ANÁLISIS DEL LENGUAJE SOBRE LA CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EN LIBROS DE TEXTO DE BACHILLERATO

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1 ANÁLISIS DEL LENGUAJE SOBRE LA CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EN LIBROS DE TEXTO DE BACHILLERATO M. Magdalena Gea, C. Batanero, Pedro Arteaga, Gustavo R. Cañadas y J. Mguel Contreras Unversdad de Granada mmgea@ugr.es, batanero@ugr.es, parteaga@ugr.es, grcanadas@ugr.es, jmcontreras@ugr.es Suma, 2013, en prensa RESUMEN Presentamos un estudo sobre el lenguaje matemátco utlzado en el tema de correlacón y regresón en ocho lbros de teto de Bachllerato. Se analzan los térmnos verbales, símbolos y epresones algebracas, representacones tabulares y gráfcas. Se concluye la complejdad del lenguaje matemátco y su dferenca en los tetos analzados, observando mprecsones que podrían nducr conflctos semótcos en los estudantes. Palabras clave: lenguaje matemátco, lbros de tetos, regresón y correlacón, bachllerato. ABSTRACT We present a study of mathematcal language n the topc correlaton and regresson n eght hgh school tetbooks. We analyze the verbal terms, symbols and algebrac epressons, tabular and graphcal representatons. We conclude the complety of mathematcal language and the dfference n the tets analyzed. We also observed naccuraces that may nduce semotc conflcts among students. Key words: mathematcal language, tetbooks, regresson and correlaton, hgh school. 1. Introduccón La correlacón y regresón etenden la dependenca funconal, por lo que su nclusón en el prmer curso de Bachllerato de las modaldades de Cencas y Tecnología y Humandades y Cencas Socales (MEC, 2007; Batanero, Arteaga y Gea. 2012) es claramente justfcada. La enseñanza de este tema no es smple, pues la nvestgacón ha descrto sesgos de razonamento y dfcultades de comprensón, como no aprecar la correlacón nversa, tener un sentdo determnsta o local de la correlacón o dentfcar correlacón con causaldad (Estepa y Batanero, 1995; Estepa, 2008; Zeffler y Garfeld, 2009). Dchas creencas, en algunos casos, ressten al cambo ncluso después de la enseñanza (Batanero, Estepa y Godno, 1997). Tambén se han observado errores al nterpretar los coefcentes de correlacón y regresón (Truran 1995, Sánchez Cobo, 1998; Sánchez Cobo, Estepa y Batanero, 2000; Estepa y Gea. 2012). En este trabajo completamos los anterores analzando el lenguaje con que los lbros de teto presentan las nocones de correlacón y regresón. En lo que sgue analzamos los

2 fundamentos, métodos y resultados del estudo, fnalzando con algunas conclusones para la enseñanza Marco teórco 2. Fundamentos Nuestro análss pretende observar algunos resultados de la transposcón ddáctca (Chevallard, 1991), esto es, los cambos del conocmento matemátco cuando es adaptado para la enseñanza. Desde el currículo pretenddo al mplementado en el aula, una fase mportante es el currículo escrto y la forma en que lo nterpretan los profesores, a través de los lbros de teto (Herbel, 2007). El lenguaje del lbro de teto, que consta no sólo de vocabularo y símbolos, sno de representacones complejas según Orton (1990), puede afectar al aprendzaje de las matemátcas, por ejemplo, s los alumnos tenen dfcultad en su comprensón. Cordero y Flores (2007) ndcan que el dscurso matemátco escolar es determnado con frecuenca por el lbro de teto, además de por