TÉCNICAS CUANTITATIVAS 3 Grado en Marketing e Investigación de Mercados

Transcripción

1 DPTO. MÉTODOS CUATITATIVOS PARA A ECOOMÍA Y A EMPRESA UIVERSIDAD DE GRAADA TÉCICAS CUATITATIVAS 3 Grado e Marketg e Ivestgaó de Merados MUESTREO Teoría eeros.

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3 ÍDICE. Muestreo aleatoro smple Defoes oeptos básos Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess...3 Determaó del tamaño muestral Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo aleatoro estratfado Seleó de ua muestra aleatora estratfada Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral Asgaó de la muestra Asgaó Óptma Asgaó de ema Asgaó Proporoal Estratfaó después de seleoar la muestra Eeros resueltos Muestreo o formaó aular Itroduó Estmaó de razó Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Estmaó de regresó Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Estmaó de dferea Estmaó de la meda total poblaoales Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo sstemáto Seleó de ua muestra sstemáta. Usos. Vetaas Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Comparaó o el muestreo aleatoro smple: Poblaoes ordeadas, aleatoras peródas Determaó del tamaño muestral Eeros resueltos Muestreo por oglomerados eesdad vetaas del muestreo por oglomerados Formaó de los oglomerados. Coglomerados estratos Estmaó de la meda, proporó total poblaoales Determaó del tamaño muestral

4 Eeros resueltos Relaó de Eeros Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro estratfado Muestreo o formaó aular Muestreo sstemáto Muestreo por oglomerados Formularo de Muestreo Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro estratfado Muestreo o formaó aular Muestreo por oglomerados

5 . Muestreo aleatoro smple..0 Defoes oeptos básos.. Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros. Rutas aleatoras.. Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas... Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó... Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess...3 Determaó del tamaño muestral..3 Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas..3. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales..3. Determaó del tamaño muestral..0 Defoes oeptos básos uestro obetvo a lo largo de la asgatura será ooer o vestgar algua araterísta de ua poblaó, por eemplo el osumo de determados produtos, la audea televsva de u programa, la teó de voto,... Claramete la reogda de formaó sobre toda la poblaó resultaría ara leta. Por ello es preferble utlzar u subouto pequeño de la poblaó, la muestra. a muestra debe ser represetatva, es der, ua versó a esala reduda de la poblaó que reflee las araterístas de toda la poblaó. Para obteer ua muestra represetatva ha dferetes métodos. os métodos de muestreo más utlzados so: Muestreo aleatoro smple. Muestreo aleatoro estratfado. Muestreo sstemáto. Muestreo por oglomerados. El error de muestreo es el que surge al osderar ua muestra o eamar toda la poblaó. El error de muestreo puede ser otrolado meddo medate el dseño de la muestra. Otros errores, más dfíles de otrolar, puede ourrr al estudar ua muestra. Estos otros errores se llama errores de o muestreo. E muhas muestras, el error de muestreo ometdo para esa muestra puede ser despreable e omparaó o los errores que o so de muestreo. 5

6 os errores de o muestreo más omues so: Sesgo de seleó. Este error ourre uado algua parte de la poblaó obetvo o puede ser elegda omo parte de la muestra. Por eemplo, s haemos ua euesta por los domlos e horaro de trabao, estamos vetado que ertos dvduos pueda ser elemetos de la muestra. Sesgo de medó. El sesgo de medó ourre uado los datos observados dfere del valor verdadero, por eemplo: - os dvduos o reooe la verdad porque pudera estar mal vsto. - o omprede las pregutas. - a formulaó el orde de las pregutas puede afetar a las respuestas obtedas. - o respuesta. a o respuesta de u dvduo seleoado para formar parte de la muestra puede ausar u sesgo e los datos muestrales smlar al sesgo de seleó. Puede ourrr que las persoas que respoda o represete a la poblaó obetvo. os errores de o muestreo debe otrolarse o aoes omo reetrevstas, verfaó de los datos, So muhas las razoes para el uso del muestreo, etre otras destaamos: Evtar la destruó de la poblaó. E alguos asos, por eemplo e el otrol de aldad, la observaó de los elemetos lleva a su destruó. Rapdez. os datos se puede reur más rápdo, de modo que las estmaoes se puede publar de ua maera programada. Por eemplo las eleoes. Eoomía presó. El muestreo puede proporoar formaó fable o ostes muho meores que los de u eso (toda la poblaó). U eso ompleto mpla muho trabao e la reoleó de los datos debdo a su ompledad se puede ometer muhos errores. E ua muestra, por su meor tamaño, se puede dedar más ateó a la aldad de los datos.. Seleó de ua muestra aleatora smple. úmeros aleatoros. Rutas aleatoras. S ada muestra posble de tamaño tee la msma probabldad de ser seleoada, el proedmeto de muestreo se deoma muestreo aleatoro smple a la muestra así seleoada se le llama muestra aleatora smple. 6

7 a odó de que ada muestra tega la msma probabldad de ser seleoada equvale a que ada elemeto tega la msma probabldad de perteeer a la muestra. Para ello la seleó de ada elemeto de la muestra se debe haer o u sorteo ompletamete aleatoro. Para faltar la obteó de los resultados de ese sorteo aleatoro este lo que se ooe omo tablas de úmeros aleatoros que suele apareer e u apéde al fal de muhos lbros de estadísta. Cada vez más, estas tablas de úmeros aleatoros so susttudas por la geeraó de úmeros aleatoros medate programas de ordeador (Eel, SPSS,...). Para asoar el valor de esos úmeros aleatoros o los elemetos de la poblaó eestamos que ésta esté umerada, e aso otraro deberíamos formar ua lsta umerarla. Esto últmo, e muhos asos, o es ta sello. Ua alteratva a la formaó de ua lsta umerada para la seleó medate úmeros aleatoros de los elemetos de la muestra es el método de las rutas aleatoras. Segú este método ada úmero aleatoro o grupo de úmeros aleatoros desrbe el amo hasta el elemeto de la muestra. Veamos ómo se aplaría este método o u sello eemplo: Se ha seleoado el úmero aleatoro 0703, las dos prmeras fras () da el dstrto de la udad, las dos sguetes (07) la alle del dstrto, las dos sguetes (0) el úmero de la alle, la sguete (3) la plata del edfo la últma () la letra B de dha plata. E muhos asos para llevar a abo este proedmeto se reurre a la guía telefóa, sobretodo s la etrevsta es por teléfoo, así el úmero aleatoro 7836 podría terpretarse omo que se seleoa la pága 78 de la guía detro de ésta al aboado del teléfoo que aparee e el lugar 36 de dha pága. E ÚMERO TOTA DE EEMETOS QUE FORMA UA MUESTRA TIEE MEOS IMPORTACIA QUE E PRICIPIO DE SEECCIÓ AEATORIA. Utlzar u método más sello para seleoar la muestra, o el que fálmete se obtega muhas observaoes, o garatza ua meor formaó que ua muestra aleatora smple o muhos meos datos.. Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas. Supogamos que la araterísta e estudo de la poblaó está represetada por la varable Y (o meda varaza ), ua muestra aleatora smple de tamaño estará represetada por varables: Y,..., Y, depedetes e détamete dstrbudas (..d.). ota: observaoes e poblaoes ftas també e poblaoes ftas, s se hae o reemplazameto, os odue a varables..d. 7

