A. T. Brewer a, C. N. Gómez a,b, y S. Preidikman a,b a Departamento de Estructuras Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Universidad

Transcripción

1 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos AÁLISIS DE VIGAS DE SECCIÓ ARBIRARIA SOMEIDAS A ESIOES DE CORE CAUSADAS POR ESFUERZOS DE ORSIÓ Y CORE: PARE FORMULACIÓ MEDIAE ELEMEOS FIIOS A.. Brwr a, C.. Góm a,b, S. Pridikman a,b a Dpartamnto d Estructuras Facultad d Cincias Exactas, Físicas aturals Univrsidad acional d Córdoba, Av. Vél Sarsild 1611, CP 5000, Córdoba, Argntina. b COICE Conso acional d Invstigacions Cintíicas écnicas, Av. Rivadavia 1917, Bunos Airs, Argntina. altulbrwr@gmail.com RESUME Esta s la sgunda part d un trabao raliado por los mismos autors. En la Part 1 s prsntó la toría. En la Part s implmnta la toría prsntada: n primr lugar, s trata la ormulación d la toría d Saint Vnant aplicada a suros d torsión utiliando l Método d Elmntos Finitos; n sgundo lugar, s implmnta la toría prsntada para dtrminar las tnsions d cort producidas por cargas transvrsals al d la structura. Los rsultados prmitn cuantiicar los valors d las tnsions d cort, dl momnto d inrcia polar para sccions d orma arbitraria, la posición dl cntro d cort, los coicints para pondrar las áras d cort. Palabras clav: Vigas. orsión. nsions d Cort por Cort. Elmntos Finitos. IRODUCCIÓ El disño d vigas utiliando lmntos unidimnsionals ormulados n l marco dl Método d Elmntos Finitos (MEF) rquir la caractriación d la rigid d la scción, qu dpnd dl matrial, d las propidads gométricas d la misma dl tipo d suro a qu s ncuntra somtida la structura. Entr las propidads gométricas d la scción s ncuntran l ára, los momntos d inrcia, l momnto d inrcia polar l ára d cort s corrspondn con los suros normals, d lxión, torsión cort rspctivamnt. Admás, d la mano d stos obtivos s ncuntra la dtrminación d stado tnsional d la pia. En structuras aronáuticas son d particular intrés las sccions d pard dlgada las coniguracions d una o varias cldas. El noqu utiliado n los primros trabaos, con l obto d rsolvr las custions d sccions somtidas a torsión cort, s rlaciona con los conocidos como métodos d las uras, [1,, 3, 4, 5]. La toría s particularia sgún la scción sa sólida, dlgada abirta, d una clda, o d varias cldas. A su v, s considran sparadamnt los comportamintos bao cargas d torsión d cort. En st trabao, n primr lugar, s implmnta la ormulación d la toría d Saint Vnant aplicada a suros d torsión utiliando l MEF. En sgundo lugar, s implmnta la toría prsntada para dtrminar las tnsions d cort producidas por cargas transvrsals al d la structura. Ambas ormulacions uron prsntadas n la Part 1 d st trabao. Los rsultados obtnidos pudn sr aplicados a sccions transvrsals d cualquir orma prmitn caractriar los valors d las tnsions d cort, dl momnto d inrcia polar para sccions d orma arbitraria la posición dl cntro d cort. Conocidas las tnsions d cort, s pudn calcular los coicints para pondrar las áras d cort, coicints qu rsultan ncsarios si s quir modlar vigas siguindo la toría d imoshnko [7]. Est trabao, s un paso prliminar a la cuantiicación d las caractrísticas sccionals qu dtrminan las rigidcs n vigas d una o más cldas construidas con matrials compustos, lo qu prmitirá modlar structuras d palas d arognradors alas d avions. En stas structuras, la coniguración d apilado la disposición d las ibras n las dirnts capas d matrial dinn las dormacions d lxión torsión.

