Resuelve. Unidad 3. Álgebra. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I. Los cadetes que desfilan con su mascota.

Transcripción

1 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve Págin 7 Los cdetes que desfiln con su mscot Un compñí de cdetes, formd en cudro de metros de ldo, vn con pso regulr. L mscot de l compñí, un pequeño perro, prte del centro de l últim fil, punto A, cmin en líne rect hst el centro de l fil de ce, punto B, regres del mismo modo hst el centro de l últim fil. En el momento de volver lcnr A, los cdetes hn recorrido ectmente metros. Suponiendo que el perro cmin con velocidd constnte que no pierde tiempo en los giros, cuántos metros h recorrido? A B Representmos esquemáticmente el movimiento de l mscot de los cdetes: t m t t Cdete ce Cdete col Mscot m t t Llmmos l espcio que recorre el solddo de ce hst que l mscot lo lcn, usremos l espcio fórmul tiempo. velocidd El tiempo que trd l mscot en llegr hst el solddo de ce, t, es el mismo que el que trd el solddo de ce en recorrer los metros. Llmmos v mscot l velocidd de l mscot L ventj del cdete de ce es de m. t tiempo que trd l mscot en llegr hst el cdete de ce t v v msco cot cdet e t tiempo que trd el cdete de ce en recorrer los metros t v cdete v cdete l velocidd de los cdetes. e

2 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Luego tenemos l iguldd: I : v v msco cot cdet e v cdete El espcio recorrido por l mscot cundo vn con los cdetes es. El espcio recorrido por l mscot l volver es, puesto que l finl se qued m del principio. Luego el espcio totl recorrido por l mscot es e. El tiempo totl durnte el cul vn l compñí, t, es el mismo que el tiempo que está l mscot corriendo. t t tiempo totl durnte el cul vn l compñí t v cdete tiempo totl durnte el cul corre l mscot t v mscot Luego tenemos l iguldd: II I : v v mscot cdete Opermos en l iguldd I: v v ms s cot cdete (v mscot v cdete v v cdete mscot v cdete v cdete v mscot v cdete ( ( v v mscot v cdete v ms s cot cdete Hemos otenido l rón entre ls dos velociddes. Usmos est relción en l iguldd II I otenemos: Opermos otenemos: m El espcio recorrido por l mscot es e m.

3 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ls igulddes en álger Págin 7 Verddero o flso? L iguldd es un ecución porque solo se cumple pr. L iguldd no es ni ecución ni identidd, que no se cumple pr ningún vlor de. c Si un iguldd se cumple pr,,, entonces es un identidd. Verddero, pues no es ciert l iguldd pr todos los números reles. Flso. Es un ecución sin soluciones. c Flso. L iguldd se tiene que cumplir pr todos los números reles, no solo pr los nturles.

4 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Fctorición de polinomios Págin 77 Aplic l regl de Ruffini pr clculr el cociente el resto de ls siguientes divisiones de polinomios: ( : ( ( : ( c ( : ( d ( : ( Cociente: Resto: Cociente: Resto: c Cociente: 9 Resto: d Cociente: Resto: El polinomio 7 podrí ser divisile por pr los siguientes vlores de :,,,,,,,. Comprue que lo es por,. Hll los divisores de estos polinomios: 7 9 Por el teorem del resto, el resto de l división entre es igul P(. Por tnto, si P(, el polinomio es divisile entre. P ( 7 P ( 7 P ( es divisile por. P ( 7 P ( es divisile por. P ( 7 P ( es divisile por. P( P ( P( es divisile por, P ( es divisile por,,..

5 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Págin 79 Descompón fctorilmente los siguientes polinomios: 9 c 9 9 d 9 ( ( ( ( ± (no tiene solución ( ( ( ( c (no tiene solución 9 9 ( ( ( (

6 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I d ±, ( ( c mc m Intent fctorir 7. Hlo hor siendo que es divisile por. El polinomio ddo no tiene ríces enters (de hecho, no tiene ríces reles. Hcemos l división: Los polinomios son irreduciles (ls ecuciones no tienen solución. Por tnto: 7 ( ( Intent fctorir 7. Vuelve intentrlo siendo que son ríces sus. El polinomio ddo no tiene ríces enters. Teniendo en cuent el dto dicionl (que son ríces, procedemos sí: 7 / / ( ± (no tiene solución Por tnto: 7 c m c m( ( ( ( (

