subyacentes. 3) Interpretar estas nuevas varables. 4) Evaluar a los ndvduos del conjunto de datos sobre estas nuevas varables. 5) Usar estas nuevas varables en análss estadístcos posterores. 35
2 3.. Modelo de factores ortogonales. Sea X un v.a. de dmensón p, con meda y matrz de varanzascovaranzas. El modelo general de análss de factores supone que exsten m factores subyacentes, denotados por F,F,...,F m, tales que Los supuestos del modelo son: ) Los F tenen meda cero y varanza, para =,...,m y además están no correlaconados. ) Los j tenen meda cero y varanza j, para j=,...,p. ) F y j son ndependentes para =,...,m y j=,...,p. NOTACIÓN MATRICIAL: El modelo se puede expresar como donde,, X F, (7.) Λ Λ Λ Λ,, y Λ Λ Λ Λ Λ Λ En forma matrcal los supuestos quedan como: ) F ( 0, I ), ) ( 0, ), en donde = dag(,,..., p ), y ) F y son ndependentes. 36
3 INTERPRETACIONES: Las nuevas varables F son llamadas factores subyacentes o factores comunes. Los térmnos j son llamados factores específcos y descrben la varacón resdual específca a la varable X j. La cantdad j es llamada varanza resdual específca de la varable X j. Los coefcentes j son llamados pesos de la j-ésma varable en el -ésmo factor. De hecho, CovX, F. j j COVARIANZA: El modelo (7.) mplca que por lo tanto, Var(X) Var( F ),. (7.) OBSERVACIONES: S exsten y de modo que la relacón (7.) se satsfaga, entonces los factores comunes explcan con exacttud la covaranza entre las varables orgnales. La varanza de X j se puede dvdr de la sguente manera: Algunas covaranzas son: Var(X j ) = Comunaldad + Varanza específca Cov X, X j j m jm 37
4 NO UNICIDAD de los factores. S m >, la matrz de pesos de los factores no es únca, es decr, s exsten y que satsfacen (7.), entonces TT TT, * * donde T es una matrz ortogonal,.e., tambén satsfacen (7.). TT I. Por lo tanto * T y Tomando ventaja de la no uncdad de la matrz de pesos, se pueden obtener dstntas matrces rotadas * T, para dstntas matrces ortogonales T, de tal manera que alguna de ellas produzca unos factores son una nterpretacón adecuada. SOLUCIONES de la ecuacón (7.). Una solucón ncal se puede obtener resolvendo el sstema de ecuacones numércamente. Dos de los métodos más comunes son: Método de factores prncpales y Método de máxma verosmltud (s suponemos una dstrbucón normal para F y ). MÉTODOS DE ROTACIÓN. La dea de los métodos de rotacón es que se tengan factores fácl de nterpretar. Para ello, el objetvo es que las varables orgnales no tengan peso alto en más de un factor. El método más común es el VARIMAX. CUÁNTOS factores son necesaros?. Recuerda que el número de factores comunes o subyacentes es un número fjo que, en prncpo, se determna a- pror. Una posble eleccón ncal sería tomar a m como el número de componentes sgnfcatvas en un análss de componentes prncpales, o 38
5 tomar el número de cúmulos resultantes de un análss de cúmulos de varables usando como dstancas una funcón de la correlacón. MARCADORES de los factores. S los factores resultantes del análss de factores se van a usar posterormente, es necesaro calcular el valor o marcador de cada factor para cada ndvduo. Para cada ndvduo se tene, x F, en donde la matrz de pesos se estma y las cantdades son no observables y por lo tanto no se conocen. Exsten dos métodos prncpalmente, el método de Bartlett o de mínmos cuadrados y el método de Thompson o de regresón Cometaros y notas fnales. DIFERENCIAS entre un análss de componentes prncpales (ACP) y un análss de factores (AF). ) El ACP produce una transformacón ortogonal de las varables y no depende de un modelo subyacente, mentras que el AF sí depende de un modelo estadístco. ) En el ACP el objetvo es explcar la varanza de las varables orgnales, mentras que en el AF el objetvo es explcar la estructura de covaranza (correlacón) entre las varables. NOTA : El AF crea un nuevo conjunto de varables no correlaconadas a partr de un conjunto de varables correlaconadas, por lo que s las varables orgnales son no correlaconadas entonces no tene sentdo aplcar un AF. 39
