REGIMEN PERMENENTE SENOIDAL

Transcripción

1 A.4. TEOÍA DE UTOS APÍTUO 8: EGMEN PEMENENTE SENODA ádra d Tría d ircuis Edición 0

2 8. Snids y fasrs. Méd sibólic. nsidrars ahra ls circuis linals, invarians n l ip y sudiars su cprain n régin prann snidal, s dcir cuand sán alinads pr funs sinusidals d una frcuncia. Nusra a srá dsarrllar la écnica d análisis pr l éd fasrial, l cual cnsis n asciar a cada nda snidal (d nsión d crrin un núr cpl dninad fasr. Esa écnica s uy ipran n la ingniría pr varias razns: a nurss circuis pran sncialn n régin prann snidal, b s suan ficin, cn apli rang d aplicabilidad (circuis lécrics, sisas d cnrl, lcragnis, c. c al c s vrá n as y asignauras psrirs, si cncs la rspusa d un circui linal invarian n l ip a una nrada sinusidal d cualquir frcuncia, pds calcular su rspusa a cualquir sñal, aplicand, pr pl, ransfrada rápida d Furir. En la figura s usra una nda snidal gnérica, cuya xprsión pral s: v( sn ( φ dnd: s l valr áxi apliud d la snid, s la frcuncia angular n radians/sgund. El príd, dsignad pr T, s l inrval d ip rqurid para cplar un cicl, sa, l ip ranscurrid nr 0 y π. ug, T π / φ s l ángul d fas inicial, did n radians grads, y rprsna un dsplazain hacia la izquirda d la snid cn rspc a una snid d rfrncia, d anra qu dcis qu sa snid sá adlanada φ radians, φ/ sgunds. v(.sn( φ φ/.sn( T π/ Fig. Esa nda snidal pud abién scribirs c una función csn: v( cs ( φ - π/

3 y, si dninas θ φ - π/, ndrs qu: v( cs ( θ ( cs θ cs - ( sn θ sn Aplicand la idnidad d Eulr: s fácil dsrar qu: cs cs sn dnd { } sn { } s érins y - pudn inrprars c vcrs rans: rprsna un vcr uniari qu ra n snid anihrari c s usra n la fig.a, dad qu la agniud d s: [cs sn ] ½ y su fas s: ϑ an an sn cs rprsna un vcr uniari qu ra n snid hrari, c s usra n la figura b: - (a Fig. (b as ndas sns y csns pudn inrprars n función d ss vcrs rans, y dsd ahra uilizars la función xpnncial c un di para drinar las rspusas d ls circuis a las xciacins sn y csn. lvind a la nda snidal srada n la figura, y rcrdand la rlación qu xis nr l valr

4 áxi y l ficaz n una nda snidal, pds scribir: v ( sn ( Φ sn ( Φ qu, n bas a la idnidad d Eulr, s: v ( ( { } { } Φ Φ xprsión n la qu pds bsrvar qu Φ s un núr cpl qu da infración acrca dl valr ficaz y la fas d una función snidal dada. Es núr cpl s pr dfinición la rprsnación fasrial, fasr d la función snidal dada. Así, inrducis una nuva nación, la nación sibólica: Φ y dcis qu s l fasr asciad a v(. En ras palabras, l fasr "ransfir" la función snidal dsd l dini pral al dini cpl. ( Epls: v(..cs ( [. ( ] i(. 6.sn ( [. 6 ] 6 0 a xprsión bnida n ( s la fra plar dl fasr, sind su fra rcangular: csφ snφ Tan la fra plar c la rcangular sn suan úils para la rslución d circuis pr l éd fasrial. a agniud, ódul, d dich fasr srá: {& } { & } y su fas srá: φ - arg an ( & ( & ncind la frcuncia d la nda d xciación, pdrs pasar dl fasr a la xprsión pral d la agniud: v( [ Φ ( ] [ ] [ Φ ] [ cs ( Φ sn ( Φ ] Pr cnvnción, rprsnars ls fasrs dian l valr ficaz d la agniud, sind su

