Pregunta rápida 1.1. Razonamiento

Transcripción

1 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I Pgunt ápid. Dos vills islnts s ncuntn cgds con cgs d signo contio n sus dos tmos. Ls dos vills stán poydos sob sus cntos, d modo u pudn gi libmnt, y colocds n l posición u s must n l figu., vist dsd ib. l plno d otción d ls vills s l plno dl ppl. ulvn ls vills dich posición si s ls sp ligmnt y lugo s ls lib? Si no s sí, ué posición s mován? Rpsnt l posición finl (o posicions finls, si hy más d un) un uilibio stbl? Figu. Si s ptub l sistm volvá st posición? Rspust y plicción L configución s inhntmnt instbl. Ls cgs ngtivs s pln. Cului lig otción d un d ls vills podí poduci un otción dicionl u ljí l sistm d su posición inicil. n l siguint digm s mustn ts posibls configucions finls. L configución () s stbl: si s ccn los tmos supios cgdos positivmnt, s plán y dvolván l sistm su posición inicil. L configución (b) psnt un uilibio instbl: si s ccn los tmos supios, l tcción nt llos sá myo u l d los tmos infios, cbándos n l configución (c). L configución (c) s stbl. () (b) (c) Figu. plicción d l pgunt ápid. Situción poblémic. Un sf cgd positivmnt, pndint d un hilo, s sitú cc d un objto no conducto. L sf s tíd po l objto A pti d st pimnto, no s posibl dtmin si l objto stá cgdo ngtivmnt o s nuto. Po ué no? ué pimnto dicionl sí d yud p dcidi nt mbs posibilidds? Rzonminto L tcción nt l sf y l objto pud s un tcción d cgs d signo contio o tmbién pud s l tcción nt un objto cgdo y uno nuto dbido l polizción d ls moléculs dl objto nuto. Hy dos posibls pimntos dicionls u yudín dtmin si l objto stá cgdo ngtivmnt cc dl objto; si l sf s plid po l objto, ést stá cgdo ngtivmnt. Ot posibilidd consist n situs un sf cg ngtivmnt cc dl objto; si l sf s plid po l objto, ést stá cgdo ngtivmnt. Si l sf s tíd po él, l objto tndá un cg nut. Pgunt ápid. l objto A tin un cg d + μc y l objto B tin un cg d + 6 μc. Cuál d ls siguints s coct? () F AB = - F BA (b) F AB = - F BA (c) F AB = - F BA Rspust y plicción (b) A pti d l tc ly d Nwton, l fuz léctic u B jc sob A s d igul mgnitud y sntido contio l u A jc sob B, s dci, F AB = - F BA Pgunt ápid. Un cg d pub puntul d + μc s ncunt situd n un punto P, dond l cmpo léctico dbido un si d cgs funt s diig hci l dch y tin un mgnitud d 4 6 N/C. Si l cg d pub s sustituy po un cg d μc, ué l sucd l cmpo léctico n P? Rspust y plicción Nd, suponindo u ls cgs funt u cn l cmpo no sn ptubds po nusts ccions. Rcud u l cmpo léctico no s cdo po l cg d + μc ni po l cg d - μc, sino po ls si d cgs funt. Pgunt ápid.4 Un plot d plástico muy puñ, cubit d mtl y d cg nut, stá suspndid n l spcio nt dos plcs mtálics vticls, dond ist un cmpo léctico unifom. Si ls dos plcs stán cgds, un positiv y l ot

2 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I ngtivmnt, dscib l moviminto d l plot dspués d ponl n contcto con un d ls plcs. Rspust y plicción Ls dos plcs cgds cn un gión d cmpo léctico unifom nt lls, diigido dsd l positiv hci l ngtiv. Si l plot s ptub d modo u tou un d ls plcs, po jmplo l ngtiv, un cit cg ngtiv s tnsfiá l plot, u pimntá un fuz d pulsión u clá hci l plc positiv. Cundo tou l plc positiv, cdá su cg ngtiv y duiiá cg positiv, y s clá d nuvo hci l plc ngtiv. L plot continuá lizndo st moviminto d un ldo oto hst u hy tnsfido l cg nt lls, djndo mbs plcs n stdo lécticmnt nuto. A, B y C. l cmpo léctico máimo n A, pusto u ls líns s ncuntn más junts. l hcho d u no hy líns n C indic u l cmpo llí s co. jmplo concptul. Si un objto suspndido A s tído hci l objto B, u stá cgdo, podmos conclui u l objto A stá cgdo? Rzonminto Pgunt ápid.5 Cundo hc bun timpo, pc un cmpo léctico sob l supfici d l Ti, u punt hci l intio d ést. Cuál s l signo d l cg dl sulo n dicho cso? Rspust y plicción Ngtiv, pusto u l líns d cmpo léctico puntn hci bjo, l sulo db tn cgs ngtivs. Pgunt ápid.6 Odn los vlos d l mgnitud dl cmpo léctico n los puntos A, B y C d l figu., d myo mno. Figu.4: Atcción lctostátic nt un sf cgd B y un conducto nuto A No. l objto A podí tn un cg d signo opusto l d B, po tmbién podí s nuto. n st último cso, l objto B hc u A s polic, con lo cul t cg d un signo l c ccn d A, y l mismo timpo dsplz un cntidd igul d cg dl signo opusto hci l c ljn, como s must n l figu.4. Así, l fuz d tcción jcid sob B po c inducid n l ldo ccno d A s ligmnt myo u l fuz d pulsión jcid sob B po l cg inducid n ldo ljno d A. n conscunci, l fuz nt sob A stá diigid hci B. jmplo. Dtminción d l fuz sultnt Consid ts cgs puntuls loclizds n ls suins d un tiángulo, como s must n l figu.5, dond = = 5. μc, = -. μc y =. m. ncunt l fuz sultnt sob. Figu. Líns d cmpo léctico po dos cgs puntuls positivs Rspust y plicción Pimo obsv l dicción d ls fuzs individuls jcids sob po y. L fuz jcid sob po s tctiv dbido u y tinn signos opustos. L fuz

3 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I jcid sob po s pulsiv dbido u mbs son positivs. L fuz sultnt sob, n fom d vcto unitio como F = (-.i +7.9j) N. jmplo. Dónd s igul co l fuz sultnt? Ts cgs s ncuntn lo lgo dl j, como s must n l figu.6. L cg positiv = 5. μc stá n =. m y l cg positiv = - 6. μc stá n l oign. Dónd db st situd l cg sob l j d mn u l fuz sultnt sob ll s co? Figu.5 L fuz jcid sob po s F. L fuz jcid sob po s F. L fuz sultnt jcid po F sob s l vcto sum F + F Clcul ho l mgnitud d ls fuzs sob. L mgnitud d F s: F k N N.m C C. C. m Pusto u s ngtiv y tnto como son positivs ls fuzs F y F son tctivs, sgún s indic n l figu.6. Si djmos u s l coodnd d ntoncs ls fuzs F y F tinn mgnituds F k y. F k Advit u n vist d u y tinn signos opustos, F stá diigido hci l izuid, como s must.5 L mgnitud d l fuz jcid sob y s F k 8.99.N 9 N.m C C5. C. m L fuz F s pulsiv y fom un ángulo d 45º con l j. n conscunci, ls componnts y y d F son iguls, con mgnitud dd po F cos45º = 7.9 N. L fuz F stá n l dicción ngtiv. Po tnto, ls componnts y y d l fuz sultnt sob son F = F + F = 7.9 N - 9. N = -. N F y = F y = 7.9 N Figu.6 Ts cgs puntuls s colocn lo lgo dl j. L cg s ngtiv, n tnto u y son positivs: Si l fuz nt sob s co, ntoncs l fuz sob dbid db s igul y opust l fuz sob dbid. P u l fuz sultnt sob s co, F db s igul y opust F, o k k. Pusto u k y son comuns n mbos ldos, dspjmos y ncontmos u C 5. C

