GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

Transcripción

1 . Vetores en el espio GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Vetores en el espio B AB Ddos dos pntos del espio, A y B, se define el vetor fijo AB omo el segmento orientdo de origen A y extremo B. A Los vetores de espio se rterizn por n módlo n direión y n sentido. Dos vetores en espio se dien qe son eqipolentes si tienen el mismo módlo, l mism direión y el mismo sentido. El onjnto de todos los vetores eqipolentes no ddo define n vetor lire, v. Un vetor lire se represent por no lqier de los vetores fijos eqipolentes qe lo definen.. Operiones on vetores Un vetor v pede mltiplirse por n número rel lqier, k, el vetor resltnte k v tiene n módlo qe es k vees el módlo de v, l mism direión qe v y el mismo sentido si k es positivo y sentido ontrrio si k es negtivo. El prodto 0 v es igl l vetor 0, qe se denomin vetor nlo. Éste es n vetor v - v v Operiones on vetores lires B Sm: Ddos los vetores lires y y el pnto O del espio y elegidos los representntes OA y OB de y, respetivmente, se define el vetor sm omo el vetor lire de representnte AB. B O + B P A El onjnto de los vetores lires del espio V, on sm es n grpo elino. Prodto de n número rel por n vetor lire:

2 Si es n vetor lire de representnte AB y n número rel distinto de ero, se define omo el vetor qe tiene direión de AB, el sentido de AB si >0 y el de BA si <0, y yo módlo oinide on el vlor de. Este prodto externo de n número rel por n vetor de V mple ls sigientes propieddes:. ( ) ;, R, V. ( ), R,, V. ( ) ( ) ;, R, V 4. V ; R Reslt qe el onjnto de los vetores lires del espio, on l sm y l operión extern prodto de números reles por vetores, es n espio vetoril sore R: (V,+, R) es n espio vetoril. Dependeni e independeni linel en V. Bses y oordends. Cominión linel de vetores lires Un ominión linel de los vetores lires,,, n es lqier expresión lgeri de l form n n, donde,,, n son números reles lesqier. Un onjnto de vetores son linelmente dependientes si lgno de ellos se pede esriir omo ominión linel de los demás. Un onjnto de vetores son linelmente independientes si no son linelmente dependientes. Bses de V Si tres vetores no nlos lesqier,, de V no están ontenidos en el mismo plno son linelmente independientes y demás lqier otro vetor v de V se pede poner omo ominión linel de ellos; v. Se die qe B,, es n se de V y qe,, son ls oordends de v respeto es se. V es n espio vetoril de dimensión (número de elementos de l se). En V dos vetores qe tengn l mism direión son linelmente dependientes. En V tres vetores oplnrios (sitdos en n mismo plno) son linelmente dependientes. L ondiión neesri y sfiiente pr qe tres vetores no nlos de V formen n se es qe no sen oplnrios. Un onjnto de tro o más vetores son siempre linelmente dependientes.

3 Bse nóni de V L se nóni de V está formd por tres vetores de módlo no (nitrios) y perpendilres entre sí dos dos. Estos reien el nomre de i, j, k. Por ser los vetores de l se nitrios y perpendilres l se nóni i, j, k es n se ortonorml. Ejeriio: Compre qe los vetores (,,0), v (,, ) y w (0,, ) formn n se de V y qe el vetor (,8, ) tiene de oordends (,, ) respeto l se nterior. El espio fín E (soido l espio vetoril V ) Se llm espio fín soido l espio vetoril V de los vetores lires l espio ordinrio, E, dotdo de n pliión: E E E ( A, B) AB Est pliión dee mplirls sigientes propieddes:. A E, V, existe n únio B E / AB. A, B, C E, se mple AB AC CB Al espio fín soido V, formdo por el espio de pntos E, y l pliión definid nteriormente, lo denotremos por E. Sistem de refereni en el espio E Un sistem de refereni en el espio fín E es n tern de pntos (O,A,B,C) tles qe los vetores: OA, OB, OC C formn n se de V. El pnto O se llm origen del sistem y ls P O rets soporte de OA, OB, OC son los ejes oordendos. B Ddo n pnto PE, qed determindo nívomente el vetor p OP x x x, qe se llm vetor de posiión del pnto P. A Los números reles (x,x,x ) se llmn oordends del pnto P en el sistem de refereni o tmién oordends del vetor lire p en l se,,.

