Una introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 Un introducción ls funciones exponenciles y logrítmics Roberto Mitello y Pulo Tiro Ests nots contienen un introducción ls funciones exponenciles y logrítmics, bsd en los conocimientos que el lumno tre de l escuel secundri sobre ls misms. Este enfoque result nturl y tmbién práctico l poyrse en conocimientos previos del lumno y permite disponer de ests funciones l cbo de lguns semns de clse. Otrs presentciones resultn menos trbjoss, pero requieren el uso de series de potencis o integrles y poseen más prerequisitos, obligndo posponer su uso. Por otr prte, si bien este enfoque es clásico, no se lo encuentr desrrolldo frecuentemente en los libros de texto. En est presentción se utilizrán ls propieddes de los números reles, incluyendo el xiom de completitud o xiom del supremo. Su contenido es el siguiente. Primero se introduce l función exponencil x, donde es un número rel positivo fijo y x es progresivmente un número nturl, entero, rcionl y se estblecen ls propieddes básics de l mism. Pr ello se usn fuertemente ls propieddes de l ríz n-ésim de un número rel positivo. Se define luego x pr x R por medio del xiom del supremo. L myor dificultd en est etp es probr l continuidd de x. L función logritmo se introduce como invers de l exponencil, pelndo l teorem de inversión de funciones continus estrictmente crecientes o decrecientes. Ls propieddes básics de log x se deducen de ls de x. El próximo pso y l vez el más difícil, es l determinción de ls derivds de ls funciones x y log x. Pr ello es suficiente l determinción de un de ells, siendo funciones inverss entre sí. En este cso clculremos en primer lugr l derivd de log x. Veremos que este cálculo se reduce determinr los límites lim t ± + t t. L existenci de estos límites es no trivil, unque puede probrse con rgumentos elementles. Al finl se grficn ls funciones x y log x, pr distintos vlores de. FMAF, Universidd Ncionl de Córdob y CIEM, CONICET. 23

2 Potencis y Ríces. Potencis nturles Definición.. Ddos números reles,..., n, denotmos por n l producto de los mismos. Por l propiedd socitiv en R,., result indistinto el modo en que se soci pr hcer l multiplicción. i n, escribimos n = }..{{.... }. n Si, b son reles positivos y m, n N, tenemos que m n = m m } {{ } n Si i =, pr todo = = mn ; e } {{ } } {{ } N m m } {{ } n m. n = }.{{.. } }.{{.. } = }..{{.... } = m+n ; p N m n m+n b n = b... b = } {{ } }.{{.. } b }.{{.. } b = n.b n. d N n n n Ests propieddes se verificn usndo l socitividd y conmuttividd del producto de números reles..2 Ríces n-ésims Ddos un número rel y un nturl n, un ríz n-ésim de es un número rel s tl que s n =. No siempre existe tl s, por ejemplo, si n es pr y negtivo. Notemos tmbién que si n = 2, no existe ningún s rcionl tl que s n = 2. Sin embrgo, si > 0, veremos que siempre hy un s rel tl que s n =. L existenci de ríces n- ésims se prueb con el uso del xiom de completitud de los números reles, propiedd que los distingue de los números rcionles. 24

3 Definición.2. Ddo un subconjunto A R, se dice que: i A es cotdo superiormente resp. cotdo inferiormente si existe M R tl que M x resp. M x pr todo x A. Se llm M un cot superior resp. inferior de A. ii s es un supremo resp. ínfimo de A si s es un cot superior resp. inferior de A y b pr s un cot superior resp. inferior de A, se tiene s s s s. O equivlentemente, si ɛ > 0, x A tl que 0 s x < ɛ resp. 0 x s < ɛ. Es fácil ver que el supremo y el ínfimo de un conjunto, si existen, son únicos. Observción. Un conjunto A R es cotdo inferiormente si el conjunto A = {x R : x A} es cotdo superiormente y t es el ínfimo de A si y sólo si t es el supremo de A verificr. Axiom de Completitud. Todo subconjunto no vcío de números reles cotdo superiormente resp. inferiormente, tiene supremo resp. ínfimo. Proposición.3. Pr todo > 0 y n N, existe un único número rel s > 0 tl que s n =. Si < 0 y n es impr, existe un único número rel s tl que s n =. Prueb. Vemos primero el cso > 0. Consideremos el conjunto A = {x R, x > 0 : x n }. Ls propieddes de los números reles implicn que A es no vcío verificr. Afirmmos que A es cotdo superiormente. En efecto, si, M = es un cot superior, pues si x > result x n > n, luego se tiene que x A. En el cso en que 0 < <, se tiene que / es cot superior pues si x > /, result x n > / n > > lo cul implic que x A. En consecuenci, por el xiom de completitud se sigue que el conjunto A posee un supremo s > 0. 25

