Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir: de es 8 del totl L frcció buscd es 8..6 Frccioes y porcetje E l vid diri, es hbitul e uestro leguje el uso de los térmios: porcetje, por cieto, como tmbié el cálculo de ellos. E el siguiete digrm mostrmos ls diferetes mers de expresr u prte de u todo. Porcetje: el 0% de 80 (Recordr que el 0% sigific tomr 0 prtes de 00) Simplificció 0 00 80 Divisió 80 0. 80 Frcció Número deciml Ejemplo : Cuáto es el % de 8?. 00 8 0. 8. 8 Otr form: 8. 00 0 0 0. represet el % de 8. Ejemplo : Qué prte del totl represet el % de u ctidd C, % de C C C 00 Represet l curt prte de es ctidd C
Vrició porcetul Si bie el cálculo de porcetjes es coocido, es bueo mejorr l compresió de los umetos y dismiucioes porcetules, como tmbié fizr ls técics pr el cálculo de ellos. Alguos ejemplos clrrá lo que os estmos refiriedo. Ejemplo : U remer cuest iicilmete $ 8. Su precio sube u %. Cuál es el uevo precio?. uevo precio = 8 8 8 0. 8 0. 8. 8 0. 0 00 El uevo precio es $ 0.0 E el ejemplo terior, ddo el vlor iicil se clcul el vlor fil coociedo el porcetje del icremeto. Ejemplo : Por pgo l cotdo e u comercio hce u descueto del 0%. Cuáto se pg l cotdo por u rtículo cuyo precio es de $ 9? 0 Precio l cotdo = 9 9 = 9 0 0 9 00 coef. de vrició. = 0 09 El precio por pgo l cotdo es de $. 0. = 0. 90 9 =. 0 E este último ejemplo, coocido el vlor iicil se clcul el vlor fil coociedo el porcetje del descueto. E geerl, cudo u mgitud umet o dismiuye e u tto por cieto, l relció etre el vlor iicil y el uevo es: uevo vlor = coeficiete de vrició vlor iicil coeficiete de vrició = r, dode r es el tto por cieto Ejemplo : El precio de u producto er de $ 0 y sufrió u icremeto del %. Cuál es el uevo precio?. uevo precio = 0. 0 =. 0 = 6. 80 El uevo precio es de $ 6. 80. Ejemplo : He pgdo $ 8.0 por u electrodoméstico. El precio icluye % de IVA. Cuál es el precio si IVA?. 8.0 8.0 0. C C (C = precio si IVA). El precio si IVA es de $ 0.8. Ejemplo : U sco costb $ 60 y pgué por él $ 8 e u liquidció. E qué porcetje fue rebjdo?. 8 r. 60 (por ser u descueto usmos -r como coeficiete de vrició) 8 60 r 0. 8 r por lo tto r 0. 80 es decir: r 0. 0 Por lo tto el descueto es del 0%.
EJERCICIOS.- Resolver: ). 0. 0 ; b) 0 0..- Escribir, usdo porcetje, los siguietes eucidos: ) Dos de cd cico lumos jueg bsquet. b) L curt prte de los lumos hce tletismo. c) Todos los lumos siste l clse de histori. d) Tres octvos de los lumos prctic tció. e) Uo de cd cutro lumos probó l evlució de mtemátics. f) Ls tres curt prte del curso prctic lgú deporte.. NÚMEROS IRRACIONALES Alguos decimles o so exctos i periódicos. Recordemos de geometrí l úmero que se us pr clculr logitudes de circuferecis y áres de círculos, pr el cul l proximció más usul es.6. L represetció deciml de este úmero cotiú itermiblemete si repetició. Grcis l tecologí que hor teemos, u computdor clculó como deciml hst cie cifrs, he quí lgus:,9 6 899 86 6 89... Los pitgóricos fuero quiees descubriero los úmeros irrcioles l plicr el Teorem de Pitágors (cpítulo ) e u triágulo cuyos ctetos er igules l uidd. Cudo clculro l hipoteus se ecotrro que medí y que o er u úmero turl. Pr ellos los úmeros turles costituí el pricipio de tods ls coss, por est cus, mtuviero el descubrimieto de los irrcioles e el más estricto secreto. E los libros elemetles de mtemátic ecotrremos l demostrció de que o es u rciol. Co éste úmero se puede geerr ifiitos úmeros irrcioles, l form es de sumrle u úmero rciol:,,, etc. Otr mer de obteer úmeros irrcioles es escribir u úmero cuys cifrs decimles se ifiits y o presete periodicidd: 0.68906890..., -.66868966... El ombre de irrciol proviee del hecho de que o se puede expresr como rzó de dos eteros. Ls ríces cudrds de los úmeros turles que o so excts como,,,... se represet exctmete plicdo el Teorem de Pitágors e l rect uméric. E l siguiete figur represetmos. 0
