Módulo de Matemáticas Aplicadas II. Unidad 1. Números racionales y números irracionales Los números reales

Transcripción

1 II Nivel II de ESPAD Unidd Números rcionles y números irrcionles Los números reles Este documento h sido relizdo por l profesor Crmen de l Fuente Blnco pr el lumndo que curs el Ámbito Científico Tecnológico del nivel II de Educción Secundri pr Persons Adults Distnci en el IES EL PINAR del Alcorcón en l opción de enseñnzs plicds, concretndo y desrrollndo el currículo estblecido pr l obtención del título de Grdudo en Educción Secundri Obligtori por persons dults en l Comunidd de Mdrid (BOCM de de myo de 0) L utor del documento grdece l equipo de Mtemátics de Mre Verde por comprtir los rchivos de sus puntes. Pr l elborción de este documento se hn utilizdo prtes de los siguientes cpítulos de los textos elbordos por el equipo de Mtemátics de Mre Verde ( Números rcionles del libro MATEMÁTICAS ºA de ESO (Autor: Pco Moy) Potencis y ríces del libro MATEMÁTICAS ºA de ESO (Autor: Nieves Zusti) Números reles del libro MATEMÁTICAS ºA de ESO (Autores: Pco Moy y Mrí Molero) 0

2 ÍNDICE. NÚMEROS RACIONALES..... Definición..... Los tres significdos de un frcción..... Frcciones equivlentes.....reducción común denomindor..... Ordención de frcciones..... Representción en l rect numéric..... Operciones con frcciones Expresión deciml y frccionri de un número rcionl..... Problems con frcciones... NÚMEROS IRRACIONALES.... EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Definición y representción de los números reles en l rect rel Intervlos en l rect rel Aproximciones y errores NOTACIÓN CIENTÍFICA..... Expresiones en notción científic..... Operciones en notción científic.... RADICALES..... Definición de ríz enésim de un número:..... Rdicles como potencis de exponente frccionrio. Propieddes.... EJERCICIOS Y PROBLEMAS... UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

3 . NÚMEROS RACIONALES.. Definición Módulo de Mtemátics Aplicds Los números rcionles son todos quellos números que pueden expresrse medinte un frcción de números enteros. Es decir, el número r es rcionl si r, con, b números enteros y b 0. b El nombre rcionl viene de rzón, que en mtemátics signific división o cociente. El conjunto de todos los números rcionles se represent por Q. Un número rcionl tiene infinits representciones en form de frcción. Así:... son infinits frcciones que representn l mismo número rcionl, se llmn 8 equivlentes puesto que tienen igul vlor numérico. Si hcemos ls divisiones en el ejemplo tods vlen 0, que es su expresión deciml. Los números enteros son rcionles puesto que se pueden expresr medinte un frcción, por 8 ejemplo, es decir Z Q (el conjunto Z está incluido en el conjunto Q) Todo número rcionl tiene un representnte que es su frcción irreducible, quell que tiene los números más pequeños posibles en el numerdor y el denomindor. A est frcción se lleg prtir de culquier otr dividiendo el numerdor y denomindor por el mismo número. Si se quiere hcer en un solo pso se dividirá entre el Máximo Común Divisor (M.C.D.) del numerdor y el denomindor. Ejemplo: donde hemos dividido primero entre 0 y después entre, pero podímos hber dividido entre 0 directmente y que 0 es el MCD(0, 80). Por tnto / es l frcción irreducible y por ello l que represent l número rcionl que tiene otrs muchs forms de frcción como 0/80 = /8 = 0/0 = / = / = /0 = 8/ = /8 = / = / y por expresión deciml 0,... Los tres significdos de un frcción. Un frcción es un prte de l unidd. Un todo se tom como unidd que se divide en prtes igules. L frcción expres cuánts de ess prtes igules se tomn. Ejemplo de un segmento indic un trozo del segmento obtenido dividiéndolo en prtes igules y tomndo de ess prtes.. Un frcción es el cociente indicdo de dos números. Pr trnsformr l frcción en un número deciml, se divide el numerdor entre el denomindor Ejemplo 0, Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

4 . Un frcción es un operdor que trnsform un cntidd dd. Pr clculr l frcción de un número, se divide el número por el denomindor, y el resultdo se multiplic por el numerdor. Tmbién se puede hcer multiplicndo primero el número por el numerdor y dividiendo el resultdo por el denomindor. Otr form equivlente de obtener l frcción de un número es trnsformr l frcción en número deciml y multiplicr el resultdo por el número Ejemplo de 0 mm son mm porque 0: = =, o tmbién 0 : = 0: =, o tmbién : 0 = 0, 0 =.. Frcciones equivlentes Dos frcciones son equivlentes si se verific culquier de ls siguientes condiciones (tods ls condiciones son equivlentes): Al hcer l división obtenemos l mism expresión deciml. 8 8 Ejemplo: : = 8 : 0 = 0,8 luego y son equivlentes y puede escribirse. 0 0 c Los productos cruzdos son igules: d b c b d Es fácil de demostrr, multiplicmos mbos ldos del igul por b y por d: c b d b d, como b : b = y d : d = nos qued d = c b. b d Ejemplo: 8 puesto que = 8 = 8 Al simplificr ls frcciones se lleg l mism frcción irreducible. Si A = B y C = B l fuerz A = C Ejemplo: ; ; luego 0 0 Se puede psr de un frcción otr multiplicndo (o dividiendo) el numerdor y el denomindor por un mismo número. Ejemplo: pues bst multiplicr el numerdor y el denomindor de l primer por n pr obtener l segund. En generl: b b n Actividdes propuests. Coloc los numerdores y denomindores que fltn pr que ls frcciones de cd prtdo sen equivlentes y comprueb l iguldd de los productos cruzdos: ) 0 8 b) c) d) e) Simplific ls siguientes frcciones hst obtener l frcción irreducible equivlente: UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