5 4 rprsnación n l plan cpl la srada n la fig., cuya xprsión n fra plar s: Φ dnd Φ indica l ángul d fas inicial d la agniud n sudi. {} φ {} Fig. Para hacr us d ls fasrs n l análisis d ls circuis linals invarians n l ip n régin prann snidal s dbn nr prsns ls siguins las: a (unicidad: Ds snids sn iguals si y sól si sán rprsnadas pr l is fasr. a (linalidad: El fasr qu rprsna la cbinación linal d snids cn cficins rals s igual a la isa cbinación linal d ls fasrs qu rprsnan a las snids individualn. a (rgla d drivación: A s l fasr d una snid dada si y sl si A s l fasr d su drivada. a dsración d ss rs las s uy sipl: a : Ds snids sn iguals si y sól si sán rprsnadas pr l is fasr. D: ] Supns (A& (B& A B 0 A& B& A& B& y (A& (B& Si Si ] Supns 0 0 π ( A ( B ( A ( B (A & (B& A ( A& ( A& ( B& ( B& B

6 5 a : El fasr qu rprsna la cbinación linal d snids cn cficins rals s igual a la isa cbinación linal d ls fasrs qu rprsnan a las snids individualn. San las snids x (A ( & y x (A ( &. Sgún vis, l fasr A rprsna a la snid x ( y l fasr A a la snid x (. San a y a ds núrs rals cualsquira, nncs la snid a x ( a x ( sará rprsnada pr l fasr a A a A. D.: hacs pr cálcul: { A } a { A } ( ax ( a x ( a a y a sn núrs rals, y pr álgbra sabs qu, dads ds núrs cpls Z y Z srá: d dnd { Z } { a Z } i, a i i i i { Z } a { Z } { a Z a } a Z Aplicand s a ( srá: { } { A } a { A } { a A a A } ( a A a A a Esa xprsión y la indicada cn ( ns cnducn a: a x ( a x ( {( A a A a } sa, la snid a x ( a x ( quda rprsnada pr l fasr a A a A. a : A s l fasr d una snid dada si y sl si A s l fasr d su drivada. d [ A& ] [ (A& ] d D: Acpand qu ls pradrs linals y d/d cnuan, sa: Pr cálcul: d d [ A [ A& Ψ ] d d A& d [ A& d d ( ] [ A d A [- sn ( Ψ ] [A ] Ψ d d ] Ψ A [ A& d d A ] cs( Ψ ] [ A. ]

7 6 Epl: Dbs fcuar una sua d snids d igual frcuncia. A cs ( Φ A cs ( Φ d A cs ( Φ d s qu, lug d hacr la drivada, la xprsión s rduc a una snid única d frcuncia. Si bin pdrías ralizar l cálcul n fra rignérica, s un prcs cplicad, pr l qu rcurrirs a las rglas d raba cn fasrs qu hs aprndid. Supnind qu ls fasrs crrspndins sn: Ψ A A Ψ A A Ψ A A , 7,046,8 0,065 4,689 5,87 0,899 and 77 rad/s, y aplicand la rgla d drivación, l úli suand pud rprsnars pr l fasr: Pr l qu la sua rsula: 6 A 77 0, 7,9 4,548 57,5 A A A 56,44,66 6, 08 crrspndiéndl la siguin vlución pral n función dl csn: cuya rprsnación gráfica s: [ A ] 6,08 cs (77 57,5 A 57, 5 Fig. 4 Ercicis d aplicación: a Drinar ls fasrs qu rprsnan las siguins funcins rals dl ip. i0 cs( ii cs( iii cs ( π 5 sn 6 π π sn( π 4π cs( cs( (rfrida al csn (rfrida al sn (rfrida al sn

8 7 b Escribir las funcins prals qu crrspndn a ls fasrs bnids. as: 8,66 i a 0 0,58 ii a 5 iii a 0 b 8,66 cs ( b 0,58 sn ( -5 b 0 Evaluar las siguins canidads cplas y xprsar las rspusas n crdnadas plars y rcangulars ( ( 0-45 ( a b c ( 5 ( ( 45 as: a (0, 0,4 0,447 6,4 b (,05 c (0,8-0,566,707, ,6-6,4 a d.d.p. n brns d un ln s v( cs, y la crrin asciada s i(- sn ( 0 A. Drinar l dsfasa nr abas agniuds. 4 a xprsión pral d una d.d.p. s v( cs 4 4 sn 4. Obnga l fasr asciad. 5 Una d.d.p in c xprsión pral v( 6 cs (4 0. a Drinar l príd d scilación. b Obnr l dsfasa rspc a una crrin asciada i( 8 cs (4-70 A. 6 Pdría bnr l dsfasa nr las siguins ds agniuds: v( 4 cs 5 i( cs ( - 45 A? Jusifiqu su rspusa. 8. prain d ls lns sipls. pdancia cpla Sabs qu, para cualquir ln linal, xis una rlación única nr la nsión y la crrin, dninada rlación vl-apr. Tal c habías vis, para una rsisncia, una inducancia una capacidad, las rlacins vl-apr sn: di( v( i( v ( i ( d d v( d Tabién sabs qu, si la nsión n brns dl ln s una snid d frcuncia angular, la crrin pr l is srá una snid d la isa frcuncia, pr l qu pds xprsar la nsión y la crrin n l ln c: v( sn ( Φ i( sn ( Φ

