Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 5: Rectas y planos en el espacio LibrosMareaVerde.tk

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1 emáis II. º hillero. pílo Res plnos en el espio LirosreVerde.k ores Leii Gonále Psl Álro Vldés enénde Reisor ilgros Ls Tods ls imágenes hn sido reds por los ores ilindo sofwre lire (GeoGer GIP)

2 Res plnos en el espio. L RET EN EL ESPIO Índie.. EUIÓN VETORIL DE L RET.. EUIONES PRÉTRIS DE L RET.. EUIÓN ONTINU DE L RET.. EUIONES IPLÍITS O RTESINS DE L RET.. EUIÓN DE L RET QUE PS POR DOS PUNTOS. EUIONES DEL PLNO EN EL ESPIO.. EUIÓN VETORIL DEL PLNO.. EUIONES PRÉTRIS DEL PLNO.. EUIÓN GENERL DEL PLNO... Veor norml del plno... Eión del plno ddo s eor norml n pno.. EUIÓN SEGENTRI DEL PLNO.. EUIÓN DEL PLNO QUE PS POR TRES PUNTOS.. ONDIIÓN PR QUE UTRO PUNTOS SEN OPLNRIOS. POSIIONES RELTIVS.. POSIIONES RELTIVS DE DOS PLNOS EN EL ESPIO.. POSIIONES RELTIVS DE TRES PLNOS EN EL ESPIO.. HES DE PLNOS EN EL ESPIO... H de plnos senes... H de plnos prlelos.. POSIIONES RELTIVS DE UN RET Y UN PLNO EN EL ESPIO.. POSIIONES RELTIVS DE DOS RETS EN EL ESPIO Resmen En ese pílo se inii el esdio de l Geomerí nlíi en el espio de dimensión res on ls eiones de ls res de los plnos qe nos permien onoer si n re esá onenid en n plno lo or o es prlel él áles son ls posiiones relis de dos res en el espio lo mismo de dos plnos. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

3 Res plnos en el espio. L RET EN EL ESPIO.. Eión eoril de l re Un re r en el espio iene deermind por n pno P r n eor. El eor OP se denomin eor de posiión del pno P. El eor se denomin eor direor s direión es prlel l de l re. El eor OP es n eor qe iene s origen en O o eremo es n pno de l re r. Es deir pr d lor del prámero es el eor de posiión de n pno P de l re. Se llm eión eoril de l re r l epresión OP OP donde P es n pno genério de l re OP es el eor de posiión de n pno ddo de l re P r es n eor direor de l re es lqier número rel. prir de l eión nerior pr d lor de oendremos n pno de l re r... Eiones prméris de l re Si epresmos l eión nerior en oordends enemos iglndo oordend oordend oenemos ls eiones prméris de l re on R º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

4 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio.. Eión onin de l re prir de ls eiones prméris despejndo e iglndo oenemos l eión onin Iglndo.. Eiones implíis o resins de l re prir de l eión onin seprndo ls iglddes grpndo odos los érminos en n miemro oenemos ls eiones implíis de l re De donde ' ' ' on ' ' '

5 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio iidd resel ll en ods ls forms esdids ls eiones de l re qe ps por el pno iene por eor direor. En oordends l eión eoril es Pr oener ls eiones prméris iglmos oordend oordend on R Despejndo hllmos l eión onin Opermos pr eliminr ls friones hllmos ls eiones implíis ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( De donde Ess dos eiones son relmene n sisem podemos ssiirlo por lqier oro sisem eqilene él oenido ominndo linelmene ls eiones. iiddes propess. Esrie l eión eoril prméri onin e implíi de l re qe ps por el pno iene por eor direor. Esrie l eión eoril prméri onin e implíi de l re qe ps por el pno iene por eor direor. Esrie l eión eoril prméri onin e implíi de l re qe ps por el pno iene por eor direor

6 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio.. Eión de l re qe ps por dos pnos Pr hllr l eión de l re qe ps por dos pnos s on hllr el eor ilirlo omo eor direor. Siendo fáilmene podemos hllr ilir o omo pno pr ssiir en lqier de ls eiones iss nes siendo l más freene l eión onin O ien iidd resel Deermin l eión onin ls eiones implíis de l re qe ps por los pnos. onsiderndo el pno omndo omo eor direor 8 l eión es 8 prir de l eión onin se oienen ls eiones implíis omo imos nes Y dijimos qe ls eiones implíis no son únis podemos ominrls linelmene segirán siendo l eión de l mism re. En primer lgr podemos simplifirls r () hor podemos ssiir lqier de ls dos por n ominión linel de ells. Si por ejemplo opermos pr eliminr l en l segnd eión e º e º r () llegmos ls eiones implíis qe oendrímos si en l eión onin hiérmos ilido ls friones segnd erer. Si en l eión () opermos lqier or ominión linel e º e º e º e º r ls oordends de sigen erifindo ms eiones.