6 NOTA : Algunos estadístcos creen que el análss de factores no es una técnca estadístca válda y útl, esto se debe a la no uncdad de sus resultados y a la subjetvdad relaconada con sus numerosos aspectos (determnacón del número de factores, nterpretacón de los factores, etc.). NOTA 3: La presentacón de las deas de AF supone explcar la matrz de varanzas y covaranzas, pero en la práctca este tpo de análss se hace sobre la matrz de varanzas y covaranzas de las varables estandarzadas, es decr, sobre la matrz de correlacones de las varables orgnales. R: factanal, rotate. 40
7 4. Análss de correspondencas OBJETIVO: Procedmento gráfco para representar asocacones en una tabla de frecuencas o conteos. Para la descrpcón del método nos concentraremos en una tabla de frecuencas de dos varables categórcas o tabla de contngenca. El número de renglones corresponde al número de categorías de la prmer varable y el número de columnas al número de categorías de la segunda varable. S la tabla de contngenca tene I renglones y J columnas, entonces la gráfca producda por el análss de correspondencas contene dos conjuntos de puntos: un conjunto de I puntos correspondente a los renglones y otro conjunto de J puntos correspondente a las columnas. La poscón de los puntos refleja asocacones. INTERPRETACIÓN de una gráfca de correspondencas: o Los puntos correspondentes a los renglones que se encuentran cercanos entre sí, ndcan categorías de la prmer varable que tenen perfles smlares (en sus dstrbucones condconales a lo largo de las columnas). o Smlarmente, puntos correspondentes a las columnas cercanos entre sí ndcan categorías de la segunda varable con perfles smlares (en sus dstrbucones condconales a lo largo de los renglones). o Fnalmente, puntos renglones cercanos a puntos columna representan combnacones que ocurren más frecuentemente que lo que se esperaría con un modelo de ndependenca (entre las dos varables categórcas). 4
8 La salda usual de un análss de correspondencas ncluye dos cosas: () la mejor representacón bdmensonal de los datos, junto con las coordenadas de cada uno de los puntos, y () una medda de la cantdad de nformacón representada en cada dmensón, llamada nerca. 4.. Otro repaso de matrces Descomposcón en valor sngular: Sea A una matrz de números reales de dmensón m. Entonces exste una matrz ortogonal U de dmensón m m y una matrz ortogonal V de dmensón, tal que A UV, donde la matrz, de dmensón m, tene elementos 0 en la entrada (,),,,,mn(m,) y ceros en las demás entradas. Las constantes postvas son llamadas valores sngulares de A. RESULTADO: Aproxmacón de una matrz A por otra matrz B de menor rango. Sea A una matrz de números reales de dmensón m, con m y descomposcón en valor sngular Entonces A UV. Sea s Rango(A). B s u v Es la aproxmacón de mínmos cuadrados de A de rango s. Es decr, la matrz B mnmza tr m A BA B a j bj j 4
9 Sobre todas las matrces de dmensón m de rango no mayor a s. El valor mínmo, o error de aproxmacón, es s. 4.. Desarrollo algebraco del análss de correspondencas Sea X x j una matrz de dmensón I J que representa una tabla de contngenca, es decr, x j frecuenca de ocurrencas de la categoría de la varable uno y de la categoría j de la varable dos. Supongamos que I J y que X es de rango completo,.e., Rango(X)J. Sea n el total de las frecuencas en la matrz o tabla de contngenca X. ALGUNAS DEFINICIONES: o Defnmos a P n como la matrz de proporcones tal que P p j con para,,i y j,,j. X x j pj n, A la matrz P se le conoce como matrz de correspondencas. 43
