ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES La medida y su error

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3 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES La medda su error Carlos F. Gozález Ferádez Catedrátco de Físca Aplcada Uversdad Poltécca de Cartagea

4 II Lceca Escogda Atrbucó-NoComercal-SDervadas 3.0 Uported Esta o es ua Lceca de Cultura Lbre. Este ítem está sujeto a ua lceca Creatve Commos Lceca Creatve Commos Los ítems del repostoro está protegdos por coprght, co todos los derechos reservados, a meos que se dque lo cotraro.

5 III PRÓLOGO Este lbro está drgdo a estudates uverstaros de los prmeros cursos de ttulacoes de cecas e geerías; pretede ser ua breve guía que faclte al alumo el tratameto adecuado de los datos epermetales que va a obteer e sus eperecas de laboratoro, de modo que sepa epresar los resultados de sus medcoes de maera compresble correcta. El objetvo básco es que sea u maual que permta, de maera práctca efectva, dstgur las dsttas causas de error, epresar su flueca e los resultados de las medcoes medate los crteros e ídces de certdumbre que covee emplear, de acuerdo co las reglas ormas que habtualmete se utlza e la comudad cetífca técca. El lbro está orgazado e cco capítulos. Los tres prmeros se refere a la teoría de errores, tato sstemátcos como accdetales, así como a la regresó correlacó; el tratameto estadístco se ha reducdo al mímo dspesable para troducr los ídces de error más utlzados, su sgfcacó. Los dos últmos capítulos, complemetaros de los aterores, so útles a la hora de epresar los resultados. Cotee ormas a segur tato e la represetacó gráfcas de los resultados de las medcoes, como e la epresó de las udades; se clue també el Sstema Iteracoal de Udades. Cartagea, septembre de 0

6 IV

7 V Ídce aalítco PRÓLOGO III Capítulo ERRORES SISTEMÁTICOS. Causas de error. Medda drecta 4..- Error absoluto 4..- Error relatvo Eacttud precsó de las meddas Precsó sesbldad de los strumetos de medda Forma correcta de epresar los resultados.3 Medda drecta Propagacó leal del error absoluto Lmtacoes e la aplcacó del cálculo dferecal Aálss de dsttos problemas Sere de meddas Capítulo ERRORES ACCIDENTALES 5. Poblacó muestra 6. Estadístca descrptva 7..- Meddas drectas. Dstrbucoes de frecuecas estadístcos 7..- Meddas drectas. Propagacó cuadrátca de la varaza Desvacó típca de la meda 34.3 Estadístca ferecal Dstrbucoes de probabldad parámetros Estmacó 37.4 Dstrbucó ormal 44

8 VI Capítulo 3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Regresó leal smple Tpos de depedecas Método de los mímos cuadrados Correlacó 58 Capítulo 4 REPRESENTACIONES GRÁFICAS 63 Capítulo 5 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 7 5. Reglas de escrtura 7 5. Udades báscas Udades dervadas Alguas udades SI dervadas epresadas medate udades báscas Udades Sl dervadas que tee ombres especales Alguas udades SI dervadas que se epresa utlzado ombres especales Udades suplemetaras Múltplos submúltplos decmales de las udades SI Udades utlzadas pero o cludas e el Sstema Iteracoal Udades CGS co ombres especales Otras udades 80 REFERENCIAS 8

9 Capítulo ERRORES SISTEMÁTICOS. Causas de error. Medda drecta 4..- Error absoluto 4..- Error relatvo Eacttud precsó de las meddas Precsó sesbldad de los strumetos de medda Forma correcta de epresar los resultados.3 Medda drecta Propagacó leal del error absoluto Lmtacoes e la aplcacó del cálculo dferecal Aálss de dsttos problemas Sere de meddas

10 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES. CAUSAS DE ERROR La epermetacó, tato e la ceca como e la técca, se basa e el proceso de toma de datos, que se obtee medate procedmetos e strumetacó de característcas dversas. Las meddas realzadas, que teórcamete trata de determar el valor verdadero de u certo observable, está codcoadas por dversas crcustacas lmtacoes coocdas como causas de error, que mposblta la obtecó del valor eacto. Es fudametal, por cosguete, determar el grado de flueca que dchas causas ejerce sobre el dato epermetal. Vamos a supoer que las meddas se hace correctamete, es decr, o se comete errores atrbubles a la mala práctca del epermetador, sea por: errores de observacó (como el error de paralaje, que se orga cuado se observa la aguja dcadora de u strumeto co ua certa clacó, o perpedcularmete a la msma; o demorarse e poer e marcha o parar u reloj, errores de ajuste del aparato (como el error de cero, de modo que señala u valor o ulo ates de realzar la medda de algua catdad, o cosderar codcoes eteras (medr, pogamos por caso, a temperaturas dferetes a las que fue calbrado el aparato s hacer la correccó apropada, cometer errores que tega su orge e la utlzacó de strumetos defectuosos o mal calbrados (como relojes que atrasa o escalas erróeas, etc. Todos estos errores, s surge, debe ser prevamete corregdos elmados.

11 . Errores sstemátcos 3 Trataremos, pues, de aquellos errores evtables, errores que sempre se ecuetra presetes e el proceso de medda. Sus causas puede ser de dos tpos: sstemátcas o accdetales. Causas sstemátcas so las que afecta a la medda sempre e la msma cuatía. Elmadas las mecoadas aterormete, sempre este como causa de certdumbre la que determa el propo strumeto, es decr, el error strumetal, que provee del orde de magtud de la medda que es capaz de sumstrar el strumeto utlzado. El error strumetal puede ser reducdo -cambado de aparato- pero o suprmdo. La lmtacó del strumeto es, pues, la causa sstemátca fudametal. Causas accdetales so las que afecta a la medda de maera mprevsble, tomado ésta valores dferetes auque se repta e codcoes aparetemete détcas. Dchas causas parece flur e la medda al azar; de ahí que també se las deome causas aleatoras. Etre ellas cabe destacar pequeñas fluctuacoes de temperatura, humedad, presó, etc., así como mperfeccoes de uestros setdos o de los métodos epermetales utlzados. També puede reflejar dferecas reales e los valores de ua magtud evaluada e u cojuto de elemetos aparetemete guales, como puede ser, por ejemplo, el caso de la medda del dámetro de u msmo tpo de aradelas maufacturadas por ua determada máqua. E muchos casos es dfìcl determar su orge, su elmacó es práctcamete mposble. Las desvacoes que orga las causas accdetales e las meddas respode a dstrbucoes de probabldad que puede estudarse por procedmetos estadístcos. La determacó de las fluecas que las causas de error ejerce sobre la medda ege algú modo de cuatfcacó; de ahí que se hable de varos tpos de error e las causas sstemátcas, de varos tpos de ídces, e las accdetales, co dferetes sgfcados utlzacó.

