Modelo matemático multivariable para un proceso de enfriamiento industrial de sólidos en cilindros rotatorios horizontales

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1 nrgética Vol. XXVIII, No. /007 TRABAJOS TEORICOEXPERIMENTALES Modlo matmático multivariabl ara un rocso d nfriaminto industrial d sólidos n cilindros rotatorios horizontals Evr Góngora Danil Guzmán Ángl O. Columbié Scundino Marrro Yoalbys Rtirado Rcibido:Julio dl 007 Arobado:Stimbr dl 007 Rsumn / Abstract En l rsnt trabajo s rsntan los rsultados rlacionados con la modlación matmática dl rocso d nfriaminto d sólidos n cilindros rotatorios horizontals. S xonn las cuacions qu conforman l modlo y la fundamntación cintífica sobr la cual furon obtnidas. La modlación s basa rincialmnt n l lantaminto d las cuacions dl balanc nrgético n forma dinámica, d lo cual s obtin un sistma d cuacions difrncials n drivadas arcials, qu s comlmntan con otras qu stablcn la rlación ntr los coficints y arámtros físicos. Palabras clav: Modlación matmática, nfriadors cilíndricos rotatorios, minral rducido Th rsnt work shows th rsults or th authors rlatd with mathmatical modlling th rocss of cooling of rducd minral in th rotary horizontal coolr; Equations that conform th modl and its scintific fundamntals ar xosd. Th modlling is basd, mainly, in th stablishmnt of th nrgtic balancs in th dynamic way, that carris to obtainmnt of a artial drivats diffrntial quations systm, which is comlmntd with othr algbraic quations that stablish th rlation btwn th diffrnt cofficints and aramtr. Ky words: Mathmatical modlling, rotary horizontal coolr, rducd minral INTRODUCCIÓN Para fctuar l control dl rocso d nfriaminto d sólidos rsulta ncsaria su modlación matmática tomando n considración l objto o quiaminto n l cual ocurr st. Para dicho studio s ha slccionado l nfriador cilíndrico rotatorio horizontal, l cual s un objto d lvado grado d comljidad, dsd l unto d vista d la transfrncia d calor. Por sus caractrísticas constructivas y tcnológicas, l modlo matmático db conformars n drivadas arcials, or sr st un objto qu ud considrars como d arámtros distribuidos dbido a su gran rlación largo/diámtro (0/,08). En st trabajo s lanta como objtivo, ralizar la modlación matmática dl rocso d nfriaminto d un sólido n l nfriador cilíndrico rotatorio, considrándolo como un objto con arámtros distribuidos, similar a lo analizado,4 ara un horno d calcinación d minral. MATERIALES Y MÉTODOS S hac ncsario rimramnt, stablcr las variabls d ntrada, d salida y las rturbacions

2 6 dl rocso, a artir d lo cual s ud stablcr un conjunto d cuacions mdiant l balanc d nrgía, qu rmitan rdcir l comortaminto d la tmratura dl sólido a la salida d los nfriadors cilíndricos rotatorios. 4 Tomando como unto d artida l rinciio fundamntal d consrvación d la nrgía, ya antriormnt mlado,,4 s ud obtnr la xrsión matmática qu srvirá como cuación d balanc (). x, t C A dx C m x, t x dx, t K dx x, t P x, t... () t m ntrada m salida m m ntrada, m salida :Flujo d sólido qu ntra y sal dl nfriador (kg/s)., P :Tmratura dl sólido y d la ard (K). C: Calor scífico dl sólido (kj/kg K). : Dnsidad dl sólido (kg/m ). A: Scción transvrsal dl sólido (m ). K : Coficint surficial d transfrncia d calor dl sólido a la ard or unidad d longitud (W/m K). En la xrsión () l mimbro izquirdo caractriza la vlocidad d variación d la tmratura n l timo t dl lmnto d matrial dx; l rimr mimbro d la drcha rlaciona l calor qu ntra con l flujo d matrial al lmnto dx y l calor qu sal con l matrial; l trcro y cuarto términos son l calor ntrgado or l matrial a los gass y a la ard dl cilindro rsctivamnt sgún la ly d Nwton. El ára d la scción transvrsal dl sólido sgún la xrsión (), dsarrollada sta dada or: A Ri... () R i : Radio intrior dl cilindro (m). D aquí s ncsario dtrminar l ángulo (), mostrado n la figura, sgún la cuación (). m R i V m...() V m : Vlocidad dl sólido (m/s). Rrsntación dl ángulo, con rscto al diámtro vrtical y al ára qu ocua l sólido dntro dl cilindro.