5 ) 8 b) 8 0 c) 0.. Reducción común denomindor Con objeto de comprr dos o más frcciones (ver cuál es myor) y tmbién pr poder sumrls o restrls es importnte obtener frcciones equivlentes que tengn el mismo denomindor. Ejemplo Queremos sber si / es myor que / sin hcer l división. Buscmos un múltiplo común de y de (si es el mínimo común múltiplo mejor, pero no es imprescindible), es múltiplo de y de. Lo escribimos como nuevo denomindor pr ls frcciones: ;. Ahor clculmos los nuevos numerdores: como el lo hemos multiplicdo por pr llegr pues el lo multiplicmos tmbién por pr obtener un frcción equivlente: ; en l segund frcción hemos multiplicdo el denomindor por y tenemos que hcer lo mismo con el numerdor:. Ahor está clro cuál de ls dos frcciones es myor: Pr obtener frcciones equivlentes b y d c con el mismo denomindor buscmos un múltiplo común de b y d (el mejor es el m.c.m.), m, y multiplicmos numerdor y denomindor de cd frcción por el cociente de l división de m entre el denomindor correspondiente: m m c b c y d b m d m.. Ordención de frcciones Pr ordenr un serie de frcciones existen vrios procedimientos: i) Hcer ls divisiones y comprr ls expresiones decimles. Este procedimiento es el más fácil pero no el más rápido (slvo que tengs clculdor). Ejemplo: Nos piden que ordenemos de menor myor ls siguientes frcciones: ; ; ; ; ; Hcemos ls divisiones que dn respectivmente:,0 ;,0;,0 ;,0; 0, y 0, Mirndo los números decimles sbemos que: Recuerd los números negtivos son siempre menores que los positivos y demás entre números negtivos es menor el que tiene myor vlor bsoluto ( < ). Tienes que tener clro que si y b son positivos y > b b Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

6 ii) Reducir común denomindor y comprr los numerdores. Ejemplo: Pr ordenr de myor menor ls frcciones: ; ; ; ; 8 Primero buscmos un número que se múltiplo de, de 8, de y de (si es el mínimo común múltiplo mejor que mejor). Encontrmos el que es múltiplo de todos ellos. Lo ponemos como nuevo denomindor de tods ls frcciones y clculmos los nuevos numerdores pr que ls frcciones sen equivlentes: : = luego el hy que multiplicrlo por pr llegr, lo mismo hcemos con el, = 0 es el nuevo numerdor. Así con ls demás. Después comprmos los numerdores y como > 0 > 8 > >, el orden de ls frcciones es: 8 Actividdes propuests. Reduce ls frcciones de cd prtdo un común denomindor y ordénls después de menor myor seprndo un de otr con el símbolo < : ),, b),, c), 8. Clcul el vlor deciml de ls frcciones del ejercicio nterior y comprueb l ordención... Representción en l rect numéric, Ést es l rect numéric, en ell todo número rel tiene un lugr excto. Recuerd que Pr dibujrl sólo se pueden tomr dos decisiones: donde colocmos el 0 y donde colocmos el, es decir, dónde está el origen y cuál es el tmño de l unidd. Ls uniddes hn de ser siempre del mismo tmño. Los números positivos vn l derech del 0 y los negtivos l izquierd. El 0 no es ni positivo ni negtivo. L rect numéric no tiene ni principio ni fin, sólo podemos dibujr un pequeñ prte. Dos números, b siempre se pueden comprr y se cumple que < b si está l izquierd de b y vicevers (cunto más l izquierd esté un número menor es) Ejemplos: < ; < ; < ; < / Todo número rcionl tiene un posición predetermind en l rect numéric. Ls infinits frcciones equivlentes que formn un número rcionl están representds en el mismo punto de l rect. Así que / y /, que son el mismo número están en el mismo punto. Vemos como representr ls frcciones de form exct según el tipo de frcción. Frcción propi, frcción impropi y form mixt Frcción propi: Se dice de un frcción /b donde < b, es decir, el numerdor es menor que el UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

7 denomindor. L expresión deciml de un frcción propi es, en vlor bsoluto, menor que. Ejemplos: / y /00 son frcciones propis, / = : =0,8 y /00=:00=0, Frcción impropi: Se dice de un frcción /b donde > b, numerdor myor que el denomindor. L expresión deciml de un frcción propi es, en vlor bsoluto, un número myor que Ejemplos: / y / son frcciones impropis, / =, y / =,00 Número mixto: Ls frcciones impropis pueden escribirse como l sum de un número entero y de un frcción propi. Ejemplo:, ést últim es l form mixt. En Espñ no es frecuente, pero en el mundo nglosjón suele escribirse que signific lo mismo. Ejemplo de pso de un frcción impropi número mixto: es impropi pues >, pr escribirl en form mixt hcemos l división enter :, es decir, sin decimles, y que lo que nos interes es el cociente, que es, y el resto, que es. Por lo tnto El cociente es l prte enter, el resto es el numerdor de l frcción propi y el divisor es el denomindor. Es importnte que lo intentes hcer de cbez (cundo se rzonble), por ejemplo, pr psr form mixt l frcción impropi /, buscmos el múltiplo de más cercno por bjo, éste es =, por tnto: / = + / puesto que de vn. Piénslo, si nos comemos / de pizz, nos hemos comido pizzs enters y demás / de pizz. Si l frcción es negtiv procedemos de l siguiente form: ) Representción de un frcción propi: Ejemplo: Pr representr l frcción /, como el vlor está entre 0 y, dividimos l primer unidd en prtes igules y tommos. En l figur se indic cómo hcerlo de form exct usndo el Teorem de Tles. Trzmos un rect oblicu culquier que pse por 0 y sobre ell mrcmos con el compás puntos igul distnci entre sí (l que se, pero igul). Unimos el último punto con el y trzmos prlels ese segmento que psen por los puntos intermedios de l rect oblicu (ls línes discontinus). Ests rects prlels dividen el intervlo [0, ] en prtes igules. Fíjte que pr dividir en prtes igules sólo hy que mrcr puntos intermedios igul distnci, siempre uno menos. Si l frcción es negtiv se hce igul pero en el intervlo [, 0]. En l figur hemos representdo /8, hemos dividido el intervlo [, 0] en 8 prtes igules y hemos contdo empezndo en 0. Si queremos representr un frcción propi positiv, /b, se divide l primer unidd en b prtes igules y se cuentn divisiones prtir de 0. En cso de ser negtiv se hce igul pero Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

8 contndo desde 0 hci l izquierd. b) Representción de un frcción impropi: Ejemplos: Pr representr / lo primero es escribirl en su form mixt, /=+/, hor es fácil representrl, nos vmos l, l unidd que v del l l dividimos en prtes igules y tommos. Pr /8=+/8, nos vmos l unidd que v del l l dividimos en 8 prtes igules y tommos. Si l frcción es negtiv, como, psmos form mixt, nos vmos l unidd que v del l, l dividimos en prtes igules y contmos hci l izquierd empezndo en. Pr representr, como nos vmos l unidd que v de, dividimos en prtes igules y tommos, contndo hci l izquierd y empezndo en. Actividdes propuests. Ps form mixt ls siguientes frcciones:. Ps form mixt ls siguientes frcciones: 0 ; ; ; ;. Represent en l rect numéric ls frcciones : ; ; ; 8. Ps form mixt y represent ls frcciones: 80 ; ; ; Hll ls frcciones que se corresponden con los puntos A, B, C, D y E, expresndo en form mixt y como frcción impropi ls representds por los puntos A, B y E. UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