7 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Frcciones lgerics Págin Verddero o flso? c d Pr compror si son equivlentes, multiplicmos en cru: ( (, luego es flso. Pr compror si son equivlentes, multiplicmos en cru: ( (, luego es verddero. c L primer frcción es el triple de, l segund es el triple de que son ls frcciones del prtdo nterior, luego es verddero. d Opermos en el miemro de l iquierd: Otenemos el miemro de l derech, luego es verddero. Reduce previmente común denomindor ls frcciones lgerics siguientes, súmls: 7 ( ( mín.c.m. ( Reducimos común denomindor: 7 ( 7( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ls summos: 7 7 ( ( ( ( ( ( 7 7

8 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Efectú: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Efectú ests operciones: : : ( ( 9 ( ( ( ( ( 7 ( ( Clcul: : c m : c m : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

9 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resolución de ecuciones Págin Hlo tú. Resuelve est ecución: Soluciones:, Resuelve ls ecuciones siguientes: ± 9 ± ± 7 Soluciones :, ± ± Soluciones :, ± (n ovle 9 ± (n ovle Resuelve: 9 ± ± (n ovle 9 (n ovle No tiene solución. ± ± 9 ± ( no vle ± H dos soluciones:, Págin Hlo tú Elevmos l cudrdo mos miemros: 9 Solución : Elevmos l cudrdo mos miemros:, (no vle m c m c c m 9, que es válid. Solución: 9 9

10 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve: 7 c d e f 7 ; (no vle No tiene solución ( 7 7 ± ( no vle c ; ; ± ± ( no vle d ; ; ± e ± ( ± Así,. f 7 7 7, ( no vle 7 ( ( 7 9 (novle ( 7 9 9, Comproción: (no vle 7

11 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve: 9 c d e f ( ; (, (, (no vle c 9 7 7± d ( no vle ( 9 ( e ± (novle

12 Unidd. Álger Mtemátics I f ( 7 ( Est ecución no tiene solución porque el miemro de l iquierd no puede ser nunc negtivo. Págin Hlo tú. ( ( 7 ;, 7± Ls dos soluciones son válids. Resuelve ls siguientes ecuciones: ( ( ( ( c ( ( 9 ;,9;, ( ( ( ±, 9, 9, 9 ; 9 ± ; / c ; ± ; /

13 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve: c ( ( ( ( ( ( ± ± 7 ; c ( ( ( ( ( ( ( 9 7 ± 7 ( 7 ± ; / Págin Hlo tú. 7 c 9, 7 7 7, c Hcemos el cmio de vrile. Nos qued: Resuelve ls siguientes ecuciones:, c 9 d 7 7 ± c log log ( log log log, log d 7 7

14 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve: c d, 9 ( ( ( c ( ( ( d, c c m ( ( Págin Hlo tú. Resuelve: log log log ( log c ln ln ( (Recuerd: ln es logritmo neperino o logritmo en se e log log log llog l o log ( log log ( log c ln ln ( Solución: 9 Verddero o flso? ln ln (, (no válid Al resolver un ecución con lgún rdicl cudrático siempre prece lgun rí fls. son soluciones de l ecución. c son soluciones de l ecución. Flso, hemos resuelto ecuciones de este tipo en ls que tods ls soluciones ern válids. Ejemplo: 9 en l págin. Verddero, si sustituimos por o por otenemos un iguldd. c Flso, solo es solución. Al sustituir por no sle un iguldd.

15 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve ls ecuciones siguientes: 9 c 9 d Hcemos, Soluciones:, Hcemos 9 9, Soluciones:, c Hcemos 9, 9 Soluciones: No h. d Hcemos, Soluciones:, Resuelve ls ecuciones siguientes: ( ( c ( ( d e f ( ( 9 ; ±, 9, 9,,9;, ( ( ( 9 ; 9 ± ; c ; ± ; / d ( ( ( e ( ( ( ± ± 7 ; /

16 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I f ( ( ( ( ( ( ( 9 7 ± 7 ( 7 ± ; / Resuelve: 7 c d e f 7 ; (no vle No tiene solución ( 7 7 ± ( no vle c ; ; ± ± ( no vle d ; ; ± e ± ( ± Así,., ( no vle (novle

17 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I f ( ( 7 9 ( 7 9 9, Comproción: (no vle 7 Resuelve:, 9 c d 7 7 ± ; c log log log log log 7, log d 7 7 Resuelve ls ecuciones siguientes: c log log ( log d log ( log 9 ( c log log ± ( no vle d log ( log ± ; 7

18 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resolución de sistems de ecuciones Págin Verddero o flso? El sistem El sistem tiene dos soluciones:, tiene solo dos soluciones: [, [, c El sistem tiene cutro soluciones: [, ; [, [, ; [, Flso, e no son dos soluciones, sino un solución pr cd incógnit, luego son un solución del sistem. Flso, como ls dos incógnits están l cudrdo, tmién son soluciones,,. c Verddero, por el ronmiento del prtdo nterior. Resuelve estos sistems de ecuciones: 7 c d ( ( 9 9 ; ± ± ; 7 ; ( ; ; ; ;

19 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I c ; ; ; ; 7 (no vle 7; d ( ; ( ; ( no vle, ; ; Resuelve: log ( log l o ( 7 log ( log l o ( c d log log 7 ; ( ( ; ± ± 9 ; ; log 9 ± ± 9 / 7 / ; 7 ; 9 9

20 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I c 7 log 7 ; 9 7; ; ; ; d log ( ( log g( ( log l o ( log log 7 ( log ( log ( 9 ( 9 ( ; ( ;, no es válid porque precerí ; log ( en l primer ecución.