12 4 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES E este capítulo trataremos de los ERRORES SISTEMÁTICOS.. MEDIDA DIRECTA Es el caso e que se trata de determar la medda de la catdad de ua certa magtud medate la utlzacó drecta de algú strumeto...- Error absoluto Al realzar ua medcó de ua certa catdad, la medda, o se sabe s correspode o o al valor eacto de la msma, por lo que es ecesaro dcar su maor o meor bodad, lo que se lleva a cabo medate el error absoluto. El error absoluto, e prcpo, se defe como el valor absoluto de la dfereca, etre la medda el valor verdadero: v El error absoluto es ua cota o límte de error: defe u tervalo detro del cual se ecuetra el valor verdadero. Cómo se establece tal tervalo? A partr de la defcó de error absoluto se puede cosderar que el valor de ua certa catdad X es alguo de los cludos e el tervalo: X (. La relacó (. es el modo correcto de epresar el resultado de ua medcó cuado la causa de error es sstemátca. La formacó que trasmte (. es que, auque se descooce el valor verdadero que se pretede determar co la medda, tal valor está

13 . Errores sstemátcos 5 acotado, pues se ecuetra e el tervalo aberto de valores delmtado por -, +. Ahora be, s el error absoluto se defe como la dfereca etre la medda el valor verdadero, el descoocmeto que, e cualquer caso, teemos del valor verdadero hace operate tal defcó, al meos e u setdo estrcto, por lo que, desde u puto de vsta práctco, se toma como error absoluto el error strumetal, es decr, el debdo al strumeto utlzado. Y cuál es el error strumetal? A meos que las especfcacoes del aparato dque otra cosa, e geeral, El error strumetal es la catdad correspodete a la más pequeña dvsó de la escala del aparato utlzado. Que el error strumetal juega el papel del error absoluto al determar u tervalo de certdumbre puede lustrarse co el sguete ejemplo. Cosderemos ua balaza dgtal que apreca hasta la cetésma de gramo cuo error strumetal es de ua cetésma, es decr, de u dígto: 0,0 g. Co ella se mde el valor de ua certa masa. Sea el resultado de ua medcó 5,3 g, que o se sabe s es o o el valor verdadero de la masa medda. E efecto, supogamos que la balaza actúa por defecto que el valor verdadero fuera 5,38 g; e este caso la balaza señalaría 5,3 g. E cosecueca, lo úco que podemos saber es que el valor verdadero se ecuetra etre 5,3 5,4 g. Por el cotraro, s la balaza actuase por eceso el valor real fuese de, por ejemplo, 5,3, el valor dcado por la msma sería també de 5,3 g. E este segudo caso lo úco que se puede afrmar es que el valor verdadero se ecuetra etre 5, 5,3 g. Ahora be, como descoocemos el comportameto de la balaza, teemos que cosderar ambas posbldades

14 6 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES smultáeamete, medate el tervalo defdo por 5, - 5,4 g, e el que se ecuetra el valor verdadero, tervalo que puede epresarse medate el error absoluto e la forma: m = 5,3 0,0l g. a Tato como so valores de catdades de ua msma magtud, por lo que e (. ha que añadr la udad utlzada. E el caso de la balaza cometada e el recuadro ateror, el resultado de la medda de la masa se ha epresado como m = 5,30,0 g...- Error relatvo Para poder comparar los errores de dferetes meddas es ecesaro utlzar u ídce admesoal. (Pése, por ejemplo, e u error strumetal de mm: L=0-3 m; la certdumbre que geera e el valor eacto, es decr, el tervalo que determa tal error absoluto tee ua sgfcacó mu dferete s se mde ua logtud de uos pocos metros o se mde ua dstaca de deceas de metros. El ídce admesoal más secllo es el error relatvo r, defdo como el cocete etre el error absoluto el valor meddo: r (. a El error relatvo es admesoal ormalmete se epresa e tatos por ceto. E el ejemplo ateror de la balaza, el error relatvo de la medda es

15 . Errores sstemátcos 7 r = 0,0/5,3 = 0,00 = 0,%..3- Eacttud precsó de las meddas Ua medda es tato más eacta cuato meor sea el error absoluto asocado. La eacttud se defe como la versa del error absoluto. e (.3 Ua medda es tato más precsa cuato meor sea su error relatvo. La precsó se defe como la versa del error relatvo. p r ( Eacttud, precsó sesbldad de los strumetos de medda Los aterores coceptos de eacttud precsó se puede aplcar a los aparatos de medda. La sesbldad de u strumeto de medda epresa la relacó etre la respuesta del msmo el estímulo que la ha provocado. No es, por ello, u ídce de error asocado a u proceso de medda, so que es ua característca del aparato. El cocete respuesta/estímulo puede establecerse de varas maeras; ua relacó, válda A veces, e relacó co u strumeto, se utlza la versa del error absoluto (esto es, la eacttud como precsó absoluta.

16 8 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES tato para strumetos aalógcos como dgtales, permte cuatfcarla del sguete modo: sesbldad de u strumeto de medda es la versa de la míma catdad que produce ua respuesta del msmo. Tal catdad correspode e muchos casos co el error strumetal, pero o sempre. a E las especfcacoes de alguos aparatos se dca el error strumetal medate el error relatvo de la medda el úmero de dígtos a cosderar, error que puede ser dferete segú el rago de la escala que se utlce. Veamos el caso de u polímetro, cuas especfcacoes e la escala de voltajes se muestra a cotuacó, Fgura (.. Fgura. Sea el resultado de ua medda AC, e la escala 0 V, el sguete:

17 . Errores sstemátcos V El error strumetal es: V = 3,46 0, ,0 3 = 0,07 + 0,03 = 0,06 Y el resultado de la medda se ha de epresar como V = 3,46 0,06 V S o se cooce las especfcacoes del aparato, se toma como error strumetal dígto, lo que correspode a 0 mv = 0,0 V (e la escala 0-0V a la que correspode la medda. La resolucó e cada rago de valores, que fgura e las especfcacoes del polímetro, está coectada co la sesbldad del aparato. b De la formacó que proporcoa la Fgura (. se puede determar e qué rago de meddas el polímetro es más eacto más precso. Sgamos e la tabla AC VOLTAGE. Tomado el valor de fodo de escala, los errores strumetales so: Rago Error strumetal Resolucó 00 mv V =,7 mv 00 μv V V = 9 mv mv 0 V V = 90 mv 0 mv 00 V V = 900 mv 00 mv 700 V V =,40 3 mv V De acuerdo co estos valores, el rago e el que el polímetro es más eacto es el de 00 mv (es el de meor error absoluto, metras que es más precso e los tres ragos termedos (que tee el meor error relatvo.