8 .. Meda, varaza proporó muestrales: Propedades. Error de estmaó. Como estmador de la meda de la poblaó,, se utlza la meda muestral,. U valor aslado del estmador revela poo aera de la meda poblaoal, deberíamos evaluar també su bodad. Este estmador tee propedades deseables omo ser sesgado teer míma varaza E V Como estmador de la varaza de la poblaó,, se utlza la uasvaraza muestral, S que també tee la propedad de ser sesgado E S de forma que la varaza de la meda muestral se estma de forma sesgada por S V( ) S. Cuado las varables Y, Y,..., Y so dotómas o bomales, sólo toma dos valores (0 ), su meda represeta ua proporó que se ota omo p el estmador de la msma, la proporó muestral, por p p 0, Este estmador, omo meda muestral que es, tee las msmas propedades meoadas ates. a varaza de la poblaó es e este aso pq, dode q=-p. Como ates, el estmador sesgado de la varaza es la uasvaraza muestral que para este tpo de varables es gual a S pq la varaza estmada de la proporó muestral es ( pq V p) 8

9 S ooemos más araterístas de las varables aleatoras Y, Y,..., Y, ooeremos más sobre el omportameto de la meda muestral, aparte de lo a meoado. S S (0,) Y (, ) ooda t (0,) S Y (, ) desooda ( e la práta para 30, t (0,)) S Y ualquer dstrbuó (0,) S (por el Teorema Cetral del ímte uado, e la práta para >30) U aso partular del ateror es Y B(, p), varable dotóma, dode p p p p p p p p (0,) pq pq pq (e la práta para >30) Todo lo ateror puede resumrse dedo que la meda muestral (de varables uméras,, o dotómas, p ) sgue ua dstrbuó ormal o se puede apromar por ella s el tamaño de la muestra es sufetemete grade. De forma que podemos ooer la probabldad de que dha varable tome determados valores, por eemplo (tomado ua de las aterores epresoes de la meda muestral tpfada, sedo váldo lo que sgue també para las otras) o e u aso más geeral =vel de sgfaó P,96,96 0,95 PZ Z -=vel de ofaza 9

10 Para u vel de ofaza del 95% (el más habtual) se suele redodear el ateror valor,96. E todos los aputes que sgue trabaaremos o u vel de ofaza del 95% o Z. E el formularo osderaremos dsttos veles de ofaza, por tato dsttos valores de smplfar la otaó. Z que otaremos Z para De las probabldades aterores se puede haer dos leturas. a prmera: P 0,95 P 0,95 E esta epresó aparee valores epresoes fudametales e las téas de estmaó: -=0,95= vel de ofaza del 95%. = error de estmaó o dferea etre la estmaó que haemos,, el verdadero valor del parámetro que se quere estmar,. = ota o límte para el error de estmaó, es el mámo error de estmaó que se puede estar ometedo, o ua ofaza del 95%. E la práta, es desooda se estma por S. a seguda letura: P 0,95 epresa la ofaza que teemos de que el verdadero valor del parámetro se euetre etre los etremos del tervalo,. Todo lo ateror se puede asegurar s el estmador sgue ua dstrbuó ormal (s el tamaño de la muestra es sufetemete grade, >30, está garatzado). Pero qué ourre s o es así. E ese aso la desgualdad de Thebhev os da la respuesta. a desgualdad de Thebhev asegura que s X es ua varable aleatora o meda EX ( ) varaza V( X), sea ual sea su dstrbuó de probabldad 0

11 P X k k Aplado lo ateror a la meda muestral para k= se obtee P 0,75 4 resultado paredo al que obteíamos aterormete P 0,95 salvo que e este aso lo más que podemos asegurar es que dha probabldad es maor que 0,75... Estmaó putual. Itervalos de ofaza. Cotrastes de hpótess. Cuado estmamos el valor de u parámetro poblaoal o el valor que ha presetado e ua determada muestra el estmador asoado, haemos ua estmaó putual. S dha estmaó putual se aompaña de u marge de error (límte para el error de estmaó) de ua medda de la ertdumbre que se tee e tal estmaó (vel de ofaza), hablamos de tervalo de ofaza. Por eemplo, utlzado muestras grades, el tervalo de ofaza para la meda poblaoal o u vel de ofaza del 95% es S S, E oasoes se quere otrastar o los valores observados e ua muestra la posbldad de que el verdadero valor de u parámetro de la poblaó sea u valor dado, por eemplo, se quere otrastar la hpótess ula H0 : 0 o u vel de sgfaó del 5%. o ateror equvale a omprobar s S S 0, e uo aso se aeptaría la hpótess ula, rehazádose e aso otraro...3 Determaó del tamaño muestral. S se fa de atemao el mámo error de estmaó que estamos dspuestos a aeptar e ua estmaó, B, la atdad de formaó eesara para osegurlo depede del tamaño de la muestra segú la sguete epresó

12 E la práta la varaza poblaoal 4, B D 4 B 4 B D es desooda. S dspoemos de ateror podemos obteer el valor de susttuedo e la ateror epresó S de u estudo por S o se dspoe de formaó preva para estmar la varaza podemos usar que e varables ormales el rago de la muestra es apromadamete uatro vees su desvaó típa R R 4 6 S. a proporó poblaoal p es la meda de ua varable dotóma ( Y B(, p), E( Y) p, VY ( ) pq), luego el problema de determar el tamaño muestral se hae de forma aáloga susttuedo por pq pq B, D D 4 E la práta p se desooe. Ua apromaó se obtee reemplazádolo por el valor estmado p obtedo e muestras prelmares. S o se ueta o formaó ateror, supoedo p se obtee u tamaño muestral oservador (maor que el requerdo para obteer la ota del error de estmaó fada). Eemplo.. U hpermerado desea estmar la proporó de ompras que los letes paga o su Tareta de Compras. Durate ua semaa observaro al azar 00 ompras de las uales 35 fuero pagadas o la tareta. a) Estme o u tervalo de ofaza la proporó de ompras pagadas o dha tareta. b) Cuatas ompras debería observarse para estmar, o u error feror al 3%, la proporó de ompras pagadas o la tareta? (Cosdere los datos aterores omo ua muestra preva) ) S o se tuvera gua formaó aera de los letes que utlza la tareta, uátas ompras deberíamos observar para asegurar que la ateror estmaó se realza o u error feror al 3%. d) Este msmo hpermerado desea estmar també el valor medo de las ompras realzadas o su Tareta de Compras. Basádose e los aterores datos se observa que