4 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 4 Al solv stá cución cudátic p, ncontmos u =.775 m jmplo.4 l átomo d hidógno l lctón y l potón d un átomo d hidógno stán spdos po un distnci n pomdio d 5. - m. ncunt l mgnitud d l fuz léctic y l fuz gvitcionl nt ls dos ptículs. D cudo con ly d Coulomb, ncontmos u l fuz léctic tctiv tin l mgnitud F k F F N.m C N 9.6 C 5. m Utilizndo l ly d gvdd d Nwton p ls mss d ptículs dtminmos u l fuz gvitcionl tin l mgnitud mm p Fg G Fg 6.7 F g.6 L zón 47 N g N.m kg F F kg.67 kg 5. m. Así pus, l fuz gvitcionl nt ptículs tómics cgds s dspcibl compd con l fuz léctic. Figu.7 Dos sfs idéntics, cd un con l mism cg, suspndid n uilibio po mdio d cuds. D cudo con l tiángulo ctángulo d l figu.7, vmos u sn. Po consiguint L Lsn.5msn5.º. m L spción d ls sfs s =.6 m jmplo.5 sfs Dtminción d l cg n Dos puñs sfs idéntics cgds, cd un con. - kg d ms, culgn n uilibio como s indic n l figu.7. Si l longitud d cd cud s.5 m y l ángulo θ = 5.º, ncunt l mgnitud d l cg sob cd sf. Figu.8 l digm d cupo lib p l sf cgds n l ldo izuido. L fuz u ctún sob un d ls sfs s mustn n l figu.8: Dbido u l sf stá n uilibio, ls sultnts d ls fuzs n ls diccions hoizontl y vticl dbn sum co po spdo: ) F Tsn F

5 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 5 ) Fy Tcos mg n l cución (), vnos u T mg cos, po lo u T pud limins d ) si hcmos st sustitución. Lo ntio bind un vlo p l fuz léctic, F F ) F mg tn. kg9.8m / s tn 5.º F.6 D l ly d Coulomb, l fuz léctic nt ls cgs tin mgnitud F k dond = =.6 m y l N s l mgnitud d l cg n cd sf. (Advit u l témino sug uí dbido u l cg s l mism n mbs sfs). n st ducción pud dspjs y obtns F (.6 N)(.6m) 9 k 8.99 N.m / C C Un cg = 7. μc s locliz n l oign y un sgund cg = - 5. μc s ubic n l j. m dl oign, (figu.9). ncunt l cmpo léctico n l punto P, l cul tin coodnds (,.4) m. Pimo ncunt l mgnitud dl cmpo léctico poducido po cd cg. Los cmpos poducidos po l cg d 7. μc y dbido l cg - 5. μc s mustn n l figu.9. Sus mgnituds son K K 9 N. m 8.99 C 5.9 N / C 9 N. m 8.99 C 5.8 N / C 7. 6 C.4m 5. 6 c.5m jmplo.6 Fuz léctic sob un potón ncunt l fuz léctic sob un potón ubicdo n un cmpo léctico d. 4 N/C diigido lo lgo dl j positivo. Pusto u l cg sob l potón s + =.6-9 C, l fuz léctic sob él s F = = (.6-9 C)(. 4 i N/C) =. -5 N dond i s un vcto unitio n l dicción positiv. l pso dl potón s mg = (.67-7 kg)(9.8m/s ) =.6-6 N. Po consiguint, vmos u l mgnitud d l fuz gvitcionl n st cso s dspcibl compd con l fuz léctic. jmplo.7 cgs Cmpo léctico dbido dos Figu.9 l cmpo léctico totl n P s igul l sum vctoil +, dond s cmpo dbido l cg positiv y s l cmpo dbido l cg ngtiv l vcto tin sólo un componnt y. l vcto tin un componnt dd po cosθ = /5 y, un componnt ngtiv dd po - Snθ = -4/5. Po tnto, podmos ps l vcto como

6 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 6 =.9 5 j N/C = (. 5 i j) N/C l cmpo sultnt n P s l supposición d y : = + = (.X 5 i j) N/C D cudo con st sultdo, ncontmos u tin un mgnitud d.7 5 N/C y fom un ángulo Φ d 66º con l j positivo. jmplo.8 Cmpo léctico d un dipolo Un dipolo léctico stá compusto po un cg positiv + y un cg ngtiv - spds po un distnci, como s must n l figu.. Dtmin l cmpo léctico dbido sts cgs lo lgo dl j y n l punto P, l cul stá un distnci y dl oign. Supong u y >>. n P, los cmpos y dbido ls dos cgs son iguls n mgnitud, y u P s uidistnt d ls dos cgs iguls y opusts. l cmpo totl = +, dond k k y Ls componnts y d y s cncln nt sí. Ls componnts son iguls pus mbs stán lo lgo dl j. n conscunci, s pll l j y tin un mgnitud igul cosθ. n l figu. vmos u cosθ = / = /(y + ) /. cos k kk y y / y / Utilizndo l poimción y>>, podmos igno n l dnomindo y scibi k y Figu. l cmpo léctico totl n P dbido dos cgs iguls y opusts (un dipolo léctico) s igul l sum vctoil +. l cmpo s db l cg positiv + y s l cmpo dbido l cg ngtiv. D st modo vmos u lo lgo dl j y l cmpo d un dipolo n un punto distnt ví como /, n tnto u l cmpo d vición más lnt d un cg puntul ví como / n p l dipolo s obtin tmbién p un punto distnt lo lgo dl j (solucion st poblm) y p un punto distnt gnl. l dipolo s un bun modlo d muchs moléculs como l HCl jmplo.9 Cmpo léctico dbido un b cgd Un b d longitud tin un cg positiv unifom po longitud uniti λ y un cg totl. Clcul l cmpo léctico n un punto P lo lgo dl j d l b, un distnci d d un tmo (Figu.) Rzonminto y solución n st cálculo s consid u l b stá sob l j. Utilicmos Δ p psnt l longitud d un puño sgmnto d l b y psmos con Δ l cg sob l sgmnto. L popoción nt Δ y Δ s igul l popoción nt l cg totl y l longitud totl d l b. s

7 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 7 dci Δ/ Δ = / = λ. Po tnto, l cg Δ sob l puño sgmnto s Δ = λ Δ. pud ignos n l dnomindo, y = k /d. st s ctmnt l fom u ustd spí p un cg puntul. Po tnto, n l cso d gnds vlos d d/, l contibución d l cg pc como un cg puntul d mgnitud. Utiliz l técnic d límit (d/ ) s un bun método p vific un fómul tóic. jmplo. Cmpo léctico d un nillo d cg unifom Figu. l cmpo léctico n P dbido un b stá cgd unifommnt u yc lo lgo dl j. l cmpo n P dbido l sgmnto d cg Δ s k Δ/. l cmpo totl n P s l sum vctoil sob todos los sgmntos d l b. l cmpo Δ poducido po st sgmnto n l punto P stá n l dicción ngtiv y su mgnitud s Un nillo d dio tin un cg positiv unifom po unidd d longitud, con un cg totl. Clcul l cmpo léctico d lo lgo dl j dl nillo n un punto P u s ncunt un distnci dl cnto dl nillo ( figu.) Rzonminto y solución k k Obsv u cd lmnto poduc un cmpo n l dicción ngtiv po lo u l poblm d sum sus contibucions s pticulmnt simpl n st cso. l cmpo totl n P poducido po todos los sgmntos d l b, u s ncuntn difnci distncis dsd P, stá ddo po l siguint cución d k ˆ, u n st cso s convit n: d d k d dond los límits n l intgl s tindn dsd un tmo s l b ( =d) hst l oto ( = + d). Pusto u k y λ son constnts, pudn sli dl intgndo. D st fom ncontmos u d d k k d k k d d d d d d dond hmos usdo l hcho u l cg totl = λ. A pti d st sultdo vmos u si l punto P stá bstnt ljos d l b (d >> ), ntoncs Figu. Un nillo cgdo unifommnt d dio () l cmpo n P sob l j dbido un lmnto d cg d (b) l cmpo léctico totl n P stá lo lgo dl j. Advit u l componnt ppndicul dl cmpo léctico n P dbido l sgmnto s cncldo po l componnt ppndicul dbid l sgmnto, l cul s locliz n l sgmnto opusto l nillo. L mgnitud dl cmpo léctico n P dbido l sgmnto d cg d s