10 o Defnmos los totales renglón y columna de P como los vectores R y C respectvamente, tal que R r,, y C c,, r I J r y c p j j I j p j c J, donde o Sean D r y D c matrces dagonales de dmensones I I y J J respectvamente, tales que D r dagr,, r y D dagc,, c I c. J El objetvo del análss de correspondencas consste en encontrar una matrz Pˆ pˆ j de menor rango que P que la aproxme en mínmos cuadrados ponderados. Es decr, Pˆ debe mnmzar I J j p j pˆ r c j j. Se puede demostrar que la aproxmacón Pˆ, de rango K, de P está dada por K D / u D / v Pˆ RC, donde los son los valores sngulares y u, de dmensón I, y v, de dmensón J, son los correspondentes vectores sngulares de la matrz D / r / P RC D de dmensón I J. c r c / Sean F D r D r U y G D c D c V dos matrces defndas con los / elementos del párrafo anteror, entonces la gráfca de correspondencas o mapa smétrco se construye al grafcar las dos prmeras columnas de la 44
11 matrz F como coordenadas de los puntos renglón y las dos prmeras columnas de la matrz G como coordenadas de los puntos columna. INERCIA: La nerca es una medda de la varacón en una tabla de contngenca y se defne como: Inerca I J j p j r c r c j j J Interpretacón: La gráfca de correspondencas corresponde a la aproxmacón de rango de la matrz P. Entonces, la proporcón J Se puede nterpretar como el porcentaje de la varacón total de la tabla explcada por la gráfca de correspondencas. R: corresp. 45
12 5. Análss de conglomerados o grupos OBJETIVO: Dvdr a los ndvduos de una base de datos en grupos, llamados cúmulos (clusters), de tal manera que los ndvduos de un msmo cúmulo tengan característcas semejantes con respecto a las varables meddas. 5.. Meddas de smlardad y dsmlardad. Para hacer un análss de cúmulos es necesaro medr de alguna manera la smlardad o dsmlardad entre dos observacones multvaradas. TIPOS DE DISTANCIAS: Exsten varas formas de medr la smlardad o dsmlardad entre observacones. Las dstancas (dsmlardades) más comunes son 3. Sean x y x j dos observacones multvaradas. ) Dstanca eucldana. Es la norma del vector de dferencas de las dos observacones, d j x x x x / x x x x. j j ) Dstanca eucldana estandarzada. Es la norma del vector de dferencas de las dos observacones estandarzadas, d j j z z z z /, j donde z y z j son las observacones estandarzadas. Esta dstanca es la más usada. 3) Dstanca de Mahalanobs. Es una dstanca eucldana ponderada por la matrz de varanzas y covaranzas, j p jp 46
13 d j x x x x / j j. Nota: S las característcas de un ndvduo no se pueden representar medante varables (contnuas), es posble medar las smlardades entre ndvduos medante la presenca o ausenca de certa característca (varables bnaras). 5.. Métodos gráfcos útles. Exsten varos algortmos para formar cúmulos. De hecho, algortmos dferentes pueden producr dstntas agrupacones. Más aún, el análss de cúmulos puede detectar grupos que no exstan en la realdad. Una forma de evaluar los resultados de los métodos de agrupacón, es medante métodos gráfcos. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN. Cuando se tenen úncamente dos varables de nterés (p = ), un dagrama de dspersón entre ellas permtría vsualzar posbles agrupacones entre los ndvduos. GRÁFICAS DE COMPONENTES PRINCIPALES. Cuando el número de varables de nterés es mayor a dos (p > ), se puede mplementar un análss de componentes prncpales. S la proporcón de la varabldad explcada por las dos prmeras componentes es sgnfcatva ( 80%) se puede realzar un dagrama de dspersón de los marcadores de las dos prmeras componentes y vsualzar la posble exstenca de cúmulos. 47