13 el valor total de las ompras hehas o la tareta fue de (sedo la uasvaraza de los datos 65). Estme el valor medo de las ompras pagadas o la tareta el error de estmaó asoado. Soluó: a) 35 0, ,75 0,85 ( pq p q V p) 0, B V( p) 0,0539 p,%,,89% b) ) d) B pq B0, 03 D 0, , D B pq B0, 03 D 0, 0005 p q 0,5, 4 D S 65 S 65 V( ) 7,857 B V ( ) 8, Muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas. Supoemos que la poblaó es fta, tee elemetos, además que la muestra se seleoa s reemplazameto (lo que suele ser habtual, e aso otraro estaríamos ate el msmo modelo que el muestreo aleatoro smple e poblaoes ftas o varables..d.).3. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. Estmaó de la meda poblaoal. Para estmar la meda poblaoal,, se utlza la meda muestral Este estmador es sesgado su varaza deree oforme ree el tamaño de la muestra 3

14 E V E este tpo de muestreo la uasvaraza muestral o es u estmador sesgado de la varaza de la poblaó ES E S De lo ateror se sgue que la varaza de la meda muestral puede ser estmada sesgadamete por S V S epresó gual a la del aso de poblaoes ftas, S V( ), salvo el oefete que se deoma oefete orretor para poblaoes ftas (.p.f.). E la práta el oefete.p.f. suele desprearse s está prómo a, 0,95 o lo que es equvalete s 5%. E muhos asos o está laramete defdo o se desooe, pero s se supoe sufetemete grade el.p.f. se omte,. Para alular el límte para el error de estmaó, o u 95% de ofaza, se halla V ( ). Igual que e el aso de poblaoes ftas, se habla de u vel de ofaza del 95% uado trabaamos o el oefete,96. Pero e alguos asos, segú la desgualdad de Thevhev, sólo se puede asegurar que este vel es maor que u 75%. Estmaó del total poblaoal. Para estmar el total poblaoal,, dado que utlzaremos el estmador. Para hallar su varaza usamos que V( kx) k V( X), por tato: Varaza estmada de S S V( ) V( ) V( ) ( ) 4

15 Como e el aso de la meda, el límte para el error de estmaó o ua ofaza del 95% está dado por V ( ). Valedo ometaros aálogos a los hehos aterormete. E lo suesvo se dará solamete el valor de la varaza del estmador para los dsttos tpos de muestreo, omtédose el límte para el error de estmaó. Eemplo.. U audtor eama las uetas abertas o dferetes letes de ua empresa. Supoga que este.000 uetas de las uales se eama 300. a meda muestral de las uetas fue.040 la uasvaraza muestral es S = Estme el promedo de la deuda el total de la deuda por obrar para las.000 uetas abertas o u tervalo de ofaza al 95%. Soluó: S V( ) 05 V ( ) 05 0, ,49.09,5,.060,49 V ( ) V ( ) 0000, ( valor eato 0.493,9) , Estmaó de la proporó poblaoal. Para estmar la proporó poblaoal p, dado que se trata de ua meda usaremos la meda muestral o la sguete otaó e este aso p su varaza estmada, teedo e ueta que S 0, pq, es gual a ( S pq V p) Para estmar el total poblaoal de ua varable dotóma usamos p pq V( ) V( p) V( p) ( ) 5

16 Eemplo.3. Se toma ua muestra aleatora smple de 00 estudates de u etro o 900 estudates para estmar a proporó que votará a u determado represetate de etro. a proporó de ellos que tee algú tpo de trabao. Sea, z (,...,00) las respuestas del -ésmo estudate seleoado ( 0 uado respode O, uado respode SI, aálogamete para z ). Segú la muestra z 5 Usado los datos de la muestra, estme p (proporó de estudates que votará a u determado represetate), p (proporó de estudates o algú tpo de trabao), (úmero de estudates o algú tpo de trabao) los límtes para los errores de estmaó orrespodetes. Soluó: p z 0, 70 (70%) p 0, 5 (5%) pq pq V( p) 0, V( p) 0, V ( p ) 0, 0868 (8, 68%) V ( p ) 0, 08 (8, %) p 9000,5 5 V( ) 9000,08 73,89.3. Determaó del tamaño muestral. El úmero de observaoes eesaras para estmar o u límte para el error de estmaó de magtud B se obtee resolvedo V( ) B B V( ) B V D 4 V( ) D ( ) D Para estmar el total poblaoal o u límte para el error de estmaó B, dado que V ( ) V ( ) B, se llega a la msma epresó de pero o B D 4 6

17 Habtualmete la varaza poblaoal es desooda. S dspoemos de ateror podemos obteer el valor de susttuedo e la ateror epresó S de u estudo por S o se dspoe de formaó preva para estmar la varaza podemos usar que e varables ormales el rago de la muestra es apromadamete uatro vees su desvaó típa R R 4 6 S. a proporó poblaoal p es la meda de ua varable dotóma ( Y B(, p), EY ( ) p, VY ( ) pq), luego el problema de determar el tamaño muestral se hae de forma aáloga susttuedo por pq, obteédose pq ( ) D pq B D (para la proporó) 4 B D 4 (para el total) E la práta p se desooe. Ua apromaó al msmo se obtee reemplazádolo por el valor estmado p obtedo e euestas prelmares. S o se ueta o formaó ateror, supoedo p se obtee u tamaño muestral oservador (maor que el requerdo para obteer la ota del error de estmaó fada). Eemplo.4. Euetre el tamaño de la muestra eesaro para estmar el valor total de.000 uetas por obrar o u límte para el error de estmaó de Auque o se ueta o datos aterores para estmar la varaza poblaoal, se sabe que la maoría de las uetas ae detro del tervalo (600,.400). Soluó: B D ,6 66 ( ) D S se realza dos medoes (o más) sobre ada elemeto de la muestra, se alulará los tamaños muestrales que satsfae los límtes para el error de estmaó fados para ada estmaó falmete el maor de los dos será el tamaño de la muestra que satsfae ambos límtes. 7