4 A continución demostrremos que el supremo s del conjunto A necesrimente stisfce s n =. Pr ello veremos que tnto l desiguldd s n > como l desiguldd s n < llevn un bsurdo. Supongmos primero que s n > y sen δ = s n > 0 y 0 < ɛ < min{ δ ns, }, donde S = máx{ n i s n i : i = 0... n}. Así tenemos que n n s ɛ n = i ɛ i s n i i i=0 = s n + i=pr>0 i=impr n i ɛ i s n i i=impr n ɛ i s n i. i Luego, como ɛ <, ɛ i < ɛ pr i 2 y s ɛ n > s n n ɛ i s n i > δ ɛns > δ δ = 0. i Es decir s ɛ n >, lo cul contrdice el hecho de ser s supremo de A. Por lo tnto s n. Supongmos hor que s n < y sen δ = s n y 0 < ɛ < min{ δ ns, }, donde S = máx{ n i s n i : i = 0... n}. Luego se tiene s + ɛ n = s n + n i= n ɛ i s n i i < δ + ɛns < δ + δ = 0. Por lo tnto s + ɛ n <, es decir s + ɛ A, contrdiciendo el hecho de ser s el supremo de A. Por lo tnto concluimos que s n =, como se hbí firmdo. Con respecto l unicidd, supongmos que s, t son números reles positivos y s t. Si s < t resp. s > t se sigue de l monotoní del producto que s n < t n resp. s n > t n pr todo n N, luego, s n t n. Finlmente en el cso < 0 y n impr, como > 0, por el cso nterior existe s tl s n =. Siendo n impr, = n y luego s n = n s n = 26

5 s n =. Es decir, s es ríz n-ésim de. L unicidd se prueb de mner nálog l cso > 0 y qued como ejercicio..3 Potencis enters Ls siguientes observciones sugieren l definición que buscmos pr 0 y m si pretendemos mntener ls propieddes formles e N, p N, d N válids pr exponentes nturles: p Z = 0. = 0+ = = 0 = ; p Z =. = + = 0 = = = ; e Z = m = m = m. Por lo tnto es nturl dr l siguiente definición. Definición.4. Ddos un número rel positivo y un nturl m, definimos 0 := ; := ; m := m. En prticulr vle que m = m, pues m. m = }.{{.. }. }.{{.. } = m m... =. No es difícil verificr que, con ests definiciones, vlen } {{ } m ls siguientes propieddes pr exponentes enteros. Si, b son reles positivos y m, n Z, entonces m n = mn ; e Z m. n = m+n ; p Z b n = n.b n ; d Z m = m. i Z Ls propieddes e Z, p Z y d Z son ls misms propieddes e N, p N y d N enuncids pr exponentes enteros. Es decir, hemos extendido l definición de n junto con l vlidez de ls propieddes básics que tenímos. 27

6 Antes de seguir delnte verificremos, modo de ejemplo, l propiedd e Z. Si m, n N, ést se cumple por e N. Supongmos que m Z, m < 0 y n N. Entonces, usndo l definición de potencis enters y l propiedd e N se tiene: m n = m n = m n = m n = mn = mn. Notmos que sólo hemos usdo que m = m pr culquier entero m, l definición de n con n N y l propiedd e N. Supongmos hor que n Z, n < 0 y m es culquier entero. Entonces, m n = m n = m n = mn = mn. Dejmos como ejercicio útil l verificción del resto de ls propieddes..4 Potencis rcionles Nuestro objetivo es definir x pr todo pr de números reles > 0, x R. Esto nos llev en primer lugr intentr definir q pr culquier número rcionl q = m n. Definición.5. Ddos un número rel > 0 y q = m n definimos q := n m. Q, con n N y m Z, donde n denot l ríz n-ésim positiv de. Ddo que l expresión de un número rcionl como cociente de enteros no es únic, debemos verificr primero l buen definición de q. Supongmos que q = m n = r t. Vemos que m r n y t son ríces tn-ésims positivs de b = mt = rn. En efecto, elevndo mbos números l potenci un tenemos m tn mtn n mt n = n = n = mt = b; t r tn rtn t rn = t = t = rn = b. 28