3 La vlocidad dl sólido, sgún la xrsión dsarrollada or Diomidovskiy D.A., qu aarc n la rfrncia, s calcula mdiant la cuación (4) 7 V m 5,78D n...(4) i : Ángulo d inclinación dl cilindro n grados. n : Vlocidad d rotación (/s). Para dtrminar l coficint K s tinn n cunta las formas d transfrncia d calor rsnt n l nfriador d sólido. El calor dl sólido a la ard s transmit or conducción, convcción y radiación dl sólido a la ard cubirta y dl sólido a la ard dscubirta or radiación. Para l rimr caso l coficint d transfrncia d calor ud dfinirs or la cuación (5), sgún las rfrncias 5 y 6. cs k C n s 4 s 4...(5) cs : Coficint d transfrncia d calor dl sólido a la ard cubirta or l sólido (W/m K). : Constant d Stfan-Bolztman. k : Coficint d no-uniformidad d la tmratura dl sólido. : Conductividad térmica dl sólido (W/m K). n : Vlocidad d rotación dl nfriador (s- ). : Masa (a granl) dl sólido (kg/m ). : Emisividad d la ard. : Emisividad dl sólido. Para l sgundo caso l coficint d transfrncia d calor ud dfinirs or la cuación (6). ds s...(6) ds : Coficint d transfrncia d calor dl sólido a la ard no cubirta or l sólido (W/m K). Para calcular l coficint surficial d transfrncia d calor dl sólido a la ard or unidad d longitud dl cilindro s mla la cuación (7) y las cuacions (8 y 9) ara las rsctivas áras d transfrncia d calor. K A A cs cs ds ds...(7) Di A cs...(8) 60 A ds Di...(9) 60

4 8 A cs : Ára d la ard cubirta or l sólido (m ). A ds :Ára d la ard dscubirta or l sólido (m ). Así la xrsión () toma la forma d la cuación (0). x, t x, t C A C m K, t x x, t K x t...(0) Dl balanc térmico ara la ard, sgún la cuación difrncial d la conducción s obtin la xrsión () C Mdx CM t a x K dx K dx....() C :Calor scífico d la ard (kj/kg K). M :Masa d la ard (kg/m). ma : Tmratura dl mdio (K). : Tmratura dl n la iscina (K). a : Coficint d tmratura (m /s). K : Coficint d transfrncia d calor a través d la ard dl horno or unidad d longitud al d la iscina (W/m K). Para dtrminar l coficint d transfrncia d calor K, s tinn n cunta los modos d transfrncia d calor or conducción y convcción, rsolviéndos a través d la cuación (). K Ri ln R carca ca c. D ca sat. D...() Para dtrminar l ára dl nfriador qu stá sumrgida n l, s dsarrolló la cuación () ca cos R 80º H...() H :Altura dl d la iscina d nfriaminto con rscto al nfriador (m). En la solución d la cuación () s ncsario calcular l coficint d transfrncia d calor or convcción al c., y l númro d Rynolds. Considrando qu l nfriador s muv a baja vlocidad y qu st l transmit l moviminto al fluido, s asum qu la vlocidad dl fluido s aroximadamnt igual a la dl nfriador, lo cual stá n corrsondncia con la conclusión rfrida a la vlocidad ara la convcción n flujo d coht. 5

5 9 El númro d Rynolds ( R D ) s obtin or la xrsión (4) R D v D v D...(4) : Dnsidad dl fluido (kg/m ). v : Vlocidad dl fluido (m/s). D : Diámtro xtrior dl nfriador (m). : Coficint dinámico d viscosidad (N s/m ). : Coficint cinmático d viscosidad (m /s). El valor d la vlocidad dl fluido s calcula or la cuación (5) v n R 0...(5) Sustituyndo la cuación (5) n la (4) s calcula l númro d Rynolds, n función dl númro d rvolucions, a través d la cuación (6) n D n D R D...(6) Esta xrsión dl Rynolds s combina con la corrsondint al númro d Nusslt a través d la cuación (7) N ud c. D C m R P D r...(7) c.gua : Coficint d transfrncia d calor or convcción d la ard sumrgida n la iscina al (W/m K). N ud : Númro d Nusslt. : Conductividad térmica dl fluido (W/m K). C y m : Constants ara flujo or l xtrior d cilindros (adimnsionals). P r : Númro d Prandtl. Dsjando ( c. ) d la cuación (7), s ud xrsar como: m C R D Pr c....(8) D El c. obtnido s sustituy n la cuación () ara calcular l coficint d transfrncia d calor a través d la ard dl cilindro or unidad d longitud al d la iscina.

