Repso º Bchiller MAT I ª Sesión: SOLUCIONES Funciones eponenciles y logrítmics. Función eponencil en bse ( ϵ R y > ). Represent l función eponencil en bse, f En generl: - f: R > ], + [ y ) con bse > Dom f R y Im f ], + [ Continu R Si f. Ps por (,). Si f. Ps por (,). b) con bse < < - Es creciente R - lím R y lím + - Es decreciente R - lím + y lím R - Tiene un A.H. En l rect y (Eje X) - Tiene un A.H. En l rect y (Eje X) + + Función logritmo en bse. Represent l función logritmo en bse, f log Es l función invers de l eponencil y En generl: - Dom f ], + [ y Im f R - Continu R f: ], + [ > R - Si f log. Ps por (, ). y log - Si f log. Ps por (, ). b) con bse < < ) con bse > (bse, ) (bse, ) (,) - - 6 8 9 - - - - - - - - (,) - 6
Repso º Bchiller MAT I - Es creciente R - lím + log y lím log + - Es decreciente R - lím + log + y lím log - Tiene un A.V. En l rect (Eje Y) - Tiene un A.V. En l rect (Eje X) + Logritmo en bse de un número m n + m log n m es el eponente l que hy que elevr l bse pr obtener el número n. Pág. 88 nº 8 Aplicndo l definición, por ejemplo: b) m log m signific que: m log m signific que: m m log 9 m signific que: c) m log 8 m signific que: 8m log 8 6m signific que: 8m 6 (m) d) m log,m signific que: m, log log m signific que: 8 m ignific que: 6 m m ( ) 86 ( ) m log log 9 (m) m log 8 m signific que: 8m 8 log 9 m log 8 log 8 6 log 8 log, log m log 8 6
Repso º Bchiller MAT I. Pág. 88 nº Aplicndo l definición: ) log - b) log c) log 6 6 6 8 d) log 8 e) log g) log. Pág. 9 nº 6. Pág. 88 nº f) log 6 h) log Propieddes de los logritmos 8 8 6 9 8 -
Repso º Bchiller MAT I Clculdor y Cmbio de bse: log N log N ln N log ln. Pág. 9 nº ) log c) log log 6,6 log log,6 log b) log d) log 8. Pág. 89 nº 8 ) 8 9 log 8 9 b) c) 6 d) 9. Pág. 89 nº. Pág. 89 nº. Pág. 89 nº log 9,66 log 8 log,9,6 log log,9,9 log6 log,8, log log,699 log log,9 log
Repso º Bchiller MAT I Problems. ) Pág. 86 nº f K f ( ) K, K,, 8 y K, L función será f b) f K f ( ) K K ( ) Soluciones: (Imposible), c) f K, f ( ) K d). K y K /. L función será f ( ),,,, y K,. L función será: f ( ),, f K f K 8 K 8 8 ( ) Pág. 86 nº 6. f: Nº de ños... Nº de peces...... 8 L función será: f K 8 ( ) f ( ) ( ) + f K f K 8 K 8 y K Inicilmente t ños f peces.
Repso º Bchiller MAT I. Pág. 8 nº 9 > Poblción de prmecios... P(t) K t... P K 6 P: Nº de dís t L función es P(t) 6 t ) En l ª hor será t / dís,8 dís P(,8) 6,8 6,98686 9 869 prmecios. En l ª hor será t / dís,8 dís P(,8) 6,8 6,89 8 prmecios. En l,ª hor será t '/ dís,8 dís P(,8) 6,8 6,6 prmecios. b) Si se dobl l poblción hbrá millones de prmecios: t? tl que 6 t 6 t t log,6 dís hors 9 min. log Si se multiplic por, l poblción quedrá en millones: t? tl que 6 t 6 t t. log,96 dís dis h 8min. log Pág. 88 nº P: Nº de ños... Producción (Tonelds) (8)... P (8+n) n... P(n) L función será del tipo: P(n) K n. Como P K y, ddo que ument % nul, l bse +/ +,,.
Repso º Bchiller MAT I L función será: P(n),n. ) En 8 + n n P 8, tonelds. b) P(n),n c) Pr que se doble l producción tiene que ser 9 tonelds,n > 9,n > n> log, ños. log, A prtir de ños. 6. Pág. 8 nº IPC: Nº de meses > Poblción de prmecios t... IPC(t) K,t... IPC k, ) si k, finles de diciembre es t meses. Result un IPC,,6. b) A finles de junio t 6 IPC(6) k,6 K,96. Un umento de,96. A finl de diciembre t IPC k, K,96. Un umento de,96. No es l mitd porque,96,88,96.. Pág. 88 nº P: Nº de ños t... Cntidd de C en el orgnismo... M(t) Mo e-, t... M Mo
Repso º Bchiller MAT I Si qued l tercer prte, tenemos que: Mo e-, t Mo / e-, t / -, t ln(/) -, t -,986 t 99, ños 9 9 ños meses y 8 dís. 8. Pág. 89 nº ) P 9,9 persons P 86,6 persons P, persons b) P(t) lím t +, t + e + e + Si t + entonces l poblción fectd se estbiliz en persons. c) + e, t, t, t + e + e + e, t e,t, t ln t ln 8, semns., Ecuciones eponenciles y logrítmics 9. Pág. 89 nº 8 + + Hciendo t Luego: 6 t+ t+ t t t6
Repso º Bchiller MAT I. Pág. 9 nº + + + + + + / + + + / + 9 + + / Hciendo t t+ 9 t+ t+ t / t / t/ Luego: / -. Pág. 9 nº 9 6 + + 8 6 + 8 8 + 8 Hciendo el cmbio t t. Result: t 8 t + 8 resolviendo tenemos t 9 9. Pág. 9 nº 6 Hciendo el cmbio t t. t t resolviendo tenemos t y t - Si t Si t - - Imposible.. Pág. 9 nº 9 + + + 8 + + + (+) (+) + Multiplicndo por (+) ( ) tenemos: + (-) - (+) ( ) + (+)(+) Resolviendo -. Pág. 9 nº 6 log log(,9) log log log(,9) log log 9 + 9 9 y.,9,9
Repso º Bchiller MAT I. Pág. 9 nº 6 log ( ) log log + log ( ) + + 8 y 6. Pág. 9 nº + + +, y - (No es válid). Pág. 9 nº 68 (log ) - 9 log + Hciendo el cmbio t log, result: t 9t +. Obtenemos t y t /. si log y si log / 8. Pág. 9 nº Hciendo el cmbio log log y y b 9. Pág. 9 nº y y +b b b log y result: y y -6 log y y log y y y y Solución: y - y y
Repso º Bchiller MAT I. Pág. 9 nº + y y + y y y + y y y 8 Lee y resuelve todos los ejemplos y ejercicios del Tem! y