14 NOTA: S el número de varables es grande (p > 0), es más recomendable realzar prmero un análss de componentes prncpales y posterormente aplcar las técncas de análss de cúmulos a las prmeras r componentes, que aplcar drectamente un análss de cúmulos a las varables orgnales. PRECAUCIÓN!: Los marcadores de las componentes prncpales nunca deben estandarzarse. Esto es porque los marcadores estandarzados no reflejan de manera realsta las dstancas entre ndvduos. DIAGRAMA DE ANDREWS. Este tpo de gráfcas, aplcadas sobre las varables orgnales, son muy útles para dentfcar cúmulos y para valdar los resultados de un análss de cúmulos. Los ndvduos en el msmo cúmulo deben de tener gráfcas de Andrews smlares. OTROS TIPOS DE DIAGRAMAS. Otros métodos gráfcos como los dagramas de dspersón trdmensonales, dagrama de burbujas, las caras de Chernoff y los dagramas de estrellas son útles para valdar un análss de cúmulos. Sn embargo, las caras de Chernoff y los dagramas de estrellas perden sencllez e nterpretacón cuando el número de varables aumenta Métodos para realzar análss de cúmulos. TIPOS DE MÉTODOS. Exsten dos tpos de métodos para realzar un análss de cúmulos: Métodos jerárqucos y métodos no jerárqucos. 48
15 MÉTODOS JERÁRQUICOS: Este tpo de métodos consste en una sere de unones o una sere de dvsones sucesvas. Los resultados de estos métodos se muestran en un dagrama bdmensonal llamado dendrograma (dendrogram). ) Métodos de unones. Se nca tomando a cada ndvduo como un cúmulo, los cúmulos (ndvduos) más smlares se agrupan entre sí y así sucesvamente hasta que la dsmlardad entre dstntos cúmulos va decrecendo. Eventualmente, todos los ndvduos quedan agrupados en un solo cúmulo. Los métodos de aglomeracón más comunes son: a. Método del vecno más cercano (lga senclla). b. Método del vecno más lejano (lga completa). c. Método de la dstanca promedo (lga promedo). d. Método de la varanza mínma de Ward. ) Métodos de dvsones. Estos métodos trabajas en sentdo opuesto a los anterores. Se nca tomando a todos los ndvduos en un solo cúmulo. Este cúmulo únco se dvde en dos subcúmulos de tal manera que los ndvduos en uno de los subcúmulos se encuentran lejos de los ndvduos en el otro subcúmulo. El proceso se contnua hasta que hay el msmo número de cúmulos que ndvduos. MÉTODOS NO JERÁRQUICOS: Este tpo de métodos consste producr un número fjo de cúmulos, dgamos K. El número K puede estar preestablecdo o puede ser obtendo como parte del proceso. Este tpo de métodos puede ncar con una partcón ncal de ndvduos en cúmulos o 49
16 una seleccón ncal de puntos semlla que van a formar el centrode de los cúmulos. El método más común es: a. Método de K-medas. NOTA: Los métodos no jerárqucos requeren de menos trabajo computaconal, por lo que pueden aplcarse a bases de datos más grandes que los métodos jerárqucos. ALGORITMO GENERAL PARA EL MÉTODO JERÁRQUICO DE UNIONES. Supongamos que el número total de ndvduos a agrupar es n.. Empeza con n cúmulos, cada uno contenendo a un solo ndvduo.. Calcula la dstanca entre cada uno de los cúmulos y determna los cúmulos con dstanca mínma, dgamos U y V (cuya dstanca se denota como d UV ). 3. Une los cúmulos U y V y nombra al nuevo cúmulo (UV). Calcula de nuevo las dstancas entre este nuevo cúmulo y los demás cúmulos. 4. Repte los pasos y 3 un total de n- veces,.e. hasta que todos los ndvduos pertenezcan al msmo cúmulo. Regstra los cúmulos que se van unendo y las dstancas a las que la unón ocurre. DEFINICIÓN DE LAS DISTANCIAS entre cúmulos: Para el Paso : D en la Seccón 5.. d j, donde d j es cualquera de las dstanca defndas 50
17 Para el Paso 3: Supongamos que los cúmulos (ndvduos) con menor dstanca fueron U y V y se uneron para formar el cúmulo (UV). La dstanca entre el nuevo cúmulo (UV) y otro cúmulo W es: a. Método del vecno más cercano: La dstanca entre cúmulos se defne como la dstanca entre los dos elementos (uno de cada cúmulo) que están más cercanos,.e., d. ( UV)W mn d UW, d VW b. Método del vecno más lejano: La dstanca entre cúmulos se defne como la dstanca entre los dos elementos (uno de cada cúmulo) que están más lejanos,.e., d. ( UV)W max d UW, d VW Este método asegura que todos los elementos de un cúmulo están dentro de una dstanca máxma uno del otro. c. Método de la dstanca promedo. La dstanca entre cúmulos se defne como el promedo de todas las dstancas entre dos elementos (uno de cada cúmulo),.e., d (UV)W d UW dvw. Método de la varanza mínma de Ward. D d j, donde d j es una dstanca medda en térmnos de la varanza muestral de la unón de los cúmulos y j. Es decr, 5