8 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 8 d k d st cmpo tin un componnt d = dcosθ lo lgo dl j dl nillo y un componnt d ppndicul l j. Sin mbgo, como vmos n l figu., l cmpo sultnt n P db st sob l j dbido u l sum d ls componnts ppndiculs s igul co. s dci, l componnt d cului lmnto s cncld po l componnt ppndicul d un lmnto n l ldo opusto dl nillo. Pusto u = ( + ) / y cosθ = / ncontmos u d dcos k d / k d n st cso, todo los sgmntos dl nillo poducn l mism contibucions l cmpo n P pusto todos son uidistnts d st punto. Así, podmos intg l psión ntio p obtn l cmpo totl n P. k d / / k / k d st sultdo nust u l cmpo s co n = sto l sopnd? jmplo. Cmpo léctico d un disco cgdo unifommnt Un disco d dio R tin un cg unifom po unidd d á σ. Clcul l cmpo léctico n un punto P u s ncunt lo lgo dl j cntl dl disco y un distnci d su cnto (v figu.). Rzonminto L solución st poblm s dict si considmos l disco como un conjunto d nillos concénticos. Podmos us ntoncs l jmplo., l cul poduc l cmpo d un nillo d dio, y sum ls contibucions d todos los nillos u confomn l disco. Po simtí, l cmpo sob un punto il db s pllo st j. Figu. Un disco cgdo unifommnt d dio R. l cmpo léctico n un punto il P stá diigido lo lgo d st j, ppndicul l plno dl disco. l nillo d dio y ncho d tin un á igul πd (v figu.). L cg d sob st nillo s igul l á dl nillo multiplicd po l cg po unidd d á, o d = πσd: Usndo st sultdo n l cución dd p n l jmplo. (con sustituid po ) s poduc p l cmpo dbido l nillo l psión d k / d P obtn l cmpo totl n P, intgmos st psión sob los límits = hst = R, obsvndo u s un constnt. sto s tnsfom n: k R d / k / / k R / R l sultdo s válido p todos los vlos d. l cmpo ccno l disco sob un punto il pud obtn tmbién pti d ) suponindo u R >. k

9 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 9 dond Є s l pmitividd dl cmpo spcio lib o vcío. jmplo. Un cg positiv cld Un cg puntul positiv d ms m s lib dsd l poso n un cmpo léctico unifom diigido lo lgo dl j, como s must n l figu.4 Dscib su moviminto L ngí cinétic d l cg dspués d u s h movido un distnci s K mv m m st sultdo tmbién pud obtn dl tom dl tbjo y l ngí, gcis u l tbjo lizdo po l fuz léctic s y W K F jmplo. Un lctón cldo n l figu.5 s must un lctón u nt l gión d un cmpo léctico unifom con v =. 6 m/s y = N/C. l ncho d ls plcs s =. m () ncunt l clción dl lctón mints stá n l cmpo léctico. Figu.4 Un cg puntul positiv n un cmpo léctico unifom pimnt un clción constnt n l dicción dl cmpo. Rzonminto y solución L clción d l cg s constnt y stá dd po /m. l moviminto s n lín ct lo lgo dl j. Po consiguint, podmos plic ls cucions d l cinmátic p moviminto ctilíno con clción constnt. t v t v v t v v Si = y v = s obtin v t v t m t m m Figu.5 Un lctón s lnz hoizontlmnt n un cmpo léctico unifom poducido po dos plcs cgds: l lctón s somt un clción hci bjo (opust ) y su moviminto s pbólico. Pusto u l cg n l lctón tin un mgnitud d.6-9 C y m = 9. - kg, utilizndo un nálisis simil l jmplo. s tin u m 9.6 C N / C j j 9. kg.5 j m/ s b) ncunt l timpo u td l lctón n vij tvés d l gión L distnci hoizontl coid po l lctón mints stá n l cmpo léctico s =. m. mplndo l cución = v t con =

10 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I, ncontmos u l timpo u tnscu n l cmpo léctico s t v 8.m. 6. m/s c) cuál s l dsplzminto vticl y dl lctón mints stá n l cmpo léctico? Utilizndo l cución y t t m sultdos d ) y b), ncontmos u y t y los 8.5 m / s. s y.95m. 95cm Si l spción nt ls plcs s más puñ u sto, l lctón golpá l plc positiv. Pgunt ápid.7 P un supfici gussin tvés d l cul l flujo nto s co, ls siguints cutos fimcions podín s cits. Cuáls d lls dbn s ncsimnt cits? () No hy cgs n l intio d l supfici. (b) L cg nt n l intio d l supfici s co. (c) l cmpo léctico s co n todos los puntos d l supfici. (d) l númo d líns d cmpo léctico u ntn n supfici s igul l númo d líns d cmpo u sln d ll. plicción y spust s (b) y (d). () no s ncsimnt cit, pusto u podí hb l mismo númo d cgs positivs y ngtivs n l intio d l supfici. (c) no s ncsimnt cit, como pud n l figu.6, dond ist un cmpo léctico no nulo sob todos los puntos d l supfici, po l cg nt cd po ést s co, d modo u l flujo léctico nto s co. Situción poblémic. Un supfici gussin sféic nci un cg puntul. Dscib ué l ocu l flujo nto tvés d l supfici si () s tiplic l cg, (b) s duplic l volumn d l sf, (c) l supfici s convit n un cubo, y (d) l cg s muv oto punto n l intio d l supfici. Rzonminto () Si s tiplic l cg, l flujo nto tvés d l supfici tmbién s tiplic, pusto u l flujo nto s popocionl l cg ncd po l supfici. (b) l flujo nto pmnc constnt si l volumn ví pusto u l supfici sigu ncndo l mism cg, sin impot su volumn. (c) l flujo nto no ví cundo ví l fom d l supfici cd. (d) l flujo nto tvés d l supfici cd pmnc constnt si l cg s muv oto punto, mints st sgundo punto s ncunt n l intio d l supfici. Situción poblémic. Consid un cg puntul + situd n l spcio vcío. S od l cg con cscón sféico conducto, d modo u l cg s ncunt n l cnto d ést. ué fcto tin sto sob ls líns d cmpo cds po l cg? Rzonminto Figu.6 Cg puntul situdo n l tio d un supfici cd. l númo d líns u ntn n l supfici s igul l d líns u sln d l mism. Al od l cg con l cscón sféico conducto, ls cgs d l supfici conducto s dsplzín p stisfc ls condicions d un conducto n uilibio lctostático, sí como l ly d Guss. Apcá un cg nt sob l supfici intio dl conducto, d modo u l cmpo léctico n l intio dl conducto s nul (un supfici sféic n l intio d l supfici conducto odá un cg nt igul co). Po tnto, pcá un cg + sob l supfici tio dl cscón. D st modo, un supfici gussin situd n l tio dl cscón ncá un cg nt +, l mism

11 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I u hbí si l cscón no hubi stdo llí. Po tnto, l cmbio n ls líns d cmpo s l usnci d líns n l intio dl cscón conducto. jmplo.4 Flujo tvés d un cubo Consid un cmpo léctico unifom ointdo n l dicción. ncunt l flujo léctico nto tvés d l supfici d un cbo d ldos ointdo como s indic n l figu.7 l flujo nto pud vlus l sum los flujos tvés d cd c dl cubo. n pim lug, obsv u l flujo tvés d cuto d ls cs s co, pusto u, s ppndicul da s ppndicul n ls cs mcds con y n l figu.6. n conscunci, θ = 9º, po lo u.da = dacos9º =. Po l mism zón d los plnos pllos l plno y tmbién s co. Dl mismo modo n s constnt y punt hci fu y n l mism dicción u da (θ = º), po lo u l flujo tvés d st c s da dacosº da A Po tnto, l flujo nto sob tods ls cs s co, y u jmplo.5 l cmpo léctico dbido un cg puntul A pti d l ly d Guss, clcul l cmpo léctico dbido un cg puntul isld y dmust u l ly d Coulomb s dduc d st sultdo. P st situción lgimos un supfici gussin sféic d dio y cntd n l cg puntul, como n l figu.8. l cmpo léctico d un cg puntul positiv punt dilmnt hci fu po simtí y s, po tnto, noml l supfici n todo punto. s dci, s pllo da n cd punto, po lo u.da = da y plicndo l ly d Guss s tin da da Figu.7 Un supfici hipotétic n fom d cubo n un cmpo léctico unifom pllo l j. l flujo nto tvés d l supfici s co Consid ho ls cs mcds con y. l flujo nto tvés d ésts s da da P l c s constnt y punt hci dnto, n tnto u da punt hci fu (θ = 8º), d mn u ncontmos u l nto tvés d st c s da dacos8º da A pusto u l á d cd c s A. Figu.8 L cg puntul stá n l cnto d l supfici gussin sféic y s pll da n todos los puntos sob l supfici Po simtí, s constnt n todo los puntos sob l supfici, po lo u pud scs d l intgl. Po consiguint da da 4