2 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos FORMULACIO E ELEMEOS FIIOS orsión S adopta un lmnto cuadrilátro isoparamétrico d 9 nodos, d tal modo qu la unción, n l dominio dl lmnto d rrncia s scrib 9,, ω (1) 1 En la (1), ω contin los valors d la unción n los nudos dl lmnto contin las uncions d orma dl lmnto:,,,,,,,, () ; (1 )(1 ) 4; 3 (1 )(1 ) 4 4 (1 )(1 ) 4; 5 (1 )(1 ) 4; 6 (1 )(1 ) 4 7 (1 )(1 ) 4; 8 (1 )(1 ) 4; 9 4(1 )(1 ) 4 Dado qu l lmnto s isoparamétrico ntoncs las coordnadas ísicas, s rlacionan con las coordnadas dl lmnto d rrncia n la misma orma d la (1), s dcir 9 9,, ;,, 1 1 (4) La matri Jacobiana d la transormación (4) s din como: J11 J1 J J1 J, n orma similar a la (1) Si n l dominio ísico dl lmnto s dscrib la unción,, En la (6) s han idntiicado a las uncions d intrpolación 9 ω (6) 1 (3) (5) con los subíndics, para qu no s conundan con las n las (1). Entoncs, las drivadas d,,,,,,, s pudn calcular hacindo ; Y n unción d la matri Jacobiana la antrior s xprsa,,,, 1 1 J J 1 J,,, dt J 1 J 11, J Por último s rcurda como s modiican las intgrals ant un cambio d variabls como l (4):, d d, dt J d d (9) Si s adopta como unción d pso W (, ) ntoncs, a nivl lmntal, la primra intgral d la cuación (3) d la primra part, s xprsa W dd dd ω k ω (10) (7) (8)

3 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos La matri k s pud scribir como k dd, dd (11) A partir d las (8) (9), la (11) s pud xprsar sobr l lmnto mastro: 1 k, dd, J J 11 dt J dd; ó (1) 1 k B B dt J dd; B J 11 (13) La sgunda intgral n la c. (6) W v d, dd dt dd B J p 11 (14) Finalmnt la orma discrta d la c. (3) d la primra part, s obtin dl nsambl d las matrics vctors lmntals (10) (14): Momnto Polar d Inrcia 1 k ω p K ω P (15) El momnto polar d inrcia s obtin d la xprsión (11) (primra part) J,, da (16) A Qu s pud dsarrollar como J da I I da A A, O tnindo n cunta la (4), (6) (8),,,, (17) J I I, Bω dt J dd 1 1 I I p ω I I P ω I I ω Kω En la (18), P ω son l vctor indpndint la solución dl sistma d cuacions (15). Dtrminación d las nsions d Cort producidas por orsión A partir d las c. (1) d la primra part, s pud scribir x M x, x J, Es dcir qu la tnsión n cualquir punto intrior dl lmnto s calcula hacindo Con ; (18) (19) x M x B ω h (0) x J h. Para la valuación d la (0), dbn tnrs prsnts las c. (4, 5, 6, 7, 8, 13).