7 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio iidd resel Hll el eor direor de l re dd por ls sigienes eiones implíis r Pr hllr el eor direor de l re deemos llegr ls eiones prméris. s resoler el sisem dejndo dos de ls riles en fnión de l erer qe en ese so resl más fáil si despejmos e en fnión de Smndo resndo ls eiones miemro miemro oenemos Res Sm Por no ls eiones prméris son de l form on R Y el eor direor es iidd resel Deermin ls eiones de l re qe ps por los pnos. onsiderndo el pno el eor direor ls eiones prméris son on R Oser qe NO podemos despejr en l segnd eión por lo qe no podemos llegr l eión onin. Eso se dee qe n de ls omponenes del eor direor es no podemos diidir por. Sí podemos oener ls eiones implíis eliminndo ominndo l segnd erer eiones iiddes propess. Esrie ls eiones de l re qe ps por los pnos.. Esrie ls eiones de l re qe ps por los pnos 7.. Esrie ls eiones de l re qe ps por los pnos 7.

8 Res plnos en el espio. EUIONES DEL PLNO EN EL ESPIO.. Eión eoril del plno Un plno en el espio iene deermindo por n pno P dos eores de omponenes no proporionles prlelos l plno. El eor OP se denomin eor de posiión. Los eores se denominn eores direores del plno. El eor OP λ μ es n eor qe iene s origen en O o eremo es n pno del plnoddo. Se llm eión eoril del plno l epresión OP OP λ μ donde P es n pno genério del plno OP es el eor de posiión de P son los eores direores del plno son dos números reles lesqier. prir de l eión nerior pr d pr de lores de oenemos n pno del plno... Eiones prméris del plno Si epresmos es eión en oordends enemos λ μ Operndo λ λ λ μ μ μ λ μ λ μ λ μ iglndo oordend oordend oenemos ls eiones prméris del plno λ μ λ μ on R λ μ º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

9 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 7.. Eión generl o implíi del plno prir de l eión eoril OP OP OP OP μ λ μ λ omo P P OP O P O P OP O P OP OP OP enemos P P μ λ Lo qe signifi qe nqe enemos res eores P P sólo dos son linelmene independienes. Si epresmos es eión en oordends μ λ por no Rngo Si el rngo de es mri es no será posile enonrr n menor de orden no nlo el deerminne de l mri h de ser. Desrrollndo ese deerminne oendremos l eión generl del plno Desrrollndo los deerminnes oenemos ro lores reles de modo qe l eión finl es de l form D on D R

10 8 Res plnos en el espio iiddes resels ll en ods ls forms esdids ls eiones del plno qe ps por el pno iene por eores direores. En primer lgr ompromos qe los eores qe definen el plno no son prlelos lgo eidene l no ser proporionles. Empemos esriiendo l eión eoril λ μ Iglmos oordend oordend oenemos ls eiones prméris λ μ λ μ on R λ μ Reesriimos el sisem en pr llegr l eión generl λ μ λ μ λ μ El sisem sólo endrá solión ndo l mri mplid del sisem eng rngo dos es deir ndo el deerminne se nlo 7 Podemos simplifir l eión oenid omo 7 7 Hll l eión del plno qe ps por el pno es prlelo ls res r s Si el plno es prlelo ls res los eores direores de ls misms r s son prlelos l plno peden srse omo eores direores del plno. Jno on el pno ddo opermos 7 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

11 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 9 Hll l eión del plno qe ps por el pno oniene l re r on es re onoemos n pno s eor direor. Si r esá onenid en el plno lo esán odos ss pnos s eor direor. sí enemos dos pnos del plno ( ) n eor. Hllmos l eión del plno definido por el pno los eores... Veor norml del plno Si en l eión generl del plno D on D R reordmos los deerminnes de los qe proeden los lores de osermos l form rerísi del prodo eoril k j i k j i Es deir el eor de omponenes es perpendilr por ende l propio plno. Se llm eor norml del plno D l eor n qe es perpendilr l plno. iidd resel Deermin el eor norml l plno. Según lo eplido nes s on idenifir ls omponenes del eor on los oefiienes k j i n k j i n D

12 Res plnos en el espio... Eión del plno ddo s eor norml n pno Ddo n pno el eor norml del plno n podemos hllr l eión generl del plno proehndo l ondiión de perpendilridd is en el pílo nerior Si llmmos P n pno genério del plno en l figr emos qe los eores P n son perpendilres. Por no n P n P Operndo Qe es l eión del plno ddo n pno s eor norml. iiddes resels Deermin l eión del plno o eor norml es n El origen es el pno de oordends por no ps por el origen ( ) Es deir Deermin l eión del plno qe ps por el origen es perpendilr l re r Si el plno es perpendilr l re el eor direor de és pede ilirse omo eor norml l plno es deir n º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

13 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio.. Eión segmenri del plno Si en l eión generl del plno D podemos diidir mos érminos enre D oenemos D D D D D Represenndo n plno genério qe D nos grni qe orrá los res ejes resinos Si denominmos los pnos de ore omo omo odos pereneen l plno deen erifir l eión del mismo es deir Pno Pno Pno π despejndo π o mliplindo por π qe es l eión segmenri del plno. iidd resel Deermin l eión segmenrio del plno El érmino independiene de l eión segmenri es ( ) sí qe diidiremos mos érminos de l eión del plno ddo enre ( ) Podemos dedir fáilmene qe el plno ps por los pnos

14 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio.. Eión del plno qe ps por res pnos El prdo nerior nos mesr l form en l qe podemos hllr l eión del plno qe ps por res pnos. Si pereneen l plno de eión D Ss oordends deen erifir l eión simlánemene es deir enemos el sisem D D D D Por erño qe pre en ese sisem ls inógnis son los oefiienes D. Sin emrgo on l eión segmenri emos qe relmene sólo neesirímos res inógnis. Pr resoler n sisem en l qe n inógni no es del odo neesri podemos ñdir n r eión qe mpoo se neesri l propi eión del plno. sí epresndo el sisem en form mriil D Pr qe l solión se úni el deerminne de l mri dee ser nlo es deir Qe es l eión del plno qe oniene res pnos.

