Repaso de conocimientos de 1 o. Cinemática de la partícula... 2

Transcripción

1 ecánica Clásica Repaso de conocimientos de 1 o Cinemática de la Patícula EIAE 4 de septiembe de 11 Cinemática de la patícula Definiciones Patículas sólidos Sistema de efeencia Definiciones Taectoia Taectoias: definición geomética Taectoias: ecuaciones paaméticas Taectoias: ecuaciones impĺıcitas Ecuaciones hoaias, le hoaia Ecuaciones hoaias, le hoaia Vecto elocidad Vecto elocidad: coodenadas intínsecas Vecto elocidad Hodógafa Vecto aceleación Vecto aceleación: coodenadas intínsecas Vecto aceleación: coodenadas intínsecas Vecto aceleación Vecto aceleación Coodenadas ciĺındicas Deiación de los esoes: geomética Deiación de los esoes: anaĺıtica Vecto elocidad en ciĺındicas Vecto aceleación en ciĺındicas Velocidad aeola: conceptos peios Velocidad aeola oimientos centales oimientos centales Consecuencias de la le de áeas a Fómula de Binet a Fómula de Binet Ejemplo: poblema de Keple Ejemplo: poblema de Keple

2 Cinemática de la patícula Definiciones: Cinemática, punto, sólido Definiciones: Sistemas de efeencia, posición, coodenadas Definiciones: Reposo, moimiento Definiciones: Taectoia, le hoaia, ecuaciones hoaias Vecto elocidad Vecto aceleación Coodenadas ciĺındicas: elocidad aceleación Velocidad aeola oimientos centales: Definición popiedades Fómulas de Binet, 1 a a EIAE - ecánica Clásica / 35 Definiciones Cinemática: Es la pate de la ecánica que estudia el moimiento de los cuepos, sin enta a considea su causa. Se puede e como una etensión de la Geometía en la que, además de la posición, se considea el tiempo. No se estudia la masa, fuea, o enegía; de eso se ocupa la Dinámica, que elaciona el esultado (moimiento) con su causa (fueas). Las magnitudes fundamentales que inteienen en cada una de ellas son: Geometía Cinemática Dinámica L L T L T EIAE - ecánica Clásica 3 / 35

3 Patículas sólidos Cuepo mateial: Cualquie objeto con masa. La ecánica Clásica no estudia el moimiento de cuepos de masa nula o despeciable (solo como ligaduas o paa tansmiti fueas). Patícula o Punto: Cuepo mateial que se epesenta como un punto geomético del espacio, sin considea paa nada su etensión, oientación (actitud) o distibución de masa. Sin masa en Cinemática, con masa en Dinámica. No es necesaio que sean pequeños: basta con que su oientación no influa en el moimiento. En ecánica Celeste, po ejemplo, se tatan los planetas como puntos. Sólido ígido: Conjunto de patículas cuas distancias no aían. La ecánica Clásica no estudia los sólidos defomables (Resistencia de ateiales Elasticidad) ni los fluidos (ecánica de Fluidos). Ecepción: cables o hilos (enlaces) muelles (fueas conocidas). EIAE - ecánica Clásica 4 / 35 Sistema de efeencia En ecánica Clásica los cuepos se mueen en el espacio eucĺıdeo tidimensional, R 3 (RE: 3+1, RG: Riemann, S/Cuedas: ). Paa defini la posición de una patícula, se toma un Sistema de efeencia: Tiedo o efeencia tiotogonal oientado a deechas, fomado po El oigen de coodenadas, un punto R 3 Tes ejes,, según los esoes i, j, k Unitaios i i = 1 j j = 1 k k = 1 togonales i j = i k = j k = A deechas k = i j k i j EIAE - ecánica Clásica 5 / 35 3