9 8 n l ans ncinad, y rcrdand qu la rlación nr la xprsión pral y la cpla ( fasrial d una agniud s única, pds ralizar la siguin rprsnación gráfica: i(.sn( θ θ Eln inal v(.sn( φ φ Eln inal Fig. 5 En sa scción cnzars cn las rlacins prals qu vinculan a la nsión v( cn la crrin i( n cada ln, y bndrs la rlación xisn nr l fasr nsión y l fasr crrin n una rsisncia, una inducancia y una capacidad. rs qu dicha rlación s linal, y qu abas agniuds sán vinculadas pr una cuación d la fra dnd Z s un núr cpl dninad ipdancia cpla dl ln. 8.. sisncia Para una rsisncia, la nsión y la crrin sán vinculadas pr la ly d Oh: la cual, n régin prann snidal s: Z v( i( sn( Φ sn( θ a rprsnación cpla d abs ibrs, y la aplicación dl la d unicidad cnducn a: φ θ & ug, la ipdancia cpla para una rsisncia srá: Z 0 0 Sind ral pura, usra qu la nsión y la crrin cplas n una rsisncia inn la isa fas, difirind sus agniuds n un facr, l cual s rprsna n la figura 6.

10 9 i( v( v(.i(. v( φ φ/ i( θ θ/ a pncia insanána n la rsisncia srá: Fig. 6 p( v( i( sn ( cs a cual vs qu in una cpnn invarian n l ip cn una pulsación dbl d la nsión la crrin: y una cpnn variabl cs. Es iplica qu, aplicand la dfinición visa n l capíul, ndrs un valr di d pncia P disin d cr, l cual crrspnd a la pncia disipada pr fc Jul n la rsisncia. En l capíul 8 vrs qu sa pncia s dnina pncia aciva. Ercici d aplicación: A una rsisncia d,5 Ω s aplica una d.d.p. v( 0 cs 0. Obnr la vlución pral d la crrin y scribir ls fasrs asciads a abas agniuds. prsnarls n un diagraa fasrial. 8.. nducancia: a rlación vl-apr para una inducancia d hnris s: d i( v ( d plazand pr la xprsión pral n abs ibrs, ns: sn( φ d d sn( φ [ sn( θ ] cs( θ sn( θ π

11 0 a rprsnación cpla n función d ls fasrs asciads a abs ibrs cnduc a: φ θ π π ( θ ug, la ipdancia cpla para una inducancia s: Φ Z π / s θ [ X ] Ω s Ω a cual rsula sr iaginaria pura, y rcib l nbr d racancia induciva. Ya sa n la xprsión pral n la xprsión cpla, vs qu la rlación nr l ódul d la nsión y l d la crrin s, y la fas d la nsión difir d la fas d la crrin n π/ radians. Dad qu Φ θ π/, dcis qu n una inducancia la nsión adlana a la crrin n π/ radians. ans xprsad s rprsna n la figura 7: a pncia insanána srá: p( v(. i( fig. 7 cs. sn sn Obsrvas qu, a difrncia d l qu curría n la rsisncia, n hay cpnn cnsan, si bin la pulsación abién s l dbl d la d la nda d alinación. a ausncia d cpnn cnsan indica qu l valr di d la pncia insanána s cr (n hay pncia disipada pr fc Jul, inras qu l ára ncrrada pr la curva y l d abscisas rprsna la nrgía alrnaivan ada y rrnada a la fun pr l ln, nrgía asciada al cap

