INTERPOLACIÓN Y MODELADO DE CURVAS

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INTERPOLACIÓN Y MODELADO DE CURVAS"

Antonio Álvarez Revuelta
hace 5 años
Vistas:

1 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol2 Resume INTERPOLACIÓN Y MODELADO DE CURVAS Ediso De Faria Campos Uiversidad de Costa Rica (Costa Rica) edefaria@cariariucraccr Campo de ivestigació: modelació matemática Nivel educativo: superior Palabras clave: iterpolació poliomial, métodos uméricos, modelado de curvas, tecologías digitales ( x, y ) Desarrollamos distitas estrategias para iterpolar o aproximar ua serie de datos i i i e el plao mediate poliomios: iterpolació de Lagrage, de Newto e diferecias divididas, splies, iterpolació segmetaria de Hermite, de Bessel y curvas paramétricas poliomiales, etre ellas las curvas Bézier y B-splies que so muy populares para modelar y hacer aimació por computadora, para defiir formas espaciales o trayectorias de u objeto e el plao o e el espacio tridimesioal Programas como el Autocad, ilustrador de Adobe, Corel Draw y Freehad utiliza estos tipos de curvas para modelar Los coteidos ateriores forma parte de u curso de aálisis uméricos para estudiates de igeiería civil que impartimos e la Uiversidad de Costa Rica, utilizamos el software Mathematica para defiir, calcular y graficar los poliomios mecioados, y el software de geometría diámica Cabri para graficar curvas Bézier Itroducció El curso de itroducció al aálisis umérico para estudiates de igeiería civil de la Uiversidad de Costa Rica cotiee, e sus coteidos, alguos algoritmos que permite iterpolar ua serie de datos e el plao La iterpolació es fudametal e la modelació matemática, particularmete e el tratamieto de la búsqueda de curvas de mejor ajuste e dos y tres dimesioes E el segudo semestre del año 25 y el primer del 26 decidimos icorporar e los dos grupos del curso las curvas de Bézier, B-splies y Nurbs por la importacia que tiee e alguos programas CAD de diseño asistido por computadora (Computer Aided Desig) que so muy utilizados por los igeieros civiles, como por ejemplo el Autocad La metodología utilizada cosistió e distribuir las cico horas semaales del curso e tres horas de laboratorio co 2 computadoras para los estudiates y u servidor co proyector para el profesor y 2 horas de leccioes expositivas Parte de la evaluació cosistió e pruebas cortas e el laboratorio y alguos proyectos, sobretodo de programació e el ambiete de Mathematica Iterpolació versus aproximació Dado u cojuto de putos e el plao, queremos modelar ua curva suave que pasa por ellos o bie que los aproxima Las fucioes más utilizadas para la modelació so los poliomios, las fucioes racioales, trigoométricas o expoeciales Si la curva deseada es poliomial y pasa por los putos dados, la deomiamos curva de iterpolació poliomial 78

2 Uso de la tecología e el proceso de apredizaje de las matemáticas Poliomio iterpolate de Lagrage Dado u cojuto de putos e el plao, existe u úico poliomio P(x) de grado meor o igual a tal que P( xi ) yi, i,,, Para dos putos A( x, y), B( x, y ), Lagrage utilizó la siguiete otació para la recta correspodiete: x x x x P ( x) y y x x x x Este poliomio cumple las codicioes P ( x ) y, P ( x ) y Para tres putos A( x, y), B( x, y ), C( x2, y 2) x, y, x, y,, x, y co x x para i j i j ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) P ( x) y y y ( x x )( x x2 ) ( x x )( x x2 ) ( x2 x )( x2 x ) P ( x ) y, P ( x ) y, P ( x ) y satisface E geeral, para + putos, x, y, x, y,, x, y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) P ( x) y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) El comado IterpolatigPolyomial[, Poliomio Iterpolate de Lagrage que pasa por x y,x, y,,, x y ] de Mathematica geera el Co el comado Plot podemos graficar el poliomio aterior e el itervalo que cotega los putos dados Si existe putos dados co ua misma abscisa y ordeadas distitas etoces podemos obteer ua iterpolació paramétrica para los putos, itroduciedo u uevo parámetro t, y costruyedo dos poliomios iterpolates de Lagrage: t x t x t x t y t y t y X(t) IterpolatigPolyomial[,,,,,, ] Y(t) IterpolatigPolyomial[,,,,,, ] 2 2 x x y y L x j k k k k j xk x j k jk x, y, x, y,, x, y 79