4 Definiciones Vecto posición de la patícula especto a la efeencia = = i+ j+ k Coodenadas catesianas de la patícula especto a la efeencia = i, = j, = k Reposo constantes t oimiento el tiempo de la patícula especto a la efeencia : sus coodenadas se mantienen =, =, = Cte. t de la patícula especto a la efeencia : una o más coodenadas aían con = (t), = (t), = (t) EIAE - ecánica Clásica 6 / 35 Taectoia Cua C del espacio, luga geomético de las posiciones sucesias de la patícula en ejes. El tiempo no es necesaio: la taectoia es un concepto geomético. Se puede defini de aios modos: definición geomética: Da los datos geométicos suficientes paa identifica la cua en el espacio. ecuaciones impĺıcitas: Se dan dos ecuaciones coespondientes a supeficies, cua intesección define la cua C: f(,,) =, g(,,) = ecuaciones paaméticas: Se dan tes ecuaciones = (u), = (u), = (u) que deteminan las coodenadas en función de un paámeto u. EIAE - ecánica Clásica 7 / 35 4

5 Taectoias: definición geomética Aión en uelo cicula hoiontal a una altua constante Planeado en uelo cicula en una coiente ascendente (témica) Tio paabólico en el acío Cicunfeencia hoiontal de cento (,,h) adio R Hélice cicula, eje, pasa po (R,,), pendiente α Paábola que pasa po tes puntos dados EIAE - ecánica Clásica 8 / 35 Taectoias: ecuaciones paaméticas = Rcos = Rsin = h = Rcos = Rsin = Rtanα = = cosαu = sinαu gu EIAE - ecánica Clásica 9 / 35 5

6 Taectoias: ecuaciones impĺıcitas + = R = h + = R tan Rtanα = = = cotα g cosα EIAE - ecánica Clásica 1 / 35 Ecuaciones hoaias, le hoaia Ecuaciones hoaias: Ecuaciones paaméticas de la taectoia, tomando como paámeto el tiempo: (t), (t), (t) Le hoaia: (sentido amplio) paámeto u de las ecuaciones paaméticas de la taectoia, como función del tiempo: u(t) Le hoaia: (sentido esticto) paámeto natual s de las ecuaciones paaméticas de la taectoia (longitud de aco ecoido), como función del tiempo: s(t) Taectoia (u), (u), (u) (s), (s), (s) + Le hoaia u(t) s(t) Ecuaciones hoaias (t), (t), (t) (t), (t), (t) EIAE - ecánica Clásica 11 / 35 6

7 Ecuaciones hoaias, le hoaia s = Rcosωt = Rsinωt = h = Rcosωt = Rsinωt = Rωttanα = = cosαt = sinαt gt = ωt s = Rωt = ωt α s = Rωt cosα Rωt Rω t tanα u = t s =... EIAE - ecánica Clásica 1 / 35 Vecto elocidad Vecto elocidad de un punto elatia a un sistema de efeencia es la deiada especto al tiempo de su ecto posición en esos ejes, consideados como fijos. (t+ t) (t) = lím = d t t dt = ṙ Siempe se define especto a unos ejes deteminados, peo puede poectase en otos distintos Conocidas las ecuaciones hoaias en ejes fijos, su cálculo es tiial: = = (t) i+(t) j+(t) k = ṙ = ẋ i+ẏ j+ż k+ i + j + k = = = ẋ i+ẏ j+ż k EIAE - ecánica Clásica 13 / 35 7

8 Vecto elocidad: coodenadas intínsecas lím t (t+ t) (t) = lím t t t = d dt = ds dt d ds = ṡ= = ṡ = = = ẋ +ẏ +ż = 1 t t+ t Vecto unitaio tangente (t) (t+ t) (t) s (t) EIAE - ecánica Clásica 14 / 35 Vecto elocidad s Rcosωt = Rsinωt h Rcosωt = Rsinωt Rωttanα = cosαt + sinαt gt sinωt = Rω cosωt sinωt = Rω cosωt tanα = cosα sinα gt ṡ = = Rω sinωt = cosωt ṡ = = Rω cosα sinωt = cosα cosωt tanα ṡ = sinαgt+g t EIAE - ecánica Clásica 15 / 35 8