18 Eemplo.5. os alumos de TC3 de ua faultad o estudates desea realzar ua euesta para determar la proporó de estudates que está a favor de haer los eámees e sábado o u límte para el error de estmaó del 0%. a formaó preva dspoble da que el 60% prefería los eámees e sábado. També se quere estmar la proporó de estudates que apoa al equpo deaal o u error de estmaó del 5%. Determíese el tamaño muestral que se requere para estmar ambas proporoes o los límtes de error espefados. Soluó: p proporó de estudates que prefere los eámees e sábado. p q B (0,0) D 0, , 600, 40 ( ) D pq (.9990, 005) (0, 600, 40) p proporó de estudates que apoa al equpo deaal. p q B (0,05) D 0, ,500,50 93, ( ) D pq (.9990, 00065) (0,500,50) 353, para umplr o ambos obetvos habría que tomar =354 o lo que el límte para el error de la estmaó de p dsmuría (o u 95% de ofaza) hasta: pq 0,600, V( p) 0, 0489 ( 4,9%) o be la ota del error de estmaó del 0% se tee o u vel de ofaza muho maor pq 0,600, z V( p) z z 0, z 0,0445 0,0 z 4,09 busado e la tabla de la ormal (o o auda de la hoa de álulo Eel,...) la probabldad ompredda etre (-4,09, 4,09), se obtee 0, , es der, prátamete u vel de ofaza del 00%. 8

19 EJERCICIOS RESUETOS. Se seleoa ua m.a.s. de 9 ompras de letes de u etro omeral para estmar el valor medo de las ompras por lete. VAOR e 33, ,5 39 a) Obteer u tervalo de ofaza para el valor medo de las ompras. b) Podemos aeptar que la ompra meda es de 45? ) Qué tamaño muestral deberíamos tomar para que el EE sea de? SOUCIÓ: a) 33, ,89 9 S 33,5 40, ,89 35, 67 9 S V 3,963 B V 3,98 40,89 3,98 ; 40,89 3,98 36,9; 44,87 b) o, porque 45 36,9; 44,87 ) S 35,67 35, ompras B B 4 4. Se ha etrevstado.000 veos, elegdos aleatoramete etre los más de e ml habtates de ua udad para ooer su opó sobre los uevos mpuestos mupales. 655 mafestaro su opó desfavorable. Estme la proporó de veos que está e otra de los uevos mpuestos estableza el límte para el error de estmaó. Se puede afrmar que la maoría de los habtates está e otra? SOUCIÓ: 655 p 0, 655 p 65,5%.000 pq 0,655 ( 0,655) V( p) 0, V ( p) 0,030 3,0% (65,5% 3,0%, 65,5% 3,0%) (6,49%, 68,5%) 9

20 p (6,49%, 68,5%) p 50% sí se puede afrmar que la maoría de los habtates está e otra 3. El Cetro de Estadísta desea estmar el salaro medo de los trabaadores de los veraderos de ua regó. Se dede lasfarlos e dos estratos, los que posee otrato fo los que tee u otrato temporal. El salaro de los otratos fos está ompreddo etre los euros mesuales, el salaro de los otratos temporales está ompreddo etre euros mesuales. Cuál debe ser el tamaño muestral total su asgaó para que se estme el salaro medo de los otratos fos o u error feror a 00 el salaro medo de los otratos temporales o u error feror a 0? SOUCIÓ: R = =.00 R D B D B Etre todas las ofas baaras de ua pequeña udad se tee oeddos 000 préstamos hpotearos. Este razoes para pesar que el préstamo hpotearo de meor uatía es de algo más de 00 euros, sedo de as 000 euros el de maor uatía. uál es el tamaño muestral eesaro para estmar estos dos parámetros: - la uatía meda de los prestamos ometedo u error de estmaó meor de 400 euros - la proporó de préstamos pedetes de amortzar más de la mtad de la deuda ometedo u error mámo del 5%? SOUCIÓ:.000 R R

21 B 400 D ,65 40 ( ) D B 0.05 D 0, pq p q 0,5 333, ( ) D pq Para osegur estmar los dos parámetros o los veles de error espefados eestamos u tamaño muestral gual al mámo de Se desea estmar el salaro medo de los empleados de ua empresa la proporó de empleados que apoa a la atual dretva. a empresa tee 0 empleados se sabe que el salaro está ompreddo etre los euros mesuales. Cuál debe ser el tamaño muestral para que al estmar el salaro medo la ota de error se stúe e 0 euros al estmar la proporó de los que apoa a la atual dretva el error mámo ometdo sea del %? SOUCIÓ: R R 4 B 0 D , 75 ( ) D B 0.0 D 0, pq p q 0,5 05, 4 06 ( ) D pq 6. Ua empresa de trabao temporal quere vestgar las eesdades de empleo de las empresas de u pueblo. Para ello dede seleoar ua muestra de 5 de las 5 srtas e el regstro meratl. El úmero de baas e el últmo año, el úmero de empleados la respuesta de ada empresa sobre s utlzaría los servos de la empresa de trabao temporal fuero los sguetes:

22 Empresa Baas Empleados Respuesta 7 S 5 o S o 5 o a) Estme el úmero de baas e el últmo año e las empresas del pueblo. Calule el límte para el error de estmaó. b) Estme el úmero de empresas que usaría los servos ofertados. Calule el límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: a) 5 5 4, S,7 V( ) ( ) B V ( ) 7,74 ota: este apartado podrá resolverse de otra forma uado estudemos el muestreo por oglomerados. Véase eero resuelto 4 del tema 5. b) p 0, 4 p 0 5 pq 0, 4 V( ) ( ) B V ( ) 0, El osumo medo de ombustble de los tas de ua udad es 5.6 ltros ada 00 Km. Puesto que se osdera que el osumo es demasado elevado, e 600 tas se mota u dspostvo para dsmurlo. Pasado erto tempo se toma ua muestra aleatora de 0 tas, elegdos etre los 600 que oloaro el dspostvo. El osumo e ltros de ombustble por ada 00 Km. se reoge e la sguete tabla Ta º Cosumo Ta º Cosumo Ta º Cosumo Ta º Cosumo 5,4 6 6,3 3,6 6 5,4 5,5 7 5,4 6,7 7 4,8 3 6, , 8 4,7 4 3,9 9 4,5 4 5, 9 5,8 5 4,5 0 4,4 5 5,4 0 6, a) Estímese medate u tervalo de ofaza la proporó de tas o u osumo feror a 5,6 ltros/00 Km.

