9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) 9.II. Escribe la epreón algebraica de la función. Y O X EJERCICIOS PROPUESTOS 9.. Indica las guientes funciones son o no continuas en el punto. a) > f ( ) b) f ( ) 6 0
9.. Señala el mayor conjunto de números reales para los que la función f() sea continua en cada uno de los guientes casos. a) f() b) f ( ) c) f ( ) 9.. Indica el valor o los valores de a, es que eisten, para que la función: f() a) Sea continua en. b) Presente una discontinuidad evitable en. c) Presente una discontinuidad de salto finito en. d) Presente discontinuidad de salto infinito en. a a > 9.. Estudia la continuidad de las funciones: a) f ( ) c) f ( ) 5 b) ( ) log( ) f d) g ( ) 9.5. Dada la función f, represéntala y estudia su continuidad: f ( ) < >
9.6. Comprueba que las guientes funciones cortan al eje X y, en cada caso, establece un intervalo abierto donde esté incluido el punto de corte. a) f() 7 b) f() cos 9.7. (TIC) Demuestra que la ecuación 0 tiene solución potiva. Halla la anterior solución con una cifra decimal eacta. 9.8. (PAU) Dada la función f() ln: a) Comprueba que es continua en el intervalo, n para cualquier número natural n. b) Halla un intervalo de la forma, n en el que haya algún punto donde la función tome el valor. 9.9. Al hacer un recorrido continuo por una carretera con una pendiente muy pronunciada, un ciclista lleva una velocidad de 8 km/h cuando pasa por el kilómetro 5 y de 6 km/h cuando pasa por el kilómetro. a) Eiste algún punto entre los dos kilómetros donde el ciclista haya llevado una velocidad de 7 km/h? b) Puede asegurarse que no ha habido ningún momento entre los dos puntos donde el ciclista haya llevado una velocidad de 0 km/h?
9.0. (PAU) Dada la función 0 f( ) 0 < 5 > a) Estudia su acotación en los intervalos: [, ], [, ], [, ]. b) Estudia la función toma el valor M y, en caso afirmativo, indica un intervalo de longitud donde haya un punto que verifique esta propiedad. EJERCICIOS Continuidad de una función 9.. Indica las guientes funciones son o no continuas en el punto que se indica. a) f ( ), en e) f ( ) ln 6, en 0 b) f ( ), en f) f ( ) tg, en π π c) f ( ) ln( 6), en g) f ( ) tg, en d) f ( ) ln( 6), en 0 5
6 9.. (TIC) Traza la gráfica de las guientes funciones definidas a trozos, indica su dominio y estudia su continuidad, especificando, en su caso, el tipo de discontinuidad. a) < < 7 ) ( f c) > < ) ( f b) > < 6 ) ( f 9.. Estudia la continuidad de las guientes funciones estableciendo en cada caso el subconjunto de números reales más amplio poble donde la función sea continua. a) f() f) f() k) f() ) ln( b) f() 6 g) f() l) f() ln c) f() e cos h) f() m) f() cos d) f() e e i) f() e n) f() sen cos e) f() j) f() ln
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9.. (PAU) Calcula el valor o los valores que se deben dar a k para que las guientes funciones sean continuas en todo el conjunto de los números reales. a) f ( ) k > b) f ( ) k k > c) k < f( ) ln( ) d) k f ( ) e 9 > e) 5 6 f ( ) k b 9.5. (PAU) Calcula los valores de a y b para que la función f( ) e a < < todo R. sea continua en 8
9.6. Epresa las guientes funciones como funciones definidas a trozos y estudia su continuidad. a) f ( ) d) f ( ) f) f ( ) e b) f ( ) e) f ( ) g) f ( ) c) f ( ) Teorema de Bolzano y teorema de los valores intermedios 9.7. Comprueba que las guientes funciones cortan al eje X en al menos un punto, e indica un intervalo de etremos de números enteros consecutivos al cual pertenezca dicho punto. a) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) e 6 d) f ( ) cos π 9
9.8. (PAU) Comprueba que las guientes funciones toman el valor M indicado en algún punto del intervalo propuesto. 5 a) f ( ) 5 ; M en (, ) b) f ( ) e ; M en (, 0) c) f ( ) sen cos ; M en (, ) 9.9. (PAU) Para cada una de las guientes funciones, y conderando el intervalo señalado, estudia, es acotada, e indica, es que eisten, el valor del supremo, ínfimo, máimo y mínimo. a) f() 5 6 en [, ] d) f ( ) en [, 0] b) f() en [, 0] e) f ( ) 5 6 en (, 0) c) f ( ) en [, ] f) f ( ) en (0, ] PROBLEMAS 9.0. Escribe la epreón de una función continua en todo R y tal que coincida con puntos del dominio de esta última. f ( ) en todos los 9.. Halla el valor que se debe dar a f (7) para que la función f ( ) sea continua en [, ). 7 0
9.. (TIC) a) Comprueba que la ecuación sen 0 tiene una solución en el intervalo (, ). b) Calcula dicha solución con aproimación a las centémas. 9.. (PAU) Un equipo de investigación ha estimado que el número de bacterias, en miles, de un cultivo, en función del tiempo t que ha pasado desde un instante inicial t 0 horas, viene dado por la función. 0 f( ) 9 > a) Comprueba que la función es continua en todo su dominio. b) Haz una representación de la función. c) Demuestra que eiste algún instante en el que el número de bacterias es de 500. Da un intervalo de tiempo de longitud menor a 0 minutos en el que esté incluido ese instante. 9.. (TIC) a) Comprueba que la ecuación 5 0 tiene tres raíces reales. Para eso, estudia el gno de la función en algunos valores enteros. b) Calcula tres intervalos de longitud en los que estén incluidas las raíces.