12 agnéic d la inducancia. i( p( v( Fig. 8 Ercici d aplicación: a crrin d régin prann qu circula pr un inducr d H sá dada pr l fasr 0,05 40 A. Si la pulsación 00 rad/s, bnr la xprsión pral d dicha crrin, d la d.d.p. n brns y dl fasr asciad a la d.d.p. prsnar abas agniuds n un diagraa fasrial. 8.. apacidad a rlación vl-apr n un capacir s: d i ( [ v( ] d Para ndas snidals d frcuncia, ns: d sn( θ sn( Φ cs( Φ sn( Φ π d Ecuación qu, n fra cpla, s: [ ] Φ Φ ( π π. θ π a ly d Oh xprsada n fra fasrial n un capacir ns cnduc nncs a: Z π / X X [ ] Ω Dnd Z rsula sr un núr cpl d par ral nula y par iaginaria, qu s dnina racancia capaciiva. Es igualn crrc dcir qu la racancia capaciiva s.pds bsrvar qu la agniud d la nsión y la d la crrin n un capacir sán vinculadas pr un facr /, y las fass sán rlacinadas pr π/ radians. Dad qu θ Φ π/, dcis qu n una capacidad la crrin adlana a la nsión n π/ radians, qu la nsión "arasa" la crrin n π/ radians. Ess rsulads s usran n la fig. 9.

13 i( v( i( d v( d z. v( φ φ/ i( θ -θ/ π/ Fig. 9 a pncia insanána p( s: π p( v( i( sn. sn ( sn s qu, al c acnció n la inducancia, carc d érin cnsan, pr l qu su valr di s cr (n hay pncia disipada, srand una variación alrnan d pulsación dbl d la nda d alinación, y dnd l ára ncrrada pr la curva rprsna la nrgía d cap lécric inrcabiada cn la fun. nari: Al discuir la circulación d una crrin a ravés d un capacir supusis qu las placas saban sparadas pr un dilécric idal, sa, sin pérdidas. En la ralidad, ls dilécrics sán sus a pérdidas, las cuals suln sr dsprciabls. Si a psar d d dbn sr nidas n cuna, l capacir pdrá sr rplazad pr l dl d la figura 0, dnd vs un capacir idal punad pr una rsisncia qu rprsna las pérdidas d nrgía n l dilécric dl capacir ral. A parir d s dl, vs qu la crrin cpla n l capacir s igual a la sua d ds crrins: una d valr, a ravés d, qu adlana π/ a la nsión n l is, y una crrin rlaivan pquña a ravés d, n fas cn la nsión. i( i ( δ i ( v( Fig. 0

14 s así qu la crrin n un capacir ral adlana a la nsión un ángul nr qu π/. El ángul δ s dnina ángul d pérdidas dl capacir ral y su agniud dpnd dl arial y la frcuncia uilizads, variand dsd pcs sgunds hasa varis grads. El valr d la angn d δ, spcificad n ablas para dilécrics líquids y sólids s dnina facr d pncia d ls dilécrics. Finaln, dfinis la cnducancia c la rcíprca d la rsisncia y la suscpancia c la rcíprca d la racancia para ls lns viss, uilizand la nnclaura srada a cninuación: rsisncia G / (cnducancia inducancia B (suscpancia induciva capacidad B ( suscpancia capaciiva Ercici d aplicación: A ravés d un capacir d 0 µf hay una d.d.p. v( 00 cs ( Drinar la crrin n fra pral, y ls fasrs asciads a abas agniuds. prsnarls n un diagraa fasrial. 8. ys d Kirchhff n fra fasrial Dcis qu un circui linal, invarian n l ip, sá n régin prann snidal a la frcuncia /π si y sl si das las nsins d raa, das las crrins d raa y ds ls pncials d nuds sn snids d la isa frcuncia /π. En sas cndicins, das las crrins y nsins psn un fasr asciad, cn l qu l análisis d un circui n régin prann snidal s rduc a la rslución d cuacins linals algbraicas cn cficins cpls. 8.. y d Kirchhff d crrins Sa l circui d la figura. i v i v i v i 4 v 4 Fig.