6 0 Como s lantó antriormnt s ncsita conocr l ára d la surfici no sumrgida n l, con st objtivo s dsarrolló la cuación (9) da 60º cos 80º H R...(9) En sta zona l rocso d transfrncia d calor ocurr dsd la surfici xtrior dl tambor, hacia la lícula d qu s ncuntra n la surfici xtrior no sumrgida n la iscina, ara llo l flujo d calor s transfir or bullición d la lícula d. Para ralizar l cálculo dl coficint d transfrncia d calor or convcción d la surfici dl nfriador qu no stá sumrgida n la iscina, s tuvo n cunta la transfrncia d calor or bullición y or convcción al air. Primro s dtrmina l coficint d convcción or bullición sat. d la ard a la lícula d qu cubr a la zona no sumrgida n la iscina, rocdindo como sigu: S calcula l flujo d calor or unidad d ára ( q s" ), sgún la cuación (0) obtnida or Rohsnow, sgún la rfrncia 5. q g, " l C L T v s f hfg n s Cs, f hfg Pr, L...(0) f : Viscosidad (N s/m ). h fg : Calor latnt d vaorización (kj/kg). g : Constant d la gravdad (m/s ). l y v : Dnsidad dl líquido y l vaor rsctivamnt (kg/m ). s : Tnsión surficial (N/m). C, L : Calor scífico dl líquido (kj/kg K). T : Difrncia d tmratura ntr la surfici xtrior y la tmratura d saturación a la rsión d trabajo (K). C s, f y n : Constants adimnsionals qu stán rstablcidas d acurdo con la combinación (surfici-fluido) xistnt. Dsués d stablcr la xrsión ara l cálculo dl flujo d calor or unidad d ára y conocindo qu sta variabl ud sr rlacionada n función d la cuación () q su rf sat sat T s" sat.....() sat. : Coficint d transfrncia d calor or convcción d la ard no sumrgida n la iscina al (W/m K). Sat : Tmratura d saturación dl a la rsión d trabajo (K). S dsja l coficint d transfrncia d calor or convcción sat..

7 sat. q T s" h f fg g l v T C Cs, f, L h T fg P n r, L...() Rsolvindo la cuación () s obtin la cuación () C M t C M a x K K K...() K...(4) K K Dl balanc térmico ara l, sgún la cuación difrncial d la conducción rsulta: C A dx t ) C m t ) Cm t K ( ) dx K 4( air ) dx ( x dx, t )...(5) : Dnsidad dl (kg/m ). C : Calor scífico dl (kj/kg K). A : Ára ocuada or (m ). m : Flujo d (kg/s).,, air : Tmratura dl y dl air (K). K 4 : Coficint surficial d transfrncia d calor dl al mdio or unidad d longitud (W/m K). Para dtrminar l coficint d transfrncia d calor or convcción dl al mdio s ncsario tnr n cunta la cantidad d calor qu s transfir or vaoración dl. La nrgía xigida ara la vaoración rovin d la nrgía intrior dl líquido qu tra consigo rduccions n la tmratura dl mismo. Alicando la ly d consrvación d nrgía a un control d surfici sobr l líquido, s obtin la xrsión (6) q q q...(6) conv add va Al no xistir adición d otros mdios, la cuación (6) s rduc a un quilibrio ntr la transmisión d calor or convcción dl gas y l calor rdido or vaoración dsd l líquido, rrsntada n la cuación (7) q...(7) conv q va Dond l flujo d calor or vaoración ud calculars como l roducto d flujo d masa d vaorado y l calor latnt d vaorización, cuación (8).

8 q n h...(8) va A fgv na : Flujo d qu s vaora (kg/s). El flujo d qu s vaora s dtrmina sgún la cuación (9). n A h m ( A, sat A, h m )...(9) : Coficint d transfrncia d masa (m/s). A,sat : Dnsidad dl vaor d saturado a la tmratura d la surfici (kg/m ). A, : Dnsidad dl vaor d saturado a la tmratura dl air (kg/m ). El númro d Shrwood s igual al gradint d concntración adimnsional d la surfici, y s obtin a través d la cuación (0) 4 0,09 6 R 5 SC Sh...(0) S C : Númro d Schmidt. El númro d Rynolds s dtrmina a través d la cuación () R D air D...() air air : Vlocidad dl air (m/s). air : Coficint cinmático d viscosidad dl air (m /s). Para l calcular l númro d Schmidt s mla la cuación (). S C air...() D AB air : Viscosidad cinmática (m /s). D AB : Coficint d difusión d masa (m /s). Conocindo las cuacions (0), () y (), y a través d la cuación () s ud dtrminar l coficint d transfrncia d masa. S C air...() D AB El calor transmitido or convcción dl al air s dtrmina a través d la cuación (4).