4 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos Cort: carga V La primra intgral n la orma débil (38) d la primra part, tin la misma orma qu la primra intgral d (3) d la primra part, n conscuncia, si s adopta l mismo lmnto para dscribir l problma n orma lmntal rsulta: W dd B B dt J dd Φ k Φ (1) 11 En la sgunda intgral d la orma débil (38) (primra part), las componnts d vctor h h, h, s pudn scribir (vr c. (4)) como: h I q I r h1; h I q I r= h () ; r q (3) Y ntoncs, la sgunda intgral rsulta h1 W h d B dt dd h J (4) 11 Por último, la trcra intgral s calcula hacindo W 1 I I d 1 I I dt J dd (5) A nivl lmntal, la (38) (primra part), s scrib k Φ p (6) Con k dada por la (10) h1 p B 1 I I dt dd h J (7) 11 El nsambl d las cuacions lmntals conduc al sistma d cuacions inals 1 11 k Φ p K Φ P (8) Cort: carga V En orma similar, para la carga n la dircción, al aproximar por lmntos initos la orma débil (40) (primra part), rsulta un sistma d cuacions algbraicas d la orma K P (9) Qu rsulta dl nsambl d las matrics lmntals lmnto p qu s calculan: k (vr c. (10)) los vctors d carga d cada d1 p B 1 I I dt dd d J 11 (30) n la cual las componnts dl vctor d d, d s scribn: d I r I q d1; d I q I r= d (31) Cálculo d las nsions d cort producidas por Furas d Cort Las tnsions d cort s calculan a partir d las cuacions (0) (4) d la primra part, qu pudn scribirs como: x V V τ d h (3) x

5 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos n la qu las componnts d los vctors primra part: d h stán xplicitados n las c. (1 5) d la,, d h ; ; ;,, d h Β Β d h (33) Dtrminación dl Cntro d Cort. Existn varias dinicions dl cntro d cort. Algunas son puramnt gométricas no dpndn dl módulo d Poisson otras, como n l prsnt caso, basadas n la toría d la lasticidad, si dpndn d dicho módulo. Para l cálculo d la coordnada cc dl cntro d cort s iguala l momnto qu produc la ura d cort V, actuando n l cntro d cort, rspcto dl cntroid d áras (s asum qu l Cntro d Cort s sitúa n l cuadrant positivo d un sistma d rrncia qu pasa por l cntroid), con l momnto qu producn las uras d cort (producidas por V ) rspcto dl mismo punto: V cc x x da (34) Al rmplaar las xprsions d la tnsión dadas por las c. (3) ( V 0 ), n (34), s conclu qu la coordnada cc no dpnd dl valor d la ura V. Lo mismo ocurr con cc rspcto d V : RESULADOS Y DISCUSIÓ V cc x x da (35) A continuación s prsntan algunos mplos numéricos a in d comparar con rsultados obtnidos utiliando otras aproximacions. orsión: Emplo 1 Z [m] E= 10 GPa = Y [m] (a) Pa 1.9E E E E E+08 9E+07 7E+07 5E+07 3E+07 1E+07 [MPa] Módulo d la nsión d Cort sobr los smis ,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Smis [cm] (b) Figura 1. Scción sólida líptica somtida a torsión. En la Figura 1 s mustra la distribución d los vctors d tnsión d cort sobr una scción líptica sólida (s mustra sólo un cuarto d la scción), obtnidos mdiant la ormulación n Elmntos Finitos (EF). El smi maor d la lips mid a 4cm l mnor b cm. La malla qu s mustra n la igura son cuadrilátros d cuatro nodos gnrados a partir d la malla con lmntos cuadrilátros d nuv nodos (cada lmnto d 9 nodos da orign a 4 lmntos d cuatro nodos). La malla utiliada staba conormada por 648 lmntos d 9 nodos. El momnto aplicado u Mx 5 km. Las caractrísticas dl matrial s mustran n la Figura 1(a). Para sta scción xistn solucions analíticas (vr [4, 6]) qu prmitn calcular l momnto d inrcia polar las componnts d las tnsions d cort: Smi mnor Smi maor Prandtl E.Finitos