las creencas de los actores del sstema ddáctco y práctcamente regula las accones de enseñanza y aprendzaje. El lenguaje matemátco es tambén fundamental en el Enfoque Onto-semótco (EOS) (Godno, Batanero y Font, 2007), que postula que los objetos matemátco emergen de las práctcas de un sujeto (persona o nsttucón) al resolver problemas, y que estas práctcas están medadas por el lenguaje, que es, a la vez, nstrumento representaconal y operatvo. Los autores tambén ndcan la presenca de posbles conflctos semótcos al nterpretar el lenguaje matemátco, entendendo por tales cualquer dspardad o dscordanca entre los sgnfcados atrbudos a una epresón por dos sujetos (personas o nsttucones) (Godno, Batanero y Font, 2007, p.133). Antecedentes Aunque hay una ampla nvestgacón sobre los lbros de teto de matemátcas, esta tradcón es mucho menor en el caso de la estadístca y probabldad, donde encontramos algunos ejemplos como los de Ortz (1999), Ortz, Batanero y Serrano (2001), Azcárate y Serradó (2006) y Cobo y Batanero (2004). El prmer antecedente relaconado con la correlacón y regresón es el de Sánchez Cobo (1998) quen analza once lbros de teto de tercer curso de Bachllerato publcados desde 1987 hasta Como consecuenca, ofrece una taonomía de defncones y un

3 análss de las demostracones, desde el punto de vsta de la funcón que realzan y las componentes que la ntegran. Muestra una tendenca formalsta en la presentacón del tema, y el uso mayortaro de ejemplos basados en representacones gráfcas, y un fuerte sesgo en los ejemplos presentados haca la correlacón postva. Más recentemente Lavalle, y cols. (2006) analzan la correlacón y regresón en sete lbros de teto argentnos de Bachllerato, observando un enfoque mayortaramente sococonstructvsta, con un nvel de profunddad adecuado, donde se plantean más actvdades bajo una asocacón drecta que nversa. Para complementar los ctados trabajos analzaremos el lenguaje matemátco utlzado en los tetos, que fue estudado por Ortz, Batanero y Serrano (2001) para el caso de la probabldad. En lo que sgue se presentan el método y resultados del estudo. 3. Metodología Se analzaron ocho lbros de tetos, todos ellos publcados recén mplantado el currículo actual de Bachllerato (MEC, 2007) y no reedtados hasta la fecha. Son los más utlzados en la enseñanza públca en Andalucía, y corresponden a las edtorales de mayor tradcón y prestgo en esta comundad (ver Aneo 1). Se partó de las varables utlzadas por Ortz, Batanero y Serrano (2001): térmnos y epresones verbales; notacón smbólca y epresones algebracas y representacones tabulares y gráfcas. Para cada una de ellas, por un proceso nductvo y cíclco, se dentfcaron las categorías de análss, cuya presenca se analza en los tetos, mostrando, cuando es necesaro clarfcar, ejemplos y resumendo lo encontrado en tablas. En las sguentes seccones se presentan los resultados obtendos. 4. Resultados y dscusón 4.1. Térmnos y epresones verbales Se analzaron los térmnos y epresones verbales clasfcándolos en dos grupos: por un lado los que debe conocer el estudante al ncar el tema, como por ejemplo, ntervalo (que se usa en el estudo de las tablas estadístcas de datos agrupados), y por otro los específcos de regresón y correlacón, por ejemplo, covaranza. De cada tpo se ha encontrado una ampla varedad, que ndca la rqueza conceptual y complejdad del tema y se presentan en la Tabla 1.