15 4 En régin prann snidal, a la pulsación, la K n l nud s: - i ( i ( i ( 0 Si k s l fasr qu rprsna a la snid i k (, la cuación anrir s scrib c: - ( - ( ( 0 y, uilizand ls las d linalidad y unicidad, ns qu: crdand qu A ra la ariz (n- x b d cficins d las crrins, la prira ly d Kirchhff n fra aricial rsula sr: 0 [ A ][ i( ] 0 [ A] 0 dnd s l vcr cluna cuys lns sn ls fasrs crrins d raa,... b. 8.. y d Kirchhff d nsins Apliqus ahra la KT al cain crrad --- d la figura (bsrvas qu l rcrrid s raliza n snid anihrari. v ( v ( v 4 ( 0 dad qu v k ( (k, usand linalidad y unicidad srá: 4 0 habías vis qu la KT s xprsa n fra aricial c: T [ (] [ A ][ ϕ (] b n Pr l qu, n fra fasrial, srá: b T [ A ] ϕ n 8.. lacins vl-apr Una aplicación dirca d ls rs las a las rlacins vl-apr n l dini pral cnduc a las siguins xprsins fasrials:

16 5 Eln Exprsión pral Exprsión Fasrial sisr v( i( nducr v( di( / d apacir i( dv( / d Fun d nsión cnrlada pr nsión Fun d nsión cnrlad pr crrin v ( µ v ( v 4 ( r i 5 ( µ 4 r 5 Fun d crrin cn. pr crrin i 8 ( α i 7 ( 8 α Fun d crrin cnrlada pr nsión i 4 ( g v 5 ( 7 4 g 5 dnd µ s ganancia n nsión, α s ganancia n crrin, g s cnducancia d ransfrncia, y r s rsisncia d ransfrncia d las funs cnrladas. En érins d fasrs, vrs qu las cuacins d raa s vulvn cuacins algbraicas linals cn cficins cpls, dad qu sn fasrs (núrs cpls, s ral pur y y sn núrs iaginaris purs. 8.4 Análisis d circuis n régin prann snidal Trabaars cn l circui sri d la figura, alinad cn una fun d nsión snidal. Supns qu ha ranscurrid un ip l suficinn larg c para qu l circui haya alcanzad l régin prann. v ( v ( v ( v( i( (a (b Fig. En fra pral, la KT n l cain crrad dl circui d la figura (a rsula: v ( v ( v ( - v ( S 0 y sind qu la vlución d las agniuds s snidal d frcuncia : sn ( φ sn ( φ sn ( φ - S sn ( φ S 0

17 6, l qu s l is: ( ( ( ( 0 S S φ φ φ φ Agrupand érins, ndrs: 0 - s r c 0 s d dnd: A parir d sa xprsión, qu crrspnd al circui d la figura b, pds hallar la crrin, sin ncsidad d rcurrir al circui riginal, sin a parir dl quivaln fasrial: s slvind para s bin: i s s arcg s s S φ φ φ s así qu an la apliud c la fas d la slución: ( Φ Φ arcg s i s sán rlacinadas cn ls valrs d ls lns d la rd y la apliud, la fas y la pulsación d la fun d alinación d la isa. El dninadr d la cuación qu ns pri calcular la crrin s canidad cpla qu indicas cn la lra Z y qu rprsna la ipdancia dl circui a la 0 S Z

18 7 pulsación. El ódul d la ipdancia (qu indicas cn la lra inúscula z srá z El núr cpl Z pud rprsnars gráfican dian un riángul rcángul, c s usra n la figura (a, al cual dninars dsd ahra riángul d ipdancia, cuys cas sn, rspcivan, la rsisncia al dl circui y la racancia al X, y su hipnusa s l ódul d la ipdancia (z: z X ϕ Triángul d pdancias (a vrificánds qu: Fig. X / g ϕ y B ϕ G Triángul d Adiancias (b Tal c habías vis anrirn, la invrsa d la ipdancia rcib l nbr d adiancia: Y su ódul srá Y G B Z X y G B X X X l cual crrspnd a la hipnusa dl riángul d adiancia rprsnad n la figura (b, X sind G (cnducancia y B (suscpancia sus cas. X X Si ahra cnsidras un dipl frad pr una inrcnxión arbiraria d lns linals invarians n l ip, sind la alinación dl is una snid d frcuncia, s dnina ipdancia d pun riz d dich dipl a la frcuncia a la rlación nr l fasr y l fasr : A parir d sa xprsión, vs qu: Z ( Z(