7 Esto implic, por l unicidd de ls ríces, que mbos son igules, probndo l buen definición. Lem.6. Si > 0, n, t N y m Z, entonces n t = nt, n m = m n. 2 Prueb. Por l unicidd de ríces n-ésims positivs, bst probr que los dos miembros de son ríces nt-ésims de. El de l derech lo es por definición y pr el de l izquierd tenemos n t nt = n t t n = n n =, donde l primer iguldd se sigue de e Z. En el cso de 2, mbos miembros son ríces n-ésims de m. En efecto, m n mn n = n por e Z, n m = n por ez, = m por definición. Proposición.7. Sen, b reles positivos y p, q rcionles. Entonces vlen ls siguientes propieddes: p q = pq ; e Q p. q = p+q ; p Q b q = q.b q ; d Q q = q. i Q 29

8 Prueb. Vemos en detlle l vlidez de e Q. Si p = m n y q = r t, entonces m r n t = n r m t por l definición 2 veces, = = m r t n mr t n por 2, por e Z, = mr n t por 2, = nt mr por, = mr nt = pq. por definición, Pr probr p Q elevmos mbos miembros l producto nt y usmos e Q. Por un ldo tenemos m n r t nt = m nt n r nt t = mt rn = mt+rn, y por el otro mt+rn nt = mt+rn, lo cul implic p Q, por l unicidd de l ríz positiv nt-ésim de mt+rn. De e Z se sigue que l ríz s-ésim del producto b es el producto de ls ríces s-ésims de y de b. Por lo tnto, b q = b r t = r t b t = r t b t i Q. = q b q. Finlmente como q. q = 0 =, entonces q = q lo que prueb r 30

9 2 Exponenciles y Logritmos De cuerdo lo hecho en l Sección, tiene sentido elevr un número rel > 0 un exponente rcionl culquier q. Est operción stisfce tods ls propieddes usules de l potencición e Q, p Q, d Q, i Q. Esto nos permite considerr l función potencil de exponente q, x x q : R >0 R >0 y tmbién, ddo un > 0 fijo, considerr l función exponencil de bse x : Q R >0. L segund, por hor, está sólo definid sobre los rcionles. Est función se puede extender todos los reles de mner de obtener un función con muy buens propieddes, por ejemplo derivble e invertible. A est extensión se l conoce como función exponencil de bse y su invers como el logritmo en bse. Ests funciones son fundmentles en nálisis y su definición es no completmente trivil. Hy vris mners de introducirls que requieren distintos conocimientos previos y más o menos trbjo según el cso. En est sección definimos l exponencil de exponente rel como l únic extensión continu de l exponencil de exponente rcionl, pr luego introducir el logritmo como su invers. 2. Extensión de ls potencis rcionles En l Sección, hemos extendido quell primer definición de potencis de números reles con exponentes nturles exponentes rcionles, bsdos en l existenci de ríces n-ésims, l que su vez es consecuenci del xiom de completitud. El siguiente pso consiste en extender l definición exponentes reles rbitrrios. El proceso de definición involucr nuevmente el xiom de com- 3