18 0 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES c Eacttud precsó: su relacó co el calbrado la dspersó A los coceptos eacttud precsó també se les suele dar otro sgfcado cuado se refere a strumetos o métodos de medda. Supogamos que co u strumeto se realza varas meddas de ua determada catdad. Admtamos que se cooce su valor eacto, etededo por tal el valor que se ha determado prevamete co u strumeto perfectamete calbrado respecto a patroes de medda teracoales. La desvacó de la meda de las meddas respecto del valor eacto os proporcoa la eacttud del strumeto. Es decr, se puede també terpretar que la eacttud de u strumeto está asocada a la caldad de su calbracó, cuato mejor esté calbrado más eacto es. Por otro lado, també se puede cosderar que la precsó de u strumeto está asocada a la dspersó de las meddas; cuato meor es la dspersó de éstas, maor es la precsó del aparato utlzado. Precsó Eacttud Fgura. Lo aterormete epuesto se lustra e la Fgura (., e la que se represeta cuatro posbles casos. Los putos rojos represeta las meddas, el puto grs el valor

19 . Errores sstemátcos eacto. Los casos de la derecha so más eactos que los de la zquerda, pues sus valores medos se ecuetra más prómos al valor eacto; los superores e la gráfca so más precsos que los ferores, al estar sus meddas más agrupadas...5- Forma correcta de epresar los resultados Ya se ha dcho que (. es la forma correcta de epresar el resultado de ua medcó, dcado las udades correspodetes. Covee, además, hacer dos observacoes: ua relatva a la lmtacó e el úmero de cfras co que se epresa el error la medda, otra, al redodeo de úmeros. A] LIMITACIÓN EN EL NÚMERO DE CIFRAS Debe lmtarse el úmero de cfras co que se epresa el error. Se escrbe el error co ua cfra, al marge de las potecas de dez, postvas o egatvas, que covega para dcar el orde de magtud de dcha cfra. A veces, se escrbe dos cfras s la prmera empeza por o por. Adoptaremos aquí la orma de escrbr solamete ua cfra. Ejemplo. La epresó 5,4 0,3 g o es correcta, pues el 3 os dca ua certa determacó e las décmas, co lo que la segurdad es total e las cfras sguetes. Por tato, cosderar el e el error o tee objeto, la epresó correcta será 5, 0,3 g. Otros ejemplos aclarará más estas cuestoes.

20 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES S el resultado es m, se escrbrá (98 0 m. S el resultado es m, se escrbrá (980 l0 m. S el resultado es 9800 m, la epresó es adecuada. El error lmta el úmero de cfras de la medda, de tal forma que se escrbe el úmero que dca la medda hasta la prmera cfra afectada de error, clusve. Ejemplo. S el resultado de ua medcó es 3,4 0,3 g, sgfca que el verdadero valor está compreddo etre 3, 3,7 g. Por lo tato, s o estamos seguros del 4, a que puede tomar cualquer valor etre 7, ambos clusve, meos lo estaremos del que le sgue. Es decr, teemos ua certa segurdad e las décmas; e las cetésmas la segurdad es total. E cosecueca, la forma correcta de escrbr el resultado ateror es 3,4 0,3 g. Los ejemplos aterores os permte troducr fáclmete el cocepto de cfras sgfcatvas cfras eactas.

21 . Errores sstemátcos 3 a Cfras sgfcatvas Cfras sgfcatvas so las que sumstra formacó respecto del valor verdadero; las que costtue el tervalo de valores e el que aquel se ecuetra. b Cfras eactas Cfras eactas so las que o vee afectadas de error. Así, e el prmer ejemplo, el tervalo vee dado por ( m, costtudo por dos cfras, al marge de la poteca dez; dremos que (98 l 0 tee dos cfras sgfcatvas, el ueve el ocho ua sola cfra eacta, el ueve. E el segudo caso, el úmero tee tres cfras sgfcatvas (el 9, el 8 el 0 dos eactas (el 9 el 8, sedo este tervalo más restrgdo que el ateror. Observe que s be el tervalo es , el error afecta a las udades o a las deceas, por lo que el úmero de éstas es també cfra eacta. Del msmo modo, 9800 tee cuatro cfras sgfcatvas (el 9, el 8 los dos ceros, determa u tervalo mucho más lmtado que los aterores, so tres las cfras eactas (el ueve, el ocho el prmer cero. B] REDONDEO DE UN NÚMERO Cuado el prmer dígto suprmdo es meor que 5, el últmo dígto matedo o se modfca. S es gual o maor que 5 se aumeta e ua udad el últmo dígto matedo.

22 4 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES.3 MEDIDA INDIRECTA.3.- Propagacó leal del error absoluto Abordemos ahora el caso e que o es susceptble la realzacó de la medda drecta de la catdad cógta u, so que la determacó de su valor se realza medate la medda drecta de catdades de magtudes dferetes,, relacoadas etre sí por ua ecuacó: u u(,,... (.5 Se trata aquí de determar el error de u, es decr, e qué medda afecta a u los errores cometdos e la determacó de las,,... El error absoluto de u correspoderá al cremeto total de la fucó u (.5: u = u(,, u(,, (.6 Y para determar e qué modo afecta a u las varacoes de las magtudes depedetes,,, admtedo que los errores so pequeños e relacó co la medda, como es habtual, se puede utlzar el cálculo dferecal para cuatfcar el error de u. Así, u u du d d... (.7 E la ecuacó ateror du, d, d, represeta los errores absolutos. (.7 permte calcular el error absoluto de u s se cooce los errores absolutos d, d, de las varables meddas drectamete. Y como tal relacó etre du d, d,

23 . Errores sstemátcos 5 es leal, se habla de propagacó leal del error absoluto. La depedeca etre los errores absolutos que epresa (.7 es válda úcamete cuado se trata de causas sstemátcas..3.- Lmtacoes e la aplcacó del cálculo dferecal La aplcacó del cálculo dferecal se realza co certas lmtacoes. La prmera de ellas es que, e la ecuacó (.7, la cotrbucó de los errores absolutos d, d, al error de u es sempre adtva, co lo que las sumatoras dca sumas artmétcas o algebracas. Esto represeta tomar el caso más desfavorable, es decr, o cosderar la posbldad de compesacó e los errores de las varables obtedas epermetalmete (lo que es lógco, pues,, so magtudes depedetes: o tedría setdo que, por ejemplo, los errores asocados a u croómetro se compesara co los atrbubles a la medda de dstacas. Cosecuetemete, s al realzar el cálculo matemátco, fgura e la ec. (.7 algú térmo co sgo egatvo, éste se covertrá e postvo. De este modo, la ecuacó ateror puede escrbrse como du u d u d... (.8