6 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos M M a b x ab a b a b 3 3 x x ; ; 3 x J 3 En rlación a las tnsions, n la Figura 1(b) s han graicado las tnsions obtnidas por EF con las qu rsultan d las c. (36). Los valors d la tnsión s han calculado sobr los smis d la scción, mostrando mu buna corrspondncia. Rspcto al momnto d inrcia polar d la scción, l 7 4 rmplao d a b n la (36) conducn a J 8, m mintras qu l valor calculado por EF, c. (18), s J EF orsión: Emplo 7 4 8, m. En la Figura (a) s mustran las tnsions d cort qu xprimnta l pril dimnsionado n la Figura (b) cuando s l aplica un momnto torsor M x 1m. (36) Z [m] = 11,77 MPa E= 10 GPa = 0.3 = 5,88 MPa Pa 1.4E E+07 1.E E+07 1E+07 9E+06 8E+06 7E+06 5E+06 3E+06 1E+06 Z 30 mm 30 mm 1 mm mm 40 mm Y Y [m] (a) (b) Figura. Pril dlgado abirto somtido a torsión. En particular, st mplo s ncuntra rsulto n la rrncia [1], utiliando una xtnsión d la toría d Brdt (ormulada para sccions dlgadas crradas) al caso d sccions dlgadas abirtas. Sin mbargo, rsultados analíticos idénticos s pudn obtnr utiliando la analogía d la mmbrana qu particularia las uncions d tnsión d Prandtl a st tipo d prils [4]. Cada una d las 3 sccions rctangulars qu compon l pril pos un momnto d inrcia polar J a t /3, xprsión n la qu ai s la longitud t i s l spsor dl tramo considrado. El momnto d inrcia polar total d la scción, J, s obtin sumando las contribucions d las alas (subindicadas ) l alma (subindicada w ): J ai ti J J w a t aw tw (37) 3 i1 3 3 Dado qu la scción s homogéna, la rlación d rigidcs torsionals ntr cada uno d los tramos la rigid torsional total d la scción quda dtrminada por l cocint Ji / J. En conscuncia, dl momnto total aplicado M x, cada tramo toma una racción M i qu quda dtrminada hacindo Mi Mx Ji / J. Las línas d tnsión son parallas a las pards d los tramos (salvo n los xtrmos) l módulo la tnsión d cort varia linalmnt n l spsor d cada tramo, tomando los máximos valors sobr la suprici l valor nulo sobr l dl tramo qu s analic. Las xprsions qu mustran la variación d la tnsión n l spsor su valor máximo son: Mi ti Mi ti 3M i i ri con 0 ri max, i (38) J J a t i i i i i i i

7 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos En dond r i s mid dsd, n dircción prpndicular a, la lína mdia. Rmplaando las caractrísticas gométricas dl pril l momnto aplicado n cada tramo n las cuacions (37) (38), s obtin: 4 J 173,33mm ; max, 11,54 MPa ; max, w 5,77 MPa Mintras qu utiliando las xprsions (18) (0) n l marco dl método d lmntos initos rsultan: 4 J 169,39 mm ; max, 11,77 MPa ; max, w 5,88 MPa Los rsultados s mustran n la Figura 1 (a) unto con l diagrama d barras qu indica la variación d la tnsión n l spsor los vctors tnsión qu mustran un comportaminto sgún lo dscripto por la variación linal d la tnsión, c.(38). En conclusión los rsultados mustran una mu buna corrspondncia. Cort, carga V : Emplo 1 En la Figura 3 s mustra un pril C cua gomtría s dscrib n (c), cargado n la dircción dl Z con V 50k. La distribución dl luo d cort n l pril pud analiars plantando quilibrio n la scción, [4], lo qu conduc a las siguints xprsions: Vbt V t q( s1) s1 0 s1 a ; q( s) ab bs s 0 s b I I (39) En la c (39), a 10cm, b 0cm, 1cm 3 3 t / 6 / 4 /1 / I a b t b ab t s l momnto d inrcia rspcto al qu pasa por l baricntro d la scción, indicado