12 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I dond hmos povchdo l hcho d u l á d l supfici d un sf s 4π. Po tnto, l mgnitud dl cmpo un distnci d s k 4 Si un sgund cg puntul, s sitú n un punto dond l cmpo s, l fuz léctic sob l cg tin un mgnitud F k Pvimnt obtuvimos l ly d Guss pti d ly d Coulomb. Auí mostmos u l ly d Coulomb s dspnd d l ly Guss. Son uivlnts. jmplo.6 Un distibución d cg simétic sféicmnt Un sf islnt d dio tin un dnsidd d cg unifom ρ y un cg positiv (figu.9), ) Clcul l mgnitud dl cmpo léctico n un punto fu d sf b) ncunt l mgnitud dl cmpo léctico n un punto dnto d l sf. Pusto u l distibución d cg s simétic sféicmnt, slccionmos tmbién s st cso un supfici gussin sféic d dio, concéntic con sf, como n l figu.8. Siguindo l lín d zonminto dd n l jmplo.5, ncontmos u k (p Obsv u st sultdo s idéntico l obtnido p un cg puntul. Po tnto, concluimos u, p un sf cgd unifommnt, l cmpo n l gión tn l sf s uivlnt l d un cg puntul loclizd n l cnto d l sf. ) Figu.9 un sf islnt cgd unifommnt d dio y un cg totl. ) l cmpo n un punto tio l sf s k /. b) l cmpo dnto d l sf s db sólo l cg dnto d l supfici gussin y stá ddo po (k / ) b) ncunt l mgnitud dl cmpo léctico n un punto dnto d l sf. Rzonminto y solución n st cso lgimos un supfici gussin con dio <, concéntic con l distibución d cg (v figu.9b). psmos l volumn d st sf más puñ mdint. P plic l ly d Guss n st situción s impotnt obsv u l cg in dnto d l supfici gussin d volumn s un cntidd mno u l cg totl. P clcul l cg in, si us l hcho d u in, dond s l cg po unidd d volumn y s l volumn ncdo po l supfici gussin, ddo po 4 p un sf. Po tnto. in 4 Como n l jmplo.5, l mgnitud dl cmpo léctico s constnt n cului punto d l supfici gussin sféic y s noml l supfici n cd punto. Po consiguint, l ly d Guss n l gión < s tin da da 4 in Al dspj s obtin in 4 / 4 4

13 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I Pusto u po dfinición 4 / pud pss d l siguint mn 4 k, sto cscón s uivlnt l d un cg puntul n l cnto. k (p ) Advit u st sultdo p difi dl obtnido n l inciso ). Ést must u mdint, como tl vz ustd pudo hb ponosticdo d cudo con l simtí sféic d l distibución d cg. n conscunci, l sultdo limin l singulidd u istií n = si ví como / dnto d l sf. s / dci, si, l cmpo sí infinito n =, lo cul s, sin dud, un situción imposibl físicmnt. Un gfic d cont s must n l figu. Figu. ) l cmpo léctico intio d un cscón sféico cgdo unifommnt s co. b) l cmpo tio s l mismo u l d un cg puntul con un cg totl loclizd n l cnto dl cscón. c) Supfici gussin p < l cmpo léctico dnto dl cscón sféico s co. sto s dspnd tmbién d l ly d Guss plicd un supfici sféic d dio <. Pusto u l cg nt dnto d l supfici s co y po l simtí sféic d l distibución d cg, l plicción d l ly d Guss must u = n l gión <, jmplo.8 Un distibución d un cg simétic cilíndicmnt Figu. Un gáfic d cont p un sf islnt cgd unifommnt: l cmpo dnto d l sf ( < ) ví linlmnt con. l cmpo fu d l sf ( >) s l mismo u l d un cg puntul loclizd n l oign. jmplo.7 l cmpo léctico dbido un cscón sféico dlgdo Un cscón sféico dlgdo d dio tin un cg totl distibuid unifommnt sob su supfici (v figu.). ncunt l cmpo léctico n puntos dnto y fu dl cscón. Rzonminto y solución l cálculo dl cmpo fu dl cscón s idéntico l y lizdo p l sf sólid n l jmplo.6. Si constuimos un supfici gussin sféic d dio >, concéntic con l cscón, ntoncs l cg dnto d st supfici s. n conscunci, l cmpo n un punto fu dl ncunt l cmpo léctico un distnci d un lín d cg positiv y unifom d longitud infinit cuy cg po unidd d longitud s λ unifom (v figu.) Rzonminto L simtí d l distibución d cg must u db s ppndicul l lín d cg y punt hci fu, como n l figu.. L vist dl tmo d l lín d cg mostd n l figu.b yud visuliz ls diccions d ls líns d cmpo léctico. n st cso lgimos un supfici gussin cilíndic d dio y longitud u s coil con l lín d cg. P l pt cuv d st supfici, s constnt n mgnitud y ppndicul l supfici n cd punto. Admás, l flujo tvés d los tmos dl cilindo gussino s co dbido u s pllo sts supficis. L cg totl dnto d nust supfici gussin s λ. Al plic l ly d Guss y dvti u s pllo da n todos los puntos

14 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 4 sob l supfici cuv dl cilindo, ncontmos u da in Po l á d l supfici s A, po tnto, da k Si l lín d cg tin un longitud finit, l sultdo p no s l ddo po l cución k. P puntos ccnos l lín d cg y ljdos d los tmos, l cución ntio popocion un bun poimción dl vlo dl cmpo. sto s tduc n u l ly d Guss no s útil p clcul n l cso s un lín d cg finit. sto s db u l mgnitud dl cmpo léctico y no s constnt sob l supfici dl cilindo gussino. Admás, no s ppndicul l supfici cilíndic n todos los puntos. Cundo hy poc simtí l distibución d cg, como s st cso, s ncsio clcul utilizndo l ly d Coulomb. jmplo.9 Un lámin pln d cg no conducto ncunt l cmpo léctico dbido un plno infinito no conducto con cg unifom po unidd d á σ. Rzonminto L simtí d l situción sñl u db s ppndicul l plno y u l dicción d n un ldo dl plno db s opust su dicción n l oto ldo, como s must n l figu.. s convnint lgi p nust supfici gussin un cilindo puño cuyo j s ppndicul l plno y cuyos tmos tngn cd uno un á A y sn uidistnts dl plno. Figu. () Un lín d cg infinit odd po un supfici gussin cilíndic concéntic con l lín d cg. (b) Un vist d tmo must u l cmpo sob l supfici cilíndic s constnt n mgnitud y ppndicul l supfici. Figu. Un supfici gussin cilíndic u pnt un lámin d cg infinit. l flujo tvés d cd tmo d l supfici gussin s A. No hy flujo tvés d l supfici cuv dl cilindo. n st cso vmos u s pllo l supfici cilíndic, no hy flujo tvés d st

15 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 5 supfici. l flujo hci fu d cd tmo dl cilindo s A (pusto u s ppndicul los tmos); po tnto, l flujo totl tvés d nust supfici gussin s A. d Guss, dtmin l cmpo léctico n ls gions mcds con,, y y l distibución d cg sob l cscón sféico. Notndo u l cg totl dnto d l supfici s σa, plicndo l ly d Guss p obtn A in A Pusto u l distnci d l supfici pti dl plno no pc n l cución ntio, concluimos u / cului distnci dsd l plno. s dci, l cmpo s unifom n todos ldos. jmplo concptul. pliu po ué l ly d Guss no pud utilizs p clcul l cmpo léctico d ) un dipolo léctico, b) un disco cgdo, y c) ts cgds puntuls n ls suins d un tiángulo. Rzonminto Los ptons d cmpo léctico d cd un d sts ts configucions no tinn suficint simtí p hc los cálculos pácticos. (L ly d Guss n fom intgl sólo s útil p clcul l cmpo léctico d distibucions d cg ltmnt simétics, como sfs, cilindos y lámins cgds unifommnt). Con l fin d plic l ly Guss n fom intgl, ustd db s cpz d ncont un supfici cd u od l distibución d cg, l cul pud subdividis d mn u l mgnitud dl cmpo sob ls gions indpndints d l supfici s constnt. Un supfici d st tipo no pud nconts n stos csos. jmplo. Un sf dnto d un cscón sféico. Un sf conducto sólid d dio tin un cg positiv nt (figu.4). Un cscón sféico conducto d dio intio b y dio tio c s concéntico con l sf sólid y tin un cg nt. Mdint l mplo d l ly Figu.4 Un sf conducto sólid d dio y cg odd po un cscón sféico conducto d cg. Rzonminto y solución Advit pimo u l distibución d cg n mbs sfs tin simtí sféic, pusto u ésts son concéntics. P dtmin l cmpo divss distncis dl cnto, constuimos supficis gussins sféics d dio. P ncont n l intio d l sf sólid d dio (gión ), consid un supfici gussin d dio <. Pusto u no hy cg dnto d un conducto n uilibio lctostático, vmos u in =, po lo u d l ly d Guss y l simtí, = p <. D st modo, concluimos u l cg nt sob l sf sólid s distibuy sob su supfici tio. n l gión sob ls sfs, dond < < b, constuimos un supfici gussin sféic d dio y dvtimos u l cg dnto d st supfici s + (l cg sob l sf intio). Dbido l simtí sféic, ls líns d cmpo léctico dbn punt dilmnt hci fu y s d mgnitud constnt sob l supfici gussin. Siguindo l jmplo.5 y utilizndo l ly d Guss, ncontmos u in A 4 k (p b) 4