9 q ( air )...(4) va : Coficint d transfrncia d calor or convcción dl al mdio (W/m K). Sustituyndo la cuación (9) n la (8) y las cuacions (8) y (4) n la cuación (7), y dsjando l coficint d transfrncia d calor or convcción dl al air, s obtin la cuación (5). h fg h ( m ( A, sat A, air ) )...(5) Entoncs l coficint d transfrncia d calor a través dl or unidad d longitud al mdio s dtrmina or la cuación (6) K 4 A...(6) D la cuación (5) s obtin la cuación (7) C A t ) C t m K t ) t ) x 5 t ) K t ) K 4 air...(7) K...(8) 5 K K 4 El modlo tórico fu idntificado ara un nfriador cilíndrico horizontal d 0 m d longitud,,04 m d diámtro intrior y,08 m d diámtro xtrior. Los valors d los arámtros ridntificados son: K, 74 kw mk kw K 0, 74 mk K 4 0, 68 W mk DISCUSIÓN Con l mlo dl modlo y una vz ridntificados los coficints surficials d transfrncia d calor, s analiza l comortaminto d la tmratura dl sólido y dl n la iscina. S obsrva qu l sólido xrimnta un nfriaminto a mdida qu s dslaza or l intrior dl cilindro, tnindo un comortaminto similar ara difrnts valors d tmratura d la ard, mantnindo constant l coficint surficial d transfrncia d calor K. Para un incrmnto d los valors dl coficint surficial d transfrncia d calor s logra un nfriaminto más ráido dl sólido acntuándos la ndint d las curvas qu s mustran n las figuras y. S obsrva admás qu ara mnors valors d flujo d sólido y mayors valors d K la disminución d la tmratura s más ráida, a mdida qu aumnta l flujo y ara valors quños d K la ndint d la curva disminuy. Para mayors valors d flujo d sólido y dl coficint surficial d transfrncia d calor K, la tmratura dl n la iscina s incrmnta.

10 4 Variación d la tmratura dl sólido n función d la longitud dl cilindro, ara un coficint surficial d transfrncia d calor K= y difrnts valors d tmratura d la ard. Variación d la tmratura dl sólido n función d la longitud dl cilindro ara difrnts flujos d sólido y K=. CONCLUSIONES En l trabajo s rsntaron rsultados rlacionados con la modlación matmática dl rocso d nfriaminto d sólidos n cilindros horizontals. La modlación d basó n l lantaminto d las cuacions dl balanc nrgético n forma dinámica. AGRADECIMIENTOS Al ISMM, EST-UEA, FAPEAM y CNPq, or l soort técnico a las actividads ralizadas, a los studiants, rofsors y rsonal d las industrias qu aoyan st trabajo. REFERENCIAS. Chang Cardona, A.: Hornos mtalúrgicos, MES, Ciudad d La Habana, Columbié Navarro, A.; D. Guzmán dl Río y A. Muñoz Monr: " Análisis dl rocso d calcinación dl CBN como objto d rgulación automática", Rvista Minría y Gología No., 99.

11 . Columbié, A.: "Modlación matmática dl rocso d calcinación dl carbonato básico d níqul n l horno tubular rotatorio", Tsis doctoral, ISMMANJ, Moa Guzmán, D. "Modlación, simulación y control dl tanqu d contacto y los nfriadors d licor n l rocso d lixiviación carbonato amoniacal", Tsis doctoral, ISMMANJ, Moa, Cuba Incrora, F.: Fundamntals of Hat and Mass Transfr, t. I, II. III, firth dition, Ed. Publo y Educación, Ciudad d La Habana, Rioshkvich, A. S.; A. M. Podkorbinshky y M. M. Rjnik: "Modlo matmático d la transfrncia d calor y d masa ara la tostación d mnas oxidadas d níqul n hornos rotatorios", Rvista Ts.M, No. 6,. -5, 979. AUTORES Evr Góngora Lyva Ingniro Elctricista, Mástr n Ingniría Eléctrica, Asistnt, Dartamnto d Ingniría Mcánica, Facultad d Mtalurgia y Elctromcánica, Instituto Surior Minro Mtalúrgico d Moa (ISMM), Moa, Holguín, Cuba -mail:gongora@ismm.du.cu Danil Guzmán dl Río Ingniro Elctricista, Doctor n Cincias Técnicas, Profsor Titular, Dartamnto d Ingniría Eléctrica, ISMM, Moa, Holguín. -mail:dguzman@ismm.du.cu Ángl O. Columbié Navarro Ingniro Elctricista, Doctor n Cincias Técnicas, Profsor Titular, Dartamnto d Ingniría Eléctrica, ISMM, Moa, Holguín, Cuba -mail:acolumbi@ismm.du.cu Scundino Marrro Ramírz Ingniro n Elctrónica Industrial, Doctor n Cincias Técnicas, Profsor Titular, Dartamnto d Ingniría Eléctrica, ISMM, Moa, Holguín, Cuba -mail:smarrro@ismm.du.cu Yoalbys Rtirado Mdiacja Ingnira Elctricista, Instructora, Dartamnto d Ingniría Mcánica, ISMM, Moa, Holguín, Cuba -mail:yrtirado@ismm.du.cu 5