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Yolanda Ávila Gómez
hace 6 años
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1 Aputes Geius, a good idea i Maths Ximo Beeyto Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

2 Aputs de X.B. PRESE TACIO Los cuaderos Geius ha sido diseñados ítegramete por osotros, e base a la experiecia adquirida durate varios años explicado las técicas más habituales del cálculo del límite de ua sucesió, icidiedo especialmete e aquellos aspectos que mayor dificultad preseta para la mayoría de uestros alumos. Costa de u úico cuadero, que lleva algo más de tres horas de resolució, lo cual hace acosejable ua serie de pausas etre las técicas propuestas. Objetivos * Coseguir la mayor FLUIDEZ posible e cálculos elemetales del límite de ua sucesió de úmeros reales. * 'Ver' diferetes situacioes, aplicado la técica adecuada. * Domiar las diferetes técicas co SEGURIDAD y RAPIDEZ. El cuadero corrector permite comprobar el grado de avace e cada situació plateada. * Diversió co el trabajo persoal!. * Itagibles (Operativa depurada, perfeccioamieto de recursos, habilidades metales, habilidad de desarrollo,...) Cometarios * Es muy importate mateer u RITMO e la resolució de los cuaderos, ua cierta obligació y u compromiso, si o estás dispuesto, preferiblemete déjalo. Aprederemos de otra forma. * El ivel abarcado correspode a u bue ivel de º Bachillerato hasta u ivel iteresate de cualquier primer curso de UNIVERSIDAD ( Ecoómicas, ADE, Arquitectura, Igeierías, etc. ) Ximo Beeyto Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

3 Aputs de X.B. Cuadero Geius : LÍMITES Previos Hallar los siguietes límites de SUCESIO ES : L L L 4 5 [ Observa los térmios de la sucesió : 0,5; 0,5; 0,5; 0,065; 0,05; 0,0565,... ] L 4 [ Observa los térmios de la sucesió :,5;,5;,75; 5,065; 7,5975;... ] L 5 & L 7 L 8 ( & 4 % 6 % ) & Aputes L 0 ( & ) L % L (4 % 4 % 5) L L 4 L 5 L 6 Geius Sucesioes & % % (&) (&) Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

4 Aputs de X.B. I DETERMI ACIO 4 4 Hallar los siguietes límites de SUCESIO ES : L %4 6% [ Dividir por ] L 4% %5 [ Dividir por ] L 4 %6%7 % L 4 L 5 %% 5 %% (%) &(&) 4% [ Desarrolla los cuadrados ] Aputes L 6 L 7 (%) &(&) % (%) &(&) %% Recuerda (a%b) ' a %a b%ab %b Recuerda (a&b) ' a &a b%ab &b L 8 Geius Sucesioes π % % π % e %% Recuerda π',45... e',7... L 9 % %4 Dividir por. Detro de la raíz por Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 4

5 Aputs de X.B. L 0 % % % % [ Itroduciedo ) ) bajo radical se comprede mejor ] L L % % % % [!!! ] % % L (%a) & (&a) [ a 0, b 0 ] (%b) & (&b) L 4 a % % 4 % % Segú a 0 ú L 5 L 6 a % % % a %b %c d %e Segú a 0 ú d 0 Aputes L 7 a 4 4 %a %a %a %a 0 b 4 4 %b %b %b %b 0 b 4 0 L % % 7 %5 % L 9 % 4 % % L 0 L L % % Geius Sucesioes % % 4 % 4 % % % % & % & L & & [ Dividir por ] Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 5

6 Aputs de X.B. L 4 & & L 5 L 6 L 7 L 8 L 9 % 9 % % % 9 % 4 % 4% % 5 % se % 4 % % 7 % & L 0 L 4 % % %% % % 5 l %% Aputes L L ( % % 6) & L ( %) L a & L b ' L a b L 5 L 6 L 7 L 8 4 % % 5 % 4 5 % 5%4 a % b a%c a 0 Geius Sucesioes t % p t%q t 0 L 9 L 40 (a&) % (a&)%4 p % % % a segú p 0 ú L 4 p % segú p 0 R Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 6

7 Aputs de X.B. L 4 L () % L % L () % [ Divide por L() ] L ( % ) L () % te las propiedades del logaritmo eperiao y extrayedo factor comú, cosigue el Problema: Platea tres límites co la idetermiació aterior y que de 5, 0 y - 4, respectivamete. Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 7

8 Aputs de X.B. I DETERMI ACIO 4-4 Hallar los siguietes límites de SUCESIO ES L L L L 4 % & % % & && %% & %% %a & %b [Resuélvelo 'MENTALMENTE', si escribir igua operació] L 5 4 %% & [ De 'CABEZA', vega! ] L 6 & % L 7 L 8 %& % & % Aputes [ Qué sorpresa, eh? ] L 9 L 0 L %& % %b%c& %d%e ; b, d, 0 4 % & % & Propoer L 4 % & % % & y resolver por separado, luego sumar los resultados Geius Sucesioes 9 %% % 4 %% & 5 L 4 64& & 8 [ A ver si eres capaz ] L 5 % & & Recuerda : A & B ' A & B A % AB % B Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 8