4 Tabla 1. Térmnos en los lbros de teto No específcos del tema Ampltud de ntervalo; ángulo de dos rectas; área, barcentro, bsectrz; cambo de varable; coefcente de varacón; coordenada; crecmento; cuadrante; desvacón típca; dagrama de barras, barras adosadas, sectores; dspersón; dstanca; dstrbucón; ecuacón, punto-pendente: epresón algebraca; ejes cartesanos; escala; estmacón; etrapolacón; etremos de ntervalo; fabldad; frecuenca absoluta, acumulada, relatva, relatva acumulada; funcón; hstograma; ndvduo; ntensdad, nterpolacón; ntervalo de clase; marca de clase; mámo y mínmo; meda artmétca; muestra; ordenada; paralelepípedo; parámetro ; pendente de una recta; poblacón; polígono de frecuencas; porcentaje; prsma; probabldad; proporconaldad; punto medo; raíz cuadrada; recta, perpendcular; subíndce; sumatoro; tabla de datos/frecuencas; tangente; tendenca; valor absoluto; varable estadístca, cualtatva, cuanttatva contnua, dscreta; varanza y volumen. Específcos del tema Centro de gravedad; coefcente de correlacón de Pearson; coefcente de determnacón; coefcente de regresón; correlacón, dependenca, sentdo, curvlínea, espura, funconal, lneal, estadístca; covaranza; desvacón típca margnal; dagrama de barras trdmensonal, de dspersón; dstrbucón conjunta, margnal, condconal; error de estmacón; frecuenca conjunta absoluta, relatva, condconada, margnal; hstograma trdmensonal; ncorrelada; ndependenca; meda margnal; método de mínmos cuadrados; nube de puntos; pctograma trdmensonal; recta de regresón; de mínmos cuadrados; de Tukey; regresón, lneal, eponencal, logarítmca, cuadrátca, parabólca, potencal; tabla de doble entrada, de frecuencas margnal, bdmensonal; valor esperado, predccón; valor/dato observado ; varable dependente/ndependente; varable estadístca bdmensonal; varacón conjunta o varanza conjunta y varanza margnal. Rothery (1980) dferenca tres tpos de epresones en la enseñanza de las matemátcas: (a) Térmnos matemátcos específcos que, normalmente, no forman parte del lenguaje cotdano; (b) Palabras usadas en matemátcas y el lenguaje ordnaro, aunque no con el msmo sgnfcado y (c) Palabras con sgnfcados guales o muy prómos en ambos contetos. Los problemas de aprendzaje estarían lgados sobre todo con las dos prmeras categorías, aunque Pmm (1987) consdera que la analogía (metáfora) por medo de palabras cotdanas es muy mportante para la construccón del sgnfcado matemátco. Un desafío es que los térmnos matemátcos tenen mayor precsón que el lenguaje ordnaro, pues proporconan defncones necesaras y sufcentes, mentras que el lenguaje ordnaro es smplemente descrptvo (Schleppegrell, 2007). En el estudo se encontraron térmnos del lenguaje ordnaro utlzadas con dferente sentdo para aludr a conceptos u objetos matemátcos (Tabla 2). Aunque la mayoría de estos térmnos son usados para dsmnur la formaldad del enuncado matemátco, podrían llevar, de acuerdo a Thompson y Rubensten (2000), a mprecsones en el uso de estas nocones por parte del estudante o ncluso a conflctos semótcos.

5 Tabla 2. Ejemplos de epresones de lenguaje habtual utlzadas con sentdo matemátco en los tetos analzados Epresón del lenguaje habtual Sentdo matemátco Estatura normalta ([T1], p.225) Estatura meda Según lo apretados que estén los puntos ([T1], p. 227) ; los puntos Dspersón de la nube están completamente en desorden. ([T2], p.222); los puntos del dagrama están esparcdos al azar ([T3], p.252); la nube de puntos es estrecha/ancha ([T5], p.247) A ojo ([T1], p. 230, p. 232, p. 238) Apromacón o ajuste Rectas que "se acoplan ben" o se amoldan a la nube de puntos Ajuste lneal a la nube de puntos ([T1], p. 230, p. 231); la nube de puntos se condensa en torno a ([T3], p. 252) Hnchar los puntos proporconalmente a su frecuenca ([T1], p. 233) Cómo