4 .4 Prodto Eslr (**) Definiión de prodto eslr de dos vetores Sen y v dos vetores de V, se llm prodto eslr de por v, l número rel otenido l mltiplir ss módlos por el oseno del ánglo qe formn si mos son no nlos, y si no l menos es ero, l número rel ero. v os(,v) si y v son no nlos v 0 si = 0 o v = Propieddes..- = os (, ) De est propiedd se dede: =.- De l propiedd nterior se dede qe el prodto eslr es definido positivo es deir el prodto eslr de n vetor no nlo por si mismo es positivo. En efeto = os (, ) 0.- El prodto eslr es onmttivo v = v os(, v )= v os( v, )= v 4.- Homogéne: k( v )=(k ) v = (k v ), kr. 5.- Distritiv del prodto eslr respeto l sm de vetores: ( v + w )= v + w Expresión nlíti del prodto eslr Se B= i, j, k n se ortonorml de V, y v dos vetores de V, entones y v se peden expresr omo: = i j k y v i v j v k v v v v Relizndo ls operiones tenemos v = Qe es l expresión nlíti del prodto eslr. Ejemplo: En l se nóni (,-,) (,,)=4 4

5 Interpretión geométri del prodto eslr En el triánglo retánglo se oserv qe proyv os(, v), de l expresión del prodto eslr tenemos: v v os(, v ) v proy v Es deir l proyeión ortogonl de n vetor sore otro v es igl l oiente entre el vlor solto del prodto eslr y el módlo del vetor sore v el qe se proyet: proy v v v.6.-módlo de n vetor En l primer propiedd del prodto eslr y hemos visto qe el módlo de n vetor es igl l ríz positiv del prodto eslr de n vetor por si mismo: Def: Un vetor se die qe es nitrio si s módlo es no. Si n vetor lqier lo dividimos por s módlo, otenemos n vetor nitrio, en efeto: Pr omprorlo llemos s módlo: Def: Dos vetores son ortogonles si s prodto eslr es nlo. Si B=,, es n se del espio vetoril V, se die qe es ortonorml o métri se mple: ) 0 (son ortogonles dos dos) ) (los vetores son nitrios) En n se ortonorml se verifi:.- Si,,, entones Ejemplo: En l se nóni (qe siempre se tilizrá en los ejeriios, slvo qe se espeifiqe lo ontrrio) si =(-,,4), = 9..- es ortogonl 0.- Ánglo entre dos vetores Si,,,, de l fórml del prodto eslr: y ánglo qe formn los dos vetores tenemos: 5 os ; llmándole l

6 ros os r ( ) 4.- Dos vetores y no nlos son ortogonles son perpendilres Si tenemos dos pntos A y B en el espio fín E definiremos l distni de A B omo el módlo del vetor AB. Si A(,, ) y B(,, ) son ls oordends de A y B se tiene: d( A, B) AB (,, ) ( ) ( ) ( ).6.- Definiión de prodto vetoril de dos vetores El prodto vetoril de dos vetores y v es el vetor v yos elementos son: Módlo: v = v sen(, v ) Direión: v es perpendilr los dos vetores y v Sentido: El qe determin l regl del sorhos. Propieddes del prodto vetoril. Antionmttiv: v = (v ) v v v w v. Homogéne: v. Distritiv: w Expresión nlíti del prodto vetoril en l se nóni El prodto vetoril de dos vetores (,,) y v (v,v,v ) expresdos en l se nóni i, j, k es: i j k v v v v Interpretión geométri del prodto vetoril El áre del prlelogrmo determindo por los vetores y v de l figr viene ddo por l expresión: A v sen v El módlo del prodto vetoril de los vetores y v oinide on el áre del prlelogrmo qe determinn dihos vetores. 6

7 Not: El áre de n triánglo de vérties los pntos A, B y C se pede expresr omo l mitd del áre del prlelogrmo qe formn los vetores AB y AC.8.- Definiión de prodto mixto Se define el prodto mixto de tres vetores, y omo el prodto eslr de los vetores y ( ). L expresión nlíti del prodto mixto es: i j k,, ( ) ( ) Propieddes e interpretión geométri,, V y R se verifin ls sigientes propieddes qe son onseeni inmedit de ls propieddes de los determinntes:.,,,,,,,,,,,,.-,, 0, y son linelmente dependientes..-,,,,,,,, ',,,, ',, y nálogmente si l sm está en el vetor segndo o terero Interpretión geométri: El vlor solto del prodto mixto de los vetores, y es el volmen del prlelepípedo de rists no prlels qe se pede formr on los tres vetores. os sen( / ) h Y, omo es el áre del prlelogrmo de l se,,, ( ) os h S se V prlelepí pedo 7