9 Aputs de X.B. L 6 %a & &b L 7 % & & L 8 % & & [ ivel ***]. Desarrollar la fórmula para p = 6, por qué?. Dedúcelo. Prblema: Platea tres límites co la idetermiació aterior, que cotega radicales y que de /, 0 y +4, respectivamete. Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 9

10 Aputs de X.B. I DETERMI ACIO 4 Recuerda que lim a b ' e λ dode : λ b (a & ) si /0 ( lim ( lim a ' y a o es la sucesió cte. b ' 4 %4 ó &4, o importa Nota : Idetifica siempre que, e efecto, se trata de la idetermiació 4 Hallar los siguietes límites de sucesioes L % L L 4 % % a%b a%d co a 0 Aputes L 5 % % L 6 & % L 8 % % lim % a a ' e { Sabiedo que: si a 6 4., resuelve el límite si aplicar la regla de cálculo, ajustado Geius Sucesioes coveietemete los térmios del límite a la fórmula aterior } L 9 a % & a &% %, a 0 L && %% & { Resuélvelo como e L 8. Para coseguir el '', puedes sumar y restar '' } L %%4 & Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 0

11 Aputs de X.B. L %a%b %c%d L 4 % %% & %4 L 5 % %%5 L 6 %5 %%6 % & % L 7 5 %% 5 &%6 %% % L 8 a %b a %c %d t a 0 t 0 L 0 L 4 4 &7 %a % & 5 % Aputes L L 4 a ' a % % % Ayuda: Opera previamete la raiz ates de efectuar el límite % % ' Geius Sucesioes L 6 %4 & L 7 a % % a$, a 0 ù L 8 & 5& & %%5 Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

12 Aputs de X.B. L 9 % l %% &5%8 [ Recuerda que : b L (a) = L a b ] Problema: Platea tres límites co la idetermiació aterior que de e, e 0 = y e + 4, respectivamete. Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

13 Aputs de X.B. TEC ICA DE LA RAIZ Busca su expresió e el resume de teoría. Hallar los siguietes límites de SUCESIONES. L = lim L = lim % L = lim! L 4 = lim L 5 = lim L 6 = lim % % 4 % Aputes L 7 = lim se L 8 = lim! L 9 = lim π L 0 = lim L = lim Geius Sucesioes ( % ) p, p > 0, p 0 ù L = lim & cos Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia

14 Aputs de X.B. I FI ITESIMOS..- lim..- lim se se %..- lim % arc se 5 % 4..- lim tg 5..- lim 6..- lim % arc tg tg & tg Aputes 7..- lim & cos 8..- lim 9..- lim 0..- lim..- lim cos & cos & Geius Sucesioes & a % b..- lim & cos L % (%) arc tg cot % arc se Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 4

15 Aputs de X.B. %..- lim % se & se [ Al ir operado, u ifiitésimo lo podrás sustituir, el otro o ] 4..- lim % tg cotg 5..- lim α L % segú " 0 ú (%) Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 5

16 Aputs de X.B. STOLZ Recuerda: lim a b a &a & b &b & b > 0 y lim Hallar los siguietes límites de sucesioes b ' % 4 L L L L 4 L 5 %%% % %%5% %(&) %4%6% %() % % % % % %5 % %(&) 4 L 6 % %5 % %(&) [ Idea: Opera previamete ] L 7 % % % % Aputes L 8 p % p % p % % p p% p $ L 9 log %log %log % %log log [log es el logaritmo eperiao ] L 0 % % 4 % % (%) & [Operar tras aplicar STOLZ, coseguir dos límites, uo de ellos tipo º e ] U límite))guay )), eh! L L e & [Idea: e & ' e ] Geius Sucesioes L 4 L 5 % e % % 5 Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 6

17 Aputs de X.B. L 6 4 % 4 % 4 % % 4 5 Y comprueba el resultado obtedido tomado p = 4 e L 8 Salió bie? L 7 L L 8 L ( ) Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 7

18 Aputs de X.B. Aplicado el Cálculo de Límites E los siguietes problemas debes hallar lim a % a para cada uo de los térmios geerales a idicados..& a ' % % lim lim a % a (%)% (%)% % % (%) (%) (%) (%4) lim %5%6 %5%4 '.& a ' % %4 5.& a ' %% %4 6.& a ' % [ Ayuda: (%) % ' (%) (%) ] 7.& a ' [ Ayuda: % ' ] Aputes 8.& a ' 5 0.& a ' %.& a ' e &.& a '! [ Ayuda: (%)! ' (%)! ].& a ' ()! Geius Sucesioes [!Ojo! co ()!] 5.& a '! [!! Uf!!] Ojo!, ( % ) ' % 7.& a ' ( &) ( & &) % [!! ] Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 8

19 Aputs de X.B. 8.& a ' co a > 0 a! 9.& a ' % % 0.& a ' % % Aputes Geius Sucesioes Cuadero Geius. Límites Sucesioes Pàgia 9

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