se apartan a la vez las dos coordenadas de un dato respecto de la meda ([T3], p. 251) Se puede apostar, suponer su estatura, con una certeza probable ([T6], p.250) Una nube de puntos alargada ndca correlacón lneal. La estrechez de la nube epresa que la correlacón es fuerte ([t6], p. 252) Sempre que no se eagere en la etrapolacón de resultados ([T6], p. 264) Representar crcunferencas con dámetro proporconal a la frecuenca Covaracón Se puede estmar su estatura La nube de puntos nforma del tpo, ntensdad y sentdo de la correlacón. Sempre que la estmacón se realce en valores prómos a la meda 4.2. Notacón smbólca y epresones algebracas Un segundo tpo de lenguaje es el smbólco, que se utlza para referrse a conceptos o propedades y permte una comuncacón comprmda entre ndvduos, trabajando a un alto nvel de complejdad. Al gual que Ortz (1999), hemos encontrado notacón funconal, subíndces y superíndces, que con frecuenca son varables (Tabla 3). Llamamos tambén la atencón al uso de letras gregas, que en estadístca representan varables aleatoras (estudo de poblacones o nferencas sobre ellas). En el prmer curso de Bachllerato, el estudo de la estadístca es descrptvo y no hay una ntencón nferencal, por lo que los símbolos deberan utlzar letras latnas. Este punto no es ntranscendente, pues en el segundo curso del Bachllerato de Cencas Socales, los msmos alumnos estudarán nferenca y se encontrarán con una doble notacón (letras gregas para referrse a las característcas de las poblacones y latnas para nombrar las msmas característcas en las muestras), lo que les puede llevar a confusón. Además se ncluyen numerosas epresones algebracas como por ejemplo f ( ) ( y y) y N N varables o ncógntas. f y donde los msmos símbolos se usan para representar

6 Tabla 3. Ejemplos de notacón smbólca en los tetos analzados Notacón Concepto representado T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 n n m Sumatoro con subíndces ; 1 F ; 1 j 1 H ; h Frecuenca absoluta; relatva acumulada y relatva Valor mámo y mínmo de la varable X ma mn n j ó f j ; h j Frecuenca absoluta, relatva; dato bdmensonal P (, 0 0) Punto P en el dagrama cartesano (, y ) Valor de la varable bdmensonal (, y) Meda, Centro de gravedad 2 2 S S Desvacón típca y varanza de una varable X CV Coefcente de varacón de la varable X r Covaranza y Coefcente de correlacón lneal de las varables X e Y y S y y 2 r y ó R 2 Coefcente de determnacón Valor absoluto d m Pendente de la recta de regresón de Y sobre X y Dstanca entre ordenada (abcsa) de un punto y una ' d ( y 0 ) y0 ln y ó recta o el error cometdo por el modelo Valor estmado de Apromadamente gual a % Porcentaje Funcón logarítmca o eponencal e 4.3. Representacón tabular y gráfca Las tablas estadístcas ofrecen una estructuracón partcular del espaco, presentando no sólo números, sno las dversas relacones que entre ellos se,pueden realzar (Ortz, 1999). Todos los lbros analzados reconocen su mportanca, aunque su tratamento varía, sendo la más utlzada el lstado de datos en dos flas/columnas, denomnada en algunos manuales tabla de frecuencas bdmensonal smple ([T3], p. 248). Es común, avanzado el tema, añadr columnas por ejemplo, para el cálculo de la covaranza. Aunque la tabla de doble entrada se defne al comenzo del tema, no se suele utlzar en su desarrollo, sno sólo las tablas bdmensonales smples (tetos [T1], [T3], [T4], [T6] y [T7]). Destacamos los tetos [T1], [T6] y [T7] por la escueta defncón que proporconan, y el escaso uso de ellas (sólo un ejercco resuelto en [T6] y dos en los tetos [T1] y [T7]). Por el contraro, los tetos [T2], [T5] y [T8], descrben los pasos para construr una tabla de doble entrada, y hacen un uso generalzado de la msma. Incluso [T2] y [T5] presentan el procedmento para agrupar los datos de la dstrbucón