15 Res plnos en el espio iiddes resels Hll l eión del plno qe ps por los pnos. Podrímos resoler el prolem hllndo l eión del plno qe ps por el pno iene omo eores direores sigiendo los psos ddos en el prdo. λ μ Operndo llegmos Qe se resele rápidmene ssiendo en l eión En ese ejemplo no fe m difíil desrrollr l eión prir de ls eiones prméris sin emrgo en generl es más rápido llr n únio deerminne Desrrollndo por los elemenos de l primer fil oenemos Es deir ( ) ( ) ( ) Hll l eión del plno qe ps por los pnos. Oserndo qe los pnos pereneen d no n eje oordendo podemos plner diremene l eión segmenri del plno Hll l eión del plno qe ps por los pnos. Si el pno no fer el origen podrímos plner l eión segmenri del plno. Deemos sin emrgo plner el deerminne Desrrollndo por los elemenos de l erer olmn oenemos º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

16 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio.. ondiión pr qe ro pnos sen oplnrios Los pnos d d d D son oplnrios ndo pereneen n mismo plno. Si l eión de diho plno es D on D R imos qe podemos diidir mos érminos enre D dejr l eión on sólo res oefiienes Si redefinimos omo oenemos l eión reesri omo Si los ro pnos pereneen l plno ss oordends respeis deen erifir l eión simlánemene es deir enemos el sisem d d d Epresndo el sisem en form mriil d d d Pr qe l solión se úni el deerminne de l mri mplid dee ser nlo es deir d d d Es ondiión es álid inlso ndo los pnos esán linedos ors ondiiones qe impliqen n rngo más peqeño de l mri. Or form de resolerlo es ompror qe los eores D son linelmene dependienes es deir omprondo si el deerminne formdo por ss omponenes es nlo d d d Es esregi es el segndo onepo ásio pr resoler si lqier prolem de geomerí en el espio Si n pno perenee n re o n plno dee erifir ss eiones iiddes resels ompre qe los pnos D son oplnrios. Plnemos el deerminne de orden hemos eros resolemos por el djno del elemeno 8 f f Por no los pnos esán linedos.

17 Res plnos en el espio. POSIIONES RELTIVS Hlmos de posiiones relis pr indir si dos o más figrs en el espio ienen o no pnos en omún. Ls siiones ásis reonoer son. Senes Ls figrs ienen no o más pnos en omún.. No senes Ls figrs no ienen pnos en omún.. oinidenes Todos los pnos son omnes por no son l mism figr.. onenids Todos los pnos de n figr pereneen l segnd pero no l iners. demás podemos lsifirls en fnión de s direión omo. Prlels Todos los pnos de n figr esán l mism disni de l or.. Perpendilres Ls figrs formn n ánglo de 9. L esregi fndmenl pr ordr ese prdo es El erer onepo ásio pr resoler prolems de geomerí en el espio Pr deerminr los pnos en omún de dos figrs (si eisen) se resolerá el sisem formdo ss eiones.. Posiiones relis de dos plnos en el espio Sen los plnos ' ddos por s eión generl D ' D onsidermos el sisem formdo por ms eiones Se l mri de oefiienes Esdimos el rngo de D D l mri mplid on los érminos independienes. D D. Se peden dr los sigienes sos. Si rg rg nº inógnis S.. I. El sisem iene infinis soliones. Todos los pnos omnes (l inerseión) es odo el plno por no los plnos son oinidenes. El rngo es sólo si ls dos fils de son proporionles lo qe lgerimene pede inerprerse omo qe simplifindo n de ls eiones pede oenerse l or. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

18 Res plnos en el espio. Si rg rg S. I. El sisem no iene solión. Los dos plnos no ienen pnos en omún lego son prlelos. El rngo de es sólo si ls fils son proporionles lo qe geomérimene se inerpre omo qe los eores normles son prlelos. Qe D D no mnengn es relión de proporionlidd qiere deir qe onienen disinos pnos.. Si rg rg nº inógnis S.. I. El sisem iene infinis soliones. En ese so los plnos son senes s inerseión es n re. Es siión es eqilene lo iso en el prdo.. Diho de oro modo ls eiones implíis de l re represenn geomérimene l inerseión de dos plnos. Es inerpreión geoméri nos permie simplifir l oenión del eor direor de l re definid por ss eiones implíis es riil oserr qe esá onenido en mos plnos. Por ese moio es perpendilr los dos eores normles de dihos plnos n n lo qe nos permie idenifirlo on el prodo eoril n n º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

19 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 7 iiddes resels Hll el eor direor de l re dd por ls sigienes eiones implíis r Los eores normles de los plnos son ) n ) n. Por no k j i k j i n n Esdi l posiión reli de los sigienes plnos Plnemos el sisem de eiones hllmos ls mries del mismo Es riil oserr qe el rngo de es dos qe ss fils no son proporionles. Por no los plnos no son prlelos sino senes se orn definiendo n re. Esdi l posiión reli de los sigienes plnos Plnemos el sisem de eiones hllmos ls mries del mismo hor el rngo de es qe ss fils son proporionles odos los deerminnes qe podemos onsrir prir de ell son nlos ) rg( Sin emrgo el rngo de es dos qe D D no mnienen l relión de proporionlidd de los demás oefiienes ) rg( 8 ) ( Por no los plnos son prlelos.