24 6 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES dode las barras sgfca valor absoluto. a Ha que teer e cueta, o obstate, que la orma ateror se refere a la sumatora de los térmos, o a los coefcetes de que vee afectado cada error, por lo que s e estos coefcetes aparece dferecas ha que mateerlas. Ejemplo. Sea la fucó u El cálculo dferecal proporcoa la epresó u u ( ( d d d d u Pues be, segú las cosderacoes precedetes, tomaríamos como error de u ( ( d d u e dode se ha cambado el sgo e la suma de las cotrbucoes de los errores, pero o e sus coefcetes. E (.5 algua de las,, puede correspoder a ua costate físca o a u úmero rracoal. La seguda lmtacó e la aplcacó del cálculo dferecal se refere, segú se epresa e (.8, a cosderar dsttas de cero dferecales de

25 . Errores sstemátcos 7 costates o úmeros. El setdo que, e este coteto, ha que atrbur a d es el del error que se comete s o se utlza e los cálculos todas las cfras de las costates o de los úmeros rracoales (que tee ftas cfras que tervee e la epresó (.5. (Así, el utlzar el úmero como 3,4 mplca cometer u error que vedrá dado por d = 0, ,0006 a que = 3, El error asgado a las costates o a los úmeros rracoales es el correspodete a las cfras suprmdas Aálss de dsttos problemas E la determacó del error e las meddas drectas puede presetarse dsttos casos que covee abordar por separado, que desgaremos como problema drecto, semdrecto e verso. A] PROBLEMA DIRECTO Se preseta cuado e la relacó de depedeca etre la varable u las varables,, u u(,,... (.5 se cooce los valores de,, el de sus errores absolutos d, d, El problema cosste e determar u co (.5, su error absoluto du medate (.8. a E alguos casos, la epresó de depedeca (.5 puede ser complcada, co lo que la determacó de las dervadas parcales que fgura e (.8 resulta laborosa el procedmeto leto. Es acosejable, e estas crcustacas, utlzar u método más rápdo, que cosste e evaluar de maera drecta la cotrbucó del error de cada varable,, e el error de la varable u, medate

26 8 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES u d u(,,... z(,,... Lo que está justfcado por la defcó de dervada parcal. b Método de la dferecal logarítmca S (.5 es ua epresó mooma, es más cómodo calcular du evaluado prevamete su error relatvo, e fucó de los errores relatvos de las restates varables. Esto se cosgue aplcado el método de la dferecal logarítmca. Por ejemplo, sea la ecuacó etre u, la sguete: u A la ecuacó se le aplca logartmos: l u l l Su epresó dferecal es du u d d que permte calcular el error relatvo de u coocdos los errores relatvos de e. De ella se obtee el error absoluto de u: d d du u

27 . Errores sstemátcos 9 Ejemplo. Se pde calcular el área de u rectágulo sabedo que sus lados so a =,0 0, cm b = 5,0 0, cm. El área S es S = a.b = 0 cm. Su error ds se obtee dferecado la epresó ateror: ds = a.db + b.da = 0, + 50, = 0,4 + 0,5 = 0,9 cm El resultado es, pues, S = 0,0 0,9 cm E el desarrollo ateror se ha calculado drectamete el error absoluto del área; també se puede obteer calculado prevamete su error relatvo, éste medate la dferecal logarítmca. E este caso se tee que de ella, Por tato, l S = l a + l b 0, 0, (ds/s= (da/a+ (db/b= 0, 09 5 ds = 0,09 S = 0,9 cm B] PROBLEMA SEMIDIRECTO E este caso, e la ecuacó (.5 algua (puede que más de ua de las,, es ua costate físca o u úmero co muchas o ftas cfras, de las que o se

28 0 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES quere o o se puede cosderar todas. La cuestó es determar cuátas cfras ha que utlzar para que su cotrbucó al error de u sea desprecable e comparacó co el que determa la medda de las otras varables. S es la costate que aparece e (.5, la cotrbucó de al error de u debe ser al meos 0 veces meor que el de las restates varables, z,... Como el error absoluto de u es: du u d u d u dz... z se elge que u d 0 u d u dz... z z u d d 0 u dz... z (.9 Ua vez que se ha obtedo d co (.9 se puede a tomar todas las cfras de la costate o úmero hasta la que correspode al lugar que dca el error d. Co ello, la cotrbucó de al error de u es desprecable, pues es feror a la décma parte del error de las varables, z,... E efecto, s por ejemplo resulta ser d = 0,03 utlzar la costate hasta la seguda cfra decmal mplca cometer u error de omsó de mlésmas, pues so las cfras a partr de las mlésmas las que se omte. No obstate, la utlzacó de calculadoras u ordeadores e las operacoes permte, habtualmete, troducr u úmero elevado de cfras s alargar los tempos de cálculo, asegurado que el error troducdo es desprecable s ecesdad de estmar d.

29 . Errores sstemátcos C] PROBLEMA INVERSO Dada la relacó (.5, se quere obteer u pero co ua determada eacttud, es decr, fjado el error mámo que se puede cometer e dcha medda drecta. Para ello ha que calcular cuáto tee que valer d, d, para obteer, como mámo, el du egdo e la medda drecta; o de otro modo, qué strumetos se debe emplear e la medda de las,,? E este caso, pues, se cooce du, apromadamete las,, (es decr, se ha realzado las meddas pero o se sabe s co u error coveete para obteer, como límte, el du fjado, es precso calcular los adecuados d, d, La epresó (.8 determa el valor mámo de d compatble co la codcó mpuesta (e el caso de ua sola varable depedete, o ua ecuacó e la que se puede elegr arbtraramete la cuatía de todos, meos uo, de los errores de las magtudes meddas drectamete (e el caso de varas varables. El coocmeto de los d, d, mámos mplca saber qué strumetos so los más dóeos e la realzacó de las meddas drectas de las varables depedetes. El proceso epermetal llevaría, por lo tato, a la ueva determacó de las,, co los strumetos elegdos como adecuados, lo que coducría al problema drecto para la determacó cocreta de u du. Ejemplo. Se desea medr la logtud de ua crcufereca co u error o superor a cm. La medda del rado es 00 cm. Qué strumeto hemos de emplear para medr el rado? De acuerdo co el eucado, al dcar que r = 00 cm sgfca que el rado se ha meddo co ua cta métrca dvdda e cm, descoocedo, por tato, los mlímetros que tee; esto puede o o teer mportaca e cuato al objetvo que se pretede. Veámoslo. La logtud de la crcufereca el error fjado vee dados por L =r dl = dr = cm,

