INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA. Área de Matemáticas

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA DESPENSA MARCO FIDEL SUÁREZ CIUDAD VERDE Áre de Mtemátics CALCULO Eloró: Ing. Luis Ernesto Gómez Vrgs Lic. en Mtemátics y Computción.016 Nomre:

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3 Clculo doc - 1 UNIDAD I. LOS REALES 1. QUÉ TAL ESTAMOS PARA DIVIDIR? VEAMOS: BIENVENIDO En 1969, L. Vosurgh Lyons presentó en un revist de ilusionismo, Un mligno prolem de disección. El polígono se puede descomponer en cutro polígonos congruentes. Cómo puede dividirse el polígono en cinco polígonos congruentes?, y en ocho? LOS REALES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Ddos los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {, 4, 6, 8, 0}, encuentre: (.) A U B () A B (c) El producto crtesino A B (d) El producto crtesino B A. (e) El producto crtesino A A El producto crtesino B B. DÍGITOS NATURALES CERO ENTEROS ENTEROS NEGATIVOS RACIONALES RACIONALES NO ENTEROS IRRACIONALES REALES En l medid en que hemos vnzdo en el estudio de ls mtemátics lo lrgo de nuestr vid, hemos ido conociendo cd vez más sistems numéricos. Le cuiddosmente el digrm que se present y sque conclusiones cerc del origen de los números reles; estlezc relciones de contenenci entre los diferentes conjuntos de números que precen relciondos; encuentre un error en el digrm, dig cul es y propong un mner de solucionrlo. Eplique su rzonmiento. I, A, P Áre de Mtemátics.016

4 Clculo doc - ESTRUCTURA DE LOS REALES Asocitiv Eiste elemento neutro Adición (+) Cd R tiene un opuesto - <R,+,*> es un grupo elino Conmuttiv Conjunto R * Distriutiv respecto de + Asocitiv Multiplicción (*) Eiste elemeto neutro Conmuttiv <R,+,*> es un nillo conmuttivo con identidd Cd <> 0 de R tiene un inverso -1 <R,+,*> es un cuerpo En el conjunto de los números reles R, se estlecen dos operciones ásics que son l sum y el producto. Cd un de ells tiene sus propieddes y crcterístics propis que y se hn estudido en ños nteriores. Como se oserv, en el digrm, los números reles formn grcis ests operciones lo que se conoce como CUERPO porque cumplen con tods ls condiciones pr serlo. Pero se puede firmr tmién que conformn un ANILLO CONMUTATIVO CON IDENTIDAD y un GRUPO ABELIANO por l mism rzón. ALGO PARA HACER Escriir en el cuderno cules son ls propieddes (o crcterístics) de un Grupo Aelino I REPASEMOS EN CASA: Ls propieddes y operciones con conjuntos, ls propieddes de l sum y del producto en los números reles. Áre de Mtemátics.016

5 Clculo doc - 3 UNIDAD II. DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDADES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Ordene de menor myor los siguientes números: 5, 8,, 4, 9, 3, 6, 0, 10, 15, 7 Escri el signo Myor que (>) o Menor que (<) según correspond ACTUALICÉMONOS LO QUE SE ENCUENTRA EN LOS LIBROS DESIGUALDADES L firmción de que un epresión lgeric es myor que (o menor que) otr epresión lgeric se llm desiguldd. Ls epresiones, llmds miemros de l desiguldd, deen ser números reles. Los signos usules de desiguldd son > y < y se leen, respectivmente, es myor que y es menor que. Si y son números reles, l desiguldd > signific que es un rel positivo, mientrs que si y son números reles, l desiguldd < signific que es un rel negtivo. RECORDEMOS Sen y dos números reles. Decimos que < si está l izquierd de en l rect numéric. Del mismo modo, decimos que > si está l derech de en l rect numéric. es menor que. < es myor que. > Áre de Mtemátics.016