21 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Método de Guss pr sistems lineles Págin 9 Reconoce como esclondos resuelve: 7 7 c d c d Resuelve los siguientes sistems esclondos: c d 7 9 c d

22 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Págin 9 Resuelve por el método de Guss: 9 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª 9 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª Resuelve: 9 9 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª : (.ª (.ª (.ª (.ª

23 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Págin 9 Intent resolver por el método de Guss: (.ª (.ª (.ª (.ª Ls ecuciones.ª.ª dicen coss contrdictoris (si es igul, no puede ser igul. Por tnto, el sistem es incomptile. (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª Solo quedn dos ecuciones. Resolvemos el sistem oteniendo, en función de : (.ª (.ª ( Soluciones: Pr cd vlor de, se otiene un solución del sistem. Por ejemplo: Pr Pr Resuelve: (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª L segund ecución es surd. No puede ser. Por tnto, el sistem no tiene solución. (.ª (.ª (.ª (.ª 9 (.ª (.ª (.ª (.ª L segund ecución no dice nd. No es un ecución. Por tnto, solo quedn dos ecuciones, l.ª l.ª. Resolvemos el sistem resultnte dndo los vlores de e en función de : ( Soluciones: Pr cd vlor que le demos, se otiene un solución del sistem. Por ejemplo: Pr,. Pr,.

24 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 7 Inecuciones sistems de inecuciones con un incógnit Págin 9 Resuelve ests inecuciones: > c d > > Soluciones: { / } (, Soluciones: { / > } (, c d Soluciones: ( / / <, m Soluciones: ( / / c, F Resuelve estos sistems de inecuciones: > Oservmos que ls inecuciones que formn mos sistems se hn resuelto en el ejercicio nterior. Soluciones: { / < } (, > [ Soluciones: ( / <, F Págin 9 Resuelve ls siguientes inecuciones: < c 7 < d < intervlo (, (, [, c 7 < No tiene solución. 7 d L práol qued por dejo del eje en el intervlo (, ; cort l eje en en. Por tnto, ls soluciones de l inecución son los puntos del intervlo [,.

25 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: 7 7> > 7 > > > (, Solución: (, (, [, > Ls soluciones de l primer inecución son lon puntos del intervlo [,. (Ver prtdo d del ejercicio nterior. Ls soluciones de l segund inecución son: > > (, Ls soluciones del sistem serán los puntos en común de los dos intervlos. Por tnto, el sistem no tiene solución.

26 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Inecuciones lineles con dos incógnits Págin 9 Resuelve: Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que no se verific l desiguldd:. L solución es el semiplno que no contiene O. Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que se verific l desiguldd:. L solución es el semiplno que contiene O. Resuelve: > Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que no se verific l desiguldd:. L solución es el semiplno que no contiene O. Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que no se verific l desiguldd:. L solución es el semiplno que no contiene O. L rect no pertenece l conjunto de soluciones. >

27 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Págin 9 Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: > 9 c d < e f g h < > > Ams inecuciones hn sido resuelts en el ejercicio nterior. El recinto solución del sistem es l intersección de los semiplnos soluciones de ms inecuciones. Es decir, es el recinto de color mrrón. Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. L solución es el recinto mrrón. > 9 > 9 c Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. L solución es el recinto mrrón. d Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los semiplnos. L solución es el triángulo de intersección. 9 7

28 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I e Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los tres semiplnos. Los semiplnos de l segund tercer inecuciones coinciden con los del prtdo d. Representmos el semiplno de l primer inecución. L solución es l región común los recintos. 9 f Resolvemos cd un de ls inecuciones. No h ningún punto que esté en l intersección de los tres semiplnos. Luego no h solución. 9 < g Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los tres semiplnos. L solución es el triángulo común los semiplnos. h Resolvemos cd un de ls inecuciones. No h ningún punto que esté en l intersección de los tres semiplnos. Luego no h solución. > >