7 en ntervalos. Aún así, los ejerccos mayortaramente se basan en tablas smples, debdo a la necesdad de aglzar los cálculos, pues el tempo dsponble para mpartr el temaro es escaso. En la Tabla 4 observamos el tratamento dferencado de las tablas de datos en los tetos, que es mportante, pues según Arteaga (2011), los lstados de datos no llegan a representar eplíctamente la dstrbucón de la varable bdmensonal, y tendrían menor complejdad semótca que la tabla bdmensonal smple con frecuencas o la tabla de doble entrada, que han resumdo las frecuencas. Es de prever un aprendzaje más completo y sgnfcatvo en los alumnos que utlcen los tetos basados en estas últmas. Cabe destacar que la mayoría de los tetos analzados presentan la tabla bdmensonal smple con frecuencas como conversón en flas o columnas de la tabla de doble entrada y sólo [T3] ofrece una defncón eplícta de esta representacón. Tabla 4. Representacón tabular en los tetos analzados Tabla bdmensonal smple Tabla bdmensonal smple con frecuencas Tabla de doble entrada Presenca en el tema T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Esencal en el desarrollo teórco y práctco Uso mayortaramente práctco Conversón en columnas/flas de la tabla de doble entrada con uso emnentemente práctco Defncón y uso en el tema Defncón y uso mínmo Presenca anecdótca A contnuacón se descrben las representacones gráfcas, de uso prvlegado en el tema, como recurso ddáctco. Dagramas de dspersón y gráfco de burbujas: El dagrama de dspersón o nube de puntos (Fgura 1), representa los datos de una dstrbucón estadístca bdmensonal medante coordenadas cartesanas. Ayuda a deducr la ntensdad de la relacón (a través de la mayor o menor dspersón de la nube de puntos), vsualzar su sentdo (s la relacón es drecta o nversa) y el tpo (lneal o no), observando su tendenca (Sánchez Cobo, 1998). En ocasones se añade el trazado de la recta que mejor se ajusta al msmo.

8 Fgura 1. Dagrama de burbujas y dagrama de dspersón ([T2], p. 220) En general se ntroducen medante ejemplos y se defnen posterormente. Por ejemplo, [T1] lo descrbe como conjunto de datos de una dstrbucón bdmensonal representados en ejes cartesanos (p. 226) precsando, al fnal del tema, que la frecuenca absoluta de cada dato no tene que ser necesaramente uno. Tan sólo los tetos [T2], [T3] y [T8] descrben su construccón a partr de una tabla de doble entrada. Hacemos notar que los tetos no dferencan el dagrama de dspersón y el dagrama de burbujas, en que el dámetro de cada punto es proporconal a su frecuenca absoluta (Fgura 1) y que podría utlzarse para representar smultáneamente tres varables (el dámetro) o ncluso cuatro, medante el color. Destacamos el teto [T5], que no precsa la mportanca de la proporconaldad del grosor del punto representado y el [T4] donde no se descrbe, dando por supuesta la sencllez de su construccón. Dagrama de barras trdmensonal. Los tetos [T1] y [T5] realzan una apromacón mprecsa a este gráfco, que no dferencan del hstograma. En [T2] se defne correctamente como un gráfco trdmensonal utlzado para representar datos bdmensonales no agrupados en ntervalos, donde para cada dato se levanta una barra de altura proporconal a su frecuenca absoluta. Pctograma trdmensonal. Sólo [T2] defne este gráfco, que es tratado como una varante del dagrama de barras donde cada barra es susttuda por dbujos. Eplca su construccón y la mportanca de