9 .. Operciones con frcciones Sum y rest de frcciones Debes tener presente que sólo pueden sumrse o restrse coss igules. No podemos sumr metros con segundos, ni euros con litros. De l mism form no pueden sumrse tercios con quintos, ni curtos con medios. Es decir, no se puede hcer l sum sí tl cul, y que los sextos y los curtos son de distinto tmño. Pr poder hcer l sum, ntes es necesrio hllr frcciones equivlentes cd uno de los sumndos que tengn el mismo denomindor. Vemos el ejemplo: Un múltiplo de y es. Escribimos como nuevo denomindor y hllmos los numerdores pr que ls frcciones sen equivlentes: 0 (los docevos y sí se pueden sumr, y el resultdo son docevos) Otro ejemplo: Hllmos un múltiplo de, de 0 y de (0 es el mínimo común múltiplo), se escribe como denomindor común y hcemos 0 : = 0, luego el lo multiplicmos por 0, 0:0 = luego el lo multiplicmos por, etc. Cundo tods ls frcciones tienen igul denomindor, se sumn o restn los numerdores, dejndo el mismo denomindor. Si es posible se simplific l frcción resultnte. En generl, se define l sum de dos frcciones con l fórmul Ejemplo: b c d d c b b d Producto de frcciones c Pr multiplicr dos frcciones b y d se multiplicn los numerdores entre sí y los denomindores entre sí pr determinr, respectivmente, el numerdor y el denomindor de l c c frcción producto: b d b d Ejemplo: Vmos explicr l rzón de que ls frcciones se multiplicn sí con un ejemplo: signific hllr / de /. Imgin que l unidd, o el todo, es el rectángulo de l imgen. Pr representr los ¾ del rectángulo hy que dividirlo en prtes igules y coger (ls frnjs inferiores de l figur). Ahor debemos hcer / de lo que nos h queddo, ess frnjs ls dividimos en prtes igules y tommos. Como puede verse nos quedn prtes igules de ls 0 totles, por Págin 8 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

10 eso 0 A veces conviene hcer l multiplicción con inteligenci, como en el siguiente ejemplo Antes de multiplicr nos fijmos en que el se puede simplificr ( pr qué vmos multiplicr por y luego dividir por?) y después simplificmos el puesto que =. Hz tú (espermos que llegues l resultdo correcto y simplificdo que es /) Conviene simplificr los cálculos siempre que se pued, pero prest tención pr hcerlo correctmente y no hcer brbriddes como ls siguientes: L iguldd nterior es bsolutmente fls (0/ = / es el resultdo correcto y no /). L iguldd nterior tmbién es un brbridd (/ es el resultdo correcto y no /) Frcción invers L frcción invers de es b b pues se cumple que, que es l definición de inverso. b b Ejemplos: L invers de / es / y l invers de es /. División de frcciones Pr dividir l frcción b entre d c se multiplic l primer frcción por l invers de l segund: : b c d d d ( se ponen los productos cruzdos, d en el numerdor y b c en el denomindor). b c b c Ejemplo: : 0 0 Prest tención los siguientes csos prticulres: Dividir entre / es lo mismo que multiplicr por. Ejemplo: Dividir entre un décim es multiplicr por 0 y que Dividir entre un número es como multiplicr por su inverso: Tmbién puedes multiplicr y luego simplificr: : : 0 Torres de frcciones: No te sustes si tienes que hcer lgo como esto lo mismo que : , no olvides que es lo mismo que : 0 0 0, es muy fácil, es UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

11 Potencis Significdo de un potenci de exponente entero positivo: Ddo, un número culquier, y n, un número nturl, l potenci n es el producto del número por sí mismo n veces : n = n fctores... Ejemplo Propieddes de ls potencis: ) El producto de potencis de l mism bse es igul otr potenci de l mism bse y como exponente l sum de los exponentes: n m = n+m Ejemplo = ( ) ( ) = + = b) El cociente de potencis de l mism bse es igul otr potenci que tiene como bse l mism, y como exponente l diferenci de los exponentes: n : m = n m Ejemplo / = ( ) / ( ) = = c) L potenci de un potenci es igul l potenci cuyo exponente es el producto de los exponentes: ( n ) m = n m Ejemplo ( ) = ( ) ( ) ( ) = d) El producto de potencis de distint bse con el mismo exponente es igul otr potenci cuy bse es el producto de ls bses y cuyo exponente es el mismo: n b n = ( b) n Ejemplo = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) e) El cociente de potencis de distint bse y el mismo exponente es igul otr potenci cuy bse es el cociente de ls bses y cuyo exponente es el mismo: n /b n = (/b) n Ejemplo 8 / = (8 8 8) / ( ) = (8/) (8/) (8/) = (8/) Por definición 0 = pr culquier número 0 y = L rzón de l primer definición es l plicción de l propiedd b) l cso en el que ls dos potencis que tienen l mism bse tengn tmbién el mismo exponente: n n 8 n n n 0, pero evidentemente tiene que ser n n Significdo de un potenci de exponente negtivo: por definición n Con el siguiente ejemplo entenderás l rzón de l nterior definición:, pero plicndo l propiedd b) Cundo l bse de l potenci es un frcción l definición nterior conduce l siguiente resultdo: n n n b n n y que b b b n n n b n b b Págin 0 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

12 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin Operciones combinds. Prioridd de ls operciones Recuerd Pr hcer vris operciones combinds hy que seguir el siguiente orden, respetndo l prioridd de un operciones sobre otrs: º Se hcen ls operciones de los préntesis, empezndo por los más interiores. º Ls potencis y ls ríces º Ls multiplicciones y divisiones. º Ls sums y rests. Si hy vris operciones con igul prioridd se hrán de izquierd derech. Ejemplo Clcul pso pso y simplific: : Primero hcemos el préntesis de más dentro y l multiplicción del segundo préntesis que tiene prioridd sobre l rest: 0 : : : : Actividdes propuests. Reliz ls operciones y expres el resultdo en form de frcción irreducible: ) b) c) : d). Oper y expres el resultdo en form de frcción irreducible: ) b) c) d). Oper y expres el resultdo simplificdo como únic potenci de exponente positivo: ) 8 b) 8 c).8. Expresión deciml y frccionri de un número rcionl Pso de expresión como frcción expresión deciml Tod frcción tiene un expresión deciml que se obtiene dividiendo el numerdor entre el denomindor (/b = :b) L expresión deciml de un frcción es exct o periódic. Ejemplos:..., 0,; 80 0,888...; 8 0,; Como puedes observr uns veces l expresión deciml es exct (puesto que el resto de l división sle 0) y otrs veces sle periódic, infinitos decimles entre los que se repite un bloque de cifrs que se denomin periodo. Cuándo sle exct y cuándo periódic? Si en el denomindor de un frcción irreducible precen fctores primos distintos de y de l expresión deciml será periódic, mientrs que si solmente precen como fctores primos y l expresión deciml será exct.