30 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES co lo que dr = / = /3,4 = 0,6 = 0, cm. (Observe que al redodear se ha tomado el caso más desfavorable, pues el elegr dr=0, cm mplcaría u dl maor que el egdo. El error mámo que podemos cometer al medr el rado es de mm, por lo que se puede emplear ua cta o regla mlmetrada. Co dcha regla se medrá r de uevo, apromado hasta los mlímetros. A partr de aquí el problema se coverte e drecto, utlzado el uevo valor de r de su error Sere de meddas Hasta ahora se ha hablado de la realzacó de ua medda de ua determada catdad, a la que le hemos asocado el error epermetal correspodete. Pero las causas de error, sstemátcas accdetales, sempre está presetes e la realzacó de las meddas, lo que ha que determar es cual de ellas es la causa que predoma, puesto que la estmacó del error obedece a tratametos matemátcos dferetes. Para ello, para dscerr qué causa de error flue de maera más decsva e u proceso de medcó, se sgue el crtero sguete: Se realza tres meddas se calcula su meda; s la dfereca máma, e valor absoluto, etre las meddas la meda es superor al error strumetal, las causas predomates so accdetales. E caso cotraro, so sstemátcas. La justfcacó es que s las causas sstemátcas so las que ejerce maor flueca e ua epereca cocreta, basta co tomar u úmero de meddas pequeño, a que el aumeto de las msmas o reduce la lmtacó strumetal.

31 . Errores sstemátcos 3 : E este caso, el resultado se epresa utlzado el valor medo de las meddas (.0 E cambo, s so las causas accdetales las predomates se hace precso realzar u maor úmero de meddas co objeto de aplcar el aálss estadístco obteer toda la formacó posble de las msmas, así determar mejor la flueca de aquellas e la certdumbre epermetal.

32 4 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

33 Capítulo ERRORES ACCIDENTALES. Poblacó muestra 6. Estadístca descrptva 7..- Meddas drectas. Dstrbucoes de frecuecas estadístcos 7..- Meddas drectas. Propagacó cuadrátca de la varaza Desvacó típca de la meda 34.3 Estadístca ferecal Dstrbucoes de probabldad parámetros Estmacó 37.4 Dstrbucó ormal 44

34 6. Errores accdetales. POBLACIÓN Y MUESTRA Cuado e ua medcó las causas accdetales so las predomates es ecesaro realzar umerosas meddas para determar mejor su flueca e los resultados. Ahora be, el dseño de la epereca puede obedecer a dsttos plateametos. Repetr veces la medda de ua catdad e u determado sstema, tratado de mateer éste e las msmas codcoes, (por ejemplo, medr repetdamete la temperatura de u sstema dado, mateédolo e uas determadas codcoes. Realzar la medda de ua catdad e ua coleccó de sstemas aparetemete guales para determar su valor más represetatvo e tal cojuto (por ejemplo, medr la temperatura míma de cogeladores guales. E los dos casos aterores se trata de la determacó de ua sola varable, pero e determadas crcustacas lo que se aalza es la posble asocacó etre dos (o más magtudes de u certo sstema, tratado de averguar la relacó que pueda estr etre ellas. Realzar ua sere de meddas de la pareja de varables vestgada, be e u msmo sstema pero e dsttas codcoes (por ejemplo, parejas de valores de presó temperatura de u gas e dsttos estados, be e ua coleccó de elemetos dferetes (por ejemplo, pares de valores de radacó solar temperatura atmosférca a vel del suelo, e dsttos putos de ua certa zoa geográfca. E el aálss de las depedecas etre varables (que será tratado e el capítulo de la regresó leal també puede mafestarse, claro es, tato errores sstemátcos como accdetales.

35 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 7 E todos estos casos, las meddas debe ser tratadas estadístcamete, lo que oblga a troducr alguos coceptos uevos, que se epoe a cotuacó. Poblacó es el cojuto de todos los elemetos que tee ua o varas propedades determadas. Muestra es cualquer subcojuto de ua poblacó. Tamaño de ua poblacó o de ua muestra es el úmero de elemetos que cotee. Segú que la propedad elegda para caracterzar los elemetos pueda o o ser epresada umércamete, se dce que es cuattatva o cualtatva. E el prmer caso, es dscreta s sólo puede tomar determados valores de u tervalo, cotua s, teórcamete, puede tomar todos los valores del msmo. Teedo e cueta que, ecepto e el caso de poblacoes pequeñas, el epermetador sempre va a trabajar co ua muestra de ua poblacó dada, cabe dar u doble efoque al estudo de los datos: aalzar la muestra como tal, lo que costtue la estadístca descrptva, tratar de obteer coclusoes relatvas a la poblacó a partr de tal muestra, plateameto coocdo como estadístca ferecal.. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA..- Meddas drectas. Dstrbucoes de frecuecas estadístcos La descrpcó de ua muestra mplca: tabular los valores obtedos sus frecuecas (es decr, el úmero de veces que cada valor se repte e la muestra,

36 8. Errores accdetales realzar algú tpo de represetacó gráfca calcular sus estadístcos. A TABULACIÓN Para el estudo estadístco de ua muestra, de tamaño, ha que ordear los datos e forma de tabla de dstrbucó de frecuecas como la que sgue: valores de la varable Frecuecas f frecuecas relatvas f / E la prmera columa se escrbe los valores dsttos de la varable, ordeados de meor a maor; e la seguda columa se escrbe las frecuecas correspodetes; e la tercera se dca las frecuecas relatvas (f /. B REPRESENTACIÓN GRÁFICA Co la tabla ateror se puede costrur el dagrama de barras, que se obtee represetado e uos ejes cartesaos las frecuecas o frecuecas relatvas (e tatos por ceto e fucó de los valores. Las barras se obtee uedo cada pareja de valores (f, co, Fgura (.. f Fgura.

37 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 9 Cuado el úmero de valores dsttos de la muestra es grade, 30 o más, se suele agrupar e tervalos de valores o tervalos de clase, susttuedo cada medda por el valor del cetro del tervalo (o marca de clase al que perteece. De esta forma se comete u error feror a la semampltud del tervalo. E este caso, habrá que elaborar ua tabla de dstrbucó de frecuecas e la que, e vez de los valores, fgure los etremos de los tervalos (e - e + las marcas de clase, c. Itervalo e - e + marca de clase c frecueca f frecueca relatva f / Co dcha tabla se puede costrur el hstograma correspodete, levatado sobre cada tervalo, que se toma como base, u rectágulo vertcal de altura gual a la frecueca absoluta o relatva, de la marca de clase correspodete, Fgura (.. Por ello, el hstograma, al gual que el dagrama de barras, epresa de modo gráfco la dstrbucó de frecuecas de la muestra. f c c c 3 c 4 c 5 c Fgura. C ESTADÍSTICOS E tercer lugar, ha que calcular los estadístcos de la muestra. Los estadístcos so valores represetatvos de la muestra de la dspersó de sus elemetos.