18 d j ~ (j) n n n n j j x x (j) Igual que en los tres métodos anterores, los cúmulos U y V se unen s su dstanca (varanza muestral de la unón) es la más pequeña de todas. MÉTODO DE K-MEDIAS (NO JERÁRQUICO). Este algortmo asgna cada ndvduo al cúmulo que tenga el centrode más cercano. En general, el algortmo se puede representar por los sguentes pasos:. Partconar al conjunto de ndvduos en K cúmulos ncales y calcula el centrode (meda) de cada cúmulo.. Calcula la dstanca (eucldana) de cada ndvduo a cada uno de los K centrodes. Reasgna cada ndvduo al cúmulo cuya dstanca al centrode sea la menor. 3. Repte el Paso hasta que nngún ndvduo sea reasgnado a un cúmulo nuevo. COMETARIOS FINALES: El número de cúmulos óptmo se determna vsualzando el dendrograma y determnando una dstanca para la cual los grupos están ben dferencados. 5
19 El método del vecno más cercano tende a maxmzar la dstanca entre los cúmulos, producendo un menor número de cúmulos que los demás métodos. En cambo, el método del vecno más lejano tende a mnmzar las dstancas dentro de cada cúmulo, por lo que produce un número más grande de cúmulos que los demás métodos. Estas propedades se pueden vsualzar cortando los dendrogramas a una msma dstanca. El método de K-medas es muy crtcado porque fja de antemano el número K de cúmulos. La agrupacón perfecta no es tan senclla de obtener, por lo que es recomendable ntentar con más de un método. S varos métodos dan resultados semejantes, entonces se puede suponer que exste una agrupacón natural de los ndvduos. Es mportante realzar una evaluacón gráfca de los métodos de análss de cúmulos. 53
20 Nota. Los métodos jerárqucos se pueden usar para formar cúmulos de varables, usando como medda de dstanca uno menos el valor absoluto de la correlacón muestral entre ellas. R: hclust, means Escalamento multdmensonal DEFINICIÓN: El escalamento multdmensonal es una técnca que permte mapear (convertr, copar) en un espaco de menos dmensones las dstancas orgnales entre ndvduos que se encuentran en un espaco de muchas dmensones. UTILIDAD: Resulta de mucha utldad mapear dstancas de un espaco de muchas dmensones a un espaco de dmensón, ya que en este caso los ndvduos se pueden representar en una gráfca de dos dmensones y se puede aprecar vsualmente la cercanía a lejanía entre ellos. En general, la dea del escalamento multdmensonal es representar las dstancas entre ndvduos que orgnalmente se encuentran en un espaco p-dmensonal a un espaco q-dmensonal, donde q < p. Por sencllez, se acostumbra usar q =. La técnca de escalamento multdmensonal se puede ver como una técnca que nos permte hacer un análss de cúmulos gráfcamente. 54
21 EXPLICACIÓN DEL ALGORITMO BÁSICO: Calcular las dstancas reales (D j ) en el espaco p-dmensonal entre los ndvduos y j. La forma usual de calcular la dstanca es medante la dstanca eucldana estandarzada,.e., D j z z z z /, para j=,,...,n. Cuántas dstancas hay que calcular?. m = j j n n(n ). Ordenar las dstancas en orden ascendente donde, D D D j j m jm D j es la dstanca entre los dos puntos más cercanos, D j la dstanca entre los sguentes dos puntos más cercanos y fnalmente, D m j m la dstanca entre los dos puntos más lejanos. La dea es encontrar un conjunto de m puntos en un espaco q-dmensonal, cuyas dstancas d preserven el orden de las dstancas en el espaco j orgnal,.e., d d d (6.) j j m jm Nota: Lo más mportante es el orden entre las nuevas dstancas, no las magntudes de las dstancas. La forma de obtener la nueva confguracón de los puntos en un espaco de q dmensones es medante un proceso teratvo. 55