EJERCICIO:.- Represetr e l rect rel,,,,. NÚMEROS REALES Los úmeros rcioles juto co los úmeros reles (R). úmeros irrcioles, costituye el cojuto de úmeros reles eteros rcioles frcciorios irrcioles turles ( eteros positivos ) cero eteros egtivos Existe u correspodeci etre los úmeros reles y los putos de l rect: cd puto de l rect le correspode u úmero rel y vicevers, por ello decimos que los úmeros reles cubre l rect. A cotiució dremos ls propieddes fudmetles de ls opercioes e los úmeros reles. Se, b y c úmeros reles: L sum stisfce ls siguietes propieddes: ) Asocitiv: (b c ) ( b) c ; b) Comuttiv: b b ; c) Existeci de elemeto eutro: 0R / 0 0 ; d) Existeci del elemeto opuesto: R, R / 0 El producto stisfce ls siguietes propieddes: ) Asocitiv: (b c ) ( b) c ; b) Comuttiv: b b ; c) Existeci de elemeto eutro: R / ; - - d) Existeci del elemeto recíproco o iverso: R, 0, R / ; e) Propiedd distributiv del producto co respecto l sum: b c b c L difereci o rest se defie prtir de l defiició de sum: - b (-b),, br - El cociete se defie prtir de l defiició de producto: b 0, b b,, b R Observció: El 0 o tiee elemeto iverso o recíproco. EJERCICIOS. Ddos los úmeros reles: 8 ; ;. ; ; ; 0 ;. ;. ; ;.... ; 9 ; 8 ;... ;.666... Clsificrlos e turles, eteros, rcioles, irrcioles.
. Represetr e l rect uméric los úmeros: ; ; 0. ; ; ; ;.. Ddos los siguietes pres de úmeros, reemplzr por <, > o = segú correspod: ) 0 b) 6 c) - d).9 e) f). g) 0. h) 0. i) 0. j) 0.6 k) 0. l) - -.. Potecició Defiició: Se u úmero turl y u úmero rel culquier: Propieddes: 0 si 0... si veces ) El producto de vris potecis de igul bse es otr poteci de l mism bse cuyo m m expoete es l sum de los expoetes de los fctores:. b) El cociete de dos potecis de igul bse es otr poteci de l mism bse cuyo m m expoete es l difereci de los expoetes del dividedo y del divisor: c) L poteci -ésim de u producto es el producto de ls potecis -ésims de sus fctores:. b. b. d) L poteci -ésim de u cociete es el cociete de ls potecis -ésims del dividedo y del divisor:. b b e) L poteci de u poteci es igul l mism bse elevd l producto de los m m. expoetes: f) Si el expoete es egtivo, se tiee: Ejemplos: ) 9.. b) c).... d).. e). 8 f) 6
g) ( ) i). h) 8 8 Observció: Cudo teemos l poteci de u sum o se debe distribuir el expoete, y que los resultdos obteidos o so los mismos, por ejemplo pues 9 E geerl: b b Aplicció de l potecició: Notció cietífic E los terreos cietíficos y ecoómicos se us úmeros muy grdes o muy pequeños lo cul tiee sus dificultdes. Por u ldo ls opercioes co ellos so muy complicds y por otro, l poseer tts cifrs, o es posible teer u ide de cuá grde o pequeño es el úmero. El uso de l otció cietífic resuelve estos icoveietes, result muy cómod pr l escritur de úmeros grdes o muy pequeños y reduce u form secill ls opercioes relizr co ellos. Por ejemplo, l ms de u protó es proximdmete. 6 0 kilogrmos y l ms de l tierr es. 98 0 kilogrmos, ests ctiddes está dds e otció cietífic. Ddos los úmeros: = 60000000000000 y b = 0.0000000000006 se puede escribir de diverss forms utilizdo ls potecis de 0: 6 0. 