38 . Errores accdetales 30 Sea ua varable aleatora ; el tamaño de la muestra de los valores meddos de la varable, de frecuecas f, k el úmero de valores dsttos de. Los estadístcos fudametales, referdos a meddas de poscó de dspersó so : Meda. Se defe la meda como k j j j f (. Desvacó típca o estádar de la muestra La desvacó típca s de ua muestra se defe de la forma sguete: ( ( f s k j j Puesto que ( la desvacó típca puede obteerse co la epresó más cómoda s (. Varable que puede tomar dsttos valores co ua probabldad asocada a cada uo de ellos. E relacó co las meddas de poscó, además de la meda, se puede mecoar la medaa (es el valor que dvde la catdad de observacoes e dos partes guales; ha tatas meddas co valores superores a la medaa como valores ferores, la moda (es aquel valor que más se repte, que tee ua frecueca maor, etre otras.

39 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 3 Observe que la desvacó típca se ha de epresar e las msmas udades que las meddas. Varaza. La varaza s se defe como el cuadrado de la desvacó típca. Tato la desvacó típca como la varaza so u ídce del grado de dspersó de los valores de la muestra co respecto a su meda, de modo que cuato más prómos sea los valores a, meores será s s. Las desvacoes ( uas veces será postvas otras egatvas, de modo que s se suma se compesará, o dará cueta real de la dspersó de las meddas. De ahí que se eleve al cuadrado para evtar tal compesacó 3. Además, e la defcó de la desvacó típca, se promeda las desvacoes (. Tal promedo parece más medato hacerlo co e vez de -. S embargo, e prmer lugar, la dfereca que puede resultar de dvdr co o co - o es sgfcatva, a o ser que sea mu pequeño ( <0. E segudo lugar, se puede dar dos razoes e favor de utlzar -. Por u lado, s se realzase ua úca medda, s = 0/0, es decr, resulta determada, metras que de utlzar como deomador, resultaría s = 0/ = 0: co ua sola medda parece más cosstete decr que o está determada la desvacó típca que afrmar que es ula. Por otro lado, desde u puto de vsta teórco, s se defe s co deomador - resulta que el valor esperado de s cocde co la varaza de la poblacó, como se verá más adelate. 3 La fucó suma de valores absolutos o tee 'bue comportameto" desde el puto de vsta matemátco, por lo que o es útl como ídce de dspersó.

40 3. Errores accdetales..- Meddas drectas. Propagacó cuadrátca de la varaza Abordemos ahora el caso de las meddas drectas, es decr se trata de obteer el valor su error de ua magtud que o se mde drectamete co gú strumeto, so que se evalúa medate las meddas drectas de otras varables co las que está relacoada a través de ua ecuacó. Sea la varable depedete u u u(,,... fucó de varas varables aleatoras e depedetes,,,..., co medas,,, varazas s, s,... Su valor medo es u u(,,... (.3 Es decr, el valor medo de ua fucó es la fucó de los valores medos de las varables. Demostracó. S se desarrolla u e sere de Talor respecto de las medas, supoedo desvacoes (, (, pequeñas, se puede desprecar los térmos o leales, resulta, u u u u(,,... u(,,... ( (... (.4 e dode, como se epresa e la propa ecuacó, las dervadas parcales se evalúa para los valores medos. El valor medo de u vedrá dado por,

41 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 33,..., (,..., (... ( (,..., ( u u u u u u u pues la seguda sumatora es ula, como puede comprobarse al teer e cueta la defcó de los valores medos,, La varaza de u se puede obteer medate la epresó... ( ( ( s u s u u s (.5 que es la fórmula de propagacó cuadrátca de la varaza. Esta relacó permte determar la varaza de la varable u, depedete de las varables,,..., s se cooce las varazas de éstas. Esta epresó juega el msmo papel que la (.8, que relacoa el error absoluto de la fucó u co los de las varables,,..., cuado las causas sstemátcas so las predomates. Demostracó. A partr del desarrollo de u e sere de Talor (.4, resulta que

42 . Errores accdetales 34..., (... ( (... ( (... ( ( ( ( s u u s u s u u u u u u u u s co ( (, ( s (.6 la deomada covaraza de e. S las varables,,... so depedetes, sus covarazas so ulas (uos sumados será postvos otros egatvos, se compesará e promedo s el úmero de meddas es sufcetemete grade. Co ello, la varaza de la fucó u es la dada por ( Desvacó típca de la meda La epresó (.5 se puede aplcar a la determacó de la varaza de la meda. Para que lo dcho tega justfcacó ha que teer e cueta que los estadístcos so varables aleatoras, proporcoa valores dsttos s se camba la muestra a partr de la cual ha sdo obtedos. Tee setdo, pues, tratar de calcular su dspersó medate la varaza. Así, sea ua muestra de ua determada poblacó, de meda varaza s, ua muestra de la msma poblacó, de meda varaza s,..., ua muestra de la msma poblacó, de meda varaza s. Admtamos que las

43 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 35 varazas so guales por correspoder todas las muestras a la msma poblacó, s = s =... = s = s. La meda de las medas será la fucó,..., ( aplcado la epresó (.5, la varaza de la meda vee dada por s s s s s s ( Es decr, ( ( s 4 (.7 Cosecuetemete, la desvacó típca de la meda es s s ( (.8.3 ESTADÍSTICA INFERENCIAL.3.- Dstrbucoes de probabldad parámetros La estadístca ferecal trata de obteer característcas de ua poblacó a partr del aálss de ua muestra de la msma. Dado que ua poblacó mplca u úmero de elemetos mu grade o, cluso, fto, es poco práctco o vable 4 De gual modo se puede calcular la desvacó típca de las desvacoes típcas s, que vee dada apromadamete por s(s=s/[(-] /

44 36. Errores accdetales cosderarlos a todos. E el caso que os ocupa de aálss de errores aleatoros, la poblacó estaría costtuda por todas las meddas que se pudera llevar a cabo de la varable estudada, por lo que su tamaño sería mu elevado o fto. Al tratar poblacoes, e el límte de mu grade o fto, las dstrbucoes de frecuecas relatvas asocadas a muestras que gráfcamete se represeta medate hstogramas, se coverte, e dstrbucoes de probabldad dscreta s la varable es dscreta; cotua, s lo es la varable-, que matemátcamete se formula medate ua fucó de probabldad o ua fucó desdad de probabldad, respectvamete. E (.4 se volverá sobre esta cuestó. Del msmo modo, e el límte, los estadístcos de la muestra pasa a ser los parámetros de la poblacó, de modo que, los parámetros so valores represetatvos de ua poblacó de la dspersó de sus elemetos. Matemátcamete, los parámetros se obtee aplcado el lm o la tegral a los estadístcos correspodetes. De este modo, la meda, e el caso de varable dscreta, es lm lm k j j f k j j p( j S es cotua su campo de varacó es todo el eje real, la meda poblacoal vee dada por dp f ( d (.9 La varaza, e el caso dscreto es

