!!!""#""!!! !!!""#""!!! PROBLEMAS DE ESTRATEGIA. 1. Tarjetas con oro

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1 Tem Nº ritmétic y álger! PROBLEMAS DE ESTRATEGIA. Trjets con oro Ls trjets de nd mgnétic utilizds en los cjeros utomáticos o en ls cins telefónics son rectángulos áureos. Si mides ls dimensiones de un de ells y clculs l rzón / otendrás el número de oro: φ,68... (Compruélo).... y es que con otrs dimensiones nos precerí un trjet poco rmónic o desproporciond. Demuestr que, efectivmente, l relción / es el número de oro. Ayud: Si prtimos de l figur djunt, l ser los rectángulos proporcionles, se cumple :, y llmndo x, tenemos : x x x(x ) x x x de º grdo cuy ríz positiv ( por qué?) es : x x x 0, ecución x Φ como querímos demostrr.

2 Tem Nº ritmétic y álger! 6. Clcul el vlor de... ( ) ( ) ) (.Rcionles e irrcionles en el cuo En un cuo de rist, l digonl de un cr, k y l digonl del cuo, d ( ) son números irrcionles. Averigu si son rcionles o irrcionles ls distncis m y n señlds en l figur. Aplicndo el teorem de Pitágors : Irrcionl m, Rcionl m n. Orden de menor myor 00, 7 00, 8, 6 7, 0 y 0

3 Tem Nº ritmétic y álger! 7 propiedd " Descomponemos en fctores primos quells ses que no lo son y plicmos l n m m n : 00, 7 00, 8 7 ( ), 6 ( ) , ( ) ( ) 00 # Ls potencis otenids tienen, slvo 7, exponentes múltiplos de 00 : 7 0, ( ), ( ) 8, ( ), ( ) ( 7 ) Luego podemos comprr ls ses de los números que están elevdos 00 que por orden de menor myor son : 8 00 < 6 00 < 00 < 00 < 00 que se corresponde con: 00 < 600 < 00 < 7 00 < 00, y el 7, como 7 < 00, será el menor, quedndo definitivmente ordendos : 8 < < 00 < 00 < < V de vels De ests dos vels, l más estrech mide cm y se consumirá totlmente en hors y medi. L otr trdrá hors en consumirse. Si ls dejmos rder, l co de dos hors tendrán l mism ltur. Qué ltur tiene hor l vel más nch? Si l vel de cm se consume en, h, en h se hrán consumido 8 cm. L ltur de est vel hor es de ( cm 8 cm ) 6 cm. Si suponemos que l otr vel mide x cm, en hors se consumirán x cm, luego quedn x cm por consumirse. En este momento, ms vels tienen l mism ltur. Por tnto: x 6 cm x 0cm ess lo l que medí l l vvel l máss corrtt..

4 Tem Nº ritmétic y álger! 8 6. Dentro del cudrdo Clcul el áre de l zon colored. El áre del cudrdo ABCD mide cm. Al unir los centros de ls cutro circunferencis se otiene otro cudrdo EFGH de áre l mitd del inicil: A ABCD cm A EFGH 7 cm, cuyo ldo medirá : l A 7 cm 6 EFGH EFGH cm Como: Áre de EFGH Áre zon somred Áre sector circulr y, por ser el ángulo del sector circulr de 0, cutro sectores de 0º equivlen un círculo de diámetro d EF 6 cm, se cumple : EF 6 Áre de un circulo π R π π π( ) 8π cm, luego : Árree ssoomrreedd Árree EFFGH Árree cci irrccuul loo 77 88ππ 77 66,,,,88 ccm. JUEGOS PARA PENSAR. Números egipcios Los números son un invento humno perfecciondo lentmente trvés de los distintos puelos y culturs. En el ntiguo Egipto y se usn ls frcciones, pero no como hor. En relidd, solo sín escriir frcciones con el numerdor igul l unidd: Ls frcciones con numerdor distinto de uno se expresn como sum de ls nteriores, empezndo por ls de denomindor más pequeño posile.

5 Tem Nº ritmétic y álger! Qué frcciones expresn estos ppiros? Cómo escriirí un egipcio ests frcciones? Uno de los lgoritmos pr descomponer culquier frcción ( comprendid entre 0 y ) en frcciones egipcis consiste en tomr l myor frcción unitri posile (es decir, l de menor denomindor) que no supere el vlor de l frcción dd, restr ls dos frcciones y repetir el mismo proceso pr l frcción otenid. Por ejemplo, pr 7/, l primer frcción es /; luego hcemos 7/ - / / ; pr / l frcción será /8; hciendo /- /8/0, result 7///8 /0. Si pr un frcción hemos otenido un descomposición, es posile hllr otr con un término más, de lo que puede deducirse que si hy un, hy un infinidd. Por ejemplo, prtir de /7//, cmindo l últim frcción se otiene /7 / / /0; de ést se puede otener /7 / / / / 0, y sí sucesivmente. Oserv que st con sustituir el último denomindor por el siguiente y por el producto de los dos. Así, en el primer pso de nuestro ejemplo cmimos por y por 0 ( x ) y luego 0 por y por 0 (0 x ); este cmio siempre es posile, pues, en generl, /n / (n ) / n (n ), y este método permite otener cd vez un nuev descomposición, con denomindores myores que los nteriores. Teniendo en cuent lo dicho un posile descomposición serí : Descomposición de frcciones de numerdor y denomindor impr n

6 Tem Nº ritmétic y álger! 0 Oservndo ls distints descomposiciones, prece intuirse el método: dividimos por el denomindor y tommos el entero superior, que será el denomindor de l primer frcción unitri; el segundo se otiene multiplicndo el primero por el denomindor de l frcción inicil; este método es válido en generl, y que:. Solo con tres... n n n (n ) El número puede conseguirse utilizndo solmente tres ochos. Así: 888 Cómo lo hrís utilizndo solmente tres treses? Y con tres doses? 7. Número escondido Aquí hy un numero que es cudrdo perfecto. Además, sus dos últims cifrs son, precismente, l ríz cudrd de él mismo. Qué número puede ser? 6 es cudrdo perfecto (es el cudrdo de ).. A simple vist... Cuánto mide l superficie colored de cd cudrdo si l superficie de uno de ellos es de 6 CM. Como el áre del cudrdo es de 6 m su ldo medirá l A 6 cm cm, y, l estr dividido cd ldo en prtes igules, el ldo de cd cudrdito pequeño ( puntedos) será de cm. Tenemos tres triángulos y un trpecio, cuys áres son : (B ) ( ) A I cm ; AII cm ; AIV cm ; AIII h cm El áre de l figur somred es 6 ( ) m.

7 Tem Nº ritmétic y álger! Podrís utilizr l mism estrtegi del cso nterior y restr l áre totl, el áre de cudrdos y dos trpecios, pero según se preci en l figur, uniendo los vértices se form un cudrdo y el áre somred es l mitd, vmos hllr el ldo de ese cudrdo ( en el triángulo ABC) y después su áre : Aplicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo ABC, tenemos el ldo l : ( ) cm A cm l AB AC 0 cm A l s El áre no somred está formd por : $ triángulos rectángulos de áre ½ cm. $ Triágulos isósceles de se cm y ltur h cm, luego el áre será : A somred 6 ( 8 ) cm. h A 8 cm. Dominó Orden ests fichs de dominó en l posición que ves en l figur de jo.