13 Hllr l frcción genertriz de un expresión deciml exct o periódic Los números decimles exctos o periódicos pueden expresrse como un frcción de enteros. Pso de deciml excto frcción Es muy fácil, mir los ejemplos de l derech. Se pone en el numerdor el número sin l com y en el denomindor l unidd seguid de tntos ceros como cifrs decimles tiene. Después se simplific l frcción., ,8 00, Pso de deciml periódico frcción Ejemplo: Nos piden expresr el número,... en form de frcción de enteros. Lo primero que hcemos es ponerle un nombre, por ejemplo N =,, lo segundo es conseguir dos números con l mism prte deciml. El nteperiodo tiene cifr y el periodo. Pr conseguir l mism prte deciml multiplicmos por 000 y l com se v hst después del primer periodo, si multiplicmos por 0 l com se v hst delnte del primer periodo. Y tenemos dos números con l mism prte deciml, si los restmos ést desprece y podemos despejr N. Fíjte que l rest se hce en los dos miembros l vez. En generl, pr hllr l expresión como frcción de un número periódico, multiplicmos el número por l potenci de 0 necesri pr llevrnos l com l finl del primer periodo, luego lo multiplicmos otr vez pr que l com quede l principio del primer periodo, restmos ls dos expresiones con el mismo período y despejmos el número. Otro ejemplo: N =, Cómo conseguir dos números con l prte deciml,? Pues lo más fácil es 0000 N =, y 00 N =, 08 8 N Restmos: 00 N = Otro ejemplo: N =, Págin 00 N =, N =, 0 0 N N = 0 Puedes comprobr que 0:=,. UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

14 Más ejemplos: N 0N N = N,,, = N = / N 00N 0N = 0N,,, = N = /0 N 000N 00N = 00N 8,888 88,88 8,88... = N = /00 Observ que siempre el entero que qued en l frcción resultnte tiene tnts cifrs como cifrs tení el periodo, y tnts cifrs 0 como cifrs tení el nteperiodo. Actividdes propuests. Ps frcción y simplific: ), b) 0, c),. Ps frcción y simplific: ), b) 0, c),. Ps frcción y simplific: ),0 b) 0, c),. Ps frcción cd número deciml y clcul: A. 0, + 0, B. 0,888, C. 0, : 0,.. Problems con frcciones Vmos recordr lgunos conceptos esenciles en l resolución de problems con frcciones: ) Frcción de un número: Pr hllr un frcción b de un número c, se multiplic l frcción por el número Ejemplo Pr hllr ls tres curts prtes de 0. c b Trducimos: hllr de 0. Este de se trduce en mtemátics por un por, luego: b) Frcción de un frcción: Ejemplo 0 de 0 de Ejemplo Hll ls dos quints prtes de ls diez docevs prtes de UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

15 c) Problem inverso (hllr el totl sbiendo el vlor de un frcción) Ejemplo Me dicen que ls tres curts prtes de un número vlen. Qué número es? Está clro que un curto será : = y los curtos son = 88. Los dos psos del rzonmiento nterior equivlen multiplicr por l frcción invers de, 88 Actividdes propuests b x c x c. Hll ls cutro quints prtes de ls tres curts prtes de.. Ls cinco sexts prtes de un número son 00, qué número es? EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBLEMAS CON FRACCIONES i) Cuántos litros hy en 80 botells de curtos de litro cd un? Puedes ponerte un ejemplo con números más fáciles pr tener clro qué operción debes hcer. Si tengo 0 botells cd un de litros, está clro que tenemos 0 litros; qué operción hemos hecho?, multiplicr, pues lo mismo hcemos con los números del problem: litros 80botells 80 litros 0litros botell (Observ que botells se simplificn con botells y ls uniddes finles son litros). b ii) Cuánts botells de octvos de litro necesito pr envsr 00 litros? Nuevmente ponemos un ejemplo con números más sencillos: si quiero envsr 0 litros en botells de litros, está clro que necesito botells (0 : ). Hcemos lo mismo con los dtos: litros 8 botells 8 00litros: 00litros 00 botells 00 botells 8 botell litro (Fíjte que litros se simplific con litros y que ls botells que dividen en el denomindor psn multiplicndo en el numerdor, por lo que unidd del resultdo es botells ). iii) An gn cierto dinero l mes, se gst el / prtes de lo que gn en pgr l letr del piso, / de lo que le qued en fcturs y le sobrn 0 pr comer. Cuánto gn y cuánto gst en el piso y en fcturs? Si un cntidd le quitmos sus / quedn / de ell ( / = / /=/) En fcturs gst del sueldo. De los / que tení restmos los /0 gstdos pr 0 Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

16 clculr l frcción de sueldo que qued: Esos /0 de sueldo nos dicen que son 0. Por lo tnto /0 serán 0 : = 0. L cntidd totl son los 0/0 luego 0 0 = 00 es el dinero que An gn l mes Conviene comprobr l solución del problem: / de 00 = 0 se gst en l letr = 0 quedn después de pgr l letr. / de 0 = 0 se gst en fcturs. 0 0 = 0 le quedn pr comer. Correcto! Tmbién puedes hcer los rzonmientos yudándote de un gráfico: Hcemos un rectángulo de x cudrdos que son los denomindores. De ls frnjs verticles igules quitmos que es lo que se gst en l letr del piso. Lo que qued está dividido en prtes igules y quitmos que es lo que se gst en fcturs. Nos quedn cudrditos que son los 0 de l comid. Luego un cudrdito es 0 : = 0. Lo que gn es 0 0 = 00. En l letr se gst 0 8 = 0 y en fcturs 0 = 0. iv) A Jun le descuentn l quint prte de su sueldo bruto en concepto de IRPF y l sext prte del mismo pr l Seguridd Socil. Si cobr 00 netos, cuál es su sueldo bruto? Summos ls dos frcciones puesto que se refieren l mism cntidd: que es l prte que hy que descontr del sueldo bruto pr obtener el neto: 0 del sueldo bruto es el sueldo neto, y nos dicen que son Pr clculr el sueldo bruto multiplicmos est cntidd finl por l frcción invers de /0: 0 00, es el sueldo bruto. Comprobción: / de, = 8, pg de IRPF / de, =,0 pg l S.S., 8,,0 = 00 que es el sueldo neto. Bien! (Podrí hber hbido un pequeño desfse de lgún céntimo debido ls proximciones) UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

