5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
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- Luis Miguel Salas Fuentes
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1 . epso de trices he Mdoz, VEGP, Mdrid )
2 Mtrices Eleeto: ij Tño: Mtriz cudrd: orde ) Eleetos de l digol: Vector colu triz ) Vector fil triz ) )
3 8, B ) 8) B Su: ij k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por u esclr:
4 Si, B, so trices, k y k so esclres: i) B B ii) B ) B) iii) k k ) k k ) iv) v) k B) k k B vi) k k ) k k
5 ) b) Not: E geerl, B B 8, B 8 8 ). 8 ). B, 8 B ) ) ) ) 8 ) 8 ) B Multiplicció:
6 Trspuest de u triz : T i) T ) T ii) B) T T B T iii) B) T B T T iv) k) T k T Not: B ) T T B T T B) T T B T T
7 ,, Mtriz cero ) iferior Trigulr superior Trigulr 8 8 Mtrices trigulres
8 8 Mtriz cudrd, i j, ij Mtriz digol: :, etoces I I Mtriz idetidd:
9 U tiz es siétric si T. T
10 b b b b b b Mtriz uetd socid, pr resolver el siste de ecucioes lieles. esolució de sistes de ecucioes lieles:
11 ,,
12 esolver edite el étodo de Guss-Jord Etoces: Hciedo t, teeos t, t.
13 esolver: 8 8!! No tiee solucioes.
14 Vectores fil: u ), u, ),, u ),,, v v v Vectores colu: El rgo de u triz, es el áio úero de vectores fil lielete idepedietes rg.
15 X Siepre hy solucioes cosistete) Solució úic X solució trivil) rg) Ifiits solucioes g) < r práetros
16 X B, B osistete rg) rg B) Icosistete rg) < rg B) Solució úic rg) Ifiits solucioes rg) < r práetros
17 Deterites det det. det Epsió por cofctores lo lrgo de l prier fil.
18 det El cofctor de ij es ij ) i j M ij dode M ij se ll eor. det... O por l tercer fil: det Podeos epdir por fils o colus. 8
19 det ) ) ) ) ) )
20 )] [) )] [) )] [) ) ) ) det det ) ) ) ) det Más corto desrrolldo por l segud fil...
21 8 )] [) ) ) 8 ) ) ) 8 det 8
22 det T det det det T Si dos fils colus) de u triz de so idétics, etoces det. det
23 Si todos los eleetos de u fil colu) de u triz de so cero, etoces det. Si B es l triz obteid por itercbio de dos fils colus) de u triz, etoces: det B det det B det
24 Si B se obtiee de u triz ultiplicdo u fil colu) por u úero rel k, etoces: det B k det det B k i i k i i k k i i ii ii ) epsió de det por cofctores lo lrgo de l i-ési fil i i k det ) 8
25 Si y B so trices, etoces det B det det B., B B det B, det 8, det B, det B det det B.
26 det det B. B Si B se obtiee coo cobicioes lieles de fils o colus de u triz, etoces: det B det
27 ). det ) )... det ) det.. triz digol triz trigulr iferior
28 Supogos que es u triz. Si i, i,, i so los eleetos de l i-ési fil y k, k,, k so los cofctores de l k-ési fil, etoces: i k i k i k, pr i k Igulete, si j, j,, j so los eleetos de l j-ési colu y k, k,, k so los cofctores de l k-ési colu, etoces: j k j k j k, pr j k 8
29 Deostrció Se B l triz que obteeos de l cbirle los eleetos de l i-ési fil por los de su k-ési fil: b i k, b i k,, b i k B tedrá etoces dos fils idétics de odo que det B, y: det B k i k k i k k k i k k k
30 8 ) ) )
31 Ivers de u triz Se u triz. Si eiste u triz B tl que B B I dode I es l triz idetidd, etoces se dice que es u triz o sigulr o ivertible. Y B es l triz ivers de. Si crece de ivers, se dice que es u triz sigulr. Se, B trices o sigulres. i) - ) - ii) B) - B - - iii) T ) - - ) T
32 Se u triz. L triz ford por l trspuest de l triz de cofctores correspodietes los eleetos de : se ll djut de y se deot por dj. T Mtriz djut
33 Ecotrr l triz ivers: Se u triz. Si det, etoces: Pr : dj ) det det det dj det
34 dj det
35 dj det
36 ) I
37 8 8
38 8 Sigulr
39 b b b,, X b b b B X B Si, y es o sigulr, etoces: X - B
40 /,
41 8,,
42 c b b b c b b b c b b b b b b det det B X - det det det k k k k k b b b egl de rer
43 U siste hoogéeo de ecucioes lieles, X tiee solo l solució trivil ceros) si y solo si es o sigulr. U siste hoogéeo de ecucioes lieles, X tiee u solució o trivil si y solo si es sigulr.