23 b) Cuatos tas debe observarse para estmar la ateror proporó o u error meor o gual que u 0%? SOUCIÓ: a) 5 de los 0 tas o supera el osumo de 5,6 ltros/00 Km, por tato 5 p 0,75 pq 0,750,5 580 V( p) 0, V ( p) 0,953 0, 75 0,953, 0, 75 0,953 0,5547, 0, ,47%, 94,53% b) 0,0 B0,0 D 0, pq 6000,750,5 66,77 67 ( ) D pq 5990,005 0,750,5 8. Ua muestra aleatora smple de 6 deudas de letes de ua farmaa es seleoada para estmar la atdad total de deuda de las 00 uetas abertas. os valores de la muestra para estas ses uetas so los sguetes: Dero adeudado ( ) 35,50 3,00 43,00 4,00 44,00 4,50 Estme el total del dero adeudado estableza u límte para el error de estmaó. SOUCIÓ: 35,50 3,00 43,00 4,00 44,00 4,50 38,00 60,5 04,00 849,00 68,00 936,00 806,5 9556, =3966,6 6 3

24 38 S 9556,50 3, S 3,667 V( ) ( ) 00(00 6) 38, 0 6 os aterores álulos que se ha realzado a mao o o auda de ua aluladora bása se smplfa otablemete s utlzamos ua aluladora etífa de uso omú. Estas aluladoras os proporoa los valores de u grupo de fuoes estadístas,,, de forma medata. s desvaó típa S uasdesvaó típa 9. E u estudo soológo, realzado e ua pequeña udad, se hero llamadas telefóas para estmar la proporó de hogares dode habta por lo meos ua persoa maor de 65 años de edad. a udad tee 5000 hogares, segú la guía de teléfoos más reete. Ua muestra aleatora smple de 300 hogares fue seleoada de la guía. Al termar la vestgaó de ampo, de los 300 hogares muestreados, e 5 habta al meos ua persoa maor de 65 años. Cotraste la hpótess de que e el 5% de los hogares de esa udad habta al meos ua persoa maor de 65 años. SOUCIÓ: =5000, =300 5 pq p 0,7 q p0,83 V( p) 0, V ( p) 0, % 7% 4,%,79%,,% luego se rehaza la hpótess de que e el 5% de los hogares de esa udad habta al meos ua persoa maor de 65 años. 0. El gerete de u taller de maquara desea estmar el tempo medo que eesta u operador para termar ua tarea sella. El taller tee 45 operadores. Se seleoaro aleatoramete 5 operadores se les tomó el tempo. os resultados obtedos so los sguetes: Tempo(mutos) 4, 5, 7,9 3,8 5,3 Se puede aeptar la hpótess de que el tempo medo que eesta los operaros del taller para termar dha tarea es feror a 6 mutos? 4

25 SOUCIÓ: ( o las fuoes del modo SD de la aluladora ) 5, 6,563 =45, =5 S S V ( ) 0,4556 V ( ),35 Itervalo de ofaza : 3,9 m., 6,6 m. Valores maores e gual a 6 mutos perteee al tervalo de ofaza, por tato o podemos aeptar esa hpótess.. Co obetvos beéfos, ua asoaó flatrópa ha soltado frmas para ua petó e 700 hoas. Cada hoa tee espao sufete para 40 frmas pero e muhas de las hoas se ha obtedo u úmero meor. Cotado el úmero de frmas por hoa e ua muestra aleatora de 50 hoas se ha observado los sguetes resultados: Y.450; Y Cuál sería la prevsó más optmsta más pesmsta e uato al úmero total de frmas reogdas para la petó? SOUCIÓ: =700, = S S V( ) ( ) B V ( ) 3.040, 66 Prevsó más optmsta: Prevsó más pesmsta: , ,34, 3.340,66 5

26 . Muestreo aleatoro estratfado.. Seleó de ua muestra aleatora estratfada.. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales..3 Determaó del tamaño muestral..4 Asgaó de la muestra..4. Asgaó Óptma..4. Asgaó de ema..4.3 Asgaó Proporoal..5 Estratfaó después de seleoar la muestra.. Seleó de ua muestra aleatora estratfada. Ua muestra aleatora estratfada se obtee medate la separaó de los elemetos de la poblaó e outos que o presete terseó, llamados estratos, la seleó posteror de ua muestra aleatora smple e ada estrato. os estratos debe formarse de maera que los elemetos de ada estrato sea lo más homogéeos que se pueda etre sí (más homogéeos que el outo de la poblaó) las dfereas etre u estrato otro sea las maores posbles. Esta forma de ostrur los estratos odue a muestras o poa varabldad etre las medoes que produrá pequeñas varazas de los estmadores por tato meores límtes para los errores de estmaó que o otros dseños de la muestra. Otras vetaas adoales que preseta este tpo de muestreo so las sguetes: A vees los estratos se orrespode o zoas ompatas be defdas o lo que se redue el oste de la muestra. Además de las estmaoes para toda la poblaó, este muestreo permte haer estmaoes de los parámetros poblaoales para los estratos. Ates de otuar femos la otaó que va a utlzarse: úmero de estratos tamaño de la poblaó tamaño del estrato tamaño de la muestra tamaño de la muestra del estrato meda poblaoal del estrato total poblaoal del estrato varaza poblaoal del estrato meda muestral del estrato S uasvaraza muestral del estrato 6

27 p proporó poblaoal del estrato oste de ua observaó del estrato p proporó muestral del estrato. Estmaó de la meda, proporó total poblaoales. E ada estrato se ha realzado u muestreo aleatoro smple, sabemos que e ada estrato es u estmador sesgado del total, estmaremos por la st meda poblaoal medate st OTA: st e geeral ( = meda muestral de las observaoes) st e geeral ( = estmador del total segú u m.a. smple.) st Varaza estmada de S V( st ) ( ) V Se obtee aplado que la varaza de la suma de varables depedetes es la suma de sus varazas que V( kx) k V( X). Varaza estmada de st S V( st ) V( st ) E el aso de varables dotómas los estmadores de la proporó total poblaoales así omo sus varazas toma valores smlares a los aterores, salvo las dfereas a ometadas e la leó ateror. Estmador de la proporó poblaoal p p st p Varaza estmada de p st pq V( pst ) ( ) V p Estmador del total poblaoal st p st p 7

28 Varaza estmada de st pq V( st ) V( pst ) Eemplo.. Se está teresado e determar la audea de la publdad televsva e ua adea loal de u mupo, se dede realzar ua euesta por muestreo para estmar el úmero de horas por semaa que se ve la televsó e las vvedas del mupo. Éste está formado por tres barros o dferetes perfles soo-ulturales que afeta a la audea televsva. Ha 0 hogares e el barro A, 84 e el barro B 6 e el barro C. a empresa publtara tee tempo dero sufetes para etrevstar 30 hogares dede seleoar muestras aleatoras de tamaños: 5 del barro A, 6 del barro B, 9 del barro C. Se seleoa las muestras aleatoras smples se realza las etrevstas. os resultados, o medoes del tempo que se ve la televsó e horas por semaa, se muestra e la sguete tabla: BARRIO A BARRIO B BARRIO C Estme el tempo medo que se ve la televsó el límte para el error de estmaó, e horas por semaa, para: a) os hogares del barro A. b) os hogares del barro B. ) os hogares del barro C. d) Todos los hogares Soluó: e prmer lugar se alula las medas uasvarazas muestrales e ada estrato 34, 67 horas / semaa 8,7 h / s 7,56 h / s S 3, 4 S,57 S 9, 8 3 8,3 S 9,74 3 A partr de estos valores alulamos las varazas de los estmadores de la meda e ada estrato los límtes para los errores de dhas estmaoes