6 Clculo doc - 4 OBSERVACIONES S 1. signific que < o =.. signific que > o = signific que < 0 o = 0. ( es NO POSITIVO) 4. 0 signific que > 0 o = 0. ( es NO NEGATIVO) 5. < 0 signific que es NEGATIVO 6. > 0 signific que es POSITIVO Es un hecho interesnte y útil que pr dos números reles culesquier y, <, >, o =. Est propiedd (llmd tricotomí) no l comprten todos los sistems numéricos. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Ddos,, c, d R, entonces se cumplen ls siguientes propieddes: 1. Si 0, entonces > 0. Si < y < c, entonces < c, (Trnsitiv) 3. Si < entonces + c < + c 4. Si < y c > 0, entonces c < c 5. Si < y c < 0, entonces c > c 6. Si < y c < d, entonces + c < + d 7. Si > 0, entonces ( > 0 y > 0) o ( < 0 y < 0) 8. Si, entonces + >. ALGO PARA HACER Escriir dos ejemplos de cd un de ls propieddes de ls desigulddes Indicr si los siguientes enuncidos son verdderos o flsos. Eplicr. 1. (-5) < 0 ( ). Si 5 < -4 y 4 <, entonces 5 < ( ) 3. Si 0 < 15, entonces 0 15 < ( ) 4. Si m < n, entonces 5m < 5n ( ) 5. Si > y y z < 0, entonces z < y z ( ) 6. Si <, entonces > ( ) 7. Si < 0 y y < 0, entonces / y < 0 ( ) 8. Si > 0 y y < 0, entonces + y > y ( ) 9. Si / y > 1, entonces > y ( ) 10. Si > 0 y y < 0, entonces y > y ( ) Áre de Mtemátics.016

7 Clculo doc - 5 El sentido de l desiguldd se invierte cundo se multiplicn o dividen mos miemros del enuncido de un desiguldd entre un número negtivo INTERVALOS UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Cuántos números enteros hy myores que 3 y menores que 10? Escri los números enteros myores o igules que 4 y menores que 6. Cuántos números enteros hy myores que cinco? ACTUALICÉMONOS L dole desiguldd < signific que < y que ; es decir, que está comprendid entre y, inclusive, pero no. Este hecho nos llev l notción de intervlos que se resume en l siguiente tl. NOTACIÓN DE INTERVALO NOTACION DE DESIGUALDAD GRÁFICA LINEAL [, ] [ ] [, ) < [ ) (, ] < ( ] (, ) < < ( ) [, ) * [ (, ) > ( (, ] ] (, ) < ) * El símolo (infinito) no es un número. Cundo se escrie [, ) simplemente se refiere uno l intervlo que empiez en y continú de mner indefinid hci l derech. Nunc se escriirá [, ] Áre de Mtemátics.016

8 Clculo doc - 6 ALGO PARA HACER Enuncir y diujr los intervlos: 1. 3 < < > < Escriir en notción de intervlos y grficr en un eje numérico linel: 1. < 0. > 3 3. < - 4. > - 5. < < 5 6. < < < < = < < INECUACIONES UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Resolver l ecución 3 = 0 Encontrr los vlores de si : 5 4 = 0 Descomponer en fctores l epresión 0y + y - 1 ACTUALICÉMONOS L solución de un inecución es un vlor o un conjunto de vlores de ls incógnits pr los cules se produce l desiguldd prescrit. Al proceso por el cul se otiene l solución o ls soluciones de un inecución, se llm resolución de l mism. Resolver un inecución es hllr el conjunto de todos los números reles que l stisfcen. Resolución de un inecución o de un sistem de inecuciones, es el proceso por el cul se otienen sus soluciones o se lleg l conclusión de que no tiene solución. Áre de Mtemátics.016