10 pletitud de los números reles, que permitirá extender el dominio de definición de l función exponencil de Q R por continuidd. Primermente probremos lguns propieddes de l función q q, q Q, pr > 0 fijo. Se tiene que q > 0 pr todo q Q, y más un, si > se tiene que q >. Esto es consecuenci direct de l definición y de que ls potencis nturles y ls ríces n-ésims tienen ests propieddes verificr. Proposición 2.. Se > 0. i Si > resp. < q q es estrictmente creciente resp. decreciente. Si = se tiene q = pr todo q. ii lim q + q +, si > ; 0, si > ; = y lim q q = 0, si < ; +, si <. iii L función q q es continu. Prueb. En primer lugr demostrremos i pr >, dejndo como ejercicio el cso <. Si 0 p = m n < q = r, entonces mt < rn en N. Tenemos sí t que mt < rn mt nt < rn nt m n < r t como queremos. Si p < 0 q, entonces p = p < q pues p >. Si p < q 0, entonces 0 q p y q < p, luego multiplicndo mbos miembros por p+q > 0 result p < q, lo que prueb i. Psemos hor ii. Si n N, q > n y = + α >, entonces q > n = + α n > + nα, que es rbitrrimente grnde si n es suficientemente grnde, lo que prueb que lim q + q = +. Por otro ldo lim q q = lim q q = lim q + q = 0. Ahor, si <, entonces > y por lo tnto lim q + q = lim q = lim q = 0. q + q 32

11 Análogmente se ve que lim q q = +, si <. Por último probmos iii. Debemos mostrr que si q q 0, entonces q q 0 o se que q q 0 0. Pero q q 0 = q 0 q q 0, por lo tnto tomndo h = q q 0, vemos que bst ver que h 0, si h 0. Si ɛ > 0, sbemos que + ɛ n > + nɛ > pr n suficientemente grnde, digmos n n 0 ; luego si 0 < h <, tenemos que n 0 h < n < + ɛ n /n = ɛ. Similrmente, si n < h < 0, entonces 0 h < n y por lo tnto h = h h < ɛ, pues h y h < ɛ h > 0. Esto complet l prueb de l continuidd. Vemos lgunos gráficos de l función q q pr lgunos vlores de. /2 q 2 q -2 2 Gráficos de 2 q y q, con q rcionl, q [ 2, 2]. 2 A continución definiremos x pr x R. Est es l primer vez en l que deberemos distinguir los csos > y <. Esto es sí por el punto i de l Proposición 2.. Definición 2.2. Se > 0 y x R. Si definimos x := sup{ q : q Q, q x}. 33

12 Si definimos Notr que result x, pr todo x. x := inf{ q : q Q, q x}. De hor en más, deberemos siempre tener en cuent l distinción de estos dos csos, que unque distintos, resultn completmente nálogos. Lem 2.3. Se x R. i Si >, sup{ q : q Q, q x} = inf{ q : q Q, x q }. ii Si 0 < <, inf{ q : q Q, q x} = sup{ q : q Q, x q }. Prueb. Clrmente, vle l desiguldd sup inf en i y ii. Ahor bien, si en i tuviérmos sup < inf, existirí ɛ > 0 tl que sup{ q : q Q, q x} + ɛ < q, pr todo q x. 3 Tomemos, pr cd n N, números rcionles q n, q n tles que q < < q n x, q > > q n x, y sup n N {q n } = inf n N {q n} = x, entonces se tiene que q n q n 0 y por lo tnto q n q n, por continuidd de q q en q = 0. Ahor bien, por 3, pr todo n N tenemos q n q n = q n q q n ɛ n sup{ q > + n : n N} sup{ q = + ɛ ɛ > 0, n : n N} lo cul es imposible pues q n q n, si n. A continución resumiremos en un teorem ls propieddes principles de l función x, x R, nálogs ls de q, con q Q. Teorem 2.4. Se > 0. L función de vrible rel x : R R >0 es continu, estrictmente creciente si >, idénticmente si = y estrictmente decreciente si < y se tiene que +, si > ; lim x + x = 0, si < ; y 34 lim x x = 0, si > ; +, si <.