29 S S S3 3 3 V( ),44 V( ) 7,4 V( 3), V ( ),40 h/ s V( ) 8,35 h/ s V( 3),8 h/ s Para el outo de todos los hogares el estmador de la meda es 3 8, 3 h/ s st la varaza de este estmador la podemos alular basádoos e las varazas de los estmadores de la meda e ada estrato medate o, s se prefere, utlzado 3 V( ) st ( ),4 V 3 S V( st ) el error para la estmaó de la meda para todos los hogares está dado por V ( ), h/ s st Eemplo.. E el aso ateror, també se desea saber qué proporó de hogares ve u determado programa, para dedr la oveea de sertar u auo e los termedos del msmo. a respuesta a la preguta de s ve dho programa e los hogares de la muestra ateror se reoge a otuaó: BARRIO A BARRIO B BARRIO C SI SI O O SI O SI O SI O SI SI O O O SI O SI SI SI SI O SI SI O SI SI SI SI O Estme o u tervalo de ofaza la proporó de hogares del mupo dode se ve el programa. Soluó: e prmer lugar se alula las proporoes muestrales e ada estrato p 0,4667 p 0,8333 p3 0, a estmaó putual de la proporó de hogares del mupo dode se ve el programa es p st 3 p 0,60 la varaza error de estmaó asoados so 3 pq V( p ) 0,00748 ( st ) 0,73 V pst el tervalo de ofaza epresado e poretaes es 9

30 60% 7,3% 4,7%, 77,3%.3 Determaó del tamaño muestral. El tamaño muestral para osegur u límte para el error de estmaó de la meda, B, vee dado por V( st ) B dode V( ) st. o podemos despear el valor de todos los de ua sola euaó a meos que oozamos la relaó etre los. Ha dversas formas de asgar el tamaño muestral e los dferetes estratos (problema de la asgaó de la muestra que estudaremos a otuaó), susttuedo e V( ) se puede despear e fuó de los st obteedo el tamaño muestral apromado que se requere para estmar o u límte para el error de estmaó B. D B B D la msma epresó vale para el total tomado D. 4 4 Al gual que e el m.a.s. para poder usar la ateror euaó eestamos ooer las varazas poblaoales de los estratos o valores apromados de ellas, para lo ual se puede usar las uasvarazas muestrales de ua muestra preva o basaros e el rago de varaó de las observaoes detro de ada estrato. E el aso de varables dotómas se obtee ua epresó smlar, teedo e ueta que e este aso partular p q D pq pq B D (para estmar p) la msma epresó vale para el total tomado 4 B D. 4.4 Asgaó de la muestra. Ha dversas formas de asgar el tamaño muestral e los dsttos estratos. El obetvo del dseño de ua euesta por muestreo es proporoar estmadores o varaza pequeña (por tato, pequeño error de estmaó) al meor oste posble. 30

31 El meor esquema de asgaó está fludo por: El úmero total de elemetos e ada estrato. a varabldad de las observaoes e ada estrato. El oste de obteer ua observaó e ada estrato..4. Asgaó Óptma. a asgaó que mmza el oste para u límte para el error de estmaó fado, B, se deoma asgaó Óptma está dada por susttuedo los e la epresó que obteíamos ates para se tee el tamaño total de la muestra segú la asgaó Óptma D E el aso dotómo las aterores epresoes toma los valores p q pq p q pq D pq B B D (para estmar la meda o p), D (para estmar el total). 4 4 E alguas oasoes teresa eotrar la asgaó que mmza el error de estmaó para u oste total fo de obteó de la muestra, C. E este aso la asgaó Óptma també es la respuesta el tamaño total de la muestra,, vee dado por: C 3

32 Aálogamete para el aso dotómo susttuedo pq..4. Asgaó de ema. Cuado los ostes de observaó de ada estrato so los msmos, las epresoes de la asgaó Óptma se smplfa trasforma e: Caso uméro D ( ) Caso dotómo pq pq ( pq ) D pq A este tpo de asgaó se le deoma de ema que ode o la asgaó Óptma solamete uado los ostes de observaó so guales e todos los estratos. Esta asgaó se utlza aú uado los ostes de observaó o so détos, a vees, sellamete o se ooe..4.3 Asgaó Proporoal. S además de los ostes, ode el valor de las varazas e ada uo de los estratos, las epresoes de la asgaó Óptma de ema se smplfa redue a Caso uméro 3 D

33 Caso dotómo pq D pq a asgaó Proporoal puede suele utlzarse uado las varazas ostes de observaó o so guales para ada estrato, por la smpldad de los álulos por las vetaas que preseta frete a los aterores tpos de asgaoes: Cuado se utlza la asgaó Proporoal el estmador st ode o la meda muestral de la muestra que reúe a todas las muestras de ada estrato, st (aálogamete para p st el total). Cuado se observa más de ua varable e ada udad muestral para estmar más de u parámetro poblaoal aparee omplaoes e la asgaó determaó del tamaño muestral. Co la asgaó Proporoal tomado omo el mámo de los valores eotrados para ada estmaó se resuelve el problema omo puede verse e el sguete eemplo: E la asgaó Óptma e la de ema los depede de las varazas puede ser dsttos de ua varable a otra ª estmaó: 00 0,0 0 0,90 90 ª estmaó: 40 0,50 0 0,50 0 Aú tomado el maor de los tamaños muestrales (00) pasado la euesta a 0 dvduos del estrato 90 del estrato o teemos garatzado que se satsfaga el error de estmaó fado para la seguda estmaó que eesta al meos 0 dvduos de ada estrato. E la asgaó Proporoal o ourre lo ateror pues los so guales para todas las varables al o depeder de sus varazas, así s e dos estmaoes para los veles de error requerdos teemos lo sguete ª estmaó: 00 0, ,70 70 ª estmaó: 40 0,30 0,70 8 tomado omo el mámo de los dos ( e geeral para k varables), se tee garatzado que se umple o los límtes para el error fados para todas las estmaoes. 33