9 la proporconaldad del tamaño de los dbujos a la frecuenca. Hstograma trdmensonal. Tan sólo [T2] lo defne correctamente como un gráfco trdmensonal utlzado para representar datos bdmensonales agrupados en ntervalos, donde para cada par de ntervalos de clase se levanta un prsma de volumen proporconal a su frecuenca absoluta, eplcando los pasos en su construccón. En la Tabla 5 podemos observar el uso mayortaro del dagrama de dspersón, consttuyendo una herramenta ndspensable para la enseñanza de la correlacón y regresón, y el escaso uso de otras representacones gráfcas báscas como el dagrama de barras o el hstograma trdmensonal. Las mprecsones en la defncón del dagrama de dspersón suelen ser debdas a no consderar el caso en que la frecuenca de los datos sea dstnta de uno, y que la mayoría de las veces se confunde con el dagrama de burbuja. Tabla 5. Representacón gráfca en los tetos analzados Presenca en el tema T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Dagramas de dspersón Gráfco de burbujas Hstograma trdmensonal Pctograma trdmensonal Gráfco de barras trdmensonal Defncón mprecsa con ejemplos Defncón correcta Uso esencal en el desarrollo del tema Defncón mprecsa No dstngue del dagrama de dspersón Defncón mprecsa Defncón y representacón correcta Defncón como varante del dagrama de barras y representacón correcta Defncón mprecsa Defncón y representacón correcta Uso sn defncón 5. Conflctos semótcos potencales En el análss realzado hemos encontrado asgnacones mprecsas de sgnfcado a elementos del lenguaje, susceptbles de provocar en el estudante un conflcto semótco s el profesor no lo detecta. A contnuacón se descrben los más mportantes. 1. Confusón de un concepto con su representacón tabular o gráfca. Duval (1993) ndca el nterés de manejar dferentes representacones, ya que los objetos no son drectamente accesbles a la percepcón, aunque nunca deben ser confunddos con su

10 representacón. En el teto [T1], se defne una dstrbucón bdmensonal, en dos momentos. En prmer lugar se descrbe medante una representacón gráfca y tabular, por lo que el estudante podría confundr el objeto (dstrbucón) con su representacón. No es hasta la sguente págna cuando se da una defncón más precsa del concepto. Algo parecdo ocurre con la dstrbucón margnal que se ntroduce como smple etqueta de una tabla de frecuencas ([T1], p.237) y a dferenca del caso anteror no llega a defnrse, a pesar de su relevanca. 2. Uso nadecuado de representacones gráfcas. Por ejemplo, en [T1] y [T5] se representan los datos de una tabla de doble entrada de una varable dscreta medante un hstograma en vez de utlzar un dagrama de barras. 3. Generalzacón ndebda de térmnos. Por ejemplo, algunos tetos usan la palabra correlacón, que sólo es aplcable a varables numércas, como snónmo de relacón estadístca (dependenca). Ello podría mplcar un obstáculo ddáctco (en el sentdo de Brousseau, 1983) para el estudo posteror de la asocacón estadístca con varables cualtatvas. Asmsmo [T5], (p. 247) realza un uso demasado amplo del térmno dependenca funconal ndcando que la nube de puntos se puede ajustar tambén a una funcón que no sea una recta. A este tpo de dependenca se le denomna dependenca funconal y añade, como ejemplo un dagrama de dspersón en que la dependenca es claramente aleatora, pero su forma se ajusta a una parábola. 4. Lenguaje algebraco confuso. Al ntroducr una fórmula, tetos como [T2] para la covaranza, aclaran el sgnfcado de los símbolos utlzados. Otros tetos, como [T1] no los precsan lo que podría producr un conflcto en los estudantes (Fgura 2). Más aún, este teto usa fórmulas en que valores y frecuencas varían en funcón de un únco índce, mentras que los datos se dan en una tabla de doble entrada, que se representaría mejor con un índce doble (,j), pues hay frecuencas dstntas a la undad. Hay una gran varabldad en los conflctos encontrados en los tetos (Tabla 6), desde lbros que no presentan nnguno de estos conflctos hasta otros que los presentan todos. En consecuenca la posbldad de nterpretacones ncorrectas en el tema varía de uno a otro teto.

