MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS Autores: Dr. Ig. Roberto Pzarro T. Ig. Jua Pablo Flores V. Ig. Clauda Sagüesa P. Ig. Ezo Martíez A.
1. INTRODUCCIÓN El presete documeto fue extraído y reedtado del Istructvo N 5 del lbro Elemetos de Hdrología I (Pzarro et al, 1986), el cual pretede etregar ua metodología que permta predecr co certa probabldad los valores que puede tomar ua varable hdrológca, e fucó de la formacó de que se dspoga, plateádose lo ateror, e valores máxmos probables, aplcado la ley de dstrbucó de Gumbel, y asocado esto, a alguas pruebas de bodad de ajuste. Se platea la utlzacó de la ley de dstrbucó de Gumbel, dado que ella ha demostrado poseer ua adecuada capacdad de ajuste, a valores máxmos de caudales, precptacó e dsttos períodos de tempo, aportacoes auales, etc. Además, se etrega ua prueba de bodad de ajuste de Kolmogorov-Smrov, u cálculo del coefcete de determacó, y ello asocado a u ejemplo práctco.. AJUSTE A LA FUNCION DE GUMBEL.1 Defcó de la fucó de Gumbel Ua varable aleatora E sgue ua dstrbucó de probabldad de Gumbel, s: d( x u) X ) P e e = ε = co - x (1) [ X ] y dode x preseta el valor a asumr por la varable aleatora, co d y u parámetros y e base de los logartmos eperaos. Despejado x de (1), queda; x l( l X )) u d = () Para la determacó de los parámetros d y u, se utlza las sguetes expresoes que los defe: u = x 0. 450047S (3) 1 = 0.779696S (4) d dode: x = meda artmétca de la sere de datos cosderados. S = desvacó típca de la muestra de datos cosderados. Los valores 0,450047 y 0,779696, so váldos para u úmero de ccueta datos. S embargo, Heras (s/a), los señala como admsbles para cualquer tamaño de poblacó, e vrtud de la escasa relevaca que posee. Luego, es posble determar la fucó de Gumbel, co la formacó etregada precedetemete. De la ecuacó (), se desprede que es dable ecotrar, para ua probabldad determada, u valor para la varable aleatora. Así, s se le aplca ua probabldad, de al meos 0,9 y se obtee u valor K, mplca que e el oveta por ceto de los casos cabe esperar u valor de x K.. Determacó de la Probabldad Para cosegur defr la probabldad mplícta es precso cosgar dos coceptos prevos, que so el período de retoro y la probabldad de excedeca. Período de Retoro: se defe como el tempo que trascurre etre dos sucesos guales. Sea ese tempo, T. Probabldad de Excedeca: es la probabldad asocada al período de retoro. Así, 1 P excedeca = P( = T
E otras palabras, la probabldad de que la varable aleatora tome u valor gual o feror a certo úmero X, está dado por la fucó de dstrbucó de probabldad F (X). = x 1 f ( dx = P( x X ) = 1 T luego, la probabldad de que x sea mayor que X está dada por la fucó complemetara. 3. BONDAD DEL AJUSTE 1 P( x > X ) = 1 X ) = T Se etede por bodad de ajuste, la asmlacó de datos observados de ua varable, a ua fucó matemátca prevamete establecda y recoocda. A través de ésta es posble terpolar y extrapolar formacó; e otras palabras, predecr el comportameto de la varable e estudo (Pzarro et al, 1986). Para la estmacó de la bodad de ajuste, exste varadas pruebas, las cuales posee dstto grado de efectvdad. E el presete documeto se etrega el test de Kolmogorov-Smrov y el coefcete de determacó (Cd et al, 1990; Shao, 1990). 