34 Eemplo.3 Cotuado o el eemplo. a) Qué tpo de asgaó se ha utlzado? Debdo a los traslados eesaros o uesta lo msmo obteer ua observaó e u barro que e otro. Se estma que el oste de ua observaó del barro A es de, 9 para el barro B 4 para el barro C. b) Cuátos hogares debería etrevstarse para estmar el úmero medo de horas a la semaa que se ve la televsó e los hogares del mupo o u error feror a hora. (Tómese los aterores datos omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros). ) Supógase que se tee sólo 600 para gastar e el estudo, determe el tamaño de la muestra la asgaó que mmza el error de estmaó. (Como e el apartado ateror, tómese los datos de la tabla omo ua muestra preva para estmar las varazas de los estratos). Soluó: a) Podemos omprobar que se umple ,5 0, 0, luego la asgaó utlzada ha sdo la Proporoal. b) Segú los datos aterores estmamos las varazas de ada estrato por S 3,4 S,56 3 S 9,8 3 o equvaletemete que ,808 0,6094 4, , , ,5068 0,368 97,063 76, ,4 9455,04 49, , , ,7 B D 0, , , , , , D 34

35 0,6383 0,873 0, , ,39 4, ) E el supuesto de que se dspoga sólo de 600 para realzar el estudo , ,57 479, 4436 la asgaó de la muestra e ada estrato está dada por la asgaó Óptma 0, 63836, ,87337, ,74434, o be resolvedo la euaó dode ,57 3, A partr de se obtee los segú la asgaó Óptma. Eemplo.4 Cotuado o el eemplo. a) Cuátos hogares debería etrevstarse s se qusera haer dha estmaó o u error feror al 5%. (Supógase que se realza la etrevsta por teléfoo el oste de las observaoes es el msmo para todos los asos al o ser eesaros los traslados. Tómese los aterores datos omo ua muestra preva para estmar los parámetros eesaros) b) Respódase a la preguta ateror pero supoedo que o se tee gua formaó preva sobre la proporó de hogares dode se ve el programa. 35

36 Soluó: a) p 0,4667 0,8333 0,6667 q pq 0,5333 0,667 0,3333 5,67,6685 7,9986 pq 04,7669 3, , ,934 95,4699 B 0,05 D 0, ( pq ) 3 D pq 95, , , ,934 3 pq pq 04, ,98 0,9 0 95,4699 aálogamete 30, , b) p q pq ,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5,5 3, D pq 0 04,878 0, p q , ,878 40,98 4 6, 46 6 aálogamete El muestreo estratfado o sempre odue a u estmador o meor error de estmaó, esto suele ourrr uado los estratos o está formados por elemetos sufetemete homogéeos. Muhas vees es debdo a que predoma el deseo de obteer estmaoes e ada estrato (por eemplo, e u estudo regoal també se quere obteer estmaoes a vel proval) frete al obetvo de mmzar los errores de los estmadores. Este problema queda be lustrado o el sguete eemplo. Eemplo.5 U dstrbudor de produtos de lmpeza desea ooer el osumo por hogar durate u año de u determado produto e ua omara formada por uatro mupos. 36

37 Para estmar de paso també el osumo e ada mupo dede usar muestreo estratfado tomado ada mupo omo u estrato. Se sabe que el 0% de la poblaó de la omara vve e el mupo, el 30% e el mupo, el 5% e el mupo 3 el 5% restate e el mupo 4. El dstrbudor tee medos sufetes para otrolar obteer datos sobre el osumo aual de 0 hogares. Dado que o tee formaó preva respeto a las varazas de los estratos porque el oste del muestreo es el msmo e ada mupo, dede aplar asgaó Proporoal, la ual odue a 00, 0 4 de forma smlar Obteedo los resultados de la tabla sguete (osumo epresado e euros). Estrato Estrato Estrato 3 Estrato ,5 S 09, S S S4 440 Estme el osumo aual medo por hogar fe u límte para el error de estmaó. 3 4 Soluó: 0, 0 0,30 0, 5 0, 5 0, 0507,5 0, , 549 0, ,5 4 4 st Obsérvese que uado se utlza la asgaó Proporoal st 500,5, efetvamete E la sguete epresó osderamos los oefetes orretores para poblaoes ftas e ada estrato guales a la udad 4 4 S S S V( st ) 09, , 0 0,30 0, 5 0, 5 88, 9 V ( ) 8,79 st 37

38 Supogamos que el dstrbudor hubera deddo tomar ua muestra aleatora smple de 0 hogares, los msmos 0 de la tabla ateror, etoes el estmador de la meda hubera sdo 0 500,5 que ode o el estmador del muestreo estratfado por las razoes meoadas aterormete, pero la varaza estmada error de estmaó asoados tomaría los valores S 50, 79 S 50, 79 V( ) 76,04, se supoe 0 V ( ) 7,44 Se observa que el error de estmaó es meor e el aso del muestreo aleatoro smple, esto es debdo a que el dstrbudor o tuvo e ueta que el osumo varía muho detro del uarto mupo. Pudo haber obtedo u error meor s hubera estratfado e base al tamaño de las famlas u hogares, esto es, oloado los hogares pequeños e u estrato, los medaos e otro,..., es der, formado los estratos o hogares que tega u osumo smlar..5 Estratfaó después de seleoar la muestra. A vees o se sabe a qué estrato perteee u dato hasta que o se observa (por eemplo, estratos segú seo etrevsta telefóa). Supógase ua muestra aleatora smple de persoas para ua euesta. a muestra puede ser dvdda e masulos femeos después de que ha sdo realzada. Etoes e lugar de usar para estmar, podemos usar st sempre que sea oodo para todo. Obsérvese que e esta stuaó los so aleatoros, a que varía de ua muestra a otra auque sea fo. uego esto o es ua muestra aleatora estratfada e pleo setdo, pero s es oodo 0, etoes este método de estratfar después de la seleó es as ta eato omo el muestreo aleatoro estratfado o asgaó Proporoal. Este método o debe usarse s o ua buea apromaó de su valor se desooe. 38

39 Eemplo.6 E ua udad se sabe que el 30% de los hogares tee alefaó elétra. Al realzar ua euesta sobre el osumo de eergía (valor e euros de la fatura bmesual) se obtuvero los sguetes resultados: Tpo Calefaó º asas Valor total de las faturas uasdesvaó típa muestral Elétra o elétra Obtega ua estmaó del valor medo de la fatura de eletrdad e la udad el límte para el error de estmaó. Soluó: Ya que la proporó observada de faturas de hogares o alefaó elétra (0,60=60/00) está mu aleada de la proporó verdadera (0,30), es oveete la estratfaó después de que se ha seleoado la muestra aleatora smple. Además el proedmeto se ustfa pues tato omo supera , (0,3095,5) (0, 705) 65, 05 st S S V( st ) omtedo el oefete orretor por poblaoes ftas se tee S S V( st ) 0,30 0, 70 59, V ( ) =5,4 st A vees este método de estmaó se utlza para austar por o respuesta. Por eemplo, s muhos de quees o respodero a ua muestra aleatora smple so varoes, etoes la proporó de varoes e la muestra va a ser pequeña, se podría osegur u estmador austado medate la estratfaó después del muestreo. Así, e este eemplo la baa represetaó e la muestra de faturas s alefaó elétra la alta de faturas o alefaó elétra odue a ua sobreestmaó del valor medo de las faturas s se utlza muestreo aleatoro smple o se austa la estmaó de la meda o la estrafaó después de seleoar la muestra: ,