como CG n la Figura 3(c). s 1 s son coordnadas qu s midn sobr la lína mdia (vr Figura 3(c)). Z [m] E = 10 GPa = 0.3 Pa 1.8E E E E E E+08 1.E E+08 1E+08 9E+07 8E+07 7E+07 6E+07 5E+07 4E+07 3E+07 E+07 1E Y [m] w, [MPa] Módulo d la nsión d Cort n l ala l alma dl pril C s 1, s [cm] (a) (b) (c) Figura 3. Pril dlgado abirto somtido a cort. La dtrminación dl cntro d cort s logra igualando los momntos qu producn las uras d cort rspcto al vértic inrior dl pril con l producido por V actuando n l cntro d cort rspcto al mismo punto: V a b t a b t V s1ds1 I (40) 0 4I ala () En la igura 3(c) s squmatia la posición dl cntro d cort qu s ncuntra a una distancia dl dl alma. Mdiant las xprsions (39) scritas n unción d s 1 s s dtrmina la tnsión d cort sobr los s d las alas l alma hacindo ( s) q( s) / t. S obsrva qu sobr las alas la tnsión d cort varía linalmnt n l alma n orma parabólica (c. 39). Estas uncions, squmatiadas n la Figura 3(c) s han cuantiicado n la Figura 3(b) conuntamnt con los valors qu producn las cuacions (3). S obsrva una mu buna corrspondncia n los intrvalos 0s1 9 1cm s 19cm. La Figura 3(b) sólo mustra la mitad dl intrvalo d variación d s. alma (w) Jouravsk E. Finitos 18,6 140,3 18,6 Z 93,5 CC 93,5 s CG 10,0cm CG CG s 1 1,0cm 0,0cm Y

8 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos S obsrva qu n las proximidads dl vértic ( s 1 10 s 0 ) l valor d la tnsión calculada por EF dca, situación qu s rla n los colors qu prsntan las línas d contorno n dicho punto, Figura 3(a). Rspcto a la posición dl cntro d cort, la xprsión (40) arroa un valor =3,743 cm. 6.05cm qu s midn dsd l CG. El valor d la La c. (35), prov la coordnada cc coordnada CG,994cm mdida dsd l Z qu coincid con l lanco iquirdo dl pril (vr Fig. 3(a)). Entoncs EF cc CG t / 6,05,994 0,5cm 3,711cm, valor mu próximo al antrior 3,743 cm, qu arroa la c (40). Cort, carga V : Emplo En la Figura (b) s mustra la mitad d la gomtría d una scción simétrica ormada por trs cldas, tomada d la rrncia [1], qu s ncuntra cargada n l cntro d cort con V 18,61k. La longitud L los spsors son: L 500mm, t 4mm t mm. w Z E = 10 GPa = Y (a) 13.0 MPa Pa 3.6E E+07 3.E E+07.8E+07.6E+07.4E+07.E+07.0E E E E+07 1.E E E E E+06.0E+06,94 11,47 Figura 4. Scción Crrada d trs cldas somtida a cort. Z 4 5,88 L 5 0,15 t w 10,07 3 1,18 t t 6 7,95 L 10,9 t w ,4 9,11 4,17 (b) t t L 1 38,81 40,89 36,83 10 Y L abla 1. Comparación d las tnsions obtnidas al modiicar l coicint d Poisson Punto [MPa].écnica [MPa] EF ( =0,3) % [MPa] EF ( =0,5) % [MPa] EF ( =0,0) % 1 0,0 0,0 0 (*) 0,0 0(*) 0,0 0(*) -Iq 9,11 8,81-3 9,05-0, Dr 10,9 11, , ,6 13 -In 38,81 35,1-9 36, ,47 3 1,18 3,164, , Dr 11,47 1, , , In,94,33-3 1, , ,88 9, ,5 13 5, Iq 0,15 3, , , Dr 10,07 1,68 6 1,33 10,57 5 7,95 4, , Iq 4,17 5,51 3 5, , Dr 14,4 14, , , Sup 36,83 34, , , ,89 37, , , ,0 0,0 0 (*) 0,0 0(*) 0,0 0(*) EMC S ha tomado como rrncia d las tnsions, las obtnidas con la llamada oría écnica (), vr rrncia [1], qu consist n cortar cada una d las cldas dtrminar l luo d cort como si la