11 Tabla 6. Conflctos semótcos nducdos por el lenguaje en los tetos analzados T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 Confusón de concepto y representacón Uso nadecuado de representacones Uso demasado amplo de térmnos del lenguaje Lenguaje algebraco confuso 6. Conclusones Nuestro análss sugere que la presentacón de la correlacón y regresón en los tetos podría llevar un uso sesgado de dferentes representacones (tabular, verbal, gráfca y numérca), con tendenca haca el regstro gráfco, pero sn prestar atencón al proceso de construccón de estos gráfcos. Más aún, el lenguaje en algunos tetos podría nducr conflctos semótcos, como confundr un objeto con su representacón gráfca, confundr gráfcos entre sí, mprecsón del lenguaje smbólco, o generalzacón abusva de conceptos. No es menos mportante destacar el uso sesgado de la tabla de doble entrada en la mayoría de los tetos analzados, a favor del uso cas generalzado del lstado de datos, cuya complejdad semótca, según Arteaga (2011) es nsufcente para vsualzar las tendencas en los datos. Todos estos resultados han de nterpretarse con precaucón, pues, de acuerdo a Lowe y Pmm (1996) el mpacto del lbro de teto depende no sólo del msmo lbro, sno del lector, y del profesor, así como de las nteraccones que determnan su uso en el aula. Agradecmentos Proyecto EDU , FPI-BES , FPU-AP (MICINN- FEDER) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía). Aneo 1: Tetos utlzados en el análss [T1]. Colera, J., Olvera, M.J., García, R. y Santaella, E. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I. Madrd: Grupo Anaya. [T2]. Anguera, J., Bosca, A., Espnet, M. J., Fandos, M.J., Gmeno, M. y Rey, J. (2008). Matemátcas I aplcadas a las Cencas Socales. Barcelona: Guadel. [T3]. Vzmanos, J. R., Hernández, J. y Alcade, F. Moreno, M. y Serrano, E. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales 1. Madrd: Grupo SM. [T4]. Aras, J. M. y Maza, I. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales 1. Madrd: Grupo Edtoral Bruño. [T5]. Antono, M., González, L., Lorenzo, J. Molano, A., del Río, J., Santon, D. y de Vcente, M. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales I. Madrd: Santllana Educacón. [T6]. Martínez, J. M., Cuadra, R., Heras, A. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales. 1.º Bachllerato. Madrd: McGraw-Hll. [T7]. Bescós, E. y Pena, Z. (2008). Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales. 1 Bachllerato. Vzcaya: Oford Unversty Press.

12 [T8]. Monteagudo, M. F. y Paz, J. (2008). 1º Bachllerato. Matemátcas aplcadas a las Cencas Socales. Zaragoza: Lus Vves. Referencas Arteaga, P. (2011). Evaluacón de conocmentos sobre gráfcos estadístcos y conocmentos ddáctcos de futuros profesores. Tess Doctoral. Unversdad de Granada. Azcárate, P. y Serradó, A. (2006). Tendencas ddáctcas en los lbros de teto de matemátcas para la Eso. Revsta de Educacón, 340, Batanero, C., Arteaga, P. y Gea, M. M. (2012). El currículo de estadístca: Refleones desde una perspectva nternaconal. UNO, 59, 9-17 Brousseau, G. (1983). Les obstacles épstémologques et les problèmes en Mathématques. Recherches en Ddactque des Mathématques, 4 (2), Batanero, C., Estepa, A. y Godno, J. D. (1997). Evoluton of students understandng of statstcal assocaton n a computer based teachng envronment, en J. B. Garfeld y G. Burrll, (eds.), Research on the Role of Technology n Teachng and Learnng Statstcs. IASE Round Table Conference Papers, pp Voorburg, The Netherlands: Internaconal Statstcal Insttute. Cobo, B. y Batanero, C. (2004). Sgnfcados de la meda en los lbros de teto de secundara. Enseñanza de las Cencas, 22 (1), Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráfcas en el dscurso matemátco escolar. Un estudo socoepstemológco en el nvel básco a través de los lbros de teto. Revsta