20 8 Res plnos en el espio Hll el lor de pr qe los sigienes plnos sen oinidenes Pr qe sen oinidenes los oefiienes D deen ser proporionles por no Resoliendo ls eiones dos dos Por no Posiiones relis de res plnos en el espio Sen los plnos ddos por ss respeis eiones generles D D D onsidermos el sisem formdo por dihs eiones Sen l mri de oefiienes Esdimos el rngo de. Se peden dr los sigienes sos D D D l mri mplid on los érminos independienes.. Si rg rg nº inógnis S.. I. Ls eiones son proporionles. El sisem iene infinis soliones. Los res plnos son oinidenes. D D D omo en el so de dos plnos el rngo es igl sólo si ls dos fils de proporionles lgerimene podemos simplifir ls eiones n omún. son º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

21 9 Res plnos en el espio Ejemplo Los plnos son oinidenes. Es riil er qe podemos simplifirls n eión omún diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre. Si rg rg S. I. Peden drse dos sos Si dos eiones son proporionles l or no endremos dos plnos oinidenes prlelos l erero. Qe el rngo de se no indi qe los plnos ienen ss eores orogonles proporionles por no son plnos prlelos. El plno no oinidene será qél o érmino D no se proporionl los oros dos s eión no se simplifile n eqilene. Si ningn de ls eiones es proporionl endremos res plnos prlelos. Ejemplos En l fmili de plnos 8 son oinidenes podemos simplifir ss eiones eión omún pero no sí. Sin emrgo los oefiienes sí son proporionles en los res plnos. El plno es prlelo los oros dos. 8 diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

22 Res plnos en el espio En l fmili de plnos 8 Los oefiienes sí son proporionles en los res plnos pero no sí el érmino independiene D. Son enones res plnos prlelos. 8 diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre diidiendo m. m. enre. Si rg rg nº inógnis S.. I. Peden drse dos sos Si dos de ls eiones son proporionles enemos dos plnos oinidenes qe orn l erero. Los dos plnos oinidenes son el so onoido de eiones proporionles. Si no h eiones proporionles no h plnos oinidenes. Los res plnos se orrán en n re. Geomérimene es siión se rde en qe los res eores normles los plnos son linelmene dependienes pero los infinios pnos omnes los res plnos esán linedos. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

23 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio iiddes resels Esdi l posiión reli de los sigienes plnos Plnemos el sisem de eiones hllmos ls mries ompromos medine deerminnes qe el rngo de es dos ) rg( ) ( ) rg ( 9 Si hllmos los oros res menores qe es posile onsrir prir de ) rg ( ) rg ( emos qe son odos nlos. Por no los plnos son senes se orn definiendo n re.. Si.. rg rg I S En ese so pede orrir Dos de los plnos son prlelos orn l erero. Deerminmos qé plnos son prlelos nlindo qé prej de eores normles son proporionles pero no h pnos omnes los res plnos.

24 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio Ningno de los plnos es prlelo l oro. Se orn dos dos definen n prism sin ses. Es siión se rde en qe los res eores normles son linelmene dependienes pero no pede her pnos omnes los res plnos qe el sisem es inompile. iiddes resels ompre qe los res plnos sigienes formn n prism infinio sin ses Eepo el érmino independiene de l erer eión son los res plnos del ejemplo nerior. Y imos qe el rngo de es dos ) rg ( 9 El primer menor qe es posile onsrir prir de es diferene de ero ) rg ( ) rg ( 9 9 nlindo los eores normles emos qe ningno es proporionl oro Por no los res plnos definen n prism infinio sin ses.

25 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio. Si... S D rg rg El sisem iene n úni solión. Los res plnos se orn en n pno. iiddes resels Esdi l posiión reli de los sigienes plnos Plnemos el sisem de eiones hllmos ls mries ompromos qe el rngo de es res ) rg ( 9 Por lo qe el sisem es ompile deermindo los res plnos se orn en n pno. Resolemos on el méodo de rmer se oiene el pno de inerseión Todo lo eplido neriormene on ls eiones generles de los plnos sire mién si lgno de ellos iene ddo en eiones prméris. Podemos plner el sisem formdo por ss eiones nlir s ompiilidd o ien hllr los eores normles ompror si son prlelos o no.