44 Probles de utovlores DEFINIIÓN utovlores y utovectores Se u triz. U úero λ se dice que es u utovlor de si eiste u solució vector K, distito de cero pr: K λk El vector solució K es el utovector correspodiete l utovlor λ. Los utovlores de u triz trigulr, iferior o superior, o de u triz digol so los eleetos de l digol.
45 Verific que es el utovector de l triz: Solució K K K ) ) utovlor
46 Podeos escribir K λk coo: λi)k Que es lo iso que u siste de ecucioes lieles hoogéeo. Si quereos que K se u solució distit de cero, deberí ocurrir que: det λi) Observ que det λi) os proporciorá u polioio de grdo, que llreos ecució crcterístic.
47 Ecuetr los utovlores y utovectores de: ) det λ λ λ λi λ λ λ λ λ ) λ ) λ,,. hor ecotrreos los utovectores pr cd utovlor. λi)k
48 8 i) λ ) I, k k k k Todo k K λ I)K
49 ii) λ 8 8 ) I 8 k k, k k. Todo k : K λ I)K
50 iii) λ ) I K k k, k /) k. Y todo k, λ I)K
51 λ λ es u utovlor de ultiplicidd. prtir de I ), teeos: ) ) det λ λ λ λi k k k k Ecuetr los utovlores y utovectores de: Todo k, teeos k, y etoces K
52 λ, λ λ 8 ultiplicidd ). 8) ) ) det λ λ λ λ λ λi Ecuetr los utovlores y utovectores de:
53 i) λ, por el étodo de Guss-Jord: ) I K k k, k k. Si k, etoces:
54 ii) λ 8, ) 8 I, K K k k k. Podeos elegir dos de ellos de er rbitrri. Toeos k, k : Y k, k :
55 utovlores y utovectores coplejos Se u triz cudrd de eleetos reles. Si λ α iβ, β, es u utovlor coplejo de, etoces su cojugdo utovlor de. λ α es tbié u Si K es u utovector correspodiete λ, etoces el utovector cojugdo K es u utovector correspodiete λ. Deostrció: iβ K λk, K λ K, K λ K
56 Ecuetr los utovlores y utovectores de: det λi) λ i λ λ λ i, λ λ i k λ λ i) k k i) k λ I)K k i) k, todo k : K i λ λ i, K K i
57 Potecis de u triz Se, u triz. Defiios l poteci -ési de coo: fctores
58 Teore de yley-hilto Ecució crcterístic: det λi) ) λ c λ c λ c U triz stisfce su propi ecució crcterístic: ) c c c I 8
59 oprobrlo co: λ λ. Y por el teore de yley- Hilto: I Observ que etoces: I y λ λ Y podeos escribir ls sucesivs potecis de coo: I ) I I) I I I... c c I... λ c λ c
60 O se que podeos escribir: c c I y λ c λ c λ λ ; λ, λ : ) c c c c ) ) c /[ ) ], c /[ ) ] [ ) ] [ [ ) ] [ ) ) ] ]
61 Y e geerl, pr u triz de orde : c I c c c λ c c λ c λ c λ dode los c k k,,, ), depede de.
62 lcul pr: Solució λ λ λ, λ,,. c I c c λ c c λ c λ o λ, λ, λ, obteeos: ) c c c c c c c c c c c c [ [ ) [ ) ], ) ], ]
63 Puesto que c I c c, teeos: ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ Por ejeplo, pr
64 Por el teore de yley-hilto: I, I /) /), Multiplicdo bos ldos por podeos ecotrr l ivers: /) /)I
65 U triz es siétric si T Si es siétric co eleetos reles, etoces los utovlores de so reles. K λk, K λ K, K λ K Trspoiedo y ultiplicdo por K por l derech: K T K λ K T K λ λ)k T K K T K k k k ) λ λ λ es rel.
66 utovectores ortogoles l igul que defiios el producto esclr etre vectores: y y y y podeos defiirlo co trices vectores fil o colu): X Y X T Y y y y T X X X Veos que si es u triz siétric, los utovectores correspodietes distitos diferetes) utovlores so ortogoles.
67 Deostrció Se λ,, λ dos utovlores distitos correspodietes los utovectores K y K. K λ K, K λ K K ) T K T T K T λ K T K T K λ K T K K λ K, K T K λ K T K λ K T K λ K T K λ λ ) K T K oo λ λ, etoces K T K.