16 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 6 n l gión dond > c, l supfici gussin sféic u od un cg totl in = + (-) =. n conscunci, l ly d Guss plicd st supfici oigin. k (p Po último, consid l gión, dond b < < c. l cmpo léctico db s co n st gión dbido u l cscón sféico s tmbién un conducto n uilibio. Si constuimos un supfici gussin d st dio, vmos u in db s co pusto u =. D cudo con st gumnto, concluimos u l cg sob l supfici intio dl cscón sféico db s - p cncl l cg + sob l sf sólid. (L cg - s inducid po l cg +). Admás, pusto u l cg nt sob l cscón db tn un cg igul +. Pgunt ápid.8 Si l cmino nt A y B no influy sob l intgl d l siguint cución U U B U A B A c) ds Po ué no utilizmos simplmnt l psión ΔU = - d, dond d s l distnci n l lín ct nt A y B? plicción y spust n gnl, l cmpo léctico ví d un punto oto, d modo u l psión popust no poduc l sultdo cocto. Situción poblémic.4 Supongmos u los cintíficos hubin dcido mdi puñs ngís utilizndo los potónvoltios n vz d los lctón-voltios. ué difnci hbí? Rzonminto No hbí ningun difnci. Un lctón-voltio s l ngí gnd po un lctón u s cldo tvés d l mism difnci d potncil d un voltio. Un potón cldo tvés d l mism difnci d potncil tndá l mism ngí cinétic, pusto u su cg s d l mism mgnitud u l dl lctón. l potón s mová más lntmnt dspués d cls tvés d un voltio, pusto u su ms s myo, po ún sí hbá gndo un ngí cinétic d un lctón-voltio o un potón-voltio. Pgunt ápid.9 Si s lib un lctón dsd l poso n un cmpo léctico unifom, l ngí potncil léctic dl sistm cg-cmpo umnt, disminuy o pmnc constnt? plicción y spust L ngí potncil léctic disminuy si un lctón (d hcho, cului ptícul cgd) s lib n un cmpo léctico. L fuz léctic hc u lctón s cl, y l ngí potncil dl sistm cg-cmpo disminuy mdid u l ngí cinétic dl lctón umnt. s l cso nálogo l disminución d ngí potncil y umnto d ngí cinétic d cupo u c dbido l gvdd. Pgunt ápid. Si l potncil léctico d un punto s co, signific u no hy cg n ls poimidds dl punto? plicción y spust No. Supong u hy vis cgs n l vcindd dl punto n custión. Si lguns cgs son positivs y ots ngtivs, ls contibucions l potncil léctico n l punto pudn cncls. Po jmplo, l potncil léctico n l punto mdio nt cg d igul mgnitud y signo contio s co. Pgunt ápid. Un globo sféico contin un ptícul cgd positivmnt n su cnt. Si s infl l globo p hcl ocup un volumn myo, mints l ptícul cgd pmnc n l cnto, Cuáls d ls siguints cntidds vín: () l potncil léctico sob l supfici dl globo, (b) l mgnitud dl cmpo léctico sob l supfici dl globo, (c) l flujo léctico tvés dl globo? plicción y spust (), (b). l potncil léctico s invsmnt popocionl l dio ( = k /). L mgnitud dl cmpo léctico s invsmnt popocionl l cuddo dl dio ( = k / ). Pusto u ps l mismo númo d líns d cmpo tvés d l supfici, indpndint dl tmño, l flujo

17 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 7 léctico tvés d l supfici pmnc constnt. Pgunt ápid. Supong u s conoc l vlo dl potncil léctico n un punto Pud clculs l vlo dl cmpo léctico n dicho punto únicmnt con s infomción? plicción y spust l vlo dl potncil léctico n un punto no s suficint p dtmin l cmpo léctico. l cmpo léctico stá lciondo con l vición dl potncil n l spcio d modo u db conocs cómo ví l potncil lddo dl punto. jmplo. l cmpo léctico nt dos plcs plls d cg opust Un btí d s conct nt dos plcs plls, como s v n l figu.5. L spción nt ls plcs s igul. cm, y l cmpo léctico s supon como unifom. (st suposición s zonbl si l spción d ls plcs s puñs n l lción con l tmño d plc y si no considmos puntos cc d los bods d ls plcs) Dtmin l mgnitud dl cmpo léctico nt plcs. Pgunt ápid. Si l potncil léctico s constnt n un gión, ué pud dducis cc dl cmpo léctico n s mism gión? Si l cmpo léctico s nulo n un gión, ué pud dducis cc dl potncil léctico n s mism gión? plicción y spust Si s constnt n dtmind gión dl spcio l cmpo léctico n dich gión db s nulo, pusto u l cmpo léctico stá lciondo con l vición dl potncil n l spcio. (n un dimnsión, = -d/d, d modo u si s constnt = ) D igul modo, si = n un dtmind gión dl spcio, db s constnt n dich gión (po jmplo, l intio d un conducto cgdo n uilibio). Situción poblémic.4 Po ué l tmo d un pyos s puntigudo? Rzonminto L función d un pyo s svi d tcción los yos, d modo u l cg libd po l yo pud dsvis hst sulo d fom sgu. Si l pyo s puntigudo, l cmpo léctico s muy intnso cc dl tmo, pusto u l dio d cuvtu dl conducto s muy puño. st gn cmpo léctico umnt mucho l pobbilidd u l dscg dl yo s poduzc cc dl tmo dl pyos, n vz d cului oto sitio. Figu.5 Un btí d conctd dos plcs plls. l cmpo léctico nt ls plcs tin un mgnitud dd po l difnci d potncil divid nt l spción d d ls plcs. l cmpo léctico stá diigido d l plc positiv hci l plc ngtiv. mos u l plc positiv stá un potncil myo u l plc ngtiv. Advit u l difnci d potncil nt ls plcs db s igul l difnci d potncil nt los tminls d l btí. sto pud ntnds obsvndo u todos los puntos n un conducto n uilibio stán l mismo potncil, po lo u no hy difnci d potncil nt un tminl d l btí y cului pt d l plc l cul stá conctd. Po tnto, l mgnitud dl cmpo léctico nt ls plcs s d 4. /m. m B A st configución, conocid como cpcito d plcs plls. jmplo. Moviminto d un potón n cmpo léctico unifom

18 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 8 Un potón s sult dsd l poso n un cmpo léctico unifom d mgnitud igul 8. 4 /m diigido lo lgo dl j positivo (figu.6). l potón s dsplz.5 m n l dicción d. ) ncunt l cmbio n l potncil léctico nt los puntos A y B. cinétic y l mismo timpo l sistm pid ngí potncil léctic. l umnto d ngí cinétic d un ptícul cgd n un cmpo léctico s utiliz n muchos dispositivos, como los cñons d lctons d los tubos d imgn d los tlvisos y los cldos d ptículs utilizdos n ls invstigcions d l físic d ptículs. jmplo.4 Potncil dbido dos cgs puntuls Un cg puntul d. μc s locliz n l oign y un sgundo cg puntul d -6. μc s coloc n l posición (,.) m sob l j y, como s must n l figu.7. () Clcul l potncil n l punto P, d coodnds (4., ) Figu.6 Un potón s cl d A B n l dicción dl cmpo léctico. l cmbio d potncil léctico no dpnd d l psnci dl potón. D l cución B ds d, tnmos: A d (8. 4 /m)(.5m) 4. 4 m st sultdo ngtivo indic u l potncil disminuy nt A y B b) Dtmin l cmbio d ngí potncil dl potón p st dsplzminto A pti d l cución U sbmos u U B A ds U ( C)( 4. ) J l signo ngtivo indic u l ngí potncil dl sistm disminuy cundo l potón s muv n l dicción dl cmpo léctico. st hcho concud con l pincipio d consvción d l ngí n un sistm isldo; cundo l potón cl n l dicción dl cmpo, dui ngí Figu.7 () l potncil léctico n l punto P dbido ls dos cgs puntuls y s l sum lgbic d los potncils cdos po mbs cgs b) ué tbjo s liz p t un