6 0 6 b 6 0. 6 0 E mbos csos, l últim mer de escribir y b recibe el ombre de otció cietífic. U úmero del tipo x 0 está e otció cietífic cudo x 0 Es importte observr que el úmero x es u deciml cuy prte eter tiee u sol cifr distit de 0. L otció cietífic permite cptr rápidmete el orde de mgitud de u ctidd, por medio del expoete. Así: 6. 0 represet milloes, de los que hy.. 0 represet diezmilésimos, de los que hy. Dijimos tmbié que ls opercioes se simplific otblemete. Veámoslo e el siguiete: Ejemplo: El ser vivo más pequeño es u virus cuyo peso es del orde de 0 kg y el más grde es l blle zul que pes cerc de. 8 0 kg Cuátos virus será ecesrios pr coseguir el peso de u blle?. peso blle. 8 0 6. 8 0 peso virus 0 6 Hrá flt. 8 0 virus pr teer el peso de l blle
EJERCICIOS.- Resuelv plicdo propieddes de potecició: ) :, b) :, c)..- Idique cuáles de ls siguietes firmcioes so verdders. Modificr ls expresioes icorrects pr que resulte corrects: 6 ) y y, b) b b 6 b, c) b b b, d, e) x y x xy 9y.- Exprese e otció cietífic los siguietes úmeros: ) 8000, b) 0.000008, c), d)., e) 8. 0, f) 0.00 0 -..- Escrib medite otció cietífic, l equivleci e metros, de ls siguietes uiddes de logitud: ) micró ( = 0.00 mm) b) ágstrom ( = 0.000000 mm)..- Supogmos que l Tierr está totlmete formd por re y que es u esfer de 600 km de rdio. Si 00 grmos de re ocup mm. cuátos gros de re hbrí e l tierr?... Rdicció Defiició: L ríz -ésim de u úmero rel, deotd por : b si b Cudo es pr, 0 y cudo es impr, es culquier úmero rel. Cd úmero rel positivo tiee u úic ríz -ésim positiv y cd úmero rel egtivo tiee u úic ríz -ésim egtiv, siempre que se u úmero impr. Los siguietes cometrios so importtes: Los úmeros egtivos o tiee ríz cudrd (e el cojuto de los úmeros reles), y que el cudrdo de culquier úmero rel es o egtivo. Por ejemplo, o es u úmero rel pues o existe u úmero rel cuyo cudrdo se. L ríz -ésim,, de 0 es 0, y que 0 0. Es decir, 0 0. Ejemplos: ) 6 8 b) c) 6.. d) e) ( ) Si se liz e), se observ: ( ) Resumiedo: Si es u etero positivo y es u úmero rel, teemos que:, si es impr, si es pr 8
Ejemplos: ) b) c) e) x x d) E lo que sigue supodremos que todos los rdicles está defiidos. Propieddes: ) L ríz -ésim de u producto es el producto de ls ríces -ésims de los fctores:.b. b b) L ríz -ésim de u cociete es el cociete de ls ríces -ésims del dividedo y del divisor:. b b m -ésim de c) L ríz m-ésim de l ríz -ésim de u úmero es igul l ríz m m dicho úmero: Ejemplos: ) 8.. 8.... 0 6 6 b) 6 8 6 8 6 6 6 6...... c) 8 8 8 8 d) e).. Poteci de expoete rciol m Recordemos l defiició: se u úmero rciol, co, si es u úmero rel tl que m está defiid, etoces: m m. Ejemplos: ) b) Observció: Ls propieddes de ls potecis de expoete rciol so ls misms que ls de ls potecis de expoete turl. Ejemplo: 6 8 6 6 9
.. Cálculos co rdicles ) Sum de rdicles: Pr sumr rdicles debe teer el mismo ídice y el mismo rdicdo. Ejemplo: E lguos csos es ecesrio recurrir l extrcció de fctores fuer del rdicl pr que l sum pedid se posible de relizr. Ejemplo: 8 0. Hemos usdo quí propieddes de l rdicció y fctorizció de los rdicdos. b) Multiplicció de rdicles: Pr multiplicr rdicles, si tiee igul ídice se us ls propieddes vists, si tiee distito ídice se reduce comú ídice y luego se efectú el producto. Ejemplos: ) 8 6 b) c) Rciolizció de deomidores. c) 6 Cudo teemos rdicles e los deomidores, es coveiete ecotrr u expresió