Diseño de experimentos : Definiciones,Glosario y Supuestos

Transcripción

1 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. Dseño de expermentos : Defncones,Gosaro y Supuestos Un expermento estadístco es una secuenca de observacones de una o más varabes cuanttatvas, cuando otras varabes cuatatvas o cuanttatvas que supuestamente as afectan, amadas varabes de contro o factores, son manpuadas o cambadas por e expermentador. Varabe de respuesta: Varabe cuanttatva contnua, objetvo de expermento es: Varabes controabes, cuatatvas o cuanttatvas. que pueden ser manpuadas o coocadas en dferentes estados. Nvees de factor: Vaores nomnaes que corresponden a os dstntos estados en os que puede encontrarse un factor. Los factores pueden ser prncpaes o de boqueo. Los factores prncpaes son aqueos cuya nfuenca sobre as varabes de respuesta se quere medr con e expermento Los factores de boqueo son aqueos factores secundaros, o de estorbo, que pueden perturbar a as varabes de respuesta, y que pueden ser fjados tambén en dstntos nvees para medr su nfuenca. Tratamento: Cada una de as combnacones de nvees de os dstntos factores prncpaes Undad expermenta: Objeto (persona o cosa) sobre a cua se va a reazar a medcón de as varabes de respuesta, después de apcar un tratamento dado. Ensayo: Procedmento reazado para obtener una observacón Observacón: Resutado de medr cada una de as varabes de respuesta, bajo as accón de uno de os tratamentos. Fuente de varacón: Cuaquer factor panfcado o no que pueda contrbur a expcar a varabdad en a respuesta. Varabdad resdua: Varabdad debda a factores aeatoros o no panfcados en e expermento. Répca: Repetcón de ensayo sobre una nueva undad expermenta que recbe e msmo tratamento que a anteror. Dseñar e expermento consste en seecconar as varabes y factores a consderar, para uego panfcar a forma como van a ser tomadas as observacones, según e arrego prevsto en e modeo seecconado. Etapas en e dseño de un expermento Defnr os objetvos Especfcar as meddas con as que se trabajará, e procedmento de os ensayos y as medcones. Defnr os factores a consderar y sus nvees Ejecutar un expermento poto y evauaro. Seecconar e tpo de dseño que será apcado en e expermento. Determnar tamaño muestra y e número de répcas Obtener as observacones según e dseño seecconado. Procesar a nformacón, y obtener as concusones.

2 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. Tpos de dseño y supuestos Exsten muchas modeos para e dseño expermenta. En e curso sóo se anazaran as sguentes: Dseño competamente aeatoro: Consdera un sóo factor con nvees, y as observacones se toman en un orden competamente aeatoro. S e número de observacones es gua para cada nve, se dce que es un expermento baanceado. Para apcar este dseño, e expermentador debe consderar que as undades expermentaes son ncamente homogéneas, y que a varabdad en as respuestas se debe excusvamente a que as undades expermentaes recben dferentes tratamentos. Exsten dos tpos de modeos competamente aeatoros: Modeo I: De efectos fjos, donde e nvestgador seeccona de antemano os nvees de factor. E supuesto para este modeo es : j = µ + τ + e j Los errores se suponen ndependente y normamente dstrbudos con una varanza común. La hpótess a probar es: H : τ = τ = = τ o H : Agún τ 0 Modeo II: De efectos aeatoros, donde e nvestgador seeccona a azar os nvees de factor dentro de una pobacón de posbes nvees, y por o tanto os τ son varabes aeatoras. Este modeo además de os supuestos anterores, supone que cada efecto de factor, es decr τ,es ndependente de error, y que estos efectos sguen una dstrbucón norma con meda 0 y una varanza σ τ. = 0 La hpótess a probar es: H : σ = 0 o τ H : σ > 0 τ Dseño en boques competos a azar: Consdera un sóo factor con nvees, pero dado que as undades expermentaes no son ncamente homogéneas, e nvestgador ntroduce antes de apcar os tratamentos un factor de boqueo, que casfca a as undades expermentaes en grupos homogéneos, amados boques. La paabra competo se debe a que en cada boque se expermenta con todos os nvees de factor. La asgnacón de nve de factor que e corresponde a cada una de as undades de boque se hace aeatoramente. E supuesto de modeo estabece: j = µ + τ + γ j + e j, donde as dferentes γ j representan e efecto de boque. La hpótess a probar es: H : τ = τ = = τ o H : Agún τ 0 Dseño en cuadrado atno: Consdera un sóo factor con nvees, pero con dos factores de boqueo. E nombre de cuadrado atno se derva de hecho que e factor prncpa, y os dos de boqueo deben tener gua número de nvees, y de que as etras atnas representan os nvees de factor prncpa, mentas que as fas y coumnas os nvees de os factores de boqueo. E supuesto de modeo es : j = µ + τ + γ j + δ + e j, donde as dferentes γ j y os δ representan e efecto de cada factor de boqueo. = 0