17 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN ; ; ; ;. Orden de myor menor: 8 8. Represent en l rect numéric: ; ; ; 0, :. Oper pso pso y simplific:. Hll ls cutro quints prtes de los cinco octvos de 0.. Un botell tiene llens sus siete octvs prtes; si contiene 80 cm, cuánto le cbe llen?. Oper y expres el resultdo en form de frcción irreducible: ( ) ( ) ( ). Simplific ls siguientes frcciones, hll su vlor deciml y di cuáles tienen expresión deciml exct y cuáles periódic : ; ; , 8. Ps frcción y simplific: (), (b),... (c) 0,.... Un medus crece cd semn un tercio de su volumen. ) Cuánts semns deben psr pr que su volumen se multiplique por más de? b) Si su volumen ctul es de 00 cm, cuál er su volumen hce semns? 0. A un trbjdor le bjn el sueldo l sext prte, de lo que le qued l curt prte se v destindo impuestos y por último del resto que le qued ls dos quints prtes se ls gst en pgr l hipotec del piso. Si un tiene disponibles 0, cuánto cobrb ntes de l bjd de sueldo?, cuánto pg de impuestos y de hipotec? Soluciones: () 8 8. () () / () 80 () 0 cm () / ) Expresiones excts 0 = 0 =0,0 y 0 = =0,8. Expresión periódic 80 = =0, (b) 0 0 (c) 000 0, 8) () ) ) semns. b) 0, cm. 0) Cobrb 00. Ahor cobr 000, pg 0 de impuestos y 00 de hipotec. Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

18 NÚMEROS IRRACIONALES Módulo de Mtemátics Aplicds El descubrimiento de los números irrcionles fue un conmoción pr los mtemáticos griegos del siglo VI. C. porque contrdecí su concepción filosófic y hcí que su sueño de expresr l rmoní del universo por medio de relciones entre números enteros resultr imposible de lcnzr. El mismo Pitágors descubrió el número irrcionl cundo menos se lo esperb, cundo estudib el triángulo rectángulo isósceles o, dicho de otr form, nlizndo l digonl del cudrdo. Pitágors fue el primero en enuncir y demostrr l ley generl que todo el mundo conoce como teorem de Pitágors y que dice que en culquier triángulo rectángulo el cudrdo construido sobre el ldo opuesto l ángulo recto (hipotenus) es igul l sum de los cudrdos construidos sobre los otros dos ldos (ctetos). Si los ldos de los dos ctetos son igules, entonces el cudrdo de l hipotenus es igul, l ser + =, y l hipotenus, por lo tnto, es igul l ríz cudrd de, o en notción modern ( es el número cuyo cudrdo es ). Pero es fácil demostrr que no existe ningún número entero ni tmpoco frccionrio que multiplicdo por sí mismo dé exctmente. Hoy escribimos que,..., y ñdimos los puntos suspensivos pr indicr que el número de decimles es infinito sin que hy periodicidd que nos permit llegr l finl de l operción. Estos números recibieron el nombre de irrcionles por ser inexpresbles como rzón de números enteros y escpr l rzonmiento. Pero pesr de ello, l hipotenus del triángulo rectángulo isósceles de ldo está hí y tiene un longitud tn rel como l de los ctetos, unque est medid solmente se puede expresr con decimles de mner proximd, nunc de mner exct. Llmmos números irrcionles quellos números reles que no pueden expresrse medinte un frcción de números enteros. El conjunto de los números irrcionles se represent por I. L expresión deciml de un número irrcionl es infinit no periódic. Tods ls ríces cudrds de números que no sen cudrdos perfectos son número irrcionles. Ejemplos: son irrcionles =, , =,0..., 0=,... En generl, si p es un número entero y n p no es un número entero (es decir, p no es un potenci n ésim), entonces n p es irrcionl Ejemplos :son irrcionles =,0..., 000=,..., =,88... Otro número irrcionl fmoso es π (el número que result de dividir l longitud de culquier circunferenci entre su diámetro). Demostrr que el número π es irrcionl no es tn sencillo como en el cso de y hst el siglo XVIII se seguín clculndo decimles intentndo hllr un periodo que no existe. L demostrción fue relizd por Lmbert (mtemático, físico, strónomo y filósofo lemán) en. Actividdes propuests Indic qué conjuntos numéricos ( N, Z, Q, I) pertenecen los siguientes números: (), (b) (c) (d) 0,... (e) (f) UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

19 . EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.. Definición y representción de los números reles en l rect rel El conjunto formdo por los números rcionles y los números irrcionles se llm conjunto de los números reles y se represent por R ( R Q I, el símbolo signific unión de conjuntos) Los números reles se pueden representr sobre un rect, de form que cd número rel le corresponde un punto de l rect y vicevers, cd punto de l rect le corresponde un número rel. Est segund prte, es l propiedd de completitud de los números reles y l que los distingue de los números rcionles (que no llenn l rect). Por est equivlenci entre los puntos de un rect y el conjunto de los números reles llmmos rect rel un rect en l que representmos los números reles. Recuerd que pr representr números en un rect se elige un punto culquier de l mism que represent el número 0 y un longitud unidd (o lo que es lo mismo, un punto l derech de 0 que represent el número ) Otr propiedd de los números reles, que tmbién tienen los rcionles y los irrcionles, es l densidd, es decir que entre dos números reles culesquier hy infinitos números. Est propiedd se puede demostrr fácilmente, y que si y b son dos números con <b, es evidente que el número b está en el punto medio entre ellos. Por ejemplo, el punto medio del segmento de extremos los puntos que representn los números reles y es el punto que represent l número rel,. Podemos dividir de l mism mner el segmento de extremos, y pr obtener el punto medio,,. Podrímos volver dividir el segmento de extremos, y, pr obtener el punto medio,, y sí indefinidmente, porque entre dos números reles culesquier hy infinitos números reles. Y vimos cómo representr los números rcionles en l rect rel. Pr representr lgunos números irrcionles de form exct en l rect rel se usn construcciones geométrics bsds en el teorem de Pitágors. Por ejemplo, pr representr 0 se dibuj un triángulo rectángulo de bse uniddes y de ltur unidd porque l hipotenus de este triángulo mide exctmente 0 uniddes. Solmente hy que llevr con el compás un segmento de est longitud sobre l rect rel con el extremo izquierdo en 0 y el extremo derecho representrá el número rel 0 Pero, en generl, será suficiente con un representción proximd prtir del vlor deciml proximdo del número rel (con l precisión que cd situción requier). Por ejemplo, pr representr el número rel, podemos siturlo de form proximd entre, y,8, o con un representción más fin, entre, y,, o con un representción ún más fin, entre, y,, etc. Págin 8 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