8 Se pone vlor solto porqe si no podrí slir negtivo el prodto mixto (l ser n prodto eslr) y no tendrí sentido hlr de volmen. 6.- El volmen de n tetredro de vérties A, B, C y D es l sext prte del volmen del prlelepípedo determindo por los vetores AB, AC y AD.. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Eiones de l ret Eión vetoril de l ret Se r n ret qe ps por el pnto A y tiene l direión de n vetor no nlo v. Pr qe n pnto P de E pertenez l ret es neesrio y sfiiente qe los vetores AP y v sen prlelos, es deir: AP tv ; tr llmndo p y los vetores de posiión de P y A: p tv de donde : p tv qe es l eión vetoril de l ret. Si el pnto genério P tiene de oordends (x,y,z), el pnto A es (x,y,z ) y el vetor v tiene por omponentes (v,v,v ), sstityendo en l eión vetoril qed: (x,y,z)=(x,y,z )+t(v,v,v ) qe es otr form de l eión vetoril de l ret. El vetor v se llm vetor de direión de l ret r, y t es el prámetro de l ret. A d vlor de t le orresponde n pnto P de l ret, y ndo t reorre R el pnto P desrie tod l ret. El pr formdo por n pnto Ar y n vetor v de direión de r se llm determinión linel de r: r(a v ). Eiones prmétris de l ret Se (O,i,j,k) n sistem de refereni (hitlmente será ortonorml: el formdo por l se nóni), P(x,y,z) y A(x,x,x ) n pnto genério y n pnto ddo, de l ret r, y v vi v j v k n vetor de direión de r. Sstityendo en l eión vetoril tenemos: 8

9 x x vt y y vt z z vt Ests eiones se denominn eiones prmétris de ret r. Eiones ontinús de l ret Si en ls eiones prmétris, sponiendo qe v,v,v sen distintos de ero, se despej el prámetro t, qed de donde x x t ; t v x x v y y z z ; t v v y y v z z v qe son ls eiones en form ontin de l ret. Eiones redids o implíits Si en ls eiones ontins de l ret expresmos z e y en fnión de x, otendremos: y x z x d Qe son ls eiones redids o implíits de l ret. (Tmién se podín her expresdo dos vriles en fnión de z, o en fnión de y). Ejeriio: Esrie tods ls eiones de l ret qe ps por los pntos A(-,,5) y B(,,)...- Eiones del plno Eión vetoril del plno Un plno del espio qed determindo ndo se onoe n pnto syo A y dos vetores y v no nlos linelmente independientes qe están ontenidos en el plno, y se llmn vetores direionles del plno. Así pes, (A,, v ) es n determinión linel del plno. L ondiión pr qe n pnto P del espio fín E pertenez l plno, siendo A n pnto onoido del plno, es qe el vetor AP se exprese omo ominión linel de y v, es deir, qe existn dos números reles y tles qe 9

10 AP v y ést es l eión vetoril de plno determindo por el pnto A y los vetores y v. Pr d pr de vlores de y se otiene n pnto P del plno. Si expresmos el pnto A(x,y,z ) y los vetores (,, ) y v (v,v,v ) en sistem de refereni del espio fín (generlmente n se ortonorml qe será l se nóni), l eión vetoril del plno será: se pede esriir del sigiente modo: AP v (x-x,y-y,z-z )= (,, )+ (v,v,v ) o (x,y,z)= (x,y, z )+(,, )+ (v,v,v ) qe eqivle ls eiones nméris: x = x v y = y v z = z v qe son ls eiones prmétris del plno Eión implíit o generl del plno L ondiión pr qe los vetores AP, determinnte se nlo: y v sen linelmente dependientes es qe el sigiente x x y y z z 0 v v v y l desrrollr este determinnte reslt n expresión de l form: x y z d 0 qe es l eión implíit o generl del plno. Posiiones reltivs de rets y plnos..- Posiiones reltivs de dos plnos Sen los plnos y ddos por ss eiones generles: : x+y+z+d=0 : x+ y+ z+d =0 0