3 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 3 Dseño en cuadrado grecoatno: Consdera un sóo factor con nvees, y tres factores de boqueo. Las etras atnas representan os nvees de factor prncpa, mentas que as fas,as coumnas y as etras gregas os nvees de os factores de boqueo. E factor prncpa y os tres de boqueo deben tener gua número de nvees. E supuesto de modeo es: jm = µ + τ + γ j + δ + φ m + e j, donde os γ j, δ φ m representan e efecto de cada uno de os factores de boqueo. TABLAS ANOVA Dseño competamente aeatoro: En este caso as observacones venen de a forma { j } donde e prmer subíndce representa e nve de factor y e segundo e número de a observacón. =,,., ; j =,,.,n N = n. La taba ANOVA para e caso de efectos fjos es como sgue: Fuente g.de Suma de Cuadrados Cuadrado Medo F Sgnfc. - Error N- Tota N- n n( ) n j ( ) ( ) j S.C.F S.C.E N C.M.F Vaor p Cuando Vaor p < α, se rechaza H o, y a concusón de expermento es que por o menos dos nvees de factor tenen dferente meda, y que por o tanto e factor es nfuyente. Para dentfcar os nvees de factor que presentan dferencas sgnfcatvas exsten varos métodos: L.S.D, Duncan, Tucey e Intervaos de confanza. E método LS.D ( Least Sgnfcant Dfference) es equvaente a de construr ntervaos de confanza, y consste en cacuar todas as dferencas absoutas entre medas de nvees, es decr todas as. j ( j > L.S.D Exste dferenca sgnfcatva entre e nve y e nve j de factor. L.S.D = t + α /;N n n j j ) ± L.S.D es e ntervao de (-α) de confanza para µ -µ j. Cuando este ntervao contene a cero, a concusón es que no exste dferenca sgnfcatva entre estos dos nvees de factor. Agunas fórmuas útes para smpfcar os cácuos son:. S.C.F = n( ) = n N S.T.C = n (j ) = S.C.E = S.T.C S.C.F n j N

4 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 4 La notacón con punto como subíndce sgnfca que se ha totazado sobre este subíndce, y así por ejempo, sgnfca a suma tota de todas observacones; mentras que. representa a suma de as observacones en e nve. Dseño en boques competos a azar: En este caso as observacones venen dspuestos en una forma matrca de dmensón b x, donde as fas representan os nvees de factor de boqueo, y as coumnas os nvees de factor prncpa; de manera que j representa e resutado de a observacón con e factor de boqueo a nve, y e prncpa a nve j. La taba ANOVA para e caso de efectos fjos y una soa répca es como sgue: Fuente g.de Suma de Cuadrados Cuadrado F Sgnfc. Prncpa - de Boqueo b- Error Tota (-) (b-) b b ( ) b.j ( ). ( b j..j ( ) j + ) Medo S.C.F S.C.B b S.C.E ( )(b ) C.M.F C.M.B Vaor p F Vaor p B Vaor p F < α por o menos dos nvees de factor prncpa tenen dferente meda. Vaor p B < α por o menos dos nvees de factor de boqueo tenen dferente meda. Para dentfcar os nvees de factor Prncpa que presentan dferenca sgnfcatva, se apca e método L.S.D, para as dferencas entre medas muestraes de todas as parejas de nvees. En este caso: L.S.D = t α /;(a )(b ) b Agunas fórmuas útes para smpfcar os cácuos son:.j = S.C.F = b ( ) b S.T.B= (. ) = n S.T.C = ( ) = j S.C.E = S.T.C S.C.F - S.C.B.j b b b n j b Dseño en cuadrado atno: En este caso as observacones venen dspuestos tambén en una forma matrca cuadrada de dmensón x, donde as fas representan os nvees de prmer factor de boqueo, as coumnas os nvees de segundo factor de boqueo y as etras atnas os nvees de factor prncpa. Cuadrado atno 3 x 3 A B C C A B B C A Cuadrado Latno 4 x 4 A B C D D A B C C D A B B C D A Cuadrado Latno 5 x 5 A B C D E E A B C D D E A B C C D E A B B C D E A