29 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios prolems resueltos Págin 9. Ecuciones polinómics de grdo tres o superior Hlo tú. Resuelve est ecución: Como no tiene término independiente, scmos fctor común : ( 7 Buscmos hor ls ríces enters del nuevo polinomio entre los divisores del término independiente fctorimos. 7 7 ( ( Como no h más ríces enters, pr descomponer el polinomio de segundo grdo resolvemos l ecución socid como el coeficiente principl es, nos qued: ( c c mc m Soluciones:,,,. Ecuciones con vlores solutos Hlo tú. Resuelve ests ecuciones: Seguimos ls indicciones del ejercicio resuelto, prtdo., Seguimos ls indicciones del ejercicio resuelto, prtdo. (. Inecuciones con frcciones lgerics Hlo tú. Resuelve est inecución: Pr que l frcción se negtiv, el numerdor el denomindor deen tener distinto signo. Clculmos ls ríces de mos polinomios. Ells determinn los intervlos en los que h que estudir el signo de l frcción: ; (, (, (, L solución es el intervlo (,. Añdimos porque nul l frcción. 9

30 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Págin 97. Ecuciones tipo n n c Hlo tú. Resuelve est ecución: Hcemos el cmio de vrile: L ecución qued:, ±, ± que no eiste. Soluciones:,. Ecuciones eponenciles Hlo tú. Resuelve ls ecuciones: 9 c 9 log log,9 c Hcemos el cmio de vrile.. Ecuciones logrítmics Hlo tú. Resuelve ls ecuciones: ln ( log c log log log log, que no tiene solución. ln ( ln ( ln e e log ± Como l se de un logritmo no puede ser negtiv, l solución es. c log log log log log log 7 7 e

31 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios prolems guidos Págin 9. Resolución de un prolem medinte un sistem de inecuciones A un eposición sisten menos de persons se recudn más de con entrds de de.. Cuánts entrds de cd tipo hn podido ser vendids? número de entrds vendids de número de entrds vendids de < > [ Culquier punto de coordends enters del recinto intersección es un solución. Los puntos de ls rects no formn prte de l solución.. Resolución de un prolem medinte un sistem de dos ecuciones con dos incógnits Un peregrino que recorre el Cmino de Sntigo vn un velocidd de, km/h. Se d cuent de que, ese pso, llegrá hor más trde de lo previsto l lergue. Entonces, celer el pso recorre el resto del cmino km/h, llegndo medi hor ntes del tiempo fijdo. Qué distnci le flt por recorrer ese dí hst el lergue? distnci que flt por recorrer t tiempo que trdrí si v, km/h, t (t, t, 7 7, Le fltn 7, km por recorrer.

32 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I. Resolución de un prolem medinte un sistem de tres ecuciones con tres incógnits Un corredor sue ls cuests km/h, ls j km/h mrch en llno, km/h. En su últim mrtón trdó hors medi, si el recorrido huiese sido en sentido inverso, su tiempo hrí sido de hors curto. Siendo que un mrtón tiene un recorrido de km, cuál fue l longitud del recorrido llno en est mrtón? trmos de suid en l mrtón originl prte lln en l mrtón originl trmos de jd en l mrtón originl, (.ª, [, (.ª [, 7 (.ª (.ª,, (.ª [, (.ª [,,, (.ª /, (.ª (.ª (.ª (.ª [ 7, [, H 9, km de recorrido llno. (.ª (.ª (.ª, [, 9,

33 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ejercicios prolems propuestos Págin 99 Pr prcticr División de polinomios. Regl de Ruffini Clcul el cociente el resto en cd cso: ( : ( : ( c ( : ( d ( : ( Cociente: Resto: Cociente: Resto: c Cociente: Resto: d Cociente: 9 7 Resto: Espres en l form d c e D C r. d d e c f d f 9 Hll el polinomio P ( siendo que: P( Despejndo P ( otenemos: P( Averigu usndo l regl de Ruffini si el polinomio es divisile entre ( (. Hlo tmién emplendo el teorem del resto. Pr : El resto es cero, luego es divisile entre. Pr : El resto no es cero, luego no es divisile entre.

34 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Clcul el vlor de m pr que se ect l división ( 9 m : (. 9 m m m m Fctorición de polinomios Fctori cd polinomio señl sus ríces. 9 c d e f 7 g h ( ( ( 9 c mc c m ± ± 9 9 ± 9 ± c ( ( ( j j d ( ( ( e ( ( ( f 7 ( ( ( g ( ( ( h ( ( ( 7 Sc fctor común us ls identiddes notles pr fctorir. 7 9 c d 7 e 9 f 9 g h 7 ( ( 9 ( c ( ( d 7 ( e 9 ( 7 f 9 ( ( g h ( ( 7 (

35 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Frcciones lgerics Descompón en fctores simplific ls siguientes frcciones: ( ( ( ( ( 9 Reduce l mínimo común denomindor oper: c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Oper simplific. : c e o c m d : c m : ( ( ( ( c e o c m 7 7 d : c m c m