13 Además si b > 0, vlen ls siguientes propieddes pr todo x, y R: x y = xy ; e R x. y = x+y ; p R b x = x.b x ; d R x = x. i R Prueb. Ddo que q > 0 pr todo q Q, se sigue de l definición que x > 0 pr todo x R. Además si x < x 2, existe q Q tl que x < q < x 2 ; es fácil ver, usndo l definición y l densidd de Q en R, que x < q < x 2. Vemos l continuidd de x. Ddo ɛ > 0, existe q Q tl que q < x y x q < ɛ y por el Lem 2.3 existe q Q tl que x < q y q x < ɛ. De quí result que si x [q, q ], entonces x x < ɛ. Si = + α con α > 0, tenemos pr n N n = + α n > + nα. Luego, si x > n, se tiene que x > n > + nα, que es rbitrrimente grnde si n es suficientemente grnde. Así lim x + x = +. Ahor bien, lim x x = lim x x = lim x + x = 0. Si <, entonces / > y por lo tnto x = x = x ; pero hor estmos en el cso nterior teniendo en cuent que cundo x ±, x. Consideremos hor l propiedd e R. Se q Q q fijo y compremos ls funciones de vrible rel x x q y x xq. Ambs son continus en R por ser composición de funciones continus y mbs coinciden pr todo x Q; luego, por continuidd, son idéntics pr todo x R, es decir x q = xq, q Q, x R, 4 Se hor y R fijo y consideremos ls funciones x y y xy. Como cbmos de ver, se tiene x y = xy, pr todo y Q, luego, por continuidd se concluye l iguldd pr todo y R. Esto prueb e R. 35

14 Pr verificr p R fijmos y, primermente en Q y luego en R, y comprmos ls funciones x x y y x x+y. Si y Q, ests son, nuevmente, funciones continus en R que coinciden pr todo q Q por 4, luego coinciden pr todo x R. L demostrción se complet comprndo ls misms funciones pr y R, y fijo. L prueb de d R es similr l dd en los dos puntos nteriores. Finlmente i R se sigue de p R tomndo x = x y x 2 = x y usndo que 0 =. 2.2 El logritmo como invers de l exponencil Ddo un número rel > 0, hemos definido x pr todo x R y hemos visto que l función x : R R >0 es continu, estrictmente creciente resp. decreciente si > resp. < y tiene como imgen todos los reles positivos Teorem 2.4. Un función con ests propieddes tiene un invers continu definid en R >0 y con imgen R. Definición 2.5. Ddo R, > 0, se define el logritmo en bse, log : R >0 R, como l función invers de l función exponencil x x. Se sigue directmente de l definición que log x = x, x R 0, log x = x, x R, y en prticulr log = 0 y log =. De ls propieddes de x resultn ls siguientes propieddes pr el log x. 36

15 Teorem 2.6. Se > 0. L función log : R >0 R es continu, estrictmente creciente si >, estrictmente decreciente si < y lim log +, si > ; x = y lim x + log, si > ; x 0, si < ; + x = +, si <. Además, pr todo b > 0, vlen ls siguientes propieddes, pr x, y R >0 : log xy = log x + log y; log x b = b log x; log x y = log x log y. Este teorem es el nálogo del Teorem 2.4 pr ls funciones logrítmics. El mismo se sigue de quél y de ls propieddes de l invers de un función continu y monóton. A modo de ejemplo, verifiquemos l identidd log xy = log x + log y. Si denotmos α = log x + log y y clculmos α = log x+log y = log x log y = xy, podemos concluir, por l inyectividd de x, que α = log xy. Dejmos el resto de l demostrción como ejercicio pr el lector. Ejercicio 2.7. Escribir l prueb complet del Teorem 2.6. Proposición 2.8 Cmbio de bse. Sen, b > 0. Entonces pr todo x > 0 vle log x = log b x log b. Prueb. Tomemos α = log b log x y usndo ls definiciones de log b y log evluemos b α = b log b log x = b log b log x = log x = x. Por otro ldo como b log b x = x, se sigue que α = log b x y de hí l proposición. 37

16 Presentmos continución lgunos ejemplos y ejercicios que nos yudrán fmilirizrnos con ests nuevs funciones. Hcemos hincpié en que sólo usremos ls definiciones y ls propieddes vists hst el momento. Ejemplo 2.9. Qué número es myor, log ó log ? Qué contestrí usted ntes de clculr? Pr poder comprr mbos números primero cmbimos l bse del segundo logritmo; Ahor clculmos log = log log 0 00 log = log log = log = log log = log = log ; hor es clro que el primero es menor que el segundo, es decir Ejercicios 2.0. Clculr: log > log log 0 2,3 3 ; b log 3 27; c log 2 2 ; d log 5 ; e log log 2 log , Ejercicio 2.. Dr el intervlo entero [n, m] más chico que contiene l número log 0 c0 23 pr culquier constnte c, con c 00. Ejercicios 2.2. Decidir cuáles de los siguiente números son positivos y cuáles negtivos. 2 log log 2 2; b log /2 3 + log /