equivlete que o coteg rdicles e el deomidor. E esos csos se dice que se h rciolizdo el deomidor. Pr ello, se multiplic y se divide l correspodiete frcció por u expresió decud, de mer de elimir l ríz e el deomidor. Ejemplo : Se multiplicdo el umerdor y el deomidor por expresió ecotrd es equivlete l dd. y ecesitmos elimir l ríz del deomidor. Procedemos sí:, es decir,. L Ejemplo : Se pide rciolizr el deomidor e. E este cso se multiplic umerdor y deomidor por deomidor u difereci de cudrdos, es decir :, los fies de obteer e el Comprció de rdicles: Los rdicles que se puede comprr so los que tiee ídices igules, siedo myor el que tiee myor rdicdo. Si los rdicles so de distito ídice se reduce comú ídice. Ejemplo: Vemos cul de los úmeros reles y es myor. 0 0
.6 Aproximció Pr operr co úmeros decimles de muchs cifrs, se emple vlores proximdos. Ejemplo: Ddo el úmero rel. Es u úmero irrciol, por lo cul tiee u úmero ifiito de cifrs decimles o periódics. L clculdor os d u proximció:. 6069 Ls proximcioes puede ser por defecto o por exceso. L dd rrib es u proximció por defecto, es decir:. 6069. El úmero rciol. 6068 es u proximció por exceso, es decir:. 6068. L proximció por exceso es cudo el cálculo proximdo es myor que el úmero ddo. L proximció por defecto es cudo el cálculo proximdo es meor que el úmero ddo. E l siguiete tbl, dmos proximcioes por defecto y por exceso. Aproximció por defecto Aproximció por exceso Co error meor que décimo Co error meor que u cetésimo Co error meor que u milésimo..... 6......6. Redodeo. E l práctic, el redodeo cosiste e umetr e u uidd l últim cifr coservd, siempre que l primer omitid se myor o igul que. Cosiderdo el ejemplo terior l proximr l.., el redodeo hst los cetésimos serí. Itervlos E el cojuto R de los úmeros reles está defiids ls relcioes meor que ( ), myor que ( ), meor o igul que ( ) y myor o igul que ( ). Cudo u úmero rel b cumple simultáemete que es myor que u úmero y meor que c ( b y b c ) se puede expresr por l triple desiguldd: b c El cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre y b lo simbolizmos: A x R / x b U úmero rel x perteecerá l cojuto A si stisfce l desiguldd cumple que x y x b. x b, es decir
Ejemplo B x R / x es el cojuto de todos los úmeros reles myores que y meores que. El cojuto B es u cojuto ifiito, pues existe u correspodeci biuívoc etre los putos de l rect y el cojuto de los úmeros reles. Es correspodeci biuívoc se mtiee si cosidermos como e este cso los úmeros compredidos etre y. Los siguietes úmeros so lguos de los elemetos del cojuto B: 0,,,,,,, 00 Defiimos los siguietes cojutos de úmeros reles: Itervlo bierto: se simboliz,b y es el cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre,b x R / x b y b, si icluirlos. Itervlo cerrdo: se simboliz,b compredidos etre - ( ) ( ) b y es el cojuto de todos los úmeros reles y b, icluyédolos.,b x R / x b. [ ] b Itervlo semibierto:,b itervlo bierto por izquierd y cerrdo por derech, es el cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre y b, icluyedo l extremo b.,b x R / x b ] b De mer semejte se defie,b itervlo cerrdo por izquierd y bierto por derech, es el cojuto de todos los úmeros reles compredidos etre y b icluyedo l extremo. [ ) b ( Observció: E los itervlos,b,,b,,b,,b los úmeros y b se llm extremos del itervlo. Cudo el itervlo es bierto los extremos o perteece él, e cmbio cudo es cerrdo si perteece. Qué ocurre e el cso de los itervlos semibiertos?