20 .. Intervlos en l rect rel Hy un notción especil pr referirse los infinitos números reles que hy entre dos números. Pr referirnos l conjunto de los números que hy entre dos vlores pero sin contr los extremos, usmos un intervlo bierto. Ejemplo Los números superiores pero menores que se representn por (, ) y se lee intervlo bierto de extremos y. A él pertenecen infinitos números como,00; π;,; 0 ; ;,; pero no son de este conjunto ni el ni el. Eso representn los préntesis, que entrn todos los números de en medio pero no los extremos. Tmbién conviene fmilirizrse con l expresión de estos conjuntos usndo desigulddes: (, ) = {x R / < x < }. Trducimos: Ls llves se utilizn pr dr los elementos de un conjunto, dentro de ells se enumern los elementos o se d l propiedd que cumplen todos ellos. Se utiliz l x pr denotr un número y el símbolo (pertenece) pr indicr que es rel (pertenece l conjunto de los números reles, R), l brr / signific tl que (en ocsiones se us, con el mismo significdo, otros símbolos como l brr verticl,, dos puntos, :, o punto y com, ;) y por último se dice l propiedd que cumplen medinte un doble desiguldd. Así que lo de rrib se lee: el intervlo bierto de extremos y es el conjunto de números reles tles que son myores que y menores que. Pr l representción gráfic del intervlo bierto (, ) en l rect rel se ponen pequeños círculos sin rellenr en los extremos y se reslt l zon intermedi. En ocsiones tmbién se pueden poner en el y en el préntesis: ( ), o corchetes l revés: ] [. El concepto de intervlo cerrdo es similr pero hor sí pertenecen los extremos l conjunto. Ejemplo El intervlo de los números myores o igules que pero menores o igules que. Ahor el y el sí entrn, lo que se indic poniendo corchetes [, ]=x R / x Fíjte que en l definición del conjunto con desigulddes hor ponemos que signific menor o igul. L representción gráfic es similr pero mrcndo con círculos rellenos los extremos. Usndo préntesis y corchetes, con el significdo indicdo de incluir o excluir los extremos, se pueden definir intervlos biertos por un extremo y cerrdos por otro. Ejemplo Los números superiores 00 pero que no excedn de 000 son el intervlo bierto por l izquierd y cerrdo por l derech ( 00, 000] x R / 00 x 000 Un semirrect es un tipo especil de intervlo no cotdo por uno de sus extremos, por lo que se utilizn los símbolos +, pr indicr que el intervlo no está cotdo por l derech y, pr indicr que el intervlo no está cotdo por l izquierd. Ejemplos El conjunto de los números reles positivos es el intervlo ( 0, ) x R / x 0 El conjunto de los números reles no myores que es el intervlo (,] x R / x (0, + ) (-, ] El extremo no cotdo siempre se pone bierto (con préntesis). El conjunto de los números reles es el único intervlo no cotdo ni superior ni inferiormente: R (, ) UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

21 Actividdes propuests 8. Expres como intervlo, en form de conjunto (usndo desigulddes) y represent en l rect rel: ) Números reles inferiores o igules 8. b) Números cuyo cubo se superior 8. c) Números positivos cuy prte enter tiene cifrs. d) Números cuyo cudrdo se menor que.. D tres números rcionles y tres números irrcionles que estén en el intervlo (, ) y represent de mner proximd los números en l rect rel... Aproximciones y errores Aunque en l signtur de mtemátics se prefier expresr y mnejr los números reles con su expresión simbólic exct (/ en lugr de un vlor deciml proximdo como 0, o π en lugr,), en ocsiones es necesrio hcer proximciones por motivos prácticos. L mejor proximción de un número deciml, l que debes hcer cundo hgs operciones con l clculdor y el resultdo en pntll teng demsids cifrs decimles pr escribirls tods, es el redondeo. Pr redonder un número un orden determindo de cifrs decimles debes fijrte en l primer cifr suprimid: si ést es myor o igul que l últim cifr deciml del número proximdo debe umentrse en un unidd mientrs que si es inferior mntiene su vlor. Por ejemplo, pr proximr el número,... (infinits cifrs decimles), el redondeo décims es,, el redondeo centésims es,, el redondeo milésims es,, el redondeo diezmilésims es,, etc. Se define el Error Absoluto (EA) de un proximción como EA= vlor rel vlor proximdo (Ls brrs significn vlor bsoluto ) Por ejemplo, si proximmos, cometemos un error de uns millonésims: EA= π, =,..., = 0, ,00000 Aún sin conocer con exctitud el vlor excto, siempre se puede poner un cot (un vlor máximo) l error bsoluto sólo teniendo en cuent el orden de proximción, sí, si hemos redondedo en ls diezmilésims (como en el ejemplo) siempre podemos firmr que EA 0,0000, es decir, menor o igul que medi unidd del vlor de l cifr de redondeo o uniddes de l siguiente ( cienmilésims), que es lo mismo. Se define el Error Reltivo (ER) de un proximción como ER EA vlor rel El cociente suele multiplicrse por 00 pr hblr de % de error reltivo. En generl, el error bsoluto, como el reltivo, es desconocido, pero puede cotrse y será tnto menor cunts más cifrs significtivs se tomen en l proximción. Actividdes propuests. D el redondeo de =,0... milésims y cot el error bsoluto.. Redonde =,88... millonésims y cot el error bsoluto.. D el vlor deciml proximdo de / con cifrs significtivs. Págin 0 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