5 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 5 Para una msma dmensón exsten muchos arregos en forma de cuadrado atno, de hecho a permutar far o coumnas dentro de un cuadrado atno resuta otro cuadrado atno. Exsten por ejempo, 576 cuadrados atnos 4 x 4. A dseñar e expermento debe sortearse a azar e cuadrado atno a eegr, así como tambén a fa, a coumna y a etra atna que e corresponde a cada uno de os nvees. Cada observacón se desgna por j; donde os subíndces representan fa, coumna y etra atna respectvamente. La taba ANOVA para e caso de una soa répca es como sgue: Fuente g.de Suma de Cuadrados Cuadrado F Sgnfc. Prncpa - Fa Boqueo Coumna Boqueo ( ) - ( ) - ( ) j Medo S.C.F S.C.Fa S.C.Coumna C.M.F C.M.Fa C.M.Coumna Vaor p F Vaor p Fa Vaor p coumna Error (-) (-) S.T.C S.C.F- S.C.Fa - S.C.Coumna Tota - j S.C.E ( )( ) Agunas fórmuas útes para smpfcar os cácuos son: S.C.F = ( ) = S.C. Fa = S.C. Coumna = = ( ) j = ( ) j Dseño en cuadrado grecoatno: En este caso as observacones venen dspuestos tambén en una forma matrca cuadrada de dmensón x, donde as fas representan os nvees de prmer factor de boqueo, as coumnas os nvees de segundo factor de boqueo, as etras gregas os nvees de tercer factor de boqueo, y as etras atnas os nvees de factor prncpa. Cuadrado greco atno 3 x 3 Cuadrado greco atno 4 x 4 Cuadrado grecoatno 5 x 5 Aα Bβ Cγ Aα Bβ Cγ Dδ Aα Bβ Cγ Dδ Eε Cβ Aγ Bα Bγ Aδ Dα Cβ Bγ Cδ Dε Eα Aβ Bγ Cα Aβ Cδ Dγ Aβ Bα Cε Dα Eβ Aγ Bδ Dβ Cα Bδ Aγ Dβ Eγ Aδ Bε Cα Eδ Aε Bα Cβ Dγ Cada observacón se desgna por jm; donde os subíndces representan fa, coumna y etra atna y etra grega respectvamente.

6 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 6 La taba ANOVA para e caso de una soa répca es como sgue: Fuente g.de Suma de Cuadrados Cuadrado Medo Prncpa - Fa Boqueo - Coumna Boqueo L. grega Boqueo - - ( ) ( ) ( ) ( ) j m S.C.F S.C.Fa S.C.Coumna S.C.Lgrega F C.M.F C.M.Fa C.M.Coumna C.M.Lgrega Sgnfc. Vaor p Vaor p Fa Vaor p coumna Vaor p etra grega Error (-) (-3) S.T.C S.C.F- S.C. Fa - S.C. Coumna S,C L grega Tota - j S.C.E ( )( 3) Agunas fórmuas útes para smpfcar os cácuos son: S.C.F = ( ) = S.C. Fa = S.C. Coumna = = ( ) j = ( ) S.C. Letra Grega = ( m ) = j m EJEMPLO: Interesa saber s exste dferenca sgnfcatva entre as mas recorrdas por gaón, entre as gasonas A, B, C y D. Se consderaron os sguentes factores de boqueo: Fa: Tpo de Vehícuo Coumna: Conductor Letra Grega: Tpo de carretera Con un arrego en forma de cuadrado greco atno, e número de mas por gaón resutó ser: Conductor Conductor Conductor 3 Conductor 4 Vehícuo Bγ 9 Aβ 6 Dδ 6 Cα 4 Vehícuo Aδ 5 Bα 8 Cγ Dβ 5 Vehícuo 3 Dα 4 Cδ Bβ Aγ 6 Vehícuo 4 Cβ 6 Dγ 6 Aα 5 Bδ 3 Anazar a un nve de sgnfcacón de 5% s exste dferenca sgnfcatva entre os cuatro tpos de gasona. SOLUCION: Se determnan os totaes de fa, de coumna, de etra atna y de etra grega:

7 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 7 Totaes de fa: = = 65 = = 59 3 = = 6 4 = = 70 Totaes de etra atna:... = = 6... = = = = = = 6 Totaes de coumna:... = = = = = = = = 68 Totaes de etra grega: = = 6 = = 68 3 = = 6 4 = = 65 Tota genera:.= 56 Se cacuan ahora as sumas de cuadrados correspondentes a cada factor: S.C. Fa = = S.C. Coumna = S.C.F = j = = = = =.50 m S.C. Letra Grega = = 4 6 La suma tota de cuadrados es: S.T.C = j = = 48 6 Y a suma de cuadrados debda a error: S.C.E = = 6 = 7.50 Fnamente, e resutado de estos cácuos es presentado en a taba ANOVA Fuente g.de b. Suma de cuadrados Cuadrado medo F Gasonas Vehícuos Conductores Camnos Error Tota Como e vaor crítco dado en a taba de a Dstrbucón F es: F 0.05; 3,3 = 9.8, se concuye que e únco factor sgnfcatvo es e tpo de gasona, por ser e únco cuyo vaor F supera este vaor crítco. Los tres factores de boqueo resutan no nfuyentes. Para dentfca cuaes tpo de gasonas presentan dferencas sgnfcatvas, se hace necesaro ahora encontrar e L.S.D, y hacer as comparacones mútpes entre todas as dferencas posbes entre medas. Las meda de cada tpo de gasona resuta ser: A = 5.50 ; B = 0.5 ; C = 3 ; D = 5.5

8 Estadístca para a Cadad y a Productvdad Profesor: Ange Francsco Arveo L. 8 (6.00) L.S.D = t α /;( )( = 3.8 3) 4 = 5.5 La únca dferenca de medas que supera este L.S.D es = 7.5 > 5.5 Por o tanto, a concusón de expermento es que a gasona B proporcona un número promedo de mas por gaón sgnfcatvamente mayor que a C ; y as restantes comparacones no evdencan una dferenca sgnfcatva. B c