17 2.3 Ls derivds de l exponencil y el logritmo Tenemos y definids l exponencil x y el logritmo log x. Ambs son funciones continus, cd un invers de l otr. El próximo objetivo es ver que mbs funciones son derivbles y clculr sus derivds. Bstrá clculr l derivd de un de ells, que en nuestro cso será log x, pues l derivd de l otr se obtiene usndo l expresión de l derivd de l función invers esto es, f x = /f f x. Se tiene d dx log log x = lim x + h log x 5 h 0 h x + h = lim h 0 h log 6 x = x lim log + h x h, 7 h 0 x donde x R 0 y h es suficientemente pequeño positivo o negtivo de modo que log x + h esté definido. Pr clculr este límite necesitremos resultdos dicionles. Proposición 2.3. L sucesión n := + n n es creciente y n < 3, n N. L sucesión b n := + n n+ es decreciente. Además, pr todo n N se tiene n < b n y b n n < 3 n Prueb. Desrrollndo el binomio tenemos n = + n nn nn n n 2 n2 6 n = n n. n! n n n n 8 39

18 Similrmente n+ = n! + n +! +... n + n + n + 2 n + n + 2 n + n n n + n n + Observmos que en mbos csos los dos primeros términos son igules y que si n 2, cd uno de los términos de n+ es myor que el correspondiente de n ; demás n+ tiene un sumndo positivo más. Se concluye entonces que n < n+, es decir l sucesión { n } es estrictmente creciente. Por otro ldo, usndo l muy conocid serie geométric, tenemos que pr todo n N n < n! < n < 2 + = 3. A continución mostrmos que l sucesión b n es estrictmente decreciente, probndo que b n >, pr todo n 2. Tenemos que b n b n n = b n n 2 n n + = + n n n 2 n + + n n n 2 n + > + n n n + =, n 2n donde l primer desiguldd se sigue pues + n > + n, pr todo n 2 si > 0. Finlmente, es clro que b n n = n últim firmción.. n n = n n < 3, lo que prueb l n Definición 2.4. Se e el número rel definido por e := sup + n = inf + n N n n+ 9 n N n 40

19 Not. Se sigue de l proposición nterior que e está bien definido y coincide con los límites de ls sucesiones n y b n. L mism proposición implic que e < 3 y que pr todo n, vle l desiguldd e + n < 3 0 n n Est desiguldd permite obtener proximciones preciss de e. tbl muestr lgunos vlores de ls sucesiones n y b n. L siguiente n n n n n A prtir de est tbl podemos segurr que < e < , esto es, menos de un error menor que tenemos e = Se prueb que e es irrcionl y su vlor proximdo es e L notción e fue usd por primer vez por el mtemático suizo L. Euler 727. Si se tom = e se llm log e x logritmo nturl de x y se denot ln x. Pr clculr l derivd del logritmo necesitremos un resultdo dicionl, consecuenci de l Proposición 2.3. Teorem 2.5. Pr todo x R, lim t ± x t + = e x. t Prueb. Hciendo el cmbio de vrible t = ux vemos que el límite nterior es igul lim t ± + t t x, por lo cul bst probr l firmción pr x =. 4

20 Tomemos t R, t > 0; se tiene [t] t < [t] +, donde [t] es l prte enter de t. Clrmente tenemos ls siguientes desigulddes: + [t] + t + [t]+, t > 0. 2 [t] + t [t] Ahor escribimos + [t] = [t] + De l identidd nterior se sigue que escribimos + [t] + [t]+ + [t]+. [t] + + [t]+ [t].e = e, si t +. Ahor [t]+ = + [t] + + [t] [t] [t] [t], [t]+ de donde se sigue que + [t] e, si t +. Por lo tnto, de 2, concluímos que lim t + + t t = e. Análogmente, si reemplzmos t por t donde t > 0 se tiene Como t t = t t = t t t = + t +. t t t t + t e y + t si t +, se sigue que Esto concluye l prueb del teorem. lim t = e. = e. t t Ahor y estmos en condiciones de clculr l derivd del logritmo. Teorem 2.6. Se tiene que i log x = x ln ; ii x = e x ln ; 42