22 . NOTACIÓN CIENTÍFICA Módulo de Mtemátics Aplicds.. Expresiones en notción científic Un número expresdo en notción científic está formdo por un número deciml cuy prte enter está entre y, multiplicdo por 0 n, siendo n un número entero positivo o negtivo. 0 n siendo Prte Enter de Si el exponente n es positivo se utiliz pr expresr números grndes de vlor bsoluto myor que, y si es negtivo pr expresr números pequeños de vlor bsoluto menor que Ejemplos,8 0 = , =, 0 (números grndes), 0 8 = 0, , =, 0 (números pequeños) L edd estimd de l Tierr es proximdmente 0 ños ( ños) L longitud de un virus es proximdmente, 0 8 metros (0, m) Cundo l clculdor d un resultdo que tiene más cifrs que los dígitos que entrn en pntll lo expres en notción científic. Por ejemplo, d como vlor de l potenci el resultdo proximdo,80 0 ( el vlor excto es = 800) L ventj de l notción científic es que ls cifrs se dn contds, con lo que el orden de mgnitud del número es evidente. Pr designr lgunos órdenes de mgnitud (grndes o pequeños) se usn los siguientes prefijos: gig meg kilo hecto dec deci centi mili micro nno Operciones en notción científic Pr multiplicr o dividir números escritos en notción científic provechndo ls propieddes de ls potencis, se multiplicn o dividen ls prtes decimles entre sí y ls potencis de bse 0 entre sí usndo l regl correspondiente (0 0 b =0 +b, 0 :0 b =0 b ). Si es necesrio pr expresr el resultdo en notción científic se multiplic o divide el fctor deciml por l potenci de 0 necesri pr dejr en l prte enter un sol cifr distint de cero y se divide o multiplic por lo mismo l potenci de 0. Ejemplos (, 0 ) (, 0 8 ) = (,,) 0 +8 =,0 0 =,0 0,80,8 ( 8) 0 0, 0, 0 8, 0, Pr sumr y restr conviene preprr los sumndos de modo que tengn l mism potenci de bse 0 y sí poder scr fctor común. 0,80, 0, 0, (,8 ) 0 8,80,880 Actividdes propuests 0. Efectú ls operciones en notción científic: ) 0,000 +, 0 b) , 0 + 8, 0 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

23 . Efectú ls operciones en notción científic: ) (, 0 ) (, 0 ) b) (, 0 8 ) ( 0 ) (, 0 ). Efectú ls operciones en notción científic: ) ( 0 8 ) : (, 0 ) b) (, 0 ) ( 0 ) : (, 0 ). A Jun le hn hecho un nálisis de sngre y tiene millones de glóbulos rojos en cd mm. Escribe en notción científic el número proximdo de glóbulos rojos que tiene Jun estimndo que tiene litros de sngre.. Utiliz l clculdor pr obtener tu edd en segundos en notción científic.. RADICALES.. Definición de ríz enésim de un número L ríz enésim de un número es un número x tl que l elevrlo n, d como resultdo. n n x x (n es el índice de l ríz, es el rdicndo y x es l ríz enésim de ) L rdicción de índice n es l operción invers de l potencición de exponente n Ejemplos porque = ; porque ( ) = Atención Como dos números opuestos x y x tienen el mismo cudrdo, todo número positivo tiene dos ríces cudrds con el mismo vlor bsoluto, un positiv y otr negtiv, pero con el símbolo rdicl se design solmente l positiv. Así, por ejemplo, escribimos y cundo dmos ls dos soluciones de l ecución x escribimos x. Lo mismo ocurre con tods ls ríces de índice pr (curts, sexts, etc.) Observ que no existe en el cmpo rel. Ningún número rel l elevrlo l cudrdo d un número negtivo. Sólo podemos clculr ríces de exponente pr de números positivos. Sin embrgo sí existe, pues ( ) = ( ) ( ) ( ) =... Rdicles como potencis de exponente frccionrio. Propieddes Se define n n n n n n. L rzón de est definición es que, y por lo mismo: p n n p Ejemplos ; 8 ; 8 8 Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

24 Podemos operr con rdicles trduciéndolos potencis de exponente frccionrio y utilizndo ls propieddes de ls potencis (que vlen pr todo tipo de exponentes): x y xy El producto de potencis de igul bse es otr potenci de igul bse y cuyo exponente es l sum de los exponentes de los fctores x y xy El cociente de dos potencis con l mism bse es otr potenci de igul bse y cuyo exponente es l diferenci de los exponentes del numerdor y denomindor x b x b x L potenci de un producto es igul l producto de ls potencis de cd fctor b x x x L potenci de un cociente es igul l cociente de ls potencis b x y xy Pr clculr un potenci de un potenci se dej l mism bse y se multiplicn los exponentes Ejemplos Actividdes propuests. Clcul el vlor de ls siguientes expresiones con rdicles fctorizndo previmente los rdicndos: c) 8000 d) ) 8 b). Clcul el vlor de ls siguientes potencis: 0, b) ) c). Expres en form de rdicl ls siguientes potencis y sitú cd número irrcionl en un intervlo que teng por extremos números enteros consecutivos: ) b) c) d). Ps los rdicles potencis de exponente frccionrio y simplific: ) b) 0 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

25 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN. El número 0, no es un número: ) rel b) rcionl c) irrcionl d) negtivo. El número 0,. se escribe en form de frcción: ) /0 b) / c) / d) 0/. El número π pertenece l conjunto ) N b) Z c) Q d) I. Indic qué firmción es fls. El número 8 es ) entero b) rcionl c) irrcionl d). Al operr y simplificr b) ) se obtiene c) d) 8. Contest sin hcer operciones. Ls frcciones /; /0, /0 tienen un expresión deciml: ) periódic, periódic, exct b) periódic, exct, periódic c) periódic, exct, exct. El conjunto de los números reles menores o igules se escribe: b) (, ] c) (, ) ), d), 8. Al efectur ls operciones se obtiene ) b) c) d). L expresión correct en notción científic del resultdo de l operción (,8 0 ) :( 0 ) es ) 0, b) 8 0 c) 0,8 0 d) El resultdo de 0, , 0 es ), 0 0 b),8 0 0 c),0 0 d) 8, 0 Soluciones: c b d c c c b 8b d 0c Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

26 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Clcul: () / de 0 litros (b) / de 00 euros.. Qué frcción de dí son : () 8 hors; (b) 0 hors ;(c) un curto de hor; (d) minutos ;(e) segundo. Represent en l rect rel los números,,,,,,. Represent en l rect rel los números: 0,0; 0,; 0,0; 0,0. Reduce común denomindor y orden de menor myor ls siguientes frcciones: ; ; ; ; ; 0 8. A continución tienes un cudrdo mágico; es decir, l sum de tods ls línes, tnto horizontles como verticles o digonles, es siempre l mism. Est sum se llm el número mágico del cudrdo. Reliz ls operciones de cd csill y escribe el resultdo, totlmente simplificdo, en l csill correspondiente del cudrdo de l derech. Después clcul el número mágico del cudrdo y verigu el vlor de los números A, B,C y D. C 0 8 A : D B Cuál es el número mágico? Comprueb que l sum de ls digonles tmbién es el número mágico.. Reliz ls operciones indicds y simplific el resultdo, que debe ser un frcción irreducible: ) b) 8 c) : 8 d) 0 f) g) h) : 8 : e) i) : j) 8 : 8. Un mezcl de 0 grmos de pintur tiene /8 de color mgent, / de mrillo y el resto de blnco. Qué frcción de l mezcl es el color blnco? Cuántos grmos de cd color se hn usdo pr hcer l mezcl? UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