26 Res plnos en el espio iidd resel éodo Esdi l posiión reli de los sigienes plnos Epresmos l plno en form generl plimos el méodo eplido. éodo Hllmos los eores normles de mos plnos i j k n n n n i j k Los eores normles NO son prlelos por no mpoo lo son los plnos n n no son proporionles Eso impli qe los plnos son senes. Se orn en n re. Si los eores fern proporionles deerminmos si los plnos son prlelos o oinidenes simplemene ssiendo ls oordends del pno en l eión del oro plno. Si diho pno perenee mos plnos l úni opión posile es qe sen oinidenes. éodo Ssiimos ls epresiones prméris de en ( ) ( ) ( ) Opermos oenemos 7 Tenemos n relión enre por no los plnos son senes. Si los plnos son prlelos l ssiir ls eiones prméris en l generl se nelrán los érminos en. Dependiendo del érmino independiene reslne podremos dedir Si oenemos = los plnos son oinidenes. Si oenemos = k on k los plnos son prlelos. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

27 Res plnos en el espio.. Hes de plnos en el espio... H de plnos senes Definimos el h de plnos senes n re omo el onjno de odos los plnos qe onienen dih re. Pr oener el h de plnos senes n re epresmos l re omo inerseión de dos plnos D r D lqier oro plno del h dee onener l re por no s eión dee ser ominión linel de ls dos neriores l eión del h de plnos senes es D D r on R. Si son no nlos podemos reesriir l eión del h de plnos senes omo D D r on R Eión qe en osiones simplifi l resolión de mhos prolems de geomerí. iiddes resels Hll el h de plnos senes l re r Epresmos l re omo inerseión de dos plnos L eión del h de plnos senes es 8 r Hll el plno del h de plnos nerior qe ps por el pno P ( ). Pr qe el plno pse por diho pno ls oordends de P deen erifir s eión Opermos oenemos r ( ) qe no iene solión. Ese es no de los sos los qe nos referímos ndo dijimos en osiones. Lo qe orre es qe P perenee l segndo plno por lo qe l eión pedid es diremene l de ese plno r. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

28 Res plnos en el espio... H de plnos perpendilres Definimos el h de plnos perpendilres n re omo el onjno de odos los plnos perpendilres dih re. Es simple er qe el eor direor de l re es n eor norml de lqier de los plnos del h. Siendo l eión de l re r L eión del h de plnos perpendilres es iiddes resels D on D R. Hll el h de plnos perpendilres l re El eor direor de l re es perpendilres es r 7 de modo qe l eión del h de plnos D on D R. Hll el h de plnos perpendilres l re Neesimos hllr el eor direor de l re pr lo qe proedemos del mismo modo qe en l seión. el eor direor de l re será el prodo eoril de los eores normles i j k n n i j k Por no el h de plnos prlelos iene por eión D º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

29 7 Res plnos en el espio.. Posiiones relis de n re n plno en el espio onsidermos l re r dd por ls eiones implíis n plno ddo por s eión generl D r D D onsidermos el sisem formdo por ls eiones de l re el plno. Sen l mri de oefiienes l mri mplid on los érminos independienes. D ' D D Esdimos el rngo de. Si. Se peden dr los sigienes sos rg rg S.. I. El sisem iene infinis soliones. L re esá onenid en el plno. L inerpreión geoméri es simple los res plnos (los dos qe definen l re el plno ) pereneen n mismo h.. Si rg rg S. I. El sisem no iene solión. L re el plno no se orn por no son prlelos. Geomérimene se inerpre qe el eor de l re es ominión linel de los eores del plno pero no ienen ningún pno en omún.. Si rg rg S.. D. El sisem iene n úni solión. L re el plno son senes se orn en n pno. iidd resel Esdi l posiión reli de l re r el plno r Plnemos el sisem de eiones hllmos ls mries º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

30 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 8 Hllmos el rngo de ) rg ( omo el rngo de es res mién lo es el rngo de. Por no el sisem es ompile deermindo l re el plno son senes ienen n pno en omún qe hllmos resoliendo el sisem P r Si l re r iene dd por s eión onin l mejor opión es onerirl en ss eiones prméris ssiir en l eión del plno. Enones endremos n eión de n rile qe simplifi el ronmieno iidd resel Esdi l posiión reli de l re r el plno r r Ssiimos ls epresiones prméris de en l eión del plno 8 8 L eión reslne iene n úni solión por no l re el plno son senes se orn en n pno qe podemos deerminr ssiendo el lor de en ls eiones de r on P P r Ls ors dos siiones posiles son Si oenemos = l re esá inlid en el plno. Si oenemos = k on k l re el plno son prlelos.

31 9 Res plnos en el espio.. Posiiones relis de dos res en el espio Pr esdir l posiión reli de dos res en el espio prir de ss eiones implíis D D r s D D plnemos n e más el sisem formdo por ls ro eiones Sen l mri de oefiienes Esdimos el rngo de D D D D l mri mplid on los érminos independienes. Si. Se peden dr los sigienes sos rg rg S.. I. El sisem iene infinis soliones lo qe impli qe ls res son oinidenes. Qe el rngo de ms mries se dos impli qe sólo dos de ls eiones son linelmene independienes o geomérimene qe los ro plnos pereneen l mismo h. D D D D Si rg rg S. I. El sisem no iene solión ss eores direores son proporionles. Ls dos res son prlels. Si rg rg S.. D. El sisem iene n úni solión. Ls dos res son senes s inerseión es n pno. Si rg rg S. I. El sisem no iene solión. Ss eores direores no son proporionles. Ls dos res se rn. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