68 8 λ,, y, K, K K ) ) ) ) ) K K K K T T ) ) )... K T K
69 Mtriz ortogol: U triz o sigulr es ortogol si: - T es ortogol si T I. I I T I II I I T
70 T T T T T T T T T T X X X X X X X X X X X X X X X X X X U triz es ortogol si y solo si sus vectores colus X, X,, X for u cojuto ortoorl. Es decir si: X it X j, i j, i, j,,, X it X i, i,,, Los X i for u cojuto ortoorl.
71 , X, X, X ) ) ) X X X X X X T T T
72 Y los vectores so uitrios, ortoorles: ) ) ) X X X X X X T T T
73 , K, K K, K K K T, K K K T K K K T,, P Verific que P T P -. Vios
74 utovlor doite Se λ, λ,, λ k,, λ los utovlores de u triz. El utovlor λ k se ll utovlor doite de si: λ > λ, i,,, k i, λ k U utovector socido se deoi utovector doite de. λ, λ λ, λ λ
75 X i X i, i Método de ls potecis Vector Supogos que tiee u utovlor doite.,,, X X X X X X Supogos que λ > λ λ co K, K,, K utovectores socidos lielete idepedietes. Etoces: X c K c K oo K i λ i K i, etoces: X c K c K c K c K X X X cλ K cλk c λ K
76 Multiplicdo por sucesivete: c c c c c c K K K K K K X λ λ λ λ λ λ c c c K K K X λ λ λ c c c K K K λ λ λ λ λ X K c λ oo λ > λ i, i,,, ; cudo, podeos proir:...)
77 Observeos que u utovector ultiplicdo por u costte sigue siedo u utovector. De odo que podeos escribir: X X De odo que X será u proició l utovector doite. Puesto que K λk, K K λk K λ K K K K X λ c K λ X X X X ociete de yleigh. que os d u proició l utovlor doite.
78 8 X 8 X X X X X i i X X K c λ
79 X..8. X X. X. X.8.. T T.... λ X. X... K, K. X. X λ, λ,
80 Mtriz digolizble Si eiste u triz P, tl que P - P D se digol, etoces decios que es digolizble. TEOEM odició suficiete de digolizbilidd Si es u triz que tiee utovectores K, K,, K lielete idepedietes, etoces es digolizble. 8
81 8 Deostrció Puesto que P K, K, K ) es o sigulr, etoces eiste P - y sí que P - P D. PD K K K K K K K K K P ) ) ) λ λ λ λ λ λ
82 odició suficiete de digolizció Si es u triz co utovlores distitos, etoces es digolizble. Teeos que λ,. Y solo podeos ecotrr u utovector. L triz o puede digolizrse. K 8
83 8 ) ) ) det λ λ λ λ λ λ λi, K K, ) K K P P D P P Digoliz: λ,.
84 8,,,,, K K K λ λ λ ) K K K P P D P P 8 8 8
85 8 K ) I λ,,. λ λ, K K P D juto co K, for tres vectores lielete idepedietes. Luego l triz es digolizble. P - P D
86 Si eiste u triz P ortogol que puede digolizr, decios que es ortogolete digolizble. U triz es ortogolete digolizble si y solo si es siétric. P digoliz : P - P D, PDP -. P es ortogol: P - P T, etoces: PDP T. T PDP T ) T PD T P T PDP T Luego es siétric. 8
87 Prtiedo de u teto o cojuto de tetos coo l Bibli, cóo podríos deterir qué plbrs so cpitles e l obr? Y ás ú, cóo podríos estblecer u rkig de relevcis edite u odelo teático? 8
88 Pdre Dios Hijo Dios Espíritu Sto Dios 88
89 epresetció gráfic de l red etríd del Esto's Bible Dictiory relizd co el progr Gephi. L red cost de. plbrs represetds coo odos y uos. elces dirigidos. E l ige el tño de los odos es proporciol su iportci. Los tres círculos egros ás grdes e el cetro, ls seis y ls dos) correspode ls tres plbrs de yor relevci bíblic. 8
90 elciorte co gete iportte te hce iportte Prier proició: l iportci de u plbr es proporciol su úero de elces etrtes. kig por elces etrtes: Dios : ey : iudd : Hebreo :. Segud proició: l iportci de u plbr es proporciol l su de ls iportcis de ls plbrs que l elz, que l us e sus defiicioes. irculridd).
91 Peregrios letorios
92
93 Solució estciori:
94
95 Sergey Bri y Lwrece Pge 8): Pgek Más eplorcioes: Otros dicciorios, coo por ejeplo los de legu. uáles so ls plbrs ás iporttes e cstello? Depede del dicciorio que epleeos? oicide co ls del ctlá, el gllego y el eusker? Está relciodo el rkig de ls plbrs de u legu co su filogei ligüístic? Se i eplorrlo?
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