27 . Escribe ls expresiones decimles de lo siguientes números rcionles ddos en form de frcción: ) b) c) d) 0. Escribe los siguientes números rcionles en form de frcción irreducible de números enteros: ), b) 0, c),ˆ,... d) 0,0 0,0.... Justific cuáles de ls siguientes ríces son números rcionles y cuáles son números irrcionles. D el vlor entero excto de ls que sen números rcionles (ejemplo: )y orden ls que sen números irrcionles entre dos números enteros consecutivos (ejemplo: ): ) b) c) d) 8. Demuestr que 0, = hllndo l frcción genertriz. Cuánto vle n,?. Un czo tiene un cpcidd de / de litro. Clcul cuántos czos se necesitn pr llenr un oll de litros.. Cuántos botes de tres octvos de litro puedo llenr con litros?. Cuánts botells de / de litro necesito pr tener l mism cntidd que en 0 botells de / de litro?. Se dquieren 0 kg de ciruels pr hcer mermeld. Al deshuesrls se reduce en un quinto su peso. Lo que qued se cuece con un cntidd igul de zúcr, perdiéndose en l cocción un curto del peso Cuántos kilos de mermeld se obtienen?. En un depósito lleno de gu hbí 000 litros. Un dí se gstó / del depósito y l dí siguiente se consumieron 0 litros qué frcción del depósito quedó? 8. Rubén tiene, euros, que son los / del precio de un biciclet que quiere comprr Cuánto cuest l biciclet?. En un prueb tlétic, que tení dos prtes, son elimindos en l primer prueb l curt prte de los prticipntes y, en l segund, l quint prte de los que seguín. Llegron l finl de l prueb tlets. Cuántos se presentron? 0. Los reyes de un dinstí tuvieron nombres diferentes. L tercer prte de los reyes utilizó el primer nombre; l curt prte de los reyes llevó el segundo nombre; l sext prte, el tercero; y el curto nombre lo usron reyes. Qué frcción de los reyes de l dinstí usó el curto nombre?. Cuántos reyes hbí en l dinstí?. Expres en notción científic ls siguientes cntiddes: ) Distnci Tierr Sol: km. b) Longitud del virus de l gripe:, nm (nm signific nnometros) c) Rdio del protón: 0, m. Págin UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

28 . Reliz ls operciones y d el resultdo en notción científic: ) (, 0 8 ) ( 0 ) b) ( 0 8 ):( 0 ) 0 0 c) 0 0. Represent en l rect rel y expres con desigulddes los siguientes intervlos: ) (, 0) b) [½, ] c) [, ) d) (, + ) e) (, ]. Señl qué conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R) pertenecen los siguientes números: =, b = c =,... d = e = f = 8 (Fíjte que uno de los números no pertenece ninguno de los conjuntos). Sitú cd uno de los números reles en un intervlo que teng por extremos dos números enteros consecutivos y después orden todos los números reles de menor myor. +. Otro número irrcionl fmoso es el número phi, φ= =,808..., que tmbién se conoce con los nombres de número de oro, rzón áure, proporción rmónic y divin proporción. El número φ prece con frecuenci en l nturlez y en el rte. D el vlor proximdo del número φ redondedo décims, centésims, milésims y millonésims, cotndo en cd cso el error bsoluto de l proximción. UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

29 SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. ) b) c) 0 d) 0 e). ) b) c) SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. ) = < < = b) < = < =0 c) 8 = < =0 < =. ) =0,...< =0,...< =0,8 b) =0,8...< =0,< =0,8... SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS.. 0 =+ ; =+ ; 0 =+ 0 = ; 0 = ; 00 =.. = 8 =+ 8 ; b= 8 = 8 c=80 0 =+ d = =. A= = ; B= = ; C= ; D= E=+ =8 SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. ) b) c) d). ) 8 b) 8 c) d). ) ( ) b) (0 ) c) ( ) SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. ) 0/000 b) /8 c) /0. ) / b) / c) 0/. ) 0/ b) / c) 0/0. A. / + / = B. 8/ / = 0 / =,... C. ( /00):(/)= /00= 0, SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS.,. 0 SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. () Q (b) N Z Q (c) I (d) Q (e) I (f) Q SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS 8. ) (, 8] b) (, + ) c) [00, 000) d) (, ) Págin 8 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles

30 . Respuest biert, por ejemplo,, ;, ;, ; π ; 0 ; SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS.,0 con EA<0,000.,88 con EA<0, , SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS 0. ), 0 b), 0 8. ), 0 b), 0. ) 0 b), 0., 0 glóbulos rojos. respuest biert según l edd de cd uno SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS. ) b) c) 0 d). ) b) 8 c). ) (,) b) (,) c) (,) d) 8 (, ). ) b) UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles Págin

31 SOLUCIONES DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS. () 0 litros (b). () / (b) / (c) / (d) / 88 (e) / = 0 0, = 88 0, 8 = 0 0, 0 = 08 0, 8 = 0 0 ; 8 < 8 < < 8 < 0 < 8. El número mágico es. ) / ; b) / ; c) / ; d) / ; e) / ; f) / ; g) / ; h) / ; i) / ; j) /8 8. /8 de l mezcl; 0 g de mgent, 80 g de mrillo y 0 g de blnco. ), ; b),8 ; c) 0,ˆ 0,... ; d) 0.8 0, ) / ; b) /00 ; c) / ; d) /0. ), rcionl ; b), rcionl ; c) irrcionl < < ; d) irrcionl < 8< 0. n,... es lo mismo que n+. 0 czos. botes. 8 botells. kg. / 8. 8,. 0 tlets. 0. reyes. ), 0 8 ; b), 0 ; c) 0. ) 0 ; b) 0 ; c) 0.. Q ; R ; (,) ; b R ;b (, ) ; c Q ;c R ;c (,) ; d no es rel; e N;e Z ;e Q ;e R ;e [,] f Z ;f Q ;f R ;f [, ] ; f<b<e<c<. Redondeo décims, con EA<0,0; centésims, con EA<0,00, milésims,8 con EA<0,000 y millonésims,80 con EA<0, Págin 0 UNIDAD : Números rcionles y números irrcionles. Los números reles