32 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 7 Si ls res no ienen dds en s form implíi deemos relir el esdio nlindo ss eores direores pnos por los qe psn (eores de posiión). onsidermos ls res r s qe endrán deerminds por n pno n eor direor p p p P r q q q Q s Ls siiones nes esdids se deerminn del sigiene modo Si ls res r s son oinidenes (r s son l mism re) Eso signifi qe los eores PQ serán proporionles por no Rngo p q p q p q Ls res r s son senes Eso signifi qe r s se orn en n únio pno. Los eores no son proporionles pero el eor PQ es ominión linel de ellos. Por no enemos Rngo Rngo p q p q p q Ls res r s son prlels En ese so ls res no ienen ningún pno en omún pero esán onenids en el mismo plno. Por no los eores son proporionles pero no serán proporionles l eor PQ. Tenemos Rngo Rngo p q p q p q Ls res r s se rn Eso signifi qe ls res no ienen ningún pno en omún ni esán onenids en el mismo plno. En ese so los eores PQ son linelmene independienes. Por no Rngo p q p q p q

33 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 7 iidd resel Esdi l posiión reli de ls res r s éodo Hllmos el eor direor de r on el prodo eoril k j i k j i n n r Y el eor direor de s reesriiendo l eión onin k j i s s s Hllmos hor el eor PQ siendo P n pno de r Q n pno de s P r Q ( ) PQ Plnemos l mri llmos el deerminne pr hllr el rngo p q p q p q El rngo de l mri es res los eores PQ son linelmene independienes por no ls res se rn. éodo Oenemos ls eiones implíis de s s onsidermos el sisem formdo por ls eiones de ms res. Se l mri de los oefiienes l mri mplid Esdimos el rngo de F F F F F F Tenemos qe el rg pero el rngo de es omo mho. Ls dos res se rn.

34 7 Res plnos en el espio URIOSIDDES. REVIST Ojeos imposiles lo lrgo del pílo hemos ido iendo dijos de ls figrs en el espio. hs ees nos hn serido de d pero en ors (por ejemplo res qe se rn) en el esqem no esá n lro qé esá psndo en relidd. Eso es onseeni de qe proer n imgen ridimensionl en el plno impli n ier pérdid de informión lgo qe ieros riss proehn pr relir dijos de figrs imposiles. Perspei srd Willim Hogrh Se onsider Osr Reersrd el redor de ls figrs imposiles l omo ls onoemos. En 9 siendo esdine se enonr rrido en n lse de lín se pso dijr esrells de ris pns. Un dí dijó n esrell de pns roded de os omproó lgo erño. oloó neos os en ls esqins preió n figr imposile. Ls figrs sore ess línes se denominn riánglos de Penrose en 98 preió no de ellos en sellos de orreo seos. En 9 Roger Penrose plió n rílo en el qe preen ors figrs imposiles. Pree ser qe Penrose se inspiró en dijos de Esher qe odí no hí pindo figrs imposiles qien s e se inspiró en los rílos de Reersrd. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

35 7 Res plnos en el espio RESUEN Re Plno Figr en el espio qe únimene iene longid no nhr ni profndidd. Se sele represenr on n ler minúsl hilmene r se define prir de n pno P (p p p ) n eor ). ( Figr en el espio iene longid nhr pero no profndidd. Se sele represenr on n ler grieg hilmene se define prir de n pno P (p p p ) dos eores ) ). ( ( Veor norml del plno Se llm eor norml del plno D n qe es perpendilr l plno. l eor Posiiones relis de dos plnos Plnedo el sisem de eiones formdo por ls eiones de los dos plnos D D Sen l mri de oefiienes l mri mplid on los érminos independienes. D D Plnos oinidenes rg rg nº inógnis S.. I. Plnos prlelos rg rg S. I. Plnos senes rg rg nº inógnis S.. I. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

36 7 Res plnos en el espio Posiiones relis de dos res onsidermos ls res r s qe endrán deerminds por n pno n eor direor P r p p p Q s q q q Res PQ Rngo oinidenes Res prlels Rngo PQ Rngo PQ Res senes Rngo PQ Rngo PQ Res qe se rn Rngo PQ Posiiones relis de n re n plno onsidermos l re r dd por ls eiones implíis n plno ddo por s eión generl D r D D Sen l mri de oefiienes l mri mplid del sisem formdo por ss eiones. Re onenid en el plno rg rg S.. I. ' D D D Re plno prlelos rg rg S. I. Re plno senes rg rg S.. D. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

37 7 Res plnos en el espio EJERIIOS Y PROLES.. ) Hll l eión de l re qe ps por el pno. Epres dih re de ods ls forms posiles. ) Perenee el pno dih re? Y el pno 7? ) Hll el lor de m n pr qe el pno D m 7 n perene dih re.. Epres de ods ls forms posiles l re qe ps por los pnos n pno qe esé linedo on oro pno D qe no lo esé.. Ddos los pnos se pide iene omo eor direor. Hllr ) Epres de ods ls forms posiles l re qe ps por mos pnos. ) Hll dos pnos D qe esén linedos on de mner qe no de ellos () esé sido enre mos el oro (D) esé sido l iqierd de.. Epres de ods ls forms posiles ls sigienes res ) r ) s ) r d) s. Epres de ods ls forms posiles l re r demás hll ) Un pno de dih re l qe s segnd oordend se. ) Un pno de dih re l qe l sm de ss oordends lg.. Epres de ods ls forms posiles l re de eión r hll n pno de l mism primer oordend se. 7. Hll ls eiones de los ejes OX OY OZ eprésl de ods ls forms posiles. 8. Hll l eión de l re qe ps por el pno es prlel ) l eje OY. ) l re de eión r Eprésl de ods ls forms posiles. 9. Dd l re r se pide ) Epres dih re de ods ls forms posiles. ) Hll n pno de dih re l qe l sm de ss oordends lg. ) Hll l eión de n re s qe se prlel l re r qe pse por el pno º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