22 ) Determna una confguracón ncal de puntos en q dmensones. Calcula las dstancas entre puntos (q) d j y encuentra las cantdades (q) dˆ j que satsfacen la condcón (6.) y mnmzan la funcón de Estrés defnda como: Estrés (q) j d (q) j (q) d j j dˆ (q) j ) Para (q) dˆ j fjos, encontrar una nueva confguracón de puntos que mnmcen la funcón de Estrés y regresar al Paso. 3) Repetr los pasos y hasta que se alcance un mínmo valor de la funcón de Estrés. Evaluacón del escalamento q-dmensonal: Estrés Ajuste 0% Pobre 0% Regular 5% Bueno.5% Excelente 0% Perfecto R: cmdscale. 56
23 6. Análss dscrmnante 6.. Introduccón y objetvos. El análss dscrmnante es tambén conocdo como análss de clasfcacón. Suponga que se tenen varas poblacones de las cuales fueron tomadas observacones. Suponga además que se tene una nueva observacón que provene de una de estas poblacones, pero no se sabe cuál. El OBJETIVO básco del análss dscrmnante es producr una regla o un esquema de clasfcacón que nos permta predecr la poblacón más probable de la cual provene la nueva observacón. EJEMPLO: Un anestesólogo necesta determnar s un anestésco es seguro para una persona que están operando del corazón. Con base en certas característcas del pacente como edad, sexo, presón sanguínea, peso, etc., el anestesólogo tomar una decsón. Cuál sería la probabldad de equvocarse? Se puede decr que el análss dscrmnante es semejante al análss de regresón en el sentdo de que una varable respuesta es explcada por varas varables explcatvas. La dferenca sería que en el análss de regresón la varable respuesta es contnua, en cambo en el análss dscrmnante la varable respuesta es dscreta. 57
24 6.. Análss dscrmnante para dos poblacones normales. DESCRIPCIÓN del problema. Sean y dos poblacones. Cada poblacón está caracterzada por las varables X N y X N respectvamente, donde X X,, X p p, p,, para =,. Sea x F un nuevo vector de observacones que se sabe provene de o de. La dea es encontrar una regla de decsón para predecr de cuál de las dos poblacones es más probable que provenga x F. SOLUCIONES al problema. Exsten 4 reglas propuestas para soluconar el problema. Regla de verosmltud: donde L x;, poblacón evaluada en x. x;, Lx;, x;, Lx;,, s L RD (x),, s L es la funcón de verosmltud para la -ésma Regla de la funcón dscrmnante lneal: Cuando dos poblacones normales multvaradas tenen matrces de varanzas-covaranzas guales ( = = ), la regla de verosmltud se smplfca a,, s b x c 0 RD (x),, s b x c 0 58
25 llamada funcón dscrmnante lneal de x. donde b y c. La funcón b x es Regla de la dstanca de Mahalanobs: Cuando dos poblacones normales multvaradas tenen matrces de varanzas-covaranzas guales, la regla de verosmltud tambén es equvalente a,, s d d RD 3(x),, s d d donde d x x, para =,. La cantdad d es una medda de la dstanca entre x y la meda de la -ésma poblacón. Regla de la probabldad posteror: Cuando las matrces de varanza-covaranzas son guales, una regla de decsón sería,, s P RD (x), s P x P x x P x 4, donde P d x e e e es llamada probabldad posteror de la poblacón dado x, para =,. En realdad la probabldad posteror no es una probabldad verdadera porque no se está consderando nngún evento aleatoro. La aleatoredad provene de tomar la decsón correcta. Por ejemplo, la decsón no se d d 59
26 tomaría con tanta confanza s P x y P x x y P x P., que s NOTA : Las 4 reglas dscrmnantes anterores son equvalentes cuando las matrces de varanzas-covaranzas son guales en las dos poblacones. Es decr, las cuatro reglas asgnarán a un nuevo ndvduo al msmo grupo. REGLAS DISCRIMINANTES MUESTRALES. S no se conoce el valor poblaconal de,,, y, estos parámetros se pueden estmar medante los estmadores nsesgados correspondentes ˆ, ˆ, ˆ y ˆ y proceder de gual manera. S se cree que las matrces de varanzascovaranzas poblaconales son guales, entonces una estmacón combnada de la matrz común sería, n ˆ n ˆ ˆ, n n en donde n y n son los tamaños de las muestras de y. PROBABILIDADES DE CLASIFICACIÓN ERRÓNEA. Cuando se realza un análss dscrmnante, es necesaro determnar o estmar la probabldad de que la regla de clasfcacón clasfque erróneamente a un nuevo ndvduo. Lo deal sería que este valor fuera cercano a cero. Exsten 3 formas de estmar esta probabldad. Estmador de resusttucón: Consste en aplcar la regla dscrmnante a los msmos datos con los que se construyó la msma regla y determnar la proporcón de ndvduos clasfcados erróneamente. 60