45 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 37 lm s ( p( p( (.0 k j j j k j j j Y s la varable es cotua, ( dp ( f ( d f ( d.3.- Estmacó Estmacó es la evaluacó de los parámetros de ua poblacó, de valores descoocdos, medate el aálss de ua muestra aleatora 5 de la msma. Uo de los objetvos de la estadístca ferecal es precsamete hallar métodos efcetes para realzar tal estmacó. Este dos procedmetos de estmacó: la estmacó putual, que proporcoa u valor para cada parámetro, la estmacó por tervalo de cofaza, que establece u par de valores etre los que se ecuetra, co ua certa probabldad, el valor del parámetro. A ESTIMACIÓN PUNTUAL La estmacó putual de u parámetro se realza medate u estadístco cuo valor promedo cocde co el parámetro. De este modo, la meda muestral, es u bue estmador de la meda de la poblacó, la varaza muestral s, es u bue estmador de la varaza de la poblacó,. 5 Ua muestra se dce que es aleatora cuado el método para obteerla es tal que todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser etraídos.

46 38. Errores accdetales La estmacó putual de u parámetro se realza medate u estadístco cuo valor esperado o esperaza matemátca cocde co el parámetro 6. Se defe como valor esperado E[g (], de ua fucó g ( de la varable aleatora : s es dscreta, a Y, s es cotua, a E[ g( ] g( k j p( j j E [ g( ] g( f ( d S comparamos estas defcoes co (.9 (.0 respectvamete, es medato afrmar que el valor esperado de ua fucó g( es su valor promedo. Así, aplcado la defcó, el valor esperado de la varable dscreta de ua poblacó es j k E[ ] j j p( esto es, su meda poblacoal. El valor esperado de la meda de ua muestra de la msma poblacó E[ ] E[ j j ] es de modo que el valor esperado de la meda de ua muestra es la meda poblacoal, lo que dca que la meda muestral es u bue estmador de la meda de la poblacó. Del msmo modo, el valor esperado de la varaza muestral es la varaza poblacoal, lo que dca que la varaza muestral s es u bue estmador de la varaza de la poblacó. E efecto. El valor esperado de la varaza muestral es 6 Cuado esto se cumple, se dce del estadístco que es u estmador sesgado del parámetro.

47 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 39 E s E ( ] [ Desarrollemos, prmero, la sumatora e la forma ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Esta epresó es la que se utlza e el cálculo del valor esperado de s : ( ( ( ( ( ( ] [ E E E E s E Observe que se ha utlzado la relacó (, smlar a (.8 relatva al estadístco varaza de la meda. E deftva, el valor esperado de la varaza muestral es la varaza poblacoal. B ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA La estmacó por tervalo de cofaza de la meda de la poblacó se establece medate la estmacó de la desvacó típca de la meda o error estádar e:

48 40. Errores accdetales El tervalo de estmacó de la meda poblacoal, al vel de cofaza del 00(-%, para poblacoes mu grades o ftas, vee dado por s ke ks( k (. Es decr, el 00(-% de los tervalos (. correspodetes a todas las muestras de tamaño que puede etraerse aleatoramete de la poblacó cotee la meda de la poblacó, el 00% o la cotee. S se compara (. co (.0, se observa que el térmo co el que se establece los límtes del tervalo e el que se ecuetra la meda de la poblacó es, e el leguaje de la físca epermetal, u error absoluto: s ke k (. La dfereca que este respecto a los errores sstemátcos es que ahora el error absoluto vee asocado a ua certa probabldad (o mejor, a ua probabldad meor del 00%. a Eleccó del valor de k El valor del coefcete k depede del vel de cofaza que se eja; k =,, 3 para veles de cofaza apromadamete del 68,3%, 95,4%, 99,7%, respectvamete. Co k =, el tervalo

49 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 4 s (.3 defe u cojuto de valores etre los que se ecuetra el valor de la meda de la poblacó co ua probabldad (vel de cofaza del 95,4%. b Tamaño de la muestra Para que la flueca de causas accdetales deba ser tedas e cueta e u proceso de medcó, el error que duce será, al meos, del msmo orde de magtud que el debdo a causas sstemátcas, esto es, el error strumetal. Esto permte establecer u crtero sobre el úmero de meddas que debe coteer la muestra. E efecto, de acuerdo co lo ateror, tomar como valor de refereca la gualdad de ambos: ( ( strumet al estadístco ke k s permte obteer u valor del tamaño de la muestra. De este modo, ua vez que se ha comprobado que la dspersó de las meddas es maor que el error strumetal (.3.4, la flueca de las causas aleatoras oblga a tomar más de las tres meddas cales realzadas; el úmero de meddas que como mímo debe coteer la muestra es k s (.4 ( s

50 4. Errores accdetales E (.4, s es la varaza de la sere cal de las tres meddas tomadas. Tal relacó proporcoa u tamaño de muestra asocado a ua probabldad reflejada e el valor que se asge a k, es decr, u tamaño de muestra co u vel de sgfcacó, e cuato a la formacó que se pueda etraer de la msma, que puede ser del 68,3%, 95,4%, o 99,7%, s k es, o 3, respectvamete. c Eacttud precsó e las seres de meddas E deftva, cualquera que sea el tpo de error predomate, el resultado de ua sere de meddas se epresa e la forma: (.5 S la maor flueca es debda a causas sstemátcas, es el error absoluto, determa la eacttud de las meddas al epresar límtes e la desvacó de respecto del valor correcto, (.0. S la maor flueca es debda a causas accdetales, k s, (., determa la precsó de las meddas, pues señala su dspersó. E este setdo, cuato meores sea los errores sstemátcos más eacta es la epereca, cuato meores sea los errores accdetales, más precsa es. d Meddas drectas co errores sstemátcos accdetales Es u caso relatvamete frecuete que se precse determar el error absoluto de ua varable u, u u(,,..., que depede de otras,,, alguas de las cuales vee afectadas de errores sstemátcos otras de errores accdetales. El error absoluto de u, u, se determa medate la ecuacó (.8, e la que los errores absolutos procede