19 8 Z Φ v z ϕ Φ i Φ v ϕ Φ i ϕ Φ v Φ i pr l qu l ángul d la ipdancia ϕ, qu s usra n la figura (a, rsula sr la difrncia nr l ángul d fas d la nsión y l ángul d fas d la crrin. A parir d sa xprsión pds bsrvar qu dich ángul pdrá sr psiiv ngaiv, sgún sa qu la nsión adlan aras a la crrin, sa qu l circui nga cprain induciv capaciiv. El is ángul aparc n l riángul d la figura (b. Aplicación: nsidrs la cnxión sri d ds dipls cualsquira, ls cuals pudn caracrizars dian sus ipdancias Z ( y Z (, y supngas qu l circui s halla n régin prann snidal. Qurs calcular la ipdancia d nrada d pun riz Z dl dipl quivaln. Pr inspcción d la fig. 4 a, vs qu la KT dic qu Y la K sablc qu. Pr l an, Z Z Z z z Y Y Z (a Y (b Fig.4 Para la siuación dual, srada n la fig. 4 b, la KT da qu, y la K qu, pr l qu la adiancia d nrada d pun riz srá: Y Y Y ncind la fra d calcular la ipdancia quivaln d dipls cncads n sri y la adiancia quivaln d dipls cncads n parall, s sipl calcular la ipdancia adiancia d pun riz d circuis cbinads sri-parall.

20 9 Ercicis d aplicación: S dispnn n sri una bbina d 0 H, un capacir d F y una rsisncia d valr 9 Ω, alinads cn una fun d nsión snidal d 00 ficacs y 00 rad/s. Dibuar l circui ransfrad. Obnr la vlución pral y l fasr asciad a la crrin. prsnar las agniuds n un diagraa fasrial. En l circui d la figura siguin hallar la d.d.p. v( y su fasr asciad. a Hallar la ipdancia d pun riz Z( b alcular su valr para 0 y rad/sg c Explicar, dian un raznain físic, l valr d la isa para 0 y i( Ω 0,5F v( Z - 4Ω H a.: 4 ( 6 a Z( ( 4 b Z(0 0 c Z( 4Ω Z( (,6, 6,86 Z(0 Ω 4 Para ls siguins circuis razar ls diagraas fasrials d nsins y d crrins. X X / Ω U U X U U X U P 00A X 4Ω U00 X / (a (b

21 0 a: a U& 00 U& & (50 50A (00 00 & (50 50A U& ( 00 b U& & (00 00 ( A & U& p (00 00 (00 00 A & (50 50 A 5 El circui srad sá n régin prann snidal. Supnr v ( cs. a nsruir un diagraa fasrial srand das las nsins y crrins indicadas. b Hallar la nsión d régin prann snidal (. ( 0,5F i ( Ω v ( - v Ω ( - i ( i( H a.: ( ( & E& a & (0,5 0,5 (0,5 0,5 A & A & A b (,5 cs( 45 6 Sabind qu ( cs( : i a alcular & S y xprsarla n fra pral. b Trazar l diagraa fasrial d las nsins y las crrins indicadas.,5ω i ( 0,5F 0,5F H i ( v ( - v ( - i S ( Ω v ( - v S ( - a.: a ( 8,6 cs( 79,9 v v S & ( 4 b & (,5A & & S ( 4,5 (,5A & (,5 & S (,5 8,5

22 7 Para l siguin circui, sind ( cs( 45 i S a Usand fasrs, bnr la slución d régin prann snidal para v ( i (. b alizar un diagraa fasrial n l qu figurn das las nsins y crrins. i S ( i ( H Ω 0,5F v ( - a.: v ( cs ( 5 i (,44 cs ( 8 En l siguin circui calcular l valr d X, U, & &, &,&, & T. prsnar las variabls d nsión y crrin n un diagraa fasrial. T (6 - A 0Ω U AB 60 U 6,5Ω A B 0Ω X -5Ω a.: X 5Ω U& (65 0v & ( A & (4 0A & ( A & (8 0A T 9 En l siguin circui bnr v(, sind ( cs( Trazar l diagraa fasrial d las agniuds indicadas. i 6Ω H v( u ( i ( 50µF 6Ω u ( i ( i ( 4H a.: v( 47,6 cs(000 6,9