3.1 Test de Kolmogorov-Smrov: Para la aplcacó del test señalado, es ecesaro determar la frecueca observada acumulada. Para la frecueca observada e el caso especal de Gumbel, se ordea la formacó de meor a mayor y se aplca: F = N + 1 dode: F (: frecueca observada acumulada. : N total de orde N: N total de datos. E el caso de la frecueca teórca acumulada, ésta se determa a través de la fucó de Gumbel. e d ( x u) = e Ua vez determadas ambas frecuecas, se obtee el supremo de las dferecas etre ambas, e la -ésma poscó de orde, que se deoma D. D = Sup F ( Luego, asumedo u valor de sgfcaca, se recurre a la tabla de valores crítcos de D e la prueba de bodad de ajuste de Kolmogorov- Smrov, y cosderado el tamaño de la muestra, se establece lo sguete: S D < D tabla, se acepta que(.el ajuste es adecuado, co el vel de co- fabldad asumdo. 3. Coefcete de Determacó. Se ecuetra defdo por la sguete expresó R = 1 ( F ( F ( ) ) ( F ( dode: R : Coefcete de determacó 0 R 1 F ( : Meda de las frecuecas observadas acumuladas. )
El coefcete de determacó señala qué proporcó de la varacó total de las frecuecas observadas, es explcada por las frecuecas teórcas acumuladas. 4. EJEMPLO PRACTICO Ajuste a Gumbel: Se desea coocer la ley de dstrbucó de las precptacoes máxmas e 4 horas, de la estacó Mote Patra provca de Lmarí. Para ello, se dspoe de los sguetes datos. CUADRO N' 1. Precptacoes máxmas e 4 horas. AÑO 70 71 7 75 77 78 Pp máxma e 4 hrs. 18.0 35.5 47.5 65.0 1.0 30.0 AÑO 79 80 81 8 83 84 Pp máxma e 4 hrs. 3.5 56.0 40.0 4.5 78.0 8.0 De lo expuesto, se deduce que se cueta co ua formacó de doce años, y además que los motos deota ua extrema varabldad. E relacó al prmer aspecto, es u deomador comú e muchas estacoes del país, la careca de seres hdrológcas cosstetes, por lo cual es dfícl soslayarlo. E cuato a la varabldad, es precso destacar que las zoas árdas se caracterza por presetar este elemeto como característca de la dstrbucó y moto de las precptacoes. No obstate lo ateror, y como se tede a estmar valores máxmos, se puede obvar este últmo aspecto cosderado las dos o tres precptacoes máxmas auales, para co esta ueva sere de datos elegr u úmero mayor de años a cosderar. Luego, el efretameto de este problema es resorte del crtero que el geero utlce para tomar la decsó, y la cual sólo podrá ser calfcada a la luz de los atecedetes que cada stuacó deote. Así, para el caso e cuestó, se trabajará co la formacó de precptacó máxma aual e 4 horas, toda vez que se trata de u ejercco metodológco. CUADRO N. Datos para Gumbel y Bodad de Ajuste. Precptacó máxma e 4 hrs. Frecueca Relatva Acumulada Frecueca Teórca Acumulada 1 3.5 0,077 0,090 18.0 0,154 0,114 3 1.0 0,31 0,158 4 30.0 0,308 0,30 5 35.4 0,385 0,47 6 40.0 0,46 0,513 7 4.5 0,538 0,557 8 47.5 0,615 0,639 9 56.0 0,69 0,753 10 65.0 0,769 0,839 11 78.0 0,846 0,916 1 8.0 0,93 0,93 Co los datos de la columa 1, se determa que: x = 43.5 S = 3.97 Luego, los parámetros u y d queda: u x 0. 450047S 1 d = = 0.0535 0.779696x3.97 = =43.5 0.450047 x 3.97 = 3.46 Por cosguete, la fucó de Gumbel se defe como: e 0.0535 ( x 3.46) F ( X ) = e De lo expuesto, se deduce que se cueta co ua formacó de doce años, y además que los motos deota ua extrema varabldad.