19 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 9 cg puntul d. μc dsd l infinito hst l punto P. P dos cgs puntuls, l cución k s convit n k n st jmplo =. μc, = 4. m, = -6. μc y = 5. m. Po tnto, P tin l vlo. P C 4.m 9 N. m / C 6. 5.m 6 P 6.9 C b) ué tbjo s liz p t un cg puntul d. μc dsd l infinito hst l punto P (v figu.7b)? l tbjo lizdo s igul l cmbio d ngí potncil ddo po l cución W i U i i B A W U ds p 6. C J l signo ngtivo s db l hcho u l cg d. μc tíd po l combinción d y, u tin cg nt ngtiv. L cg. μc muv spontánmnt hci ls ots cgs cundo s libd, d modo u l gnt tno no ncsit hc nd p ccl ls ots cgs. Sin mbgo, p vit u l cg s cl, l gnt tno s opon l dsplzminto d l cg, lo cul implic u l tbjo lizdo s ngtivo. Un gnt tno ncsití liz un tbjo positivo p lj l cg dsd P hst l infinito. jmplo.5 Potncil léctico d un dipolo Un dipolo léctico const d dos cgs d igul vlo y signo contios, spds un distnci, como s must n l figu.8. l dipolo s ncunt ointdo lo lgo dl j y cntdo n l oign. Clcul () l potncil léctico n cului punto P dl j y (b) l cmpo léctico n un punto muy ljdo dl dipolo. Figu.8 Dipolo léctico situdo sob l j () Utilizndo l cución u k, tnmos (b) Si P s ncunt muy ljdo dl dipolo d modo u >>, ntoncs podmos igno l témino n, d modo u s convit n k Utilizndo l cución ( ) d d y st sultdo, podmos clcul l cmpo léctico n l punto P. d d 4k k p Si compmos st sultdo con l u obtuvimos n l jmplo.8, vmos u difin i i k k i i i i

20 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I un fcto d p puntos muy ljdos dl dipolo. s l jmplo citdo, clculmos l cmpo léctico sob un lín ppndicul l lín dfinid po l dipolo. Como vmos n l figu., ls componnts vticls dl cmpo s cncln. Po tnto, sólo ls componnts hoizontls d mbos cmpos (u tinn un mgnitud muy puñ) contibuyn l cmpo totl. n st jmplo, po l contio, studimos l cmpo sob l polongción d l lín u conct ls dos cgs dl dipolo. P los puntos situdos sob dich lín, los vctos d cmpo léctico sólo tinn componnt sob l lín, d modo u mbos vctos d cmpo s combinn p poduci l cmpo léctico totl. Como sultdo, l cmpo léctico s myo u l d l dicción ppndicul l dipolo n un fcto d. jmplo.6 Potncil dbido un nillo unifommnt cgdo Clcul l potncil y l cmpo léctico n un punto P situdo sob l j d un nillo d dio cgdo unifommnt, con cg totl. l plno dl nillo s ppndicul l j (figu.9) n st cso, cd lmnto d cg d s ncunt l mism distnci d P. Po tnto, podmos sc l témino y s duc k d k d l intgl L únic vibl n dich psión d s. Aplicndo considcions d simtí, vmos u lo lgo dl j sólo pud tn componnt n. Po tnto, podmos utiliz l cución d d p clcul l mgnitud dl cmpo léctico n P: d d k k d d / / / st sultdo coincid con l u obtuvimos tvés d l intgción dict (vés jmplo.) k jmplo.7 Potncil d un disco cgdo unifommnt Figu.9 Anillo d dio unifommnt cgdo, cuyo plno s ppndicul l j. Cd sgmnto dl nillo d cg d s ncunt l mism distnci d cului punto P situdo sob l j S l distnci nt P y l cnto dl nillo, como s must n l figu.9. l lmnto d cg d s ncunt un distnci dl punto P igul. Po tnto, podmos ps como ncunt l potncil léctico lo lgo dl j d un disco cgdo unifommnt d dio y cg po unidd d á (Figu.) Rzonminto y solución D nuvo lgimos l punto P un distnci dl cnto dl disco y considmos l plno dl disco ppndicul l j. l poblm s simplific dividindo l disco n un si d nillos cgdos. l Potncil d cd nillo stá ddo po l cución k dl jmplo.6. k d k d

21 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I d d k jmplo.8 Potncil d un lín d cg finit Un b d longitud po unidd d longitud y un cg totl. ncunt l potncil léctico n l punto P lo lgo dl j y un distnci d dl oign (Figu.) Figu. Un disco cgdo unifommnt d dio, cuyo plno s ppndicul l j. l cálculo dl potncil n un punto il P s simplific l dividi l disco n nillos d á πd. Consid uno d dichos nillos d dio y ncho d, como s indic n l figu.. l á dl nillo s da = πd (l longitud d l cicunfnci multiplicd po l ncho) y l cg n l nillo s d = σda = σπd. Po tnto, l potncil n l punto P dbido l nillo s d k d k d P ncont l potncil totl n P, summos sob todos los nillos u intgn l disco. s dci, intgmos d d = =. k k d / d u n du st intgl s d l fom y tin l vlo u n d, dond n n y u. D sto sult k / Como n jmplo.6, podmos ncont l cmpo léctico n cului punto il tomndo l ngtivo d l dch d n lción con. Figu. Un lín d cg unifom d longitud loclizd lgo dl j. P clcul l potncil n P, l lín d cg s divid n sgmntos, cd uno d longitud d, u tin un cg d = λd. l lmnto d longitud d tin un cg d = λd dond λ s l cg po unidd d longitud, /. Pusto u st lmnto stá un distnci d P. Podmos ps l d potncil n P dbido st lmnto como d k d k d d P obtn l potncil totl n P intgmos st psión sob los límits = =. Si dvtimos u k, λ y d son constnts ncontmos u

22 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I k d k d d d st intgl u s ncunt n l myoí d ls tbls intgls, tin l vlo d d ln Al vlu, ncontmos u k ln d d d d jmplo.9 Potncil cdo po un sf unifommnt cgd Un sf mciz islnt d dio R tin un cg totl, distibuid unifommnt po todo su volumn (figu.) () Clcul l potncil léctico n un punto tio l sf, s dci, > R. Tom l potncil como uno. dond l cmpo stá diigido dilmnt hci fu cundo s positiv. P obtn l potncil n un punto tio, como B n l figu., sustituimos st psión p n l d ds como ds d cución n st cso, obtnmos. d B d k B k (p R) Obsv u l sultdo s idéntico l dl potncil léctico dbido un cg puntul. n vist d u l potncil db s continuo = R, podmos us st psión p obtn l potncil n l supfici d l sf. sto s, l potncil n un punto C n l figu. C k R (p R) b) ncunt l potncil n un punto dnto d l sf cgds, s dci, p < R. n l jmplo.6 ncontmos u l cmpo léctico dnto d un sf cg unifommnt s Figu. sf sólid islnt d dio R cgd unifommnt con cg totl. l potncil léctico n los puntos B y C coincid con l gndo po un cg puntul situd n l cnto d l sf. n l jmplo.6 clculmos, pti d l ly d Guss, u l mgnitud dl cmpo léctico n l tio d un distibución d cg con simtí sféic s k (p R) k R (p R) Podmos utiliz st sultdo y l cución p vlu l difnci d potncil D - C dond D sun punto intio: D U C D B R A k d R C ds k R R d Sustituyndo c = k /R dnto d st psión y l dspj D, obtnmos