23 0 a En l circui d la figura, bnr v( i ( uilizand ls das dl diagraa fasrial; graficar das las agniuds uilizadas. b alcular l valr d. r/s u unidad gráfica Escala : u ls Escala : u Apr & H v( - i( v ( i ( 4Ω H i ( u u & a.: v( i ( 0,5F cs( 90, cs( 5,4 A Hallar ls lns qu cpnn las ipdancias Z y Z indicand sus valrs n Ω, H, F, supnr qu cada ipdancia sá cpusa pr un únic ln. π v( 50 sn(0 4 π i( 400 cs(0 6 v( i( Z Z alizar l diagraa fasrial dl circui d la figura y hallar la xprsión pral d la nsión v f ( d la fun. ( i 0, sn(000a 0Ω i 0H ( 40Ω 50µF i f ( v f ( 60H

24 4.5 Análisis d circuis cn inducancias acpladas n régin prann snidal. Dsacplain pr ipdancias. D acurd a l vis n l capíul, la nsión n brns d ds inducancias acpladas al c s usran n la figura 5 sará dada pr: di di di di v ± M v ± M d d d d M i ( i ( v ( v ( Fig. 5 El sign a aplicar dpndrá d qu la crrin ingrs a abas bbinas pr ls brns hólgs ( n (-. En régin prann snidal, aplicand las rglas pracinals visas, sas xprsins an la siguin fra: ± M ± M Dad qu, sgún hs vis, la ransfración a nación sibólica n alra l cupliin d las lys d Kirchhff, pds raar un circui acplad scribind dircan las cuacins crrspndins n fra sibólica. Así, para l circui d la figura 6, las cuacins d la K y la KT sn: M E E Fig.6 ( M ( ( ( ( M E E ( ( Ahra, prcdrs a susiuir pr - n la cuación ( pr n la cuación (:

25 4 ( ( ( ( E M M E M M rdnand, ndrs: ] ( [ ( ( ] ( [ E M M E M M Si dibuas l circui crrspndin a sas cuacins, vs qu s l siguin: Fig.7 parand cn l circui qu riginó l sisa d cuacins, vs qu la racancia. fu rplazada pr ( M, la racancia pr ( M y qu n la raa aparció una racancia M, la cual n in ralización física n un circui cn lns linals, dad qu crrspndría a una inducancia ngaiva, pr qu rprsna l fc d inducancia uua nr las bbinas acpladas. Esa fra d dsacplain s dnina dsacplain pr ipdancias, y, sgún s dsprnd dl prcdiin ralizad, pud aplicars da vz qu las inducancias acpladas cncurran a un is nud. nra gnral, l rplaz s hará sgún s usra n la figura 8, d acurd a qu al nud cún cncurran n ls brns hólgs: Fig. 8 E E ( M ( M ( M ( M M * * ( M ( M M * *

26 5 Ercicis d aplicación: En l circui d la figura, drinar v(. Ds inducancias acpladas inn sus brns arcads c s usra n la figura. s brns hólgs sn a y d. S unn ls brns b y c, sind i ad (. cs(0a, hallar v ab (, v cd (, la pncia insanána d nrada a la cbinación sri y la nrgía insanána qu s alacna n dicha cbinación. H H a b c d a.: v ab ( 0. cs(0 90 v cd ( 60. cs (0 90 p( -80. cs(0. sn(0-40. sn(0 w( 9 7. sn(0 90 M 4H Ds inducancias acpladas inducivan inn brns dsignads c usra la figura. Sabind qu la crrin i cd ( 0A y la crrin i ab ( - 8. sn(00a, prducn las nsins v ab ( sn(00 90 v y v cd ( 00. sn(00 90 v, asignar un cnun cnvnin d brns hólgs a las inducancias. Si l fabrican infra qu l cficin d acplain s 0,8 hallar, y M. a b c d a.: 5H 5H M 4H Brns hólgs a y d M 4 Escribir la KT n ls cains arcads para cada una d las rds d la figura. a ó dbrían rlacinars a, b y M para qu l circui d la figura (b sa lécrican quivaln a las inducancias acpladas dl circui d la figura (a.?

27 6 M a b a b (a a.: a M b M M (b 5 En l siguin circui drinar E&,& y U&, sabind qu A Ω Ω Ω E Ω Ω Ω Ω -Ω Ω U A Ω a.: E & ( 4 & (8 8A U& (4 6 En l siguin circui a Drinar ls brns hólgs d ls arrllains dads. b Planar las cuacins qu prian rslvrl. c Encnrar la rlación E& E& qu hac qu & sa nula, y dar la xprsión d & A n s cas E 6Ω Ω Ω 9Ω 6Ω A Ω Ω E 4Ω a.: E& E& & A ( 45 (0,5 0,5 E&