36 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Oper simplific. c : m > c m:c : c mh :( ( c c m:c m d > c m :c: c mh ( e c : m c m c : : : m ( : : ( ( ( ( ( > c m:c : c m H:( ( : :( ( ( < F :( ( ( :( ( ( ( ( ( ( ( c c : m c m ( : : ( d > c m : c m H ( : ( ( ( ( G ( ( ( e : ( 9 c m c m : : ( ( ( ( ( ( ( ( Ecuciones de primer segundo grdo Resuelve ls siguientes ecuciones: ( ( ( ( 9 ( ( ( c ( [ ( ( d ( e,(,( f (, (, ( (

37 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I c ( ( d ± 7 ± / e ( ( ± f l l ll 9 9 ± / Resuelve ests ecuciones incomplets de segundo grdo sin plicr l fórmul generl: ( ( ( c d << F 9 7

38 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 9 ( c 9 (9 9 / d ( / Págin Resuelve ests ecuciones (un de ells no tiene solución otr tiene infinits: ( (,,,(, (, c ( ( ( d ( ( ( 7 Tiene infinits soluciones. ( c 9 9 No tiene solución. d

39 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve ls siguientes ecuciones epresndo previmente los decimles en form de frcción:,,, c,, d,,7 9 c 9 9 d 9 9 Ecuciones icudrds Resuelve comprue ls soluciones. c d e 9 f g 7 h 9 ± c ± 9 ( no vle ± 9 (n ovle (n ovle (no tiene solución d e ± 9 ± (no tiene solución 9 / 9 / 9

40 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I f (,, g ± 9 h 9 (9,, / / 7 Resuelve ests ecuciones del tipo n n c hciendo el cmio de vrile n : 7 c d Hcemos el cmio. Solución: 7 Hcemos el cmio. 7, Soluciones:, c Hcemos el cmio., ±, ± Soluciones:,,, d Hcemos el cmio., ± Soluciones:,

41 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Hll ls soluciones de ests ecu ciones: ( ( ( ( ( ( ( ( ± ± / ( no vle Ecuciones con rdicles 9 Resuelve ls siguientes ecuciones: 7 c d e f 7 g h 9 7 7± 9 / 7 ± ( no c j ± / ( no vle

42 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I j d j j j j ( ± 7 7 / / ( no e j ( 9 9 ± 9 ( no vle / / f ( 7 j 7 ± (n ovle g j j, h j j ( Resuelve:, Elevmos l cudrdo mos miemros: ( 9(, solución válid. ( Elevmos l cudrdo mos miemros: ( ( Solución: 9 9 (válid, 9 (no válid

43 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve comprue ls soluciones. c d Elevmos l cudrdo mos miemros:, solución válid. (, solución válid. c Elevmos l cudrdo mos miemros: 7 (válid, (no válid. Solución: 7 d ( ( Elevmos l cudrdo mos miemros: ( ( ( 9 9 Solución: (válid, (no válid. Resuelve islndo el rdicl elevndo l cuo. c d 7, 7 c 7, solución válid. d, solución válid.

44 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Ecuciones fctorids fctoriles Resuelve ls siguientes ecuciones fctorids: ( ( ( c ( ( ( ( ( ( [ Soluciones:,, c ( ( ( [ No tienesolución No tienesolución Solución: Resuelve ests ecuciones identificndo identiddes notles: 9 c d 9 ( ( (, c ( ( Solo tiene rí el fctor (. Solución: d ( ( ( Soluciones:, Ls siguientes ecuciones tienen tods sus soluciones enters. Hállls usndo l regl de Ruffini: c 7 d ( ( ( Soluciones:,, ( ( ( Soluciones:,, c 7 ( ( ( Soluciones:,, d ( ( ( Soluciones:,,

45 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Descompón en fctores resuelve: c 9 d e f g 7 h ( ( (,,, c ( ( d ( ( (,,,, e ( c m f ( ( (, /,, g ( ( h ( (,, Ecuciones rcionles 7 Resuelve. c d ± 9 ± 9 7 c ± ± d 7 ± 9 ( ( / ( /

46 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve ls ecuciones siguientes: ( ( 9 Resuelve. ± 9 7 c ( c ± d ( ( ( d Resuelve est ecución simplificndo previmente ls frcciones lgerics que precen. Comprue ls soluciones: Soluciones:, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Págin Ecuciones eponenciles logrítmics Hll l solución de ls siguientes ecuciones tomndo logritmos en cd miemro: 7, 7 log 7, log,

47 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve epresndo mos miemros de cd ecución como potencis de l mism se. c (, d, 7, 7 c (, c m d, / / Resuelve ls ecuciones siguientes medinte un cmio de vrile: c 7 7 ;,, ; 9 7 c ; , (no vle Resuelve plicndo l definición de logritmo. lo log c lo 7 d lo Como l se tiene que ser positiv,. log c log 7 7 d log Hll l solución de ls siguientes ecuciones: log log 9 log ln ln c log ( log d log log log 9 log log log (9 ln ln ln ln c log ( lo og log ( ( l og 9 d log log log 9 7

48 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Sistems de ecuciones Resuelve los siguientes sistems: 9 c [, 7, c 7 7, d, d [ 7 Resuelve. 9, ;, ( No tiene solución.