9.5. Para hacer un adorno con forma de cono, se quiere recortar en una cartulina un sector circular de 50 cm de perímetro, contando los lados rectos y el arco. Se quiere saber qué longitud deben tener los lados rectos para que el área sea máima. Escribe la función que determina el área en función del radio y estudia su acotación. l PROFUNDIZACIÓN 9.6. Representa gráficamente la función y estudia su continuidad: f( ) > 9.7. Se condera una función f() continua en [a, b] y que verifica que f(a) f(b) < 0. El teorema de Bolzano asegura que eiste un punto c (a, b) tal que f(c) 0. Mediante el método de la bisección, se construye la suceón de intervalos encajados: [a, b] [a, b ] [a, b ]. [a n, b n ]. con la ayuda de los puntos medios c n. a) Comprueba que, cuando se ha dado un paso en el método de la bisección, se verifica que: b a c c < b) Comprueba que, cuando se han dado dos pasos en el método de la bisección, se verifica que b a b a c c < y cuando se han dado tres c c <. 8 c) Qué relación se verifica entre c n y c cuando se han dado n pasos en el método de la bisección? d) Cuántos decimales eactos se obtienen al conderar c n como aproimación de la solución de la ecuación f() 0, el intervalo es [a, b] [, ] y se han dado 0 pasos en el método de la bisección? e) Cuántos pasos es necesario dar para asegurar cuatro decimales eactos en las condiciones del apartado d?
9.8. Estudia la continuidad de las funciones guientes. a) sen 0 f ( ) b) 0 0 f ( ) sen 0 0 0 RELACIONA Y CONTESTA Elige la única respuesta correcta en cada caso: a 5 5 < < 9.. Los valores de a y b para que la función f( ) sea continua en todo su b log < < dominio son: A) a b D) a b B) a b E) La función es continua en todo su dominio. C) a b 9.. El valor de k para que la función f () sea continua en todo R es: k A) k D) Para cualquier valor de k, la función es continua en R. B) k E) No eiste ningún valor de k que haga continua la función en todo R. C) k 0 9.. La función f() 6 A) Es continua en. B) Presenta una discontinuidad evitable en. C) Presenta una discontinuidad de salto finito en. D) Presenta una discontinuidad de salto infinito en. E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta.
9.. La función f es continua en [, ] y verifica que f () 6 y f (). A) La ecuación f() 0 tiene, por lo menos, una solución en [, ]. B) La ecuación f() 0 no tiene solución en [, ]. C) La ecuación f() 5 tiene, por lo menos, una solución en [, ]. D) La ecuación f() 5 no tiene solución en [, ]. E) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta. 9.5. La función cuya gráfica es: Y A) Es continua en. B) Es continua por la derecha en. C) Es continua por la izquierda en. D) Es continua por la derecha y por la izquierda en. E) No es continua ni por la izquierda ni por la derecha en. O X Señala, en cada caso, las respuestas correctas: 9.6. La ecuación 5 a b 0: A) Tiene, al menos, una solución. B) Tiene, al menos, dos soluciones. C) Puede no tener solución. D) Puede tener sólo una solución. E) Puede tener más de una solución. 9.7. A la vista de la gráfica de la guiente función, se puede afirmar que: Y A) Tiene una discontinuidad evitable en. B) Tiene una discontinuidad de salto finito en. C) Tiene una discontinuidad de salto infinito en. D) Tiene una discontinuidad de salto finito en 9. O X E) Es continua por la derecha y por la izquierda en 5.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 9.8. El dominio de la función f es el intervalo [, 7] y es continua en dicho dominio. a) f() 0 tiene una raíz en el intervalo (, 7). b) f() f(7) < 0. A) a es equivalente a b. B) a implica b pero b no implica a. C) b implica a pero a no implica b. D) a y b no se pueden dar a la vez. E) Ninguna de las dos afirmaciones se puede verificar. Señala el dato innecesario para contestar: 9.9. Se desea estudiar la ecuación f() 6 tiene o no solución en el intervalo [, ], y para ello se dan los guientes datos: a) El dominio de la función es todo R. c) < f() < b) f es continua en [, ]. d) 8 < f() < 0 A) Puede eliminarse el dato a. B) Puede eliminarse el dato b. C) Puede eliminarse el dato c. D) Puede eliminarse el dato d. E) No puede eliminarse ningún dato. Analiza la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión: 9.0. Para demostrar que los únicos puntos donde la función y f() puede cambiar de gno son, 0 y, se afirma que: a) f es una función polinómica de tercer grado. b) Se verifica que f() f(0) f() 0 A) Cada afirmación es suficiente por sí sola. B) a es suficiente por sí sola, pero b no. C) b es suficiente por sí sola, pero a no. D) Son necesarias las dos juntas. E) Hacen falta más datos. 5