9 Clculo doc - 7 ALGO PARA HACER Resolver ls siguientes inecuciones: < < > >0 10. ( + 1)( -)( 4) ( 1) ( 1)( 1) ( 3) < < < 3 + < ( 1)( ) ( 5) VALOR ABSOLUTO UN PASEO RÁPIDO POR LO APRENDIDO Qué distnci hy sore l rect numéric desde el punto hst el punto 5? Qué distnci hy sore l rect numéric desde el punto 5 hst el punto? Qué distnci hy sore l rect numéric desde el punto 0 hst el punto 5? Qué distnci hy sore l rect numéric desde el punto -3 hst el punto 4? Qué distnci hy sore l rect numéric desde el punto -1 hst el punto -6? Áre de Mtemátics.016

10 Clculo doc - 8 ACTUALICÉMONOS VALOR ABSOLUTO Definición =, si 0, si < 0 Se suele definir el vlor soluto de un número como l distnci que hy desde él hst el cero en un rect numéric. Propieddes del vlor soluto = 0 = 0 3. = 4. = 5. = = signific que { R / } signific que { R / } { R / } FORMA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA GRÁFICA d d - c = d L distnci entre y c es igul d. c - d c c + d c < d L distnci entre y c es menor que d. ( ) c - d c c + d 0 < c < d L distnci entre y c es menor que d, pero c ( ) c - d c c + d c > d L distnci entre y c es myor que d. ) ( c - d c c + d * (d > 0) Áre de Mtemátics.016

11 Clculo doc - 9 Pr p > 0 1. = p es equivlente = ±p.. < p es equivlente p < < p. 3. > p es equivlente < p o ien > p. Pr p > = p es equivlente + = ±p.. + < p es equivlente p < + < p > p es equivlente + < p o ien + > p. ALGO PARA HACER Resolver y grficr: t 3 < < t 3 = 4 6. u y Pr cules vlores de se cumple lo siguiente? 1. 5 = = ( + 8) = = -(3 + 7) = Áre de Mtemátics.016

12 Clculo doc - 10 CUÁNTO APRENDÍ? 1. En un eperimento de químic se mntuvo un solución de ácido clorhídrico entre 30º y 35º Celsius (es decir, 30º C 35º). Cuál es el rngo de temperturs en grdos Fhrenheit? 5 C ( F 3) 9. Se v conservr un reveldor de películs entre 6º y 77º Fhrenheit (es decir, 6º F 77º). Cuál es el rngo de temperturs en grdos Celsius? 9 ( F C 3) 5 3. Ciencis de l tierr. Cundo el ire seco se mueve hci rri se epnde, y l hcerlo se enfrí rzón de 5.5ºF por cd 1000 pies de scensión hst llegr unos pies. Si l tempertur en el suelo es de 70ºF, l tempertur T l ltur h está dd proimdmente por T = h. En qué rngo de ltitudes estrá l tempertur comprendid entre 6º y -40º F? 4. Energí. Si l demnd de energí de un circuito eléctrico de 110 V en un hogr vrí entre 0 y 750 wtts, Cuál es el rngo de l corriente que fluye por el circuito? (W = EI, siendo W = energí en wtts, E = Potencil en voltios, I = corriente en mperios) 5. Psicologí. El cociente intelectul IQ está ddo por l fórmul 100 EM IQ donde EM es l EC edd mentl y EC l edd cronológic. Si 80 IQ 140 pr un grupo de niños de 1 ños de edd, encontrr el rngo de sus eddes mentles. DONDE PUEDO PROFUNDIZAR? BARNETT, Rymond. Precálculo. Álger, geometrí nlític y trigonometrí. Ed. Limus. URIBE CÁLAD, Julio A. MATEMÁTICA. Un propuest curriculr 10. Bedout Editores S.A. LONDOÑO, Nelson y BEDOYA, Hernndo. MATEMÁTICA PROGRESIVA. Ed. Norm SWOKOWSKY, Erl. GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA LINEAL. WILLS, Drío y otros. Mtemátic Modern Estructurd 6. Ed. Norm. ENCARTA 004. Enciclopedi multimedil. Áre de Mtemátics.016