49 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve por sustitución: ( c d (,,, ;, (, c ( ( (, [, ;, ( e o d [,, ;, 9 Resuelve por reducción: 7 [ 9 ± ±, ;, ;, ;, 9

50 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I ± Si : Si ± ± / : ± ± /, ;, ;, ;, Resuelve los siguientes sistems: c ( ( ( ( d ( ( ( 7 ( 9 9 9, ;, ± ± / e o 7 7 ± 9 ± 7 ± 7, ; 7, ;, 7;, 7

51 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I c ± ± ± ±, ;, ;, ;, d , ;, Resuelve. ( (, ( 9 ± 7 (novle, Resuelve por sustitución. log log log, ( ± ±, ;,

52 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Método de Guss Resuelve por el método de Guss: c 9 d e f 9 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª c (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª : (.ª (.ª (.ª (.ª 9 9 d e (.ª (.ª (.ª 7 (.ª (.ª (.ª 9 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª

53 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I f (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª 7 Resuelve plicndo el método de Guss: c 7 d e f (.ª (.ª (.ª (.ª 7 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª 7 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª : (.ª : Ls ecuciones.ª.ª dicen coss contrdictoris. / El sistem es incomptile, no tiene solución. c 7 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª H dos ecuciones igules. El sistem es comptile indetermindo. Buscmos ls soluciones en función de : (,, d, e, (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª 9 9 Ls ecuciones.ª.ª otenids dicen coss contrdictoris. Por tnto, el sistem es incomptile.

54 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I f (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª H dos ecuciones igules. El sistem es comptile indetermindo. Buscmos ls soluciones en función del prámetro : ( 7, 7 Págin Inecuciones Resuelve ls siguientes inecuciones: < 7 c < d > < ; (, 9 ; (, c < < > ; c, m d > > < < ; (, Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: < > > 7 < > c d < < < < < > (, > > / > (, c > 7 >9 > 9 / ( 7, d > / No tiene solución < /

55 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 7 Resuelve. < c > d e 7 f 7 > ( ( [, j j j j <, j,,, j c ( > (, (, d ( ( (, [, e 7 [, f 7 > (, (, Resuelve estos sistems: > < 7 < > < 7 Soluciones: (, (, Soluciones: (, Ls soluciones comunes son: ((, (, (, (, < Soluciones: [, Soluciones: (, Ls soluciones comunes son: [, ( [, 9 Resuelve gráficmente: c d Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que no se verific l desiguldd. L solución es el semiplno que no contiene O.

56 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que se verific l desiguldd. L solución es el semiplno que contiene O. c. Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que se verific l desiguldd. L solución es el semiplno que contiene O. d. Diujmos l rect r :. Tommos el punto O (, r, sustituimos en l inecución compromos que se verific l desiguldd. L solución es el semiplno que contiene O. Comprue que el punto P verific l inecución. P Elige tres puntos culesquier de l on rd prue que son soluciones de l inecución. Ls coordends de P son (,. Sustituendo en l inecución, qued: ( ( Por ejemplo, (,, (,, (,. Todos los puntos de l on rd cumplen l inecución. Resuelve gráficmente los siguientes sistems: c d e f g [ h 7 7 Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. L rect no pertenece l > recinto solución.

57 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. c Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. d Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de mos semiplnos. e Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los tres semiplnos. f Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es el triángulo intersección de los tres semiplnos. g Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los cutro semiplnos. h Resolvemos cd un de ls inecuciones. El recinto solución es l intersección de los tres semiplnos

58 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Pr resolver El resto de l división ( k 7 : ( es igul 7. Cuánto vle k? El resto l dividir P( k 7 entre P( 7: P( ( ( k( 7 7 k 7 k k 7 k 7 Resuelve ls siguientes ecuciones: ( ( ( ( es igul c d e ( ( ( ( Reducimos común denomindor: P (. Por tnto, queremos que ( ( ( ( Soluciones:, Solución : c ( ( ( Soluciones:,, d. Ecución icudrd. Hcemos el cmio., (no válid Soluciones:, e Reducimos común denomindor: Soluciones :, Resuelve ests ecuciones con vlor soluto. c d Soluciones:,,, Soluciones:,,,