23 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I D k R R (p R) n = R, st psión popocion un sultdo p l potncil u concud con l potncil n l supfici, sto s, C. n l figu. s psnt un gáfic d cont p st distibución cg. Figu.4 Dos conductos sféicos cgdos conctdos po un lmb conducto. Ls sfs stán l mismo potncil. Figu. Un gáfic dl potncil léctico y cont l distnci dsd l cnto d un sf isld cgd unifommnt d dio R. L cuv p D dnto d l sf s pbólic y s un suvmnt con l cuv p B fu l sf l cul s un hipébol. l potncil tin un vlo máimo n l cnto d l sf. jmplo. Dos sfs cgds conctds Dos conductos sféicos d dio y stán spds po un distnci mucho myo u l dio d cului d ls sfs. Ésts stán conctds po mdio d un lmb conducto, como s v n l figu.4. Si ls cgs sob ls sfs n uilibio son y spctivmnt, ncunt l zón d ls intnsidds d cmpo n ls supficis d ls sfs. Pusto u ls sfs stán conctds po un lmb conducto, dbn st l mismo potncil k k Po tnto, l zón d cg s () n vist d u ls sfs stán muy ljds, sus supficis stán cgds d mn unifom, y podmos ps l mgnitud d los cmpos lécticos n sus supficis como k y k Tomndo l zón d stos dos cmpos y utilizndo ) ncontmos u () Po consiguint, l cmpo s más intnso n l vcindd d l sf más puñ. jmplo. Cpcito d plcs plls Un cpcito d plcs plls tin un á A =. -4 m y un spción d plc d =. m. ncont su cpcitnci.

24 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 4 Rzonminto y solución Figu.5 Un cpcito d plcs plls s compon d dos plcs plls cd un d á A, spds po un distnci d. Cundo s cg l cpcito, ls cgs tinn cgs iguls d signo opusto. D l cución 8.85 C d A, ncontmos.. 4 C C N. m C.77 F. 77pF jmplo. Cpcito cilíndico Un cpcito cilíndico d dio y cg coil con un cscón cilíndico más gnd d dio b y cg (v figu.6). ncunt l cpcitnci d st cpcito cilíndico si su longitud s. m m Si suponmos u s gnd compd con y b, podmos igno los fctos d bod. n st cso, l cmpo s ppndicul los js d los cilíndicos y stá confindo l gión nt llos (figu.6b). Dbmos clcul pimo l difnci d potncil nt los dos cilíndicos, l cul stá n gnl po b b ds dond s l cmpo léctico n l gión. S dmostó n jmplo.8, utilizndo l ly Guss, u l cmpo léctico d un cilindo d cg po unid d longitud λ s = k λ/. l mismo sultdo s plic uí dbido u l cilindo tio no contibuy l cmpo léctico dnto d él. Con st sultdo y notndo u stá lo lgo d n l figu.6b, ncontmos u b b b b d k b d b k ln Al sustitui n l cución u dfin l cpcitnci d un cpcito C /Δ y utilizndo l hcho d u λ = /, obtnmos C k b ln k b ln dond Δ s l mgnitud d l difnci d potncil, dd po k λln(b/), un cntidd positiv. s dci, Δ = b s positiv dbido u l cilindo intio stá un potncil myo. Figu.6 () l cpcito cilíndico s compon d un conducto cilíndico d dio y longitud oddo po un cscón cilíndico coil d dio b (b) ist ltl d un cpcito cilíndico. L lín d l supfici gussin cilíndic d dio y longitud. Nusto sultdo p C tin sntido dbido u must u l cpcitnci s popocionl l longitud d los cilindos. Como podí sps, l cpcitnci dpnd tmbién d los dios d los dos cilindos conductos. Un cbl coil, jmplo, s compon d dos conductos cilíndicos concénticos d dios y b spdos po un isldo. l cbl conduc coints n diccions opust n los conductos intio y tio. Dich gomtí s n spcil útil p potg un sñl léctic d influncis tns. D cudo con l cución ntio

25 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 5 vmos u l cpcitnci po unidd d longitud d un cbl coil s C jmplo. sféico b k ln b ( b ) k b Sustituyndo sto n l cución C /Δ, obtnmos C k b ( b ) Un cpcito sféico d un cscón conducto sféico d dio b y cg concéntico con un sf conducto más puñ d dio y cg (Figu.7). ncunt su cpcitnci. Figu.7 Un cpcito sféico const d un sf intio d dio odd po un cscón sféico d dio b. l cmpo léctico nt ls sfs punt dilmnt hci fu si l sf intio stá cgd positivmnt. Rzonminto y solución Como dmostmos n l jmplo.6 l cmpo léctico fu d un distibución d cg simtí sféicmnt s dil y stá ddo po k /. n st cso cospond l cmpo nt ls sfs ( < < b). (l cmpo s co n cului oto ldo). D l ly d Guss vmos u sólo l sf intio contibuy st cmpo. D st modo, l difnci d potncil nt ls sfs stá dd po b b d k b d k b b k b L mgnitud d l difnci d potncil s

26 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 6 Pgunts d cmpo léctico ) Un globo s cg ngtivmnt po fotminto y dspués s dhi un pd sto signific u l pd stá cgd positivmnt? Po ué dspués d cito timpo c l globo? puñ n lción d, l moviminto d s mónico simpl lo lgo dl biscto, y dtmin l piodo d s moviminto. (b) ué tn ápido s muv cundo stá n l punto intmdio nt ls dos cgs fijs? ) Un gn sf mtálic isld d ti s cg con un gndo lctostático mints un pson pd sob un tbut islnt sostin l sf. Po ué s sguo hc sto? Po ué no sí sguo p ot pson toc l sf dspués d u ést s h cgdo? ) Dos sfs conductos cgds, cd un d dio, stán spds po un distnci > L fuz nt sob cd sf stá dd po l ly d Coulomb? pliu 4) s posibl u cmpo léctico ist n l spcio vcío? pliu 5) Un cg 4 stá un distnci d un cg. Comp l númo d líns d cmpo léctico u sln d l cg 4 con l númo u nt l cg. Poblms d cmpo léctico ) n l figu P. s loclizn ts cgs puntuls ubicds n ls suins d un tiángulo uiláto. Clcul l fuz léctic nt sob l cg d 7. μc. Figu P. ) Dos puñs sf d plt, cd un con g d ms, stán spds m. Clcul l fcción d los lctons d un sf u dbn tnsfis l ot p poduci un fuz tctiv d. 4 N nt ls sfs. (l númo d lctons po átomo d s 47, y l númo d átomos po gmo s l numo d Avogdo dividido po l ms mol d l plt, 7.87) 4) Un punto con un cg s locliz n (, y ) n l plno y. Dmust u ls componnts y y dl cmpo léctico n (, y) dbids st cg son y ( ) ( y y ) / k ( ( ) ( y y ) / ) k ( y y ) Figu P. ) Dos cgs puntuls idéntics + stán fijs n l spcio y spds po un distnci d. Un tc cg puntul pud movs libmnt y s ncunt inicilmnt n poso n un biscto ppndicul d l lín u conct ls dos cgs fijs un distnci d l lín (figu P.). () Must u si s 5) Cuto cgs puntuls stán n ls suins d un cuddo d ldo, como n l figu P.5 () Dtmin l mgnitud y dicción dl cmpo léctico n l posición d l cg. (b) Cuáls s l fuz sultnt sob.