Por otra parte, aplcado la expresó /N+1, se obtee la frecueca observada acumulada, la cual se expresa e la columa () del cuadro N. Asmsmo, reemplazado e la ecuacó (1) los valores de x, se obtee las frecuecas teórcas acumuladas, las cuales costtuye la columa (3) del cuadro N. Aplcacó de Kolmogorov-Smrov. Co la formacó del cuadro N, se busca el Sup F ( = D. E este caso, correspode a D = 0.073 e el tercer valor del cuadro mecoado. Co u 95% de cofabldad y = 1, se obtee u valor de tabla Dt = 0.375. Luego D < Dt, por cosguete se acepta co 95% de segurdad que el ajuste es bueo. Aplcacó del Coefcete de determacó (R ): Utlzado la ecuacó descrta e 3.., y las columas y 3 del cuadro N, queda: R = 0, 988 Luego se cosdera que el modelo elegdo, explca e u 98,8% las varacoes de las frecuecas observadas, lo cual es muy bueo. Utldad Práctca del Ajuste a Gumbel: Ua vez que se ha valdado el ajuste a la fucó de Gumbel, resta defr la utldad que esto puede determar. E este marco, s de la ecuacó, X ) = e e 0.0535 ( x 3.46) se despeja x, queda: l( l ) x = 3.46 0.0537 Por cosguete, para determar los motos de precptacó e 4 horas, asocados a u período de retoro y a ua probabldad, se aplca la ecuacó ateror, y se obtee los X. CUADRO N 3. Precptacoes máxmas e 4 horas asocadas a u período de retoro. Período de retoro 1 1 T (años) T = X (pp máxmas e 4 hrs.) 10 0.900 74.5 0 0.950 87.98 30 0.967 95.91 40 0.975 101.17 50 0.980 105.39 100 0.990 118.44 Luego, se puede deducr del cuadro ateror, que exste u 1% de probabldad, de que sea superados los 118.44 mm. e 4 horas de precptacó, y lo cual correspode a u eveto cetearo; e otras palabras, exste u 99% de probabldades de que el año 1985, la precptacó e 4 horas sea meor o gual a 118.44 mm. Smlar aálss, puede realzarse para todos los períodos de retoro volucrados. No obstate lo ateror, se recomeda que los períodos de retoro cosderados, o cluya u úmero mayor de formacó que el doble o el trple como máxmo, de la logtud de la sere de datos e estudo. E este caso, como la formacó base correspode a 1 años, se recomeda o exceder de 4 años o u máxmo de 36 años, dado que la sere estadístca o preseta ua logtud adecuada. Por ello, se recomeda el valor de T = 30, coro termedo de lo señalado precedetemete; el cosderar mayor úmero de años o posee setdo desde el puto de vsta estadístco.
Coforme se recople ua mayor formacó, las predccoes a realzar poseerá mayor cossteca, y por ede, ua mayor probabldad de acerto. Por ello, año a año debe ser revsadas y completadas. Por otra parte, se platea que este tpo de estudos posee valdez e u gra cúmulo de varables hdrológcas, y además, puede ser aplcado e cálculo de caudales máxmos. Falmete, es mportate señalar que sobre la metodología empleada puede surgr algú cuestoameto, hecho totalmete váldo, s se cosdera que o exste vías de solucó de problemas totalmete defdas, por ello, lo expresado aterormete más que ua metodología, costtuye ua proposcó. 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. - CID, L.; MORA, C.; VALENZUELA, M. 1990. Estadístca matemátca. Probabldades e Ifereca Estadístca. Uversdad de Cocepcó. Facultad de Cecas. Departameto de Matemátcas. Chle. 319 p. - HERAS, R.s/a. Recursos Hdráulcos. Stéss, metodología y ormas. Cooperatva e Publcacoes del Colego e Igeeros e Camos, Caales y Puertos. España, 361 p. - PIZARRO, R.; NOVOA, P. 1986. Istructvo 5. Determacó de valores probablístcos para varables hdrológcas. Elemetos téccos de Hdrología. Corporacó Nacoal Forestal (CONAF). Chle. 78 p. - SHAO, S. 1970. Estadístca para ecoomstas y admstradores de empresas. Edtoral Herrero Hermaos, SUCS. S.A. Méxco. 786 p.