38 7 Res plnos en el espio. Epres de ods ls forms posiles l re r hll l eión de n re s eng omo eor direor el de l re r. qe psndo por el pno. Epres de ods ls forms posiles l eión del plno hll pnos de ese plno qe esén linedos.. Hll l eión del plno (epresrlo de ods ls forms posiles) en los sigienes sos ) Ps por el pno iene omo eores direores. ) Ps por los pnos no de ss eores direores es ) Ps por los pnos... Hll ls eiones de los plnos OXY OXZ OYZ epréslos de ods ls forms posiles. P es prlelo ls res r s. Hll l eión del plno qe ps por el pno oniene l re r de eión r.. Epres de ods ls forms posiles l eión del plno qe ps por el origen de oordends oniene l re r. 7. Epres de ods ls forms posiles l eión del plno qe ps por el origen de oordends oniene l re r.. Enenr ls eiones prméris del plno qe ps por el pno Hll l eión del plno qe oniene l pno l re r 9. ll pr qé lor de m los pnos m m 98 esán linedos. En el so de qe m hll l eión del plno qe oniene dihos pnos. Perenee el pno diho plno?. Hll el plno qe oniene l re r es prlelo s.. ll m n pr qe l re r esé onenid en el plno eión es m n. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

39 º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores Res plnos en el espio 77. Esdi l posiión reli de ls res r s hll l eión del plno qe ls oniene.. Hll l posiión reli según los lores de m n de ls res n m r s. Esdi l posiión reli de ls sigienes res plnos ) r ) r ) r d) r. Esdi l posiión reli de los sigienes plnos ) ) ) d). Esdi según los lores de l posiión reli de los sigienes plnos ) ) ) 8 d) 7. Esdi según los lores de l posiión reli de ls sigienes res plnos llndo (ndo se posile) el pno de inerseión. ) r ) r 8. Dds ls res r s se pide ) Posiión reli de ms res. ) Eión del plno qe oniene dihs res. 9. Dds ls res r s de eiones r s ) Esdi s posiión reli. ) Hll l re qe or r s es prlel l re.

40 78 Res plnos en el espio. Ddos los plnos hll l eión de n re r qe psndo por el pno es prlel los dos plnos.. Dds ls res r s de eiones r s hllr m ) El lor de m pr qe ms res se oren. ) Pr ese lor de m el plno qe oniene r s. ) L eión de l re qe ps por el pno es perpendilr l plno.. Dd l re r el plno m n ll ) Vlores de m n pr qe l re el plno sen i) prlelos ii) perpendilres iii) l re esé onenid en el plno. ) Pr m n el pno de inerseión de l re el plno. ) Pno de inerseión de l re r on el plno OYZ.. Dds ls res r s ll l eión de l re qe es perpendilr ms res. ps por el pno. Dds ls res r s se pide ) Posiión reli de ms res. ) Eión de l re qe ps por. Hll el áre del riánglo os éries son los pnos es perpendilr ms res. pno de ore del plno OXZ on l re r.. Ddos los pnos se pide el erer érie es el ) ll el lor de pr qe los res pnos esén linedos. ) Pr ll el perímero del riánglo qe eng de éries dihos pnos sí omo s áre el lor de l lr orrespondiene l érie. ) Hll l eión de n medin. 7. Los pnos P l re r re r. ) Deermin ls oordends de S. ) ll el áre del riánglo PQS. Q son dos éries de n riánglo el erer érie S perenee. demás l re qe oniene los pnos P S es perpendilr l 8. Los pnos son dos éries de n riánglo isóseles. ) Oén ls oordends del oro érie siendo qe perenee l re r ) Hll el lor del ánglo desigl. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

41 79 Res plnos en el espio UTOEVLUIÓN. Un eión de l re qe ps por el pno ( ) iene por eor direor es ; ) ; ) ; d). Un eión de l re qe ps por los pnos ( ) ( 7) es ) 7 ; ) 7 ; ) ; d) 9. El eor direor de l re es ) ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; d) ( ). Un eión del plno qe ps por el pno ( ) iene omo eores direores es ) 7 ( ) ; ) ; ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ). Un eión del plno qe ps por el pno ( ) oniene l re es ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ); ) ; ) = ; d) n es. Un eión del plno qe ps por el pno ( ) de eor norml ) ( ) ; ) ; ) = ; d) 7. Un eión del plno qe ps por los pnos ( ) ( ) ( 7) es ) ; ) ; ) 7 ; d) Los plnos 7 son ) oinidenes; ) prlelos; ) senes; d) orogonles 9. Ls res son ) oinidenes; ) prlels; ) senes; d) se rn. El plno l re son ) l re esá onenid en el plno; ) prlelos; ) senes; d) orogonles º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