9 Brwr, Góm, Pridikman Análisis d vigas d scción arbitraria somtidas a tnsions d cort causadas por suros d torsión cort: part -ormulación mdiant lmntos initos structura no us crrada. Las tnsions así ncontradas quivaln a la ura d cort aplicada. El luo d cort dinitivo diir para cada clda n una constant (n l caso gnral d una structura sin simtría habría qu dtrminar 3 valors d luo constant, uno para cada clda). Para dtrminar los valors d stos luos, s impon la condición d qu la scción no gira (por star cargada n l cntro d cort), lo qu conduc al planto d 3 cuacions con trs incógnitas. Los luos d cort inals son la suma d ambos. Conocidos los luos d cort inals, la tnsión d cort rsulta d hacr q/. t En la Figura 4(b) s han indicado 10 puntos, rodados por un círculo situados n los vértics a mitad d cada tramo. En sos puntos s han obtnido las tnsions d cort utiliando la oría écnica dscripta (cuos valors rsultan indpndints dl coicint d Poisson) la cuación (3) rsulta utiliando lmntos initos para trs valors dl coicint d Poisson (0,3; 0,5; 0,0). Estas tnsions corrspondn a las columnas, 3, 5, 7 n la abla 1. Estas tnsions son valors particulars d una distribución qu s ha rprsntado n la Figura 4(b): roo (), ngro (EF- 0,3), vrd (EF-0,5), aul (EF-0,0). Las maors dirncias s prsntan ntr la curva qu rprsnta la con la obtnida por EF 0,3. Para cuantiicar sta dirncia, n la abla 1 s han incluido las columnas 4, 6 8 qu continn la dirncia porcntual % 100( EF ) / (n los casos n qu l cocint s hac indtrminado s toma solo la dirncia, lo qu s indica (*)). La mnor dirncia ntr los rsultados obtnidos utiliando la EF ocurr para 0,0. El numro al pi d las columnas d rror s l Error Mdio Cuadrático. La Figura 4(a) mustra las tnsions las línas d contorno asociadas al módulo d la tnsión n l punto idntiicado 6. S pud obsrvar qu ura d la intrscción los lmntos son sumamnt largos. Quda pndint l dtrminar la inluncia d la dimnsión d los lmntos n los rsultados. En st mplo la rlación ntr l largo dl tramo más corto l spsor maor s 15, mintras qu n l mplo antrior la rlación ra 10. Esto hac qu (a in d limitar l númro d nodos d la malla) los lmntos rsultn alargados. COCLUSIOES En st trabao s obtin la solución numérica d las uncions scalars,,,,,, sus corrspondints condicions d bord. Estas uncions dtrminan las tnsions d cort cuando una scción homogéna s ncuntra somtida a momnto torsor sgún l x a uras d cort sgún los s rspctivamnt. La aproximación a las uncions mncionadas s busca n l marco d los Métodos d Rsiduos Pondrados n particular, l Método d Galrkin. Cuando la scción s solicita a torsión, s posibl cuantiicar l momnto d inrcia polar la distribución d las tnsions d cort d sccions d cualquir orma. Cuando la scción s somt a cort, s pud dtrminar la posición dl cntro d cort la distribución d tnsions para sccions d orma arbitraria. S prsntan cuatro mplos n los qu s comparan los rsultados obtnidos utiliando distintas técnicas prsnts n la litratura con los obtnidos por lmntos initos. En gnral, hubo una mu buna corrspondncia ntr los valors prvistos por otras torías los rsultados qu arroa l método d lmntos initos. REFERECIAS 1.. W. Murra: Introduction to th hor o hin Walld Structurs, 1986, Clarndon Prss Oxord.. A.P. Borsi and K. P. Chong: Elasticit in Enginring Mchanics, 1987, Elsvir, Amstrdam, h thrlands. 3. A. E. Lov: A ratis on th Mathmatical hor o Elasticit, 1944, Dovr, w York. 4. R. M. Rivllo: hor and Analsis o Flight Structurs, 1969, McGraw-Hill, w York. 5. I. S. Sokolniko: Mathmatical hor o Elasticit, 1956, McGraw-Hill, w York. 6. W. D. Pilk: Analsis and Dsign o Elastic Bams Computational Mthods, 00, John Wil & Sons, w York. 7. M. A. Bhatti: Advancd opics in Finit Elmnt Analsis o Structurs, 006, John Wil & Sons, w York.