11 l resolver el sistem formdo por ests eiones, hllremos s interseión en los distintos sos posiles. L mtriz de los oefiientes y l mtriz mplid serán: d C A ' ' ' d CASO rg(c)=rg(a)= El sistem es omptile indetermindo y los dos plnos se ortn según n ret. Si el menor qe nos d el rngo es por ejemplo: 0 ' ' r el sistem formdo por ls dos eiones se pede resolver respeto ls inógnits x e y oteniendo x z y z d qe son ls eiones redids o implíits de n ret. Tmién se denominn eiones de l ret l sistem formdo por los dos plnos: x y z d 0 ' x ' y ' z d' 0 CASO rg(c)= y rg(a)= El sistem es inomptile y los dos plnos no tiene ningún pnto en omún: son prlelos. Se mple: d ' ' ' d' CASO rg(c)=rg(a)= El sistem es omptile indetermindo, y ls dos eiones son eqivlentes: los dos plnos son oinidentes. En este so los oefiientes mplen: d ' ' ' d' Hz de plnos Se llm hz de plnos l onjnto de todos los plnos qe psn por n iert ret denomind rist del hz. Si los plnos : x+y+z+d=0 y : x+ y+ z+d =0, se ortn según n ret r y formmos n ominión linel on ls eiones de mos: (x+y+z+d)+( x+ y+ z+d')=0 - Reslt qe pr d vlor de los prámetros otenemos l eión de n plno qe ontiene r. - Reípromente, si n plno ontiene l ret r, s eión es ominión linel de ls eiones de y. Lego l expresión nterior es l eión del hz de plnos qe ontiene r. Ejeriio: Hllr l eión del plno qe ps por el pnto P(,-,) y ontiene l ret determind por los plnos: : x-y+z-=0, : x+y-z+=0. Sol: 7x+5y-5z+6= Posiiones reltivs de tres plnos Pr llr los pntos de interseión de tres plnos hy qe resolver el sistem formdo por ss eiones:

12 x y z d 0 ' x ' y ' z d' 0 '' x '' y '' z d'' 0 Ls mtries de los oefiientes y mplid orrespondientes este sistem son: d C ' ' ' y A ' ' ' d' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d' ' Vmos distir los distintos so posiles: CASO rg(c)==rg(a) El sistem es omptile indetermindo. Los tres plnos son oinidentes CASO rg(c)= y rg(a)= El sistem es inomptile y los tres plnos no tienen ningún pnto en omún. Se peden dr dos sitiones: Pr determins ál de ls dos posiiones es, se estdi l posiión de los tres plnos tomdos dos dos. CASO rg(c)==rg(a)

13 Entones el sistem es omptile indetermindo y los tres plnos tiene en omún n ret. Pede orrir: CASO 4 rg(c)= y rg(a)= El sistem es inomptile: no existen ningún pnto omún los tres plnos. Peden drse dos ssos: Pr determinr ál de ls dos posiiones es, se estdi si existe lgún pr de plnos oinidentes. CASO 5 rg(c)=rg(a)= El sistem es omptile determindo y existe n únio pnto de interseión omún los tres plnos: se ortn en n pnto.5.- Posiiones reltivs de n ret y n plno Consideremos l ret r definid por los plnos y, y el plno ddos por ls eiones: x y z d 0 r : ' x ' y ' z d' 0 : '' x '' y '' z d'' 0 Estdir l posiión reltiv de l ret y el plno eqivle distir el sistem formdo por ss eiones. Ls mtries de los oefiientes y mplid son: d C ' ' ' A ' ' ' d' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d' ' El rngo mínimo de C es y qe los plnos qe determinn l ret son sentes. CASO rg(c)= y rg(a)=

14 El sistem es omptile indetermindo. L ret está ontenid en el plno. r CASO rg(c)= y rg(a)= El sistem es inomptile. L ret y el plno son prlelos. r CASO rg(c)=rg(a)= El sistem es omptile determindo. Los plnos se ortn en n únio pnto, y l ret y el plno tiene n únio pnto en omún. Por lo tnto l ret y el plno son sentes. r Not importnte : En l práti pr ver l posiión reltiv de ret y plno se oserv l ortogonlidd del vetor de direión de l ret y el vetor norml l plno. 4

15 .6.- Posiión reltiv de dos rets Primer método Spongmos qe ls rets vienen definids por ss determiniones lineles: r(a, ) y s(b, v ) CASO rg(, v) y rg(, v,ab)= En este so ls rets son oinidentes. CASO rg(,v) y rg(,v,ab) Ls rets son prlels y distints. CASO rg(,v) y rg(,v,ab) Ls rets están en n mismo plno y se ortn. CASO 4 rg(,v) y rg(,v,ab) Ls rets se rzn. 5

16 SEGUNDO MÉTODO Si ls rets vienen dds por ss eiones generles x y z d 0 r : ' x ' y ' z d' 0 '' x '' y '' z d'' 0 s: ''' x ''' y ''' z d''' 0 Ls mtries de los oefiientes y mplid son d d C ' ' ' A ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' d' ' ' El mínimo rngo de C es, y qe los dos primeros plnos y los dos últimos son sentes, el estdio se rede l dissión del sistem: Rngo de C Rngo de A Posiión de dos rets 4 Se rzn Se ortn Prlels Coinidentes. EL ESPACIO EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL: ÁNGULOS, PERPENDICU- LARIDAD DE RECTAS Y PLANOS Vetor rterístio o norml de n plno Ddo el plno de eión implíit AX+By+CZ+D = 0, el vetor n =(A,B,C) es n vetor perpendilr. Ejeriio: Demostrr l firmión nterior (demostrr qe PQ n 0 ) Eión norml de n plno Se P(,, ) n pnto del plno : Ax By Cz D 0, y se X(x,x,x ) n pnto lqier del mismo. Entones, se verifi: n PX 0, es deir:,b,c x,y,z 0 A (x ) B(y ) C(z ) 0 A 6