27 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 7 9) L figu P.9 must ls líns d cmpo léctico p dos cgs puntuls spds po un puñ distnci. () Dtmin l popoción / (b) Cuáls son los signos d y? Figu P.5 6) Un cg s locliz n l oign y un s ubic lo lgo dl j y n y. n u punto lo lgo dl j y l cmpo léctico s co? 7) Consid un cscón cilíndico cicul cto con un cg totl, dio R y ltu h. Dtmin l cmpo léctico n un punto un distnci d dl ldo dcho dl cilindo, como n l figu P.7 (sugnci. mpl l sultdo jmplo. y consid l cilindo como un colcción d nillos d cg). (b) Utilic l sultdo dl jmplo. p volv l mismo poblm, po st vz supong u l cilindo s sólido. Figu P.9 ) Un potón s lnz n l dicción dnto d un gión d un cmpo léctico unifom = i N/C. l potón vij 7. cm nts d dtns. Dtmin () l clción dl potón, (b) su vlocidd inicil, y (c) l timpo u td n dtns. ) Cd uno d los lctons n un hz d ptículs tin un ngí cinétic K. Cuáls son l mgnitud y dicción dl cmpo léctico u dtndá stos lctons n un distnci d? Figu P.7 8) Un b islnt cgd d mn unifom d 4 cm d lgo s dobl n fom d smicicunfnci, como n l figu P.8. Si l b tin un cg totl d -7.5 μc, ncunt l mgnitud y dicción dl cmpo léctico n O, l cnto d l smicicunfnci. ) S lnz potons con un vlocidd inicil v = 9.55 m/s dnto d un gión dond s psnt un cmpo léctico unifom = (-7j) N/C, como n l figu P.. Los potons vn incidi sob l blnco u s ncunt un distnci hoizontl d.7 mm dl punto dond s lnzon los potons. Dtmin () los dos ángulos d lnzminto θ u dán como sultdo un impcto, y (b) l timpo totl d vulo p cd tyctoi. Figu P.8

28 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 8 Figu P. ) Un bol d cocho cgd d ms m stá suspndid n un cud lig n psnci d un cmpo léctico unifom, como n l figu P.. Cundo = ( i + yj) N/C, bol stá n uilibio un ángulo θ. ncunt () l cg n l bol y (b) l tnsión n l cud. Figu P.5 Pgunts d ly d Guss 6) Si l cmpo léctico n un gión dl spcio s co, pud ustd conclui u no hy cgs léctico n s gión? pliu Figu P. 4) Ts cgs d igul mgnitud stán fijs n vétics d un tiángulo uiláto (Figu P.4). Un cut cg tin libtd d moviminto lo lgo dl j bjo l influnci d ls fuzs jcids po ls ts cgs fijs. ncunt un vlo p s p l cul sté n uilibio. 7) Con l ly d Guss pliu po ué ls líns d cmpo léctico dbn mpz y tmin n cgs léctics. (Sugnci: cmbi l tmño d l supfici gussin) 8) pliu po ué l cso d cg n un conducto isldo db sidi n su supfici, mplndo l ntulz pulsiv d l fuz nt cgs simils y l libtd d moviminto d l cg dnto dl conducto. 9) Dos sfs sólids, mbs s dio R, conducn cgs totls idéntics. Un sf s un bun conducto mints u l ot s un isldo. Si l cg sob l sf islnt stá distibuid unifommnt po todo su volumn intio, cómo s compn los cmpos lécticos tnos d sts sfs? Los cmpos son idénticos n l intio d ls dos sfs? Poblms d ly d Guss Figu P.4 5) Ocho cgs puntuls, cd un d mgnitud, s loclizn n ls suins d un cubo d ldo s, como n l figu P.5 () Dtmin ls componnts, y, z d l fuz sultnt jcid sob l cg loclizd n l punto A po ots cgs. (b) Cuáls son l mgnitud y dicción d st fuz sultnt? 6) Un cmpo léctico unifom i + bj intsct un supfici d á A Cuál s l flujo tvés d st á si l supfici s ubic () n l plno yz, (b) n l plno z, (c) n l plno y 7) Consid un cj tingul cd u dscns dnto d un cmpo léctico hoizontl d mgnitud = N/C, como n l figu P.7. Clcul l flujo léctico tvés d () l supfici vticl, (b) l supfici inclind, y (c) tod l supfici d l cj

29 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I 9 Figu P.7 8) Un cono d dio R n l bs y ltu h stá sob un ms hoizontl, y un cmpo léctico unifom hoizontl pnt l cono, como n l figu P.8. Dtmin l flujo léctico u nt l cono. Figu P. ) Un cg puntul s locliz justo ib dl cnto d l c pln d un hmisfio d dio R, como n l figu P. Cuál s l flujo léctico () tvés d l supfici cuv, y (b) tvés d l c pln? Figu P.8 9) Cuto supficis cds, S S 4, junto con ls cgs, y s dibujn n l figu P.9. ncunt l flujo léctico tvés d cd supfici. Figu P. ) Consid un dlgdo cscón sféico d 4. cm d dio con un cg totl d. μc distibuid unifommnt sob su supfici. ncunt l cmpo léctico () cm y (b) cm dl cnto d l distibución d cg. Figu P.9 ) Un lín d cg infinitmnt lg u tin un cg unifom po unidd d longitud λ s ncunt un distnci d d un ponto O, como n l figu P.. Dtmin l flujo léctico totl tvés d l supfici d un sf s dio R cntd n O. (Sugnci: Consid tnto R < d como R >d). ) Un filmnto cto cgdo unifommnt d 7. m d lgo tin un cg positiv totl d. μc. Un cilindo d ctón dscgdo d. cm d longitud y. cm d dio od l filmnto n su cnto, con l filmnto como l j dl cilindo. Utilizndo tods ls poimcions zonbls, ncunt () l cmpo léctico n l supfici dl cilindo, y (b) l flujo léctico totl tvés dl cilindo. 4) Un lg lámin pln d cg tin un cg po unidd d á d 9. μc/m. Dtmin l intnsidd d cmpo léctico justo ib d l supfici d l lámin, mdid dsd su punto mdio. 5) Un dlgd plc conducto d 5. cm d ldo s ncunt n plno y. Si un cg totl d C s pon sob l plc, ncunt

30 Tll dl Pim Cot: lctostátic pgunts y poblms 8-I () l dnsidd d cg sob l plc, (b) l cmpo léctico justo ib d l plc y (c) l cmpo léctico justo bjo d l plc. 6) Un lmb lgo y cto stá oddo po un cilindo mtálico huco cuyo j coincid con l dl lmb. l lmb tin un cg po unidd d longitud d λ y l cilindo tin un cg nt po unidd d longitud d λ. D cudo con st infomción, utilic l ly d Guss p ncont () l cg po longitud uniti n ls supficis intio y tio dl cilindo y (b) l cmpo léctico fu dl cilindo, un distnci dl j. 7) P l configución mostd n l figu P.7, supong u = 5. cm, b = cm, y c = 5 cm. Supong tmbién u mid un vlo dl cmpo léctico n un punto cm dl cnto igul.6 5 N/C, dilmnt hci dnto n tnto u l cmpo léctico n punto 5 cm dl cnto s. N/C dilmnt hci fu. A pti d st infomción nt () l cg sob l sf islnt, (b) l cg nt sob l sf conducto huc, y (c) l cg totl sob ls supficis intio y tio d l sf conducto huc. ) stblzc l distinción nt potncil léctico y ngí potncil léctic ) pliu po ué ls supficis uipotncils son simp ppndiculs ls líns d cmpo léctico. ) l potncil d un cg puntul s dfin igul co un distnci infinit. Po ué no podmos dfini l potncil d un lín d cg infinit igul co co n? ) n ué tipo d clim sí más pobbl u un btí d utomóvil s dscg y po ué? 4) Cmin sob un lfomb y toc dspués lguin pud poduci un dscg léctic. pliu l zón po l u ocu lo ntio. Poblms d potncil léctico 9) Un positón tin l mism ms u un lctón. Cundo s cl un positón dsd l poso nt dos puntos un difnci d potncil fij, dui un vlocidd u s l % d l vlocidd d luz. ué vlocidd lcnz un potón cldo dsd l poso nt los mismos dos puntos? ) Un lctón u s muv pllo l j tin un pidz inicil d.7 6 m/s n l oign. Su pidz s duc.4 5 m/s n l punto =. cm. Clcul l difnci d potncil nt l oign y st punto, Cuál punto stá myo potncil? Figu P.7 8) Un cilindo d islnt infinitmnt lgo d dio R tin un dnsidd d cg volumétic u ví con l dio como b dond ρ, y b son constnts positivs y s l distnci dsd l j dl cilindo. Utilic l ly d Guss dtmin l mgnitud dl cmpo léctico distncis dils () < R y (b) > R. ) Un blou d ms m y cg s conct un sot d constnt k. l blou stá sob un pist hoizontl sin ficción y l sistm stá inmso n un cmpo léctico unifom d mgnitud y su dicción s como s indic n l figu P.. Si l blou s sult dsd poso cundo l sot stá indfomdo (n = ). () n ué cntidd máim s lg l sot? (b) Cuál sá l posición d uilibio dl blou? (c) Must u l moviminto dl blou s mónico simpl y dtmin su piodo. (d) Rpit l inciso () si l coficint d ficción cinético nt l blou y l supfici s μ Pgunts d potncil léctico