27 Estmador con una muestra de prueba: Consste en dvdr a la muestra en dos subconjuntos de observacones. El prmer subconjunto llamado muestra de prueba servrá para construr la regla de clasfcacón. Esta regla se aplca al segundo subconjunto de observacones y se determna la proporcón de ndvduos mal clasfcados. Estmador de valdacón cruzada: Este método consste en lo sguente: Elmne la prmera observacón de los datos, construya una regla dscrmnante basada en los datos restantes, use esta regla para clasfcar la prmera observacón y observe s ésta fue clasfcada correctamente o no. Reemplace la prmer observacón al conjunto de datos y elmne la segunda y haga lo msmo que con la prmera observacón y así sucesvamente con todas las observacones. Fnalmente cuente cuántas observacones fueron clasfcadas erróneamente y dvídalas entre el número total de observacones. NOTA : Exsten reglas dscrmnantes generales para dos poblacones que toman en cuenta que las consecuencas (costos) de clasfcar erróneamente a un ndvduo de una poblacón u otra son dferentes. R: dscrm, factor Análss dscrmnante para varas poblacones. FUNCIONES DISCRIMINANTES CANÓNICAS. Este método tambén es conocdo como análss dscrmnante de Fsher. La dea es crear funcones 6
28 dscrmnantes como combnacones lneales de las varables, de tal manera que contengan la mayor cantdad de nformacón posble. Descrpcón del problema. Sean,..., m m poblacones defndas por el vector de varables X con meda y matrz de varanzas-covaranzas (las m poblacones tenen matrces de varanzas-covaranzas guales). Suponga que se tene además una muestra de tamaño n de cada poblacón. Solucón del problema. Sean donde B n ˆ ˆ ˆ ˆ y x ˆ x ˆ m n m ˆ n ˆ y n m n m n W,. La matrz B es llamada matrz de varanzas muestrales entre poblacones y W es llamada matrz de varanzas dentro de las poblacones (muestras). La dea es encontrar el vector b que maxmce b Bb. b Wb Se puede demostrar que el vector que maxmza el cocente anteror es el prmer egenvector a correspondente al prmer egenvalor de la matrz (W - B). Un vector ortogonal al anteror que maxmza el cocente anteror es el segundo egenvector a correspondente al segundo egenvalor de la matrz (W - B) y así sucesvamente. El número máxmo de egenvalores es mn(p,m-). 6
29 Regla dscrmnante. S se usa úncamente la prmer funcón canónca, se calcula d b x b ˆ, para =,,...,m y se asgna x a la poblacón cuyo valor d sea el más pequeño. S se usan las prmeras dos funcones canóncas, se calcula d b x b ˆ b x b ˆ poblacón cuyo valor d sea el más pequeño., para =,,...,m y se asgna x a la R: lda. ÁRBOLES DE CLASIFICACIÓN (CART). La dea es construr un árbol de clasfcacón de tal manera que los nodos (puntos) termnales del árbol defnan una clase. Las ramas se bfurcan con la respuesta afrmatva o negatva a preguntas formadas a partr de las varables orgnales. La construccón de un árbol está determnada por 3 elementos: ) La seleccón de las partcones ) Las decsones para declarar a un nodo como termnal o segur partendo 3) La asgnacón de una clase a cada nodo termnal La dea fundamental para selecconar una partcón está basada en la dea de que una partcón descendente debe ser más pura que una partcón ascendente. La seleccón de las partcones se basa en preguntas del tpo: 63
30 XA? o p j a j X j A? La dea es selecconar la partcón (pregunta) que maxmce la pureza de la partcón resultante. R: tree. 64
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