17 Est últim es l eión norml del plno.. Ánglo entre rets Se llm ánglo formdo por dos rets sentes l menor de los ánglos qe determinn. 0 El ánglo formdo por dos rets prlels es 0. El ánglo formdo por dos rets qe se rzn es el formdo por dos prlels ells qe se ortn...- Ánglo qe formn dos rets El ánglo qe formn dos rets se pede determinr medinte ss vetores de direión. Siendo r y v s los vetores de direión de r y s, se mple: r vs os os(r,s) os( r,v s ) 0 ; 0 90 v Not: dos rets serán perpendilres ndo lo sen ss vetores de direión r s Ánglo entre plnos Se llm ánglo formdo por dos plnos sentes l menor de los dos ánglos diedros qe determinn...- Ánglo qe formn dos plnos El ánglo qe formn dos plnos es el mismo qe formn ss vetores normles o el splementrio. ', se m- Siendo n y n ' los vetores normles de y ple qe: os os(, ) ' os(n,n ' ) n n n n ' ' 0 ; Ánglo qe formn ret y plno El ánglo qe formn l ret r y el plno se pede determinr medinte el vetor de direión de r, r, y n vetor norml de, n. r n Se mple: sen os(90 ) n r 7

18 Not: n ret y n plno serán perpendilres ndo el vetor de direión de l ret se prlelo l vetor norml del plno. 4. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: pliiones de los prodtos eslr, vetoril y mixto l állo de distnis, áres y volúmenes. 4. Distni entre dos pntos L distni entre dos pntos P (x, y, z ) y P (x, y, z ) es el módlo del vetor P P. dist(p, P )= P P = x x y y z z 4..- Distni de n pnto n plno Ddo el plno : x+y+z+d=0 y el pnto P(x 0,y 0,z 0 ), l distni del pnto P l plno, d(p, ), se pede otener prtir de l proyeión de QP sore n, siendo Q n pnto lqier del plno y n n vetor norml l plno. Spongmos qe ls oordends de son: Q(,,) QP n (x PP'= QR = proyeión de QP sore n n x 0 y 0 z 0 ( ) 0 ) (y 0 ) (z 0 ) Como Q(,,) pertenee l plno, verifi l eión del plno: +++d=0 y por tnto, ++=-d, sstityendo, otenemos, finlmente: x0 yo z0 d d( P, ) Como el nmerdor es n prodto eslr, pede ser negtivo según P esté n ldo o l otro del plno, y omo lo qe llmos es n distni pondremos siempre el vlor solto Distni entre dos plnos prlelos L distni entre mos se otiene tomndo n pnto lqier de no de los plnos, y llndo l distni de éste l otro plno. Not: Está lro qe si los plnos son oinidentes o se ortn l distni entre mos será ero. 8

19 4.4.- Distni de n pnto n ret Ddo n pnto P y n ret r:(a, ), h es l distni del pnto l ret. Los vetores AP y definen n prlelogrmo, y áre se pede expresr medinte el módlo del prodto vetoril de los vetores, AP y o medinte l onoid fórml se por ltr, donde l se es el módlo del vetor y l ltr es h, es deir Áre = AP = h, de donde despejndo h: h = d(p,r) = AP Distni entre dos rets prlels Se elige n pnto lqier de n de ls rets, y se ll l distni de ése pnto l otr ret Distni mínim entre dos rets qe se rzn Si ls rets r y s tienen por determiniones lineles r(a r, v r ) y s(a s, v s ) respetivmente, onstrimos el prlelepípedo de rists no prlels A r A, v s r, v s. El volmen del prlelepípedo viene ddo por el módlo del prodto mixto A ras,v r, v s o por l onoid fórml áre de l se por l ltr, donde el áre de l se es el módlo del prodto vetoril de los vetores v r, v s ; y l ltr es l distni entre ls rets r y s, es deir: d(s,r) d(, ) d(a, ) h V A ras, v r, vs v r v s h s Donde despejndo h: d(r,s) h ArAs,v r, v s v v r s Distni de n ret n plno prlelo ell 9

20 Dígse omo se pede her. 0