40 Co el muestreo aleatoro smple sobrevaloraríamos el osumo medo de eletrdad por hogar (78,0>>65,05). EJERCICIOS RESUETOS. U aalsta de la opó públa tee u presupuesto de euros para realzar ua euesta sobre el úmero medo de ohes por hogar. Se sabe que de los hogares de la udad, tee teléfoo. as etrevstas por teléfoo uesta 0 euros por hogar llamado las etrevstas persoales uesta 30 euros por hogar vstado. Supoga que las varazas e los estratos o s teléfoo so guales. Co el obetvo de mmzar el límte de error de estmaó Cuátos hogares debe ser etrevstados e ada estrato s los hogares que ueta o servo telefóo so etrevstados por teléfoo los hogares s teléfoo so etrevstados persoalmete? SOUCIÓ: C C C C ,64 784, , , ,5.846,05/3.08,64=0, , ,6 8,574/3.08,64=0, , ,76,0000 O be.784,80, , ,80, , ,397,809, ,8, 06 Y a partr de se obtee omo ates. 40

41 . Se desea ooer el úmero de fes de semaa que las famlas de ua gra udad sale fuera de ella. Se sabe que el 4 5% de las famlas tee de 0 a hos, el 30% tee de 3 a 5 hos el 7 5% tee más de 5 hos. Se realzó u muestreo segú el úmero de hos se pregutó a las famlas sobre los fes de semaa que pasa fuera, obteédose los sguetes datos: úmero de hos Mas de Estmar el úmero medo de fes de semaa que las famlas pasa fuera de la udad dar el límte de error de estmaó. Omtr el orretor por poblaó fta. SOUCIÓ: st S ,56 9,6 3 4, , 459,56 0,309,6 0, 754,87 8,5 S S S S S V ( st ) 60,77 63,0 78,4 0, 45 0,30 0, 75, ,07, 3. Ua ompañía de autobuses está plaeado ua ueva ruta para dar servo a uatro barros. Se tomaro muestras aleatoras de hogares e ada barro se soltó a los membros de la muestra que valorase e ua esala de (totalmete opuesto) a 5 (totalmete a favor) su opó sobre el servo propuesto. os resultados se resume e la tabla aduta: Barro ,5 3,6 3,9 3,8 S 0,8 0,9, 0,7 a) Halle u tervalo de ofaza para la opó meda de los hogares que dspodrá del uevo servo. b) S se asga la muestra de 00 hogares de la meor forma, determe uátos perteeería al barro 3. (Supoga guales los ostes de observaó) 4

42 SOUCIÓ: a) S 000 st 3, 75 V( st ) 0, b) B V( ) 0,973 3,577, 3,93 st 350, (40 0,8) (90 0,9) (350,) (0 0,7) 000, , Ua empresa espealzada e seguros está pesado e ofreer sus servos a las empresas de los polígoos dustrales de ua udad. Para austar sus tarfas desea estmar el gasto e pequeñas reparaoes de matemeto (obeto del seguro) de dhas empresas. Se lasfa las empresas e fuó de su tamaño. El úmero de empresas de ada tpo, el oste de obteó de esta formaó e ada empresa así omo los valores mímos, medos mámos de u estudo smlar heho hae dos años se epresa e la sguete tabla (los ostes gastos está epresados e euros) Tpo de úmero de Costes de Gastos de reparaó empresa empresas observaó Mímo Meda Mámo A B C S la empresa de seguros dspoe de hasta 600 para llevar a abo la estmaó, uátas empresas de ada tpo tee que observar para osegur que sea mímo el error de estmaó asoado? SOUCIÓ: a asgaó que mmza la ota del error de estmaó para u oste fo es la asgaó Óptma. Usamos que R4 por tato estmamos que R R = ( = ) 600 = = = 600/ = = = = = = 3 =

43 C = (68) + (934) + (436) = 578 < E ua poblaó ompuesta por apromadamete gual úmero de hombres que de mueres se desea estmar el gasto medo mesual por habtate e oo. Se lleva a abo la euesta por teléfoo medate ua muestra aleatora smple de 500 úmeros de teléfoo del tado mupo. Después de obtedos los datos se observa que sólo 00 de los euestados fuero hombres el resto mueres. Por ello se dede llevar a abo ua estratfaó después de seleoar la muestra obteédose los sguetes datos HOMBRES MUJERES S Estme la meda poblaoal de gasto mesual e oo su ota de error, medate muestreo aleatoro estratfado después de seleoar la muestra. SOUCIÓ: S S , , st , S V( st ) 9,6 9,6 0, E ua poblaó ompuesta por apromadamete gual úmero de hombres que de mueres se desea estmar la proporó de dvduos que ve u determado programa de televsó. Se lleva a abo la euesta por teléfoo medate ua muestra aleatora smple de 300 úmeros de teléfoo. Después de obtedos los datos se observa que sólo 50 de los euestados fuero hombres el resto mueres. Por ello se dede llevar a abo ua estratfaó después de seleoar la muestra obteédose los sguetes datos HOMBRES MUJERES Euestados Ve el programa 30 Estme la proporó de la poblaó que ve el programa de televsó su ota de error, medate muestreo aleatoro estratfado después de seleoar la muestra. 43

44 SOUCIÓ: 30 p 0, 4 p 0,5 q p p p p 0,500, 4 0,500,5 0,38 p 38% st st S pq pq pq pq V( pst ) 0, 40, 76 0,50, ,50 0,50 0, V ( p ) 0, ,87% st 7. Ua orporaó desea estmar el úmero total de horas perddas debdo a adetes de sus empleados, e u determado mes. Ya que los obreros, téos admstratvos tee dferetes tasas de adetes, la orporaó dede usar muestreo estratfado, formado o ada grupo u estrato. Datos de años prevos sugere las uasvarazas mostradas e la sguete tabla para el úmero de horas perddas por empleado e los tres grupos, de datos atuales se obtee los tamaños de los estratos. o habedo dferea etre los ostes de observaó de ada grupo, determe la meor asgaó para ua muestra de 40 empleados. SOUCIÓ: Obreros Téos Admstratvos S S , , , Dode se ha aplado la asgaó de ema al ser los ostes de observaó guales: 3 400,594 3, ,345 3, , 0608,