de envases nos propuesto el tema S1- rectangular en rectángulos, uno envase y el otro la sup~rficie más clara y un rectángulo,cuyos son a La parte la

Transcripción

1 por SERGO SSPÁNOY el el tem: de envses nos propuesto el tem S- rectngulr en rectángulos, uno envse el otro l sup~rficie que l nsmo RESOLUCÓR. - jl.hhhha"'h'v~ el pedido del en l más clr un rectángulo,cuos son L prte l (O < e < ), se cort uno A se emple Fig. pr de l del rectángulo que se se cort l s p. Encontrr l form mner que el voluel vlor más si se d el :áre sin indicr l

2 -2- Pueden hcerse dos hipótesis. Si CA se tom por directriz del cilindro CE por l genertriz mismo, el vlor más grnde del perímetro, será p =. Por el contrrio, el perímetro más lrgo será p = CE, cundo CB sirve por directriz CA. desempeñ el ppel de l genertriz. Por el problem sobre los isoperíltl-etros se sbe que, pr el vlor ddo del perímetro p, l figur comprendid entre 2 prlels que posee el áre máxim se compone de un rectángulo dos semicírculos igules (fig. ). el cso de 2 pres de prlels, perpendiculres entre sí, l mor áre corresponde l figur que está compuest de un cruz rectngulr cutro cudrntes igules (fig. 4). Hipótesis l. Cortmos el rectángulo ddo prlelmente su ldo. 2). En tl ocsión l ltur del cilindro es p=. f, e l s _ h Fig. : 'i Sin dificultd encontrmos =o(e x h=~(l-; ;~. ), 2

3 -- 'Ji X 2 X) ' -_[ n' Pr el volumen del cilindro se tendrá gulndo cero l primer derivd v' teniendo en cuent el signo de l segund, vemos que l menor ríz de l ecución conduce l vlor Xo ( 2 -) -:-=-; ti T X 2 2 x 2 (-) -2 (-+8). -+-8=0 'Ji C 'Ji volumen. De mner que, -.'Yo =- ( 'Ji ho 'Ji /- -=-(--8+ t~) f! \ 'Ji 'Ji [8( 2) vo=- - e+- -~- 8 'Ji 'Ji e( 2 2L\) 8 'Ji VA :.= /?). \""'., siendo Pr 8 = ls fórmuls obtenids numéricos proximdos los siguientes vlores Jo,-.Y;: - = 0,25..., - = 0,746'..., - = 2, 'S Xo X o -=0,02..., vo=o,05694.

4 4 que pr ü<e):::;; se ls L últim cortrse no cilindro, smo fig. 2. x )' ~=0,277.. " cjl= -=0, ; Yo.. "., ;r o vo=.. De este cso nte. En se trtrá más en Hipótesis menor tomándolo por perímetro de l, ). p= Se = _ X), Cl h=- 2 + [/2 X So=-.- 2 ( 2

5 - 5 Fig. Como l ltur es connstnte, el problem se reduce l determinción del máximo So áre s, lo que nos d Xo. _ Yo :-- _ --=:~-=ü,l945,. " -,,-,-c- --=ü,805b. " :+2 :+2 Jo_ -J , 5 Xo () - =-(-, -) = 0,09725,,,; (t 2 :+2 2 so= -(--) =0,04862., 4,:+2 (4) Comprndo el vlor máximo nteriormente hlldo por l fórmul con el recientemente obtenido por l fórmul (-4) negmos ecución ~ 2A 9 e :-2 --= = 0,8752,.. : e+-;;- + 2( :+2) cuo primer miembro es función Por consiguiente, es más ventjoso cortr en l correspondiente l hipótesis, si

6 Es evidente que en el cso considerdo se podrí cortr, como ntes, el fondo l cundo se cumple con l condición xo+hü= 2(n+2) < 2 e, de donde 8::::--, - n+2 Pr el cso de ser l fórmul (4) nqs d ~ 8= --~-=0,585", n+2 Vo = ( En el cso límite 4 n+2 2. ) = 0,0287. S. 8= 2(n+2) 0,297,, > l mism fórmul suministr el 8B V = ( )' 0,049> S, 8 n+2 2 Hipótesis Cso 2, 0< e::;: ( ) =0,297, n+2 Tomndo el rdio r (fig. 4) por vrible independiente formmos ls igulddes

7 { - 7 X=~ [(- 28) +2( 4- n ).~J, 2[ '] = ( + 8) - (4 -,- 'f=~[(l- 28) -2(n -).~] [ 2 S=02-8(-28)\---8 ',) " r.--(4- r 2 ] '02 J v= Fig, 4, gulndo cero l derivd s' encontrmos sucesivmente '0=0. 80, 0> ho=-:; 8, '-' Xo l. 2 ].'Yo 2 [ -=-[--;- (n -)8,- = - +-(n -) u (7) 2<:Yo<n ; Xo - (8) Ls relciones (8) suministrn vlores máximos pr s v en ls condiciones considerds. En el cso prticulr 8=-.:: -= , n+2