51 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 43 del error strumetal o del error estádar, segú el tpo de error sstemátco o accdetal- que afecte a cada ua de las varables. Así, s el error de es el strumetal, el de es ke, el error de u se obtee de la epresó u u u ke... (.6 Ejemplo. Se ha fabrcado u lote de 000 aradelas supuestamete guales, se desea establecer, etre sus característcas, el dámetro eteror de las msmas su error. Para ello, e prmer lugar, se elje tres aradelas al azar se mde sus dámetros medate u palmer, cuo error strumetal es 0,05 mm. El resultado es: d = 5,30 mm; d = 5,55 mm; d 3 = 5,50 mm Y el valor medo: d 5,45mm S el error causate de las dferecas etre las meddas fuera el strumetal, el resultado sería d d ( (5,45 0,05mm lo que mplca u tervalo de valores etre 3,40 5,50 mm. Como este dos meddas fuera de dcho tervalo, es evdete que la dspersó de los valores o puede atrburse al error sstemátco, so que so causas accdetales las que tervee. Para poder determar su flueca el prmer paso es realzar más meddas. Cuátas? Su úmero se determa medate la epresó (.4, para lo cual ha que calcular la desvacó típca de las meddas a realzadas, que resulta ser: s = 0,3 mm s

52 44. Errores accdetales Para el valor del parámetro k =, utlzado el valor de la desvacó típca de las tres meddas se obtee k s ( s.(0,3 (0,05 3,5 E cosecueca, el úmero de aradelas que debe medrse es = 4. Realzadas las oce medcoes restates, los resultados so: d(mm: 5,30; 5,55; 5,50; 5,35; 5,50; 5,60; 5,45; 5,55; 5,60; 5,45; 5,45; 5,30; 5,35; 5,65. de meda desvacó típca: d 5,47mm ; s 0,mm El resultado, de acuerdo co (.3, se epresa: s d d (5,47 0,06mm.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL La poblacó de meddas de varables cotuas, cua aleatoredad sea debda a la suma de efectos de u gra úmero de causas depedetes, vee descrta por la llamada dstrbucó ormal o de Gauss. Por ello s, como sucede frecuetemete, los errores accdetales asocados a la poblacó de meddas de ua varable empírca tee su orge e la superposcó de muchas perturbacoes pequeñas e mprevsbles, dcha poblacó obedece a la dstrbucó ormal. De ahí la gra mportaca de la dstrbucó gaussaa e la cuatfcacó de errores empírcos

53 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 45 accdetales, també e la estmacó de depedecas fucoales o estocástcas medate el método de los mímos cuadrados, que cometaremos e el prómo apartado. La probabldad de que la varable cotua tega valores compreddos etre j, se establece medate la tegral j j p ( j dp f ( d E la que f( es la fucó desdad de probabldad. La probabldad para todo el tervalo posble debe ser la udad: f ( d Teedo e cueta el tamaño de la poblacó, el paso de ua muestra a la poblacó a la que perteece mplca, desde el puto de vsta matemátco, u paso al límte para el úmero de elemetos. Así, la frecueca relatva, f /, de la muestra, pasa a ser la probabldad p( lm f S la varable sólo puede tomar ua sere de valores dscretos,,..., k, a los que puede asocarse uas probabldades respectvas p(,...,p( k, tal que k p( =, se dce que ha sdo defda para ua dstrbucó dscreta de probabldad, sedo p( la fucó probabldad. Estas deas puede aplcarse a ua varable cotua, pero co ua dfereca: o puede asocarse valores ftos de probabldad a valores determados de como e el caso dscreto, so a tervalos ftos de (como ha ftos valores de la varable cotua, s a cada uo le correspodera u valor fto de probabldad su suma sería

54 46. Errores accdetales fto -lo que carece de setdo- e vez de la udad, es decr, la certeza. Por ello, la probabldad de que el valor de esté compreddo e el tervalo - j se establece medate la tegral j j p ( j dp f ( d e la que se ha troducdo la fucó desdad de probabldad, defda como f ( dp d o probabldad por udad de tervalo de valores de la varable cotua, tal que f ( d La fucó desdad de probabldad de la dstrbucó ormal es ( f ( e (.7 f( μ- μ μ+ Fgura.3

55 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 47 so la meda la desvacó típca, respectvamete, de la varable. La curva asocada a tal dstrbucó, que se dca e la Fgura (.3, preseta las sguetes característcas: smetría respecto de la recta = u mámo e =, de valor dos putos de fleó e = a Puesto que se ha de cumplr que f ( d, es decr, el área bajo la curva vale sempre la udad, cuato maor sea el mámo meor será la ampltud de la campaa, a la versa. Y como el valor del mámo está e razó versa co, la desvacó típca determa s la curva de dstrbucó es alta estrecha, o baja acha; e otras palabras, da cueta de la dspersó de las meddas e toro al valor medo. b Dstrbucó de probabldad Las probabldades de que ua medda, tega u valor compreddo e los tervalos,, 3 so, apromadamete, el 68,6%, el 95,44% cas el 99,74%, respectvamete. De acuerdo co lo ateror, s se cosdera ua muestra de la poblacó ormal de meddas de ua varable, e el tervalo s se ecuetra, apromadamete, los /3 de las meddas; detro del tervalo s se ecotrará 95 de cada 00, detro de 3s, la práctca totaldad de las meddas.

56 48. Errores accdetales c Para epresar que ua varable obedece a ua dstrbucó ormal de meda varaza, se utlza la forma abrevada N(,. d Dstrbucó ormal tpfcada S la meda es ula la varaza gual a la udad: = 0 =, N(0,, la dstrbucó ormal se llama tpfcada la varable asocada a la msma (varable tpfcada se represeta por la letra z. Es evdete que, dada ua dstrbucó ormal N(, de la varable, la probabldad P( correspode al área lmtada por la curva ormal las abscsas l, se puede calcular medate la fucó desdad de probabldad; o obstate, lo más cómodo sería dspoer de tablas que la proporcoase drectamete. Ahora be, para cada dstrbucó ormal, segú los valores de sus parámetros, tedría que realzarse la tabulacó, lo que hace el procedmeto vable. Por ello se calcula ua tabla úca, la de la dstrbucó ormal tpfcada, que es aplcable a cualquer dstrbucó ormal realzado la trasformacó defda por z (.8 deomada tpfcacó de la varable. Como puede demostrarse, tal trasformacó reduce el cálculo de la probabldad P(, co ua varable N(,, a la determacó de la probabldad P(z z z de la varable tpfcada z co dstrbucó N(0,l, sedo z, (.9

57 ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 49 E la Tabla de la dstrbucó ormal tpfcada que se clue e este apartado, el área bajo la curva hasta u valor postvo de z, como z k, es la probabldad P( z zk z k e z dz Como la curva de la fucó desdad es smétrca el área que determa es la udad, s z k es egatvo, resulta que P( z z P( z z (.0 k k Ejemplo. U certo tpo de bombllas tee ua duracó dstrbuda ormalmete, co ua meda de 000 horas ua desvacó típca de 50 horas. Determe la probabldad de que u foco dure etre horas La probabldad pedda, P(973 0, correspode al área raada bajo la curva ormal. Los valores z z de la varable tpfcada correspodetes a = 973 = 0 so z = ( /50 = - 0,54 ; z = (0-000/50=,