9 Hodógafa Hodógafa Es la cua descita po el etemo de un ecto equipolente al ecto elocidad, lleado al oigen (indicati). Si se considea el ecto elocidad como ecto posición de un punto, la Hodógafa seía la taectoia de este punto ficticio. No apaece el tiempo. s sinωt = Rω cosωt sinωt = Rω cosωt tanα = cosα sinα gt ż ż ż ẋ ϕ ẏ ẋ ϕ ẏ ẋ ẏ EIAE - ecánica Clásica 16 / 35 Vecto aceleación Vecto aceleación de un punto elatia a un sistema de efeencia es la deiada especto al tiempo de su ecto elocidad en esos ejes, consideados como fijos. a = d dt = d dt = = a Siempe se define especto a los mismos ejes que la elocidad, peo puede poectase en otos. Conocidas las ecuaciones hoaias en ejes fijos, su cálculo es tiial = ẋ(t) i+ẏ(t) j+ż(t) k a = = ẍ i+ÿ j+ k+ẋ i +ẏ j +ż k = = a = ẍ i+ÿ j+ k EIAE - ecánica Clásica 17 / 35 9

10 Vecto aceleación: coodenadas intínsecas a = lím t t = d dt = d dt (ṡ) = s +ṡ = a t +a n = s + ρ n = ds dt d ds = ṡ = ṡ ρ n = n = κ ρ { Tangencial: at = s = Nomal: a n = ṡ ρ n = κ n d = dϕ = 1 ds ρ +d +d n a t (t) a n a ds ρ ρ dϕ = ds ρ = dsκ dϕ n en ecánica: hacia el cento de cuatua n en Geometía Difeencial: (, n) a deechas. EIAE - ecánica Clásica 18 / 35 Vecto aceleación: coodenadas intínsecas Conocidas a, las componentes intínsecas se obtienen usando el desaollo del poducto tiple {}}{ (a ) = a {}}{ (a ) a a t a t = (a ) a t = = a a n a a n = (a ) a n = ρ = a Intínsecas: se e el sentido físico de cada témino: = a t = Vaía el módulo de ( ) a n = ρ n Vaía la diección de ( ) EIAE - ecánica Clásica 19 / 35 1

11 Vecto aceleación a s n sinωt = Rω cosωt a = ωt n sinωt = Rω cosωt tanα a = cosαt + sinαt g t cosωt a = Rω sinωt cosωt a = Rω sinωt = cosα sinα gt = Rω = = Rω cosα = a = g a = + R n a a n ρ = R a = + R n a a n ρ = R cos α ṡ = sinαgt+g t EIAE - ecánica Clásica / 35 Vecto aceleación s Un punto se muee con elocidad de módulo aiable (t); su taectoia es una cicunfeencia hoiontal de adio R cento a una altua h. ṡ = s = t cos s/r (t)dt = R sin s/r = s R h sins/r = ṙ = ṡ cos s/r = s a t > a n n τ a a t sins/r a = = s cos s/r + ṡ R > a n coss/r sins/r n τ = + n ρ < a n n τ a t < EIAE - ecánica Clásica 1 / 35 11

12 Coodenadas ciĺındicas Plano π que contiene a a Coodenadas catesianas, en π Coodenada : (π,) Vesoes en las diecciones en que cecen las coodenadas: móiles cte. {}}{{}}{ u, u, u Polaes: ciĺındicas sin, planas u u u π = u +u = cosi+ sinj+k = ṙu + u +żk = ṙu + u +żk ( a = ) ( u + +ṙ ) u + k EIAE - ecánica Clásica / 35 Deiación de los esoes: geomética u u u u u + u u π u 1 1 u ( = lím t ) ( u u = lím t t u = lím t t u = du dt ) u = u = t u = u lím t t ( = lím t ) u t ( u ) = ( = lím t t ) ( u ) = u = u u u u u π EIAE - ecánica Clásica 3 / 35 1

13 Deiación de los esoes: anaĺıtica Poecta en ejes fijos, deia: u = cosi+sinj u = sini+cosj u π u u u = ( {}}{ sini+cosj ) u = ( ) cosi sinj }{{} u u = u u = u que coincide con las epesiones obtenidas anteiomente. EIAE - ecánica Clásica 4 / 35 Vecto elocidad en ciĺındicas Se deia el ecto posición teniendo en cuenta las deiadas de los esoes móiles, u = u : = u +u ż = ṙu + u +żu = ṙ = ṙu + u +żu = ṙu + u +żu EIAE - ecánica Clásica 5 / 35 13