21 iii ln x = x y e x = e x. Prueb. Usndo el teorem y hciendo x h = t, result log x = x lim log + h x h h 0 x = x lim t ± log = x log e. + t t corresponde + si h > 0h < 0 Esto muestr que log x = x log e y como log e = ln e ln, se sigue l primer prte. L derivd de l función x, invers de log x, es x = log x x = x ln = x ln. L tercer prte sigue de inmedito de ls nteriores tomndo = e. Notr que si = e, result ln x = x. 2.4 Los gráficos de x y log x Si 0 < <, entonces x > y x = ; por lo tnto el gráfico de x se x obtiene prtir del gráfico de reflejándolo respecto l eje verticl x = 0. En generl los gráficos de fx y f x son, pr culquier función f, uno el reflejdo del otro. Por esto nos concentrremos en el cso >. Por otro ldo sbemos que si f y g son un l invers de l otr f g = id y g f = id, entonces sus gráficos son uno el reflejdo del otro respecto de l digonl principl y = x. Por esto estudiremos los gráficos de ls funciones x, con >. Adem s, obtendremos los gráficos de x con <, log x con > y log x con < por reflexión de los nteriores. El Teorem 2.4 nos brind informción útil pr grficr x pr un ddo que junto con l informción que nos d su derivd serán suficientes nuestro fin. 43

22 Además grficremos en un mismo gráfico comprtivo, pr distintos vlores de, ls distints funciones x. En l siguiente proposición encontrremos l que necesitmos. Proposición 2.7. Sen > b > y 0 < x R fijo. Entonces i x > b x, pr todo x > 0; ii x < b x, pr todo x < 0; iii x, si ; iv x, si ; v x 0, si. Ejercicio 2.8. Escribir l prueb de est proposición. Tods ls funciones exponenciles y logrítmics son convexs o cóncvs. Esto se sigue fácilmente observndo sus segunds derivds: x = x ln 2 ; log x = x 2 ln 2. Luego, x es convex cóncv hci rrib culquier se > 0 y log x es cóncv hci bjo culquier se > 0. El siguiente lem greg un dto más que d más precisión nuestros gráficos. Lem 2.9. Se >. El gráfico de x no cort l digonl principl y = x si > e /e ; es tngente dich digonl si y sólo si = e /e y l cort dos veces si < e /e. Prueb. Comenzmos por determinr el pr el cul el gráfico de x es tngente l digonl, es decir l gráfico de x. Decir que los gráficos de dos funcions son tngentes en un punto es lo mismo que decir que ls dos funciones coinciden 44

23 en ese punto y que sus derivds tmbién coinciden en ese punto. Por lo tnto buscmos tl que x = x, x ln =. Reemplzndo en l segund x por x result x =. Volvemos l primer ln y tenemos ln = ln ; pero ln = e ln ln = e ln ln = e. Por lo tnto e = ln y ln = e, luego = e/e. El resto se sigue de l proposición nterior. Con todo lo visto estmos en condiciones de hcer un gráfico culittivo de diverss funciones exponenciles y logrítmics. 4 x e x e /e x.4 x /2 q 2 q.2 x.05 x -2 2 Gráfico comprtivo: x pr distintos vlores de >. 45

24 /4 x 4 x /e x e x e /e x 4 x e /e x e x e /e x.4 x /.2 x /2 q 2 q.2 x.2 x.05 x -2 2 Gráfico comprtivo: x y / x pr lgunos vlores de >. e x log.2 x /4 x 4 x /e x e x log e /e x e /e x 4 x e /e x e /e x /.2 x /2 q 2 q e x e /e x.4 x.2 x ln x.2 x.2 x.05 x -2 2 Gráfico comprtivo: x y log x pr lgunos vlores de >. 46