Latnoamercana de Matemátca Educatva, 10 (1). Chevallard, Y. (1991). La transposcón ddáctca. Del saber sabo al saber enseñado. Buenos Ares: Aque. Duval, R. (1993). Semoss et Noess. Lecturas en Ddáctca de la Matemátca: Escuela Francesa. Méco: Seccón de Matemátca Educatva del CINVESTAV-IPN. Estepa, A. (2008). Interpretacón de los dagramas de dspersón por estudantes de Bachllerato. Enseñanza de las Cencas 26 (2), Estepa, A. y Batanero, C. (1995). Concepcones ncales sobre la asocacón estadístca. Enseñanza de las Cencas, 13 (2), Estepa, A. y Gea, M. M. (2012). Conocmento para la enseñanza de la asocacón estadístca. En J. J. Ortz (Ed.), Investgacones actuales en Educacón Estadístca y Formacón de Profesores (pp ). Granada: Departamento de Ddáctca de la Matemátca. Facultad de Educacón y Humandades. Mellla. Estepa, A., M. Gea, Cañadas, G. Contreras, M. (2012). Algunas notas hstórcas sobre la correlacón y regresón y su uso en el aula. Números, 81, Gea, M. M. (2012). Correlaton and regresson n the tranng of teachers. Actas Resouk 2012 Euro Medterranean student research conference, Internatonal Ecellence Campus for Hgher Educaton and Research of the Unversty of Murca: EMUNY Unversty Gea, M. M., Batanero, C. y Cañadas, G. R. (2013). Un estudo empírco de los problema de correlacón y regresón en lbros de teto de Bachllerato. Actas III Encontro de Probabldades e Estatístca na Escola, Centro de Investgação em Educação (CIEd). Unversdade do Mnho (Braga, Portugal). Godno, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semotc approach to research n mathematcs educaton. ZDM. The Internatonal Journal on Mathematcs Educaton, 39 (1-2), Herbel, B. A. (2007). From ntended currculum to wrtten currculum: Eamnng the" voce" of a mathematcs tetbook. Journal for Research n Mathematcs Educaton, 38 (4), Lavalle, A. L., Mchel, E. B. y Rubo, N. (2006). Análss ddáctco de regresón y correlacón para la enseñanza meda. RELIME, 9 (3),

13 Lowe, E. y Pmm, D. (1996). Ths s so : a tet on tets, en Bshop, A., Clements, K., Ketel, C., Klpatrck, J. y Laborde, C. Internatonal Handbook of Mathematcs Educaton, pp Dordrecht: Kluwer. M.E.C. (2007). Real Decreto 1467/2007, de 2 de novembre, por el que se establece la estructura de bachllerato y se fjan sus enseñanzas mínmas. Madrd: Autor. Ortz, J. J. (1999). Sgnfcado de los conceptos probablístcos elementales en los tetos de Bachllerato. Tess Doctoral. Unversdad de Granada. Ortz, J. J., Batanero, C. y Serrano, L. (2001). El lenguaje probablístco en los lbros de teto. Suma, 38, Orton, A. (1990). Ddáctca de las matemátcas. Madrd: M.E.C. y Morata. Pmm, D. (1987). Speakng mathematcally. New York: Routledge and Kegan Paul. Rothery, A. (1980). Chldren readng mathematcs. Worcester: College of Hgher Educaton. Sánchez Cobo, F.T. (1998). Sgnfcado de la correlacón y regresón para los estudantes unverstaros. Tess doctoral no publcada. Unversdad de Granada. Sánchez Cobo, F.T., Estepa, A. y Batanero, C. (2000). Un estudo epermental de la estmacón de la correlacón a partr de dferentes representacones. Enseñanza de las Cencas. 18 (2), Schleppegrell, M. (2007). The lngustc challenges of mathematcs teachng and learnng: A research revew. Readng and Wrtng Quarterly, 23, Thompson, D. R. y Rubensten, R. N. (2000). Learnng mathematcs vocabulary: Potental ptfalls and nstructonal strateges. Mathematcs Teacher, 93, Truran (1995). Some undergraduates understandng of the meanng of a correlaton coeffcent, en B. Atweh, y S. Clavel, (eds.). Proceedngs of the Egteenth Annual Conference of the Mathematcs Educaton Research Group of Australasa (MERGA). pp Darwn, Australa: Northern Terrtory Unversty. Zeffler, A, y Garfeld, J. (2009). Modelng the growth of students covaratonal reasonng durng an ntroductory statstcs course. Statstcs Educaton Research Journal, 8 (1), 7-31.