42 8 Res plnos en el espio péndie Prolems de res plnos en ls P...U. () Los pnos P perenee l re r. Q son dos éries onigos de n reánglo. Un erer érie ) Deermin los éries de n reánglo qe erifiqe ls ondiiones neriores. ) Qé posiión reli deerí ener l re r l qe oniene l segmeno PQ pr qe l solión fese úni? Ron l respes. () Los pnos P Q son dos éries opesos de n drdo qe esá onenido en n plno perpendilr l plno de eión. ) Deermin los éries resnes. ) ll l eión de l re qe ps por los éries lldos. ) ll el perímero del drdo onsrido. () Se onsider el prlelepípedo os éries de l r inferior son los pnos D on éries opesos. Se el érie dene en l r sperior. ll ) Ls eiones de los plnos qe onienen ls rs inferior sperior. ) Los éries de l r sperior. ) El olmen del prlelepípedo. () Los pnos ) Ls oordends del érie D opeso. ) El áre del prlelogrmo. D formn n prlelogrmo. ll ) L eión de l re qe ps por el pno medio del segmeno es perpendilr l plno qe oniene l prlelogrmo. s s l re s. ) Enenr l posiión reli de los mismos. () Se el plno ) Hll l eión de l re r qe ps por el pno P perpendilr l re s. () Ddos los pnos l re r es prlel l plno es hll ) Un pno r de form qe el riánglo se reánglo on el ánglo reo en. ) El plno qe ps por es prlelo r. (7) onsidere ls res r s. ) D s posiión reli. ) Oén si es posile n plno prlelo s qe oneng r. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

43 8 Res plnos en el espio r ll ) Un eor direor de l re r. (8) Ddo el pno l re ) El plno qe oniene l re r l pno. ) L re s qe ps por el pno esá onenid en el plno nerior s direión es perpendilr l de l re r. (9) Sen el plno l re r. ) on esdi l posiión reli de l re el plno. ) Sigiendo on ll pr qe el pno perene l re l plno. ) Deermin los lore de pr qe l re r esé onenid en el plno. () Un plno deermin sore l pre posii de los ejes OX OY OZ res segmenos de longides meros respeimene. ) Hll l eión del plno. ) Hll l eión de l re r qe oniene los pnos posiión reli de r según los lores de. ) Pr el so hll el pno donde se orn r. () Se onsidern l re r qe ps por los pnos P Q los pnos. ll esdie l el plno qe oniene ) Ls eiones implíis de r. ) L posiión reli de r. () Se onsider l re r. ) Deermin el plno qe oniene r ps por el origen de oordends. ) Hll l eión de l re perpendilr qe ps por el pno. () Se onsidern ls res r s m. ) lle m pr qe ls res se oren en n pno. ) Pr ese m hlle el pno de ore. () Hll l eión del plno qe ps por el pno P es prlelo ls res r s () Enenr n eión del plno qe ps por el origen de oordends es prlelo l plno deermindo por el pno P l re qe ps por el pno Q iene eor direor. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

44 8 Res plnos en el espio () onsider los plnos. ) Esdi l posiión reli de. ) Enenr si es posile n re prlel qe pse por el pno. (7) Hll los plnos qe psndo por oren l eje OX en n pno l qe el áre del riánglo de éries se. (8) Hll el áre del riánglo os éries son los pnos de ore del plno on los ejes oordendos. (9) Ddo el plno de eión 7 m se el pie de l perpendilr rd desde el pno l plno. ) Deermin el lor de m pr qe el riánglo se reánglo en ll s áre. ) Hll los dos ánglos resnes de diho riánglo. () Ddo el pno los pnos los plnos hll ) L eión de l re qe ps por el pno es prlel los plnos. ) El áre del riánglo os éries son los pnos donde el plno or los ejes. ) El olmen del eredro de érie el pno de se el riánglo del prdo nerior. () Hll el olmen del eredro qe iene omo éries el pno los pnos en qe el plno or los ejes oordendos. () Dd l re r el plno hllr el lor de pr qe ) L re se prlel l plno. ) L re ore l plno. ) L re se perpendilr l plno. d) El olmen del eredro qe iene omo éries el origen de oordends los pnos donde el plno or los ejes lg. () Ddos los plnos se pide ) Oén ls eiones prméris de l re deermind por. ) ll el seno del ánglo qe l re del prdo nerior form on el plno. () Ddos el plno l re r ) Esdi l posiión reli de r. ) Deermin el plno qe oniene r es perpendilr. ) Deermin l re qe ps por or r es prlel. º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores

45 8 Res plnos en el espio () Sen ls res r s k ) Hll k pr qe r s sen oplnris. ) Pr el lor nerior de k hll l eión del plno qe oniene ms res. ) Pr el lor nerior de k hll l eión de l re perpendilr omún ls res dds. () Hll n eión resin del plno qe oniene l re r r es perpendilr l plno (7) Pr d lor del prámero rel se onsidern los res plnos sigienes Se pide ) ll los lores de pr los les los res plnos neriores onienen n re omún. ) Pr los lores de lldos hll ns eiones resins de dih re omún. (8) Ddos el plno l re s ) Hll l eión generl del plno ' qe oniene r es perpendilr. ) Esrie ls eiones prméris de l re inerseión de los plnos '. el plno 7 deermin el plno qe es perpendilr l plno ps por los pnos. () Dds ls res r s ) Hll el lor de k pr qe ls dos res esén onenids en el mismo plno. (9) Ddos los pnos ) Pr el lor de k oenido en el prdo nerior deermin l eión generl del plno qe ls oniene. () ll ls eiones prméris de l re qe ps por el pno perpendilrmene l re s P or º de hillero. emáis II. pílo Res plnos en el espio ores Leii Gonále Álro Vldés LirosreVerde.k Reisor ilgros Ls Imágenes reds por los ores