14 Vecto aceleación en ciĺındicas ż ṙ Se deia el ecto elocidad, teniendo en cuenta las deiadas de los esoes móiles, u = u, u = u : = ṙu + u +żu ṙ a = u +ṙ u +ṙ u + + u + u + u = = u +ṙ u +ṙ u + u u + u = a = ( ) ( ) u + +ṙ u + u EIAE - ecánica Clásica 6 / 35 Velocidad aeola: conceptos peios Áea de un tiángulo en el espacio, con un étice en el oigen: A A = 1 Vecto nomal al tiángulo, de módulo A = 1 sinα = 1 bh α h Se usaán paa defini la elocidad aeola: concepto abstacto, peo mu útil en moimientos centales EIAE - ecánica Clásica 7 / 35 14

15 Velocidad aeola Áea baida po un punto en un tiempo t A = 1 A Velocidad aeola: áea baida po un móil en la unidad de tiempo: A a = lím t t = 1 lím t t = a = 1 a Aceleación aeola: a a = d a dt = 1 ( + a) a a = 1 a EIAE - ecánica Clásica 8 / 35 15

16 oimientos centales El ecto aceleación pasa siempe po un punto fijo, el Cento. La elocidad aeola especto al Cento es un ecto constante ( a) a = 1 a = a = Cte. Son moimientos planos = a = Cte. Cte. Cte. = A+B +C = Coodenadas polaes en el plano del moimiento, oigen (polo) en el Cento a = a u + a u C a a EIAE - ecánica Clásica 9 / 35 16

17 oimientos centales Velocidad aeola en catesianas: a = 1 i j k ẋ ẏ = 1 ẏ ẋ a Velocidad aeola en polaes: Le de áeas Po oto camino: a = 1 u u u ṙ = 1 = C (Cte. de áeas) a = +ṙ = +ṙ = d dt = = C EIAE - ecánica Clásica 3 / 35 Consecuencias de la le de áeas no cambia de signo: = C { > = - + No! Taectoia () C deteminan, a Fómulas de Binet C = τ τ = C = C = () () τ() τ() } () = C a() EIAE - ecánica Clásica 31 / 35 17

18 1 a Fómula de Binet Conocidas () C, halla (), o () Usa d dt = C paa elimina t: d = C dt Intoduciendo d d 1 = d ( 1 d = C d d = d dt u + u = d d ), queda más compacto: ( ) 1 C u + C u [ u + C u = C d d ( ) 1 + ( ) ] 1 1 a Fómula de Binet EIAE - ecánica Clásica 3 / 35 a Fómula de Binet Conocidas () C, halla a() (solo a, pues a = ). Usa d dt = C paa elimina t: d = C dt a a = a = d dt = d dt ( ) C ṙ = = d [ C d ( 1 d d ) ] C C 3 = a = C [ d d ( ) 1 + ( )] 1 a No se puede sustitui en la deiada a, solo en la 1 a b to camino: deia () elimina t. Peo se piede tiempo calculando a. a Fómula de Binet EIAE - ecánica Clásica 33 / 35 18

19 Ejemplo: poblema de Keple Aplica la a fómula de Binet a la aceleación gaitatoia: F = ma = Gm u (G = µ) a = µ µ [ d ( ) ( )] 1 1 = C d + Cambio: u +u = µ C 1 = u Homogénea: u h = Acos( +ϕ) Paticula: u p = µ C = 1+ AC = 1 u c = 1 u p +u h = C /µ µ cos(+ϕ) = p 1+ecos( +ϕ) 1 µ +Acos(+ϕ) C Ecuación pola de una cónica EIAE - ecánica Clásica 34 / 35 Ejemplo: poblema de Keple Cónica: la distancia de un punto P de la cua a un punto fijo (Foco), patida po la distancia de P a una ecta fija (Diecti) es una constante (ecenticidad): p D cos = e; = {}}{ ed ecos = p 1+ecos F p P D Diecti e = Cicunfeencia e < 1 Elipse e = 1 Paábola (π) e > 1 Hipébola (accos 1 e ) EIAE - ecánica Clásica 35 / 35 19