59 Unidd. Álger 9 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I c [ [ [ [ [ Soluciones:, d ( ( ( ( ( ( ( ( Soluciones:, Resuelve por el método más decudo. c d (, log c Hcemos el cmio., d (, c m m c m ( Resuelve los siguientes sistems de ecuciones: log l o log l o l log og o l log og o l log og og og o l log og og og o : : c d log l o log l o l log og o l log og o l log og og og o l log og og og o Summos ms ecuciones: log log Restmos ls ecuciones: log log Solución:,, :, :, Solución:, c j j j j j j j j , Soluciones:, ;,

60 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I d, Soluciones:, ;, 7 Resuelve. ( [ ( ( ( ( [ ( ( ( Solución:,, [ [ ( (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª [ [ [ ( [ (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª [ [ Solución:,, Comprue que un de ests inecuciones tiene por solución l conjunto Á l otr es incomptile: ( ( < ( 7 < ( ( ( < < < que es cierto pr culquier vlor de é Á. ( 7 < ( < < que es flso, luego no se verific nunc l desiguldd. 9 Resuelve. < > c d Pr que l frcción se negtiv, el numerdor el denomindor deen tener distinto signo. Clculmos ls ríces de mos polinomios. Ells determinn los intervlos en los que h que estudir el signo de l frcción: Solución: (, (, (,

61 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Pr que l frcción se positiv, el numerdor el denomindor deen tener el mismo signo. Clculmos ls ríces de mos polinomios. Ells determinn los intervlos en los que h que estudir el signo de l frcción: (, (, no tiene solución. Solución: (, c Pr que l frcción se negtiv, el numerdor el denomindor deen tener distinto signo. Clculmos ls ríces de mos polinomios. Ells determinn los intervlos en los que h que estudir el signo de l frcción: (, (, (, Solución: [, ; no es solución porque hce cero el denomindor. d Pr que l frcción se positiv, el numerdor el denomindor deen tener el mismo signo. Clculmos ls ríces de mos polinomios. Ells determinn los intervlos en los que h que estudir el signo de l frcción: (, (, (, [, Solución: [, [, ; no es solución porque hce cero del denomindor. Contrtmos un hipotec en enero de con revisión semestrl del tipo de interés. En julio nos sue l cuot un % en l siguiente revisión j un % respecto julio. Si en enero de estmos pgndo 9, mensules más que en el mismo mes del ño nterior, cuál er l cuot inicil? Cuot inicil Usndo los índices de vrición, tenemos:,,99 9, L cuot inicil er de. Págin En l primer prue de un oposición qued elimindo el % de los prticipntes. En l segund prue se elimin el % de los restntes. Si el número totl de persons suspendids es, cuánts persons se presentron l oposición? n.º de prticipntes En l primer prue se eliminn,. Después de l primer prue quedn,. Después de l segund prue se eliminn,(,. Hn suspendido:,,(,,, Se presentron persons.

62 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Un piscin trd en llenrse hors utilindo su tom de gu hitul, hors si utilimos un mnguer. Qué tiempo será necesrio empler pr su llendo si usmos mos métodos de form simultáne? En un hor, l tom de gu hitul llenrí de l piscin. En un hor l mnguer llenrí de l piscin. Entre los dos, en un hor llenrín de l pisicin. Luego necesitn hors pr llenr l piscin. En un tiend se vende té lnco /kg té verde /kg. Tmién vende un mecl de mos productos, /kg. Cuál es l composición de l mecl? PRECIO CANTIDAD DE TÉ PURO EN KG DE MECLA TOTAL TÉ BLANCO /kg TÉ VERDE /kg MECLA, /kg,,,, L mecl tiene % de té lnco % de té verde. Clculr ls dimensiones de un finc rectngulr siendo que su perímetro mide m su digonl es de m. d P d 7 Soluciones:, ;, Un ldo mide m el otro m. Un tiend h vendido ordendores, cuo precio originl er de, con un descuento del % unos un % otros. Si se hn recuddo, clcul cuántos ordendores se rejó el %. n.º de ordendores vendidos con un % de descuento n.º de ordendores vendidos con un % de descuento Epresmos ls condiciones medinte un sistem de ecuciones:, 7,7 9 9, Se hn vendido ordendores con un % de descuento.