8 que necesitremos en lmos -8- por fórmuls (7) Y (8) clcu-. 'i ---= , ~= =0, , -=-; (n+2)' (n+2) 9 22 So =. ) =0, (rr+2 2 vo= --=0, s. (0) Pr el cso límite E) (n+2) ls misms fórmuls conducen los resultdos () (6). El método de cortr indicdo en l figur no es plicble en el 2. cso de l hipótesis n en vist de que l sum Xo + ho resultrí mor que e. Tmpoco puede relizrse el corte d l figur 4, si cbe el ler. cso de l hi.pótesis que ;;0 serí negtiv. L comprción de los vlores máximos V clculdos en el cso 2 de l hipótesis n por ls relciones (2) (8) nos indic que est hipótesis es más ventjos que. Resumiendo los resultdos obtenidos odemos forml' el siguiente esquem : Cso A: 0<e<0, Fórmuls (7) (8). Fig. 4. Cso B: 0, :::;;e<0, FÓrm. () (4). Fig. Cso C: 0, <8<. Fórmuls () (2). Fig. 2. Estudiemos hor l dependenci funcionl del volumen máximo v de rzón e ldo menor l mor con el objelo de hllr,el vlor más ventjoso 8, suponiendo que es constnte el áre e2 = c2 del rectángulo que se cort.

9 -9- e C-Ve () en ls (8), (2), respectivmente: e,j v O =8 "re le + ~ - --:)--.-). '-' ~ + V-;s De con,ests igulddes se form sin dificultd l tbl pr l vo, correspondiente l vrirgumento El de O l: vo=o Uo crece el = -- =0,945 O" o, - n+2 ---<,' El < --- [ ( [+2)' e=-(--) =0,297" " 2[ < e < (n+2) n+2 ' ') e= _<-_. =0,585,." --<e<0,6778,. " [+2 e=0,6778, 00' Vo-nx e _ j /=-,,e 9! +2 v decrece es Vo =-= Vo decrece =('-===) = 0, e 6 +2 e _ / -( ) - 0,0666. e 4; +2 Vo = 0, es

10 -0-0,6778". <8<, 9=, V decrece Vo = 0, es, Vemos que l chp rectngulr del áre dd permite obtener mximwrt mximorum del volumen pr el recipiente cilíndrico sin tp, si l rzón de sus ldos es igul 9 = 0,945..,. Pr hllr otros el'enienntos se emplen ls fórmuls (9) (0). Hgmos constr que si se dmite un solo corte AC (fig. ). éste debe efecturse prlelmente l ldo menor el recipiente de mor volumen tom l form de un prlelepípedo rectngulr de bse AD de ltur CA. L rzón e debe stisfcer ls desigulddes 0<8<-., L< " Los demás elementos se determinn por ls relciones =:-- ( +8); Si se d el áre c2 de l chp, l form más ventjos msm se crcteriz por ls condiciones l Yo , 9 2c o vo= --= =0, CiJo 9V6 Finlmente consideremos el recipiente con tp fondo, suponiendo que l chp se cort como está indicdo en l fig.5. Un procedimiento nálogo l empledo en el cso 20. de l hipótesis n conduce ls fórmuls que se deducen de ls nterior ) mente obtenids pr este cso, cmbindo en ells 8 en 2' L rzón e debe hllrse en el intervlo

11 -- L ~~ ~J Fíg. 5 Ls expresiones pr ro, ho Xo, Yo, So correspiondientes l máximo del volumen se encuentrn por ls fórmuls (7) (8) poniendo ~ en vez de e. L expresión pr el volumen má-.:... ximo se convierte en (2) De est mner se obtienen pr Vo vlores mores que clculdos por l fórmul (2) correspondientes los mismos vlores de e. Pr determinr l forln más ventjos de l chp rectngulr se sustitue en l fórmul (2) por su expresión (), lo que nos d gulndo cero l derivd de V o con respecto e vmos tener =-~ = 0, :+2 Ls desigulddes (9) (0) sirven pr encontrr ls cn-

12 ~ 2 tiddes ro, ho, xo, So en ocsión. Pr el mx~murn rnxbnorum del volumen result o bien e -- : - Vo = -/ -~- = 0,0690. e, 9 +2 Si se dmiten únicwnente cortes ), el prlelepípedo, con fondo, (fig. Vo :~-= El (- cundo x 2+e ' siendo L chp rectngulr del áre dd c2 de form más ventjos stisfce ls condiciones 7 9 Asunción, Prgu. 22 de febl'ero le 944.