1. LOS NÚMEROS REALES

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1 TEMA NÚMEROS REALES -. LOS NÚMEROS REALES Númers rciles s ls que se puede per cm cciete de ds úmers eters. Su expresió deciml es exct periódic. Númers irrciles s ls rciles, es decir, ls que puede bteerse cm cciete de ds úmers eters. Su expresió deciml es ifiit periódic. Pr ejempl, π =.4969 Al cjut frmd pr ls úmers rciles y ls irrciles se llm cjut de úmers reles y se desig pr R.

2 .. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA Represetció de úmers rciles: Puede existir ds css: FRACCIÓN IMPROPIA: Cud el umerdr es myr que el demidr: Ejempl: 7/. Relizms l divisió de 7 etre. El cciete y el rest s idic cm descmper l frcció imprpi.. Siempre irá etre el cciete y el siguiete úmer. E este cs etre y.. Trzms u líe iclid desde el resultd del cciete. Dividims es líe tts veces cm s idique el demidr.. Después uims l últim prte de l líe iclid c el de l líe de bj. 4. Trzms u líe prlel desde l prte que idique el umerdr, e este cs desde el.

3 FRACCIÓN PROPIA: Cud el umerdr es mer que el demidr: /. Siempre irá etre el 0 y el. 6. Trzms u líe iclid desde el 0. Dividims es líe tts veces cm s idique el demidr. 7. Después uims l últim prte de l líe iclid c el de l líe de bj. 8. Trzms u líe prlel desde l prte que idique el umerdr, e este cs desde el. OJO!!Si hubier que represetr lgu frcció egtiv l rect iclid se dibujrí hci el tr setid.

4 .. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA Pr represetr úmers irrciles e l rect uméric se debe recurrir ls triáguls rectáguls. Se tiee que descmper e cudrds perfects. Ahr vms bservr lgus ejempls: ) Represetció de, e u triágul rectágul isósceles cuys ctets mide, el vlr de l hipteus es. b) Represetció de, el vlr de l hipteus es., e u triágul rectágul cuys ctets mide y c) Represetció de, e u triágul rectágul cuys ctets mide y, el vlr de l hipteus es. Primer represet el úmer irrcil

5 .. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS OJO!! Se llm rect rel l rect que represet el itervl (-, + ) OJO!! Ls ifiits y se + ó se represet siempre biert, es decir etre prétesis. Ejempls: ) (-, ) - -<x< - 0 b) [-, ] - x - 0 c) (,4] <x 4 4 d) (-, ) x< - e) [, + ) x +

6 .4. RAÍCES Y RADICALES Se llm ríz -ésim de u úmer, y se escribe cm cumple l siguiete cdició: = b, si b =., u úmer b que Se llm rdicl Se llm rdicd Se llm ídice de l ríz Se llm ríz b Ejempls: 8 = =8 Descmpg siempre e u pteci de bse b, es decir, descmpg el 8 e bse. = 4 L slució es =4 (Cud ls bses s igules l slució es l de rrib) = = Resuelv l pteci = 7 = b b =-7 Descmpg el rdicd, es decir, etre el úmer más pequeñ que se pued. b =- L slució es b=- (Cud ls expetes s igules, l slució es l de bj) *Si l descmper me sle ls expetes igules, simplific hst bteer u de ls expete c u y resuelv l pteci* 64 = b b =64 Descmpg el rdicd, es decir, etre el úmer más pequeñ que se pued. b = 6 Cm s igules ls expetes, simplific etre mbs expetes y quedrí sí: b= y hr resuelv l pteci b=8 PECULIARIDADES Ríces psitivs: Idíce pr: Tiee ds slucies: psitiv y egtiv ± Idíce impr: Tiee u slució + Ríces egtivs: Idíce pr: N existe Idíce impr: Tiee u slució L ríz de u es u, l ríz de mes u es mes u ( ser que teg ídice impr) y l ríz de cer es cer

7 PROPIEDADES. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES = m = m 4 Ejempl: = /4 Ejempl: = /. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES p p = = Ejempl: 4 9 = 4 = /4 = / =. POTENCIA DE UN RADICAL p = p pues: p Ejempl: 4 = = p p p = / = 6 = RAÍZ DE UN RÁIZ m = m * / m =, pues: m / / m* = m * Ejempl: = 6. PRODUCTO DE RÁICES DEL MISMO ÍNDICE b = b 0= 0 = COCIENTE DE RAÍCES DEL MISMO ÍNDICE b = : b 60: 0= 60: 0 = 7. PRODUCTO DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE m mcm (,m) b = m b Se hce el míim cmú múltipl de ls ídices y después l dividir se elev l que hy. 6 = 6 6 = 6 = 08