63 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Hemos necesitdo dm de crtón pr construir un cj de se cudrd de dm de volumen. Cuáles son ls dimensiones de l cj? l ldo de l se; h ltur V A se h A totl l l h Tenemos entonces el siguiente sistem de ecuciones: l h l l l l h h l l l l l l l l l l l l l (l l ( l l l l h 7 h 7 9 l [ l l 7 7 noes válid porque es negtiv Soluciones: l dm, h dm; l 7 dm, h 7 9 dm 7 L sum de ls eddes, en el momento ctul, de tres hermnos es de ños. Dentro de un ño, l edd del menor será l mitd que l edd del medino. Hce ños, l edd del mor er el dole que l del medino. Hll ls eddes de los tres hermnos. EDAD ACTUAL EDAD DENTRO DE AÑO EDAD HACE AÑOS HERMANO HERMANO HERMANO TOTAL ( ( Tenemos el siguiente sistem de ecuciones: ( (,, ( ( El mor tiene ños, el segundo tiene ños el menor tiene ños. En un cj registrdor encontrmos illetes de,, siendo el número totl de illetes igul, l cntidd totl de dinero de. Siendo que el número de illetes de es el quíntuple de los de, clcul el número de illetes de cd clse. n.º de illetes de n.º de illetes de n.º de illetes de

64 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Epresmos ls condiciones en función de ls incógnits otenemos el siguiente sistem de ecuciones: Solución:, 9, H illetes de, 9 illetes de illetes de. 9 En un función de tetro se recudn, vendiéndose entrds de tres precios distintos:,. Siendo que el número de locliddes más económics suponen un % del número de locliddes de, clcul el número de locliddes de cd tipo. n.º de locliddes n.º de locliddes n.º de locliddes Solución :,, Se hn vendido locliddes de, de de. 7 Preprmos un surtido con dos tipos de omones de /kg /kg. Nuestro presupuesto es de queremos preprr, l menos, kg. Qué restricciones tiene l composición del surtido? kilos de omones de /kg kilos de omones de /kg Restricciones: [ 7 Un comité de un comunidd de vecinos, dee estr formdo entre persons, no pudiendo ser el número de homres ni el de mujeres inferior un tercio del grupo. Cuánts cominciones posiles h? Llmmos l n.º de mujeres e l n.º de homres. Ls condiciones son: [ Representmos el recinto solución: Ls diferentes posiiliddes son: (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, (,, que corresponden los puntos del recinto común cus coordends son enters.

65 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I 7 L recudción de un prtido de fútol en el que se vendieron menos de entrds superó los, millones de euros. Si se vendieron entrds de de, cuánts locliddes de cd tipo pudieron ser vendids? n.º de entrds de n.º de entrds de Restricciones: < >, [ > > < > >, > Ls posiles soluciones son los puntos de coordends enters que están en el recinto intersección de los cutro semiplnos. Autoevlución Fctori los siguientes polinomios señlndo sus ríces: P ( Q ( P( Aplicmos Ruffini: P( ( ( ( Ls ríces de P ( son,. Q ( Scndo fctor común: Q( ( Aplicndo l fórmul pr resolver ecuciones de.º grdo : ± ± / Q ( ( c m Ls ríces de Q ( son,.

66 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Oper simplific el resultdo: ( ( ( ( c m : l ( ( ( ( ( ( ( : ( ( c m l f p: c m ( ( e ( ( o: c m e o c m ( ( ( ( Resuelve ls siguientes ecuciones: 9 c d ( ( Multiplicndo por mín.c.m.(, ( ( ( ( (9 9 / 9 9 ± ( 9 ( ± ± ( nov le c ( j ± 9 ( ( ± / (Son válids ms soluciones. d ( ( ( ( ( ( ± ( ( ± 9 ± 7

67 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve ls siguientes ecuciones: 9 c log log d log 9 9 ± ( ± ( ( ± c log log log log d log 9 9 7, 7 Como l se no puede ser negtiv, 7. Resuelve estos sistems de ecuciones: e o ± ( ( ± 7 H dos pres de soluciones:, ;, ( j ( 9 ± ( ( 9 ( Solución:, 7

68 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Resuelve por el método de Guss: 9 7 [ (.ª Solución:,, 9 [ 7 (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª El sistem no tiene solución (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª (.ª 9 7 Resuelve: < c ( Ls ríces de ( son : Si ( > Si ( < Solución: (, [, Si ( > < < < < Solución: (, 7 d c 7 7 Solución: [, 7 d [ L solución es el recinto somredo:

69 Unidd. Álger Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles I Un tendero invierte en l compr de un prtid de mnns. Desech kilos por defectuoss vende el resto, umentndo, cd kilo sore el precio de compr, por 7. Cuántos kilos compró? Llmmos l número de kilos que compró el tendero. Llmmos l precio l que compr cd kilo de mnns. ( (, 7 Resolviendo el sistem (nos quedmos solo con l solución positiv:, Por tnto, el tendero compró kg. 9