3 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol2 Graficamos la pareja de fucioes ateriores co el comado ParametricPlot Otro método comú para costruir el poliomio de iterpolació es el de iterpolació de Newto e diferecias divididas (Burde y Faires, 22, Davis, 975, Powell, 98) que hemos tratado e el curso de itroducció al aálisis umérico pero, por razoes de espacio, o lo trataremos aquí Los splies cúbicos tambié so muy importates pues permite u mayor cotrol de los datos (De Boor, 978, Schumaker, 98) Curvas de Bézier Supoga que queremos aproximar ua curva poliomial etre dos potos P y P dados La solució atural es u segmeto de recta que pasa por P y P, P( t) ( t) P t P, t Ua media poderada etre P y P Para geeralizar para tres putos P, P y P2 cosideremos primeramete los segmetos de recta P P y PP 2 : P ( t) ( t) P t P P ( t) ( t) P t P 2 Posteriormete iterpolamos etre P ( t) y P ( t ) : P ( t) ( t) P ( t) t P ( t) = ( t) P 2 t ( t) P t P 2 2 La curva obteida cotiee como pesos e P, P y P2 tres fucioes cuadráticas: b ( t) ( t), b ( t) 2 t ( t), b ( t) t 22 Aplicado la misma idea, podemos defiir ua cúbica por 4 putos P, P, P2 y P : P ( t) ( t) P 2 t ( t) P t P 2 2 P ( t) ( t) P 2 t ( t) P t P 2 2 P ( t) ( t) P ( t) t P ( t) ( t) P t ( t) P t ( t) P t P 2 La curva obteida cotiee como pesos e P, P, P2 y P : 72

4 Uso de la tecología e el proceso de apredizaje de las matemáticas b ( t) ( t), b ( t) t( t) 2 b ( t) t ( t), b ( t) t 2 2 Por lo geeral, ua curva de grado puede ser costruida de esta forma y se expresa como P ( t) b ( t) P, para ciertos poliomios de grado j j j Las curvas costruidas ateriormete so coocidas como curvas de Bézier y las fucioes de peso se deomia base Bézier o poliomios de Berstei Los poliomios de Berstei de grado so k k de la forma geeral b ( t) c t ( t) k k! Los coeficietes c k so dados por Los putos P k k!( k)! y P so respectivamete el puto iicial y el fial Los putos P, P2,, P so los putos de cotrol La curva de Bézier pasa por P y P, y es tagete a los segmetos P P y P P Graficado curvas cúbicas de Bézier co Cabri Seleccioe mostrar ejes Costruya el segmeto OA e el itervalo [,] e el eje x Costruya u puto T arbitrario e el itervalo OA y despliegue las coordeadas de T Supogamos que las coordeadas de T so (a, ) Ahora costruya 4 putos distitos e el plao: P, P, P2 y P Exhiba las coordeadas de cada uo de los 4 putos Sea x, y, x, y, x2, y2, x, y las coordeadas de P, P, P2 y P respectivamete Utilice la herramieta calculadora y efectúe las siguietes operacioes ( a) x ( a) a x ( a) a x a x 2 ( a) y ( a) a y ( a) a y a y 2 Guarde el primer resultado e x(t) y el segudo e y(t) Utilice la herramieta trasferecia de medidas y trasfiera el valor de x(t) e el eje x Sea X el puto geerado Igualmete trasfiera el valor de y(t) e el eje y Sea Y el puto geerado Costruya ua recta que pasa por X, perpedicular al eje x, y otra recta que pasa por Y, perpedicular al eje y Sea Q el puto de itersecció de las dos rectas 72

5 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol2 Oculte las dos últimas rectas y utilice la herramieta lugar para determiar el lugar geométrico del puto Q cuado el puto T (correspodiete al valor del parámetro) recorre el itervalo OA La curva obteida es la curva cúbica de Bézier para los 4 putos dados Observe que ella pasa por el puto iicial y el fial Cambie la posició de los putos de cotrol P, P 2 para obteer uevas curvas Haga lo mismo co los putos termiales P, P Las curvas Bézier so bastate útiles e el diseño gráfico por computadora pero preseta problemas para putos muy alejados uos de los otros Ua mejor opció, que tratamos e el curso, so las deomiadas curvas B-splies, que utiliza fucioes base B-splies e lugar de los poliomios de Berstei 722

6 Uso de la tecología e el proceso de apredizaje de las matemáticas Coclusioes La itroducció de las curvas Bézier, B-Splies y Nurbs e el curso ha servido de motivació para los estudiates quiées asocia estos coteidos co el trabajo que realiza e los cursos de diseño asistido por computadora, graficació por computadora y co otras aplicacioes e igeiería civil El uso del programa de geometría Cabri fue útil por razoes didácticas y poteció la coexió de la geometría co el aálisis umérico, mietras que la programació e Mathematica posibilitó la visualizació de las superficies Bézier y B-Splies e el espacio tridimesioal Referecias bibliográficas Burde, R L, & Faires, J D (22) Aálisis umérico México: Thomso Learig Davis, P J (975) Iterpolatio ad approximatio Dover, New York De Boor, C (978) A practical guide to splies New York: Spriger-Verlag Powell, M J D (98) Approximatio theory ad methods Cambridge: Cambridge Uiversity Press Schumaker, L L (98) Splie fuctios: basic theory New York: Wiley-Itersciece 72

Documentos relacionados

Proyecto No. 2. Suponga que una curva es descrita por medio de una función desconocida f (x)

Proyecto No. 2. Suponga que una curva es descrita por medio de una función desconocida f (x) UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 1 Proyecto No. 2 Etrega: Martes 17 de abril de 2018 Itroducció: Cotiuado co el desarrollo de las