8 8. COCIENTE DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE : m mcm (,m) b = m : b Se hce el míim cmú múltipl de ls ídices y después l dividir se elev l que hy. : 6 = 6 : 6 = : 6 = 6 = EXTRACCIÓN DE FACTORES PARA LA EXTRACCIÓN DE FACTORES ES NECESARIO QUE LOS EXPONENTES DE LA RAÍZ SEAN IGUAL O MAYORES QUE EL ÍNDICE, SINO ES ASÍ NO SE PUEDE EXTRAER FACTORES FUERA DE LA RAÍZ. SI SE PUDE EXTRAER, HAY QUE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS: 400. DESCOMPONER EL RADICANDO: 400= 400 =. DIVIDIR EL EXPONENTE DEL RADICANDO ENTRE EL ÍNDICE DE LA RAÍZ: VIENDO LOS EXPONENTES, SE QUE SE PUEDE EXTRAER SOLO EL : DESPUÉS DE EXTRAER: Y RESUELVO:

9 0. Sum y rest de ríces Ds rdicles distits puede sumrse si es bteied sus expresies decimles prximds. Sl puede sumrse rdicles idétics. Pr ejempl: NO SE PUEDEN E cmbi si se pdrí ests css: = = + * - * = =. Rcilizció Al prces pr el cul hcems desprecer ls rdicles del demidr se les llm rcilizció de demidres. (+b) * (-b) = b A l expresió - b se le llm cjugd de + b y vicevers. CASOS DE RACIONALIZACIÓN Ríces cudrds: Multiplicms rrib y bj pr l ríz del demidr. Otrs ríces: Ejempl: Ejempl: 7 Rcilizms elevd el rdicd u úmer más = = =

10 Sum y rests de ríces (Cjugd): Multiplicms rrib y bj pr el cjugd, es decir, si teems u rest multiplicms pr u sum y vicevers. Ejempl: Cjugd = + ( ) ( ) = =.8. NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA APROXIMACIONES Y ERRORES Se llm cifrs sigifictivs ls que se us pr expresr u úmer prximd. Sól se debe utilizr quells cuy exctitud s cste y de md que se relevtes pr l que se dese trsmitir. Errr bslut de u medid prximd es l difereci etre el vlr rel y el vlr prximd. Errr bslut = Vlr rel Vlr prximd El vlr exct, geerlmete, es desccid. Pr tt, tmbié se descce el errr bslut. L imprtte es pder ctrl: el errr bslut es mer que U ct del errr bslut se btiee prtir de l últim cifr sigifictiv utilizd Errr reltiv es el cciete etre el errr bslut y el vlr rel. Ejempl: Al medir u pisci se btiee litrs. Es decir dm, es decir 78,900 m. Per serí más rzble decir que tiee 79 m. Etces l últim cifr sigifictiv (9) desig uiddes de m. Etces el errr bslut es mer que medi metr cúbic (errr < 0. m ). 0. El errr reltiv es E r < 79 < Ejempl: Dd el úmer,784, Clcul el errr bslut y reltiv l redderl ls cetésims.,78 El errr bslut es: E =,784,78 = 0,004 =0,004 0,004 El errr reltiv es E r = = 0, ,784

11 NOTACIÓN CIENTÍFICA Ls úmers e tció cietífic s quells que tiee u úmer deciml multiplicds pr u pteci de 0. El úmer deciml siempre tiee que ser myr igul que y mer que 0. L pteci de 0, siempre debe teer u expete eter. Si el expete es psitiv, se pe l prte deciml si l cm y se le pe cers Cuáts? Pues el expete mes el úmer de cifrs que hy después de l cm. Si el expete es egtiv, se pe 0, y después cers y después l prte deciml si l cm. Cuáts cers? Pues el expete mes el úmer de cifrs que hy después de l cm. Ejempls, = ,8 0 - = 0,

12 Opercies c tció cietífic Sum y rest: Pr sumr y/ restr e tció cietífic, debe teer l mism pteci de 0. Si es sí, debems perl e l mism pteci (Recmedble psrl l expete myr). Si querems per u expete más grde, mvems l cm hcí l izquierd tts veces cm se ecesri:,84 0 0, Si querems per u expete más pequeñ, mvems l cm hcí l derech tts veces cm se ecesri: 0, ,84 0 U vez que ls teems c l mism pteci, l que hcems es sumr y/ restr ls úmers decimles y dejr l pteci tl cul. Ejempl:, 0 +,04 0 = (, +,04) 0 =,6 0 Multiplicció y divisió: E l multiplicció, se multiplic ls úmers decimles y se sum ls expetes de ls ptecis: Ejempl:(, 0 ) x (,04 0 ) = (,,04) (0 0 ) =, E l divisió, se divide ls úmers decimles y se rest ls expetes de ls ptecis: Ejempl:(0, 0 9 ) : (,4 0 ) = (0, :,4) (0 9 : 0 ) = 4, 0 4

13 .9. LOGARITMOS El lgritm de u úmer, e u bse dd, es el expete l cul se debe elevr l bse pr bteer el úmer. Sied l bse, x el úmer e y el lgritm. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. N existe el lgritm de cer.. El lgritm de es cer.. El lgritm e bse de es u. 4. Prduct de u lgritm.. Cciete de u lgritm. 6. Pteci de u lgritm.. 7. Ríz de u lgritm. 8. Cmbi de bse de u lgritm.

14 9. Lgritm eperi l l e = l = 0 Ejempls: