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Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads d las funcions drivabls 6.. Torma d opital 6.. Torma d Roll José uis ornt Aragón 7
Contto con la P.A.U. Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. En los ámns d slctividad sul habr un problma n cada opción n dond s pid calcular l crciminto y/o la curvatura d una función. Por lo gnral las funcions qu aparcn son, n una opción, una fracción polinómica, y n la otra, o un ponnt o un logaritmo. Aunqu d primras pud parcr qu las funcions ponncials o logarítmicas son más complicadas, por lo gnral suln sr más sncillas, ya qu las drivadas, n spcial la sgunda, son más fácils d igualar a cro, y así studiar la curvatura o l crciminto. Otros problmas qu aparcn son los d optimización. Por lo gnral stos problmas son rlativos a la maimización o minimización d funcions áras máimas o mínimas, pndint mínima o máima. Una custión muy común n los ámns d slctividad son los límits, qu s calculan a partir d opital. También s utiliza opital n l studio d asíntotas d las funcions, la continuidad y la drivabilidad d funcions vr tma antrior. 7 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función En l tma antrior rlacionamos las drivadas con la pndint d las rctas tangnts a la gráfica dscrita por la función, s dcir, f s la pndint d la rcta tangnt a la gráfica f n. Vamos a rlacionar l signo d mf con l crciminto o dcrciminto d la función; para sto nos valmos dl siguint jmplo: yf 3-5 f 3-3 - -,- - -,, Signo f - Crciminto José uis ornt Aragón 73
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Claramnt vmos qu cuando f > la rcta tangnt s crcint, pus la pndint s positiva, y por lo tanto f s crcint n. D igual forma si f < la rcta tangnt s dcrcint, pus su pndint s ngativa, y por lo tanto f s dcrcint n Conclusión: a Si f > la función f s strictamnt crcint n b Si f < la función f s strictamnt dcrcint n. Etrmos rlativos Ants d rlacionar los trmos rlativos con la drivada dfinámoslos. Dfinición: Etrmo rlativo d una función f s todo punto tal qu, para todo ntorno dl punto E,r, s cumpl qu la función n st intrvalo crc y dcrc. Sgún crzca ants o dspués d, distinguimos dos tipos d trmos rlativos: a Máimo rlativo n : la función crc hasta y dcrc a partir d. b Mínimo rlativo n : la función dcrc hasta y crc a partir d. Está claro qu si s un trmo rlativo d f, n st punto la gráfica ni crc ni dcrc, lugo una condición ncsaria s qu f, así la pndint d la rcta tangnt s m, sindo por tanto parallo al j. Pro stá no s la única condición. Es ncsario, qu admás, s cumpla una sgunda condición qu admás nos prmit discrnir si s máimo o mínimo rlativo: Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f b f < ntoncs,f s máimo rlativo Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f b f > ntoncs,f s mínimo rlativo En la práctica, si s cumpl qu f y vindo l crciminto d la función ants y dspués dl punto podmos vr si s punto rlativo y si s máimo o mínimo. En l caso d qu f pro también f sto ocurr cuando s raíz dobl o d mayor multiplicidad d f, no podmos asgurar qu st punto sa trmo rlativo y hay qu studiar las drivadas d ordn suprior. Tndrmos qu calcular las drivadas n, hasta la primra drivada no nula. Para vr si la función tin trmo rlativo o no vmos l siguint squma: 74 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada f n con n impar Punto d Inflión n f f f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejmplo: Estudiar si n las siguints funcions hay máimo, mínimo o punto d inflión n a yf 3 f 3 n f f 6 n f f 6 n f 6 Como la primra drivada no nula s la trcra impar, tnmos un Punto d Inflión n P. I,f, b yf 4 f 4 3 n f f n f f 4 n f f IV IV 4 n f 4 Como la primra drivada no nula s la cuarta par, tnmos un Punto rlativo n IV. Admás como f 4 > srá mínimo m,f, Vamos las gráficas d y 3 y 4 : 4 3 José uis ornt Aragón 75
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio : Estudiar la monotonía, y los trmos rlativos d las siguints funcions: a yf 3-5 36- Vamos l signo d la drivada: f 6-336 f -56- -3, 3 f -3 -,,3 3 3, Signo f - Crciminto,f,6 3,f33,5 f < Máimo f 3> Mínimo Máimo M,f,6 Mínimo m3,f33,5 M m b y/ln Primro studimos l dominio. Vamos los puntos qu no prtncn al dominio a > por l logaritmo npriano b Dnominador s cro: ln, asíntota vrtical Domf, -{} ln f ln ln ln ln- f ln ln ln ln ln ln 4 4 3 ln ln ln 76 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada Admás d los puntos dond s anula la primra drivada hay qu añadir los puntos qu no prtncn al dominio, ya qu n llos pud cambiar l crciminto. En st caso añadimos. Nota: las asíntotas vrticals no suln cambiar la monotonía aunqu si la curvatura.,,, Signo f - - Crciminto Mínimo m,f, Dom f,f, f /> Mínimo m c y f DominioR-{4} 8 f, 4 8 3 f 4 4 8 4 Signo d f : 8 No solución no trmos rlativos f > Sólo tnmos qu vr l crciminto ants y dspués d 4, qu no prtnc al dominio: José uis ornt Aragón 77
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. -,4 4 4, Signo f Do min io Crciminto 3. Optimización En muchas situacions s plantan problmas d optimización, s dcir hacr qu una función sa máima o mínima para unas prmisas impustas. os casos d optimización qu trabajarmos s cuando la función dpnd d una sola variabl. Pasos a sguir para optimizar:. Eprsar la función qu dsamos optimizar n función todas variabls.. Si la función tin más d una variabl rlacionar las variabls con los datos dl problma y obtnr una función d una sola variabl mdiant la función ligadura. 3. Drivar la función, igualarla a cro y así obtnr los puntos rlativos 4. Comprobar, mdiant la sgunda drivada, si stos puntos son máimos o mínimos. Ejmplo: S quir construir bots d nlatar d forma cilíndrica d litros d capacidad. Calcular las dimnsions para qu l gasto sa mínimo y Vπ y función ligadura y /π El gasto s proporcional a la suprfici función a optimizar: Gasto,yK SuprficiK π π y GK [π π /π ]K[π /] G K[4π-/ ] 4π-/ 4π 3-3 5 r π dm hy π 3 5 π dm G 4π4/ 3 G 3 5 π > Mínimo 78 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada Ejrcicio : Dscomponr l númro 48 n dos sumandos tal qu l quíntuplo dl cuadrado dl primro más l sétuplo dl cuadrado dl sgundo sa mínimo. 48y ligadura y48- f,y5y 6 función a optimizar f5 48-6 5-48 f -48 4/, y 88/ f f 4/> Mínimo Ejrcicio 3: Una hoja d papl db contnr 8 cm d tto imprso, márgns suprior infrior d cm y latrals d cm. Obtnr las dimnsions qu minimizan la suprfici dl papl y y8 ligadura y8/ Ara,y y4 función a optimizar A 8/48436/86436/ A 4-36/ 3cm y6cm A 7/ 3 4. Curvatura A 3> mínimo Dimnsions: 5cm cm Vamos las dfinicions d los dos tipos d curvaturas posibls n una función: Dfinición : Una función s cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba n un punto P,y, si la rcta tangnt n st punto stá por dbajo d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d Dfinición : Una función s cóncava hacia las y ngativas o cóncava hacia abajo n un punto P,y, si la rcta tangnt n st punto stá por ncima d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d. José uis ornt Aragón 79
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Podmos sabr si una función s cóncava hacia arriba o hacia abajo a partir d la sgunda drivada: Si f >, ntoncs f s cóncava hacia arriba n l punto,f. Rcordar la curvatura d yf y como f > Si f <, ntoncs f s cóncava hacia abajo n l punto,f. Rcordar la curvatura d yf- y como f -< Ejmplo: yf 3 f 6, si > cóncava hacia arriba y si < hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 5. Puntos d Inflión Uno d los puntos más importants a la hora d rprsntar una función son los puntos d inflión; vamos qu s un punto d inflión: Dfinición: S dic qu f tin punto d inflión n,f si n s punto cambia la curvatura d la función, s dcir pasa d sr cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o al rvés. En st punto la rcta tangnt a la función corta a la función. Vamos a vr la rlación ntr los puntos d inflión y las drivadas d la función, n l siguint torma: Si f cumpl n qu la sgunda drivada s nula f y admás la trcra drivada s distinta d cro f, ntoncs la función f tin un punto d inflión n,f. En l caso d qu tanto f como f, tndrmos qu rcurrir a las drivadas d ordn suprior, y vr l ordn d la primra no nula n. Como vimos n l apartado. f n con n impar Punto d Inflión 8 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada n f f f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejmplo: Estudia l crciminto, puntos rlativos, la curvatura y los puntos d inflión d la función f Primro studimos l dominio DomfR-{-} f Vmos qu simpr s positiva para todo valor d qu prtnzca al dominio: -,- - -, Signo f No ist - Domf Crciminto No Punto rlativo Calculmos ahora la curvatura y los puntos d inflión 4 f 3 El signo d la sgunda drivada s: -,- - -, Signo f No ist - Domf - Cocavidad No P.I. José uis ornt Aragón 8
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio 4: Estudiar monotonía y curvatura d f Primro vmos l dominio d f, como --, ntoncs DomfR-{} f f -,,, Signo f - No ist - 3 Crciminto m,f, Domf 4 f f > Mínimo 4 3 [ 4 8 6 8] 4 / 4 S anula n -/ 4 3 4 6 4 8 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada -,-/ -/ -/,, Signo f - No ist Concavidad PI-/,f-/ -.5,/9 Domf f -/ PI m Nota: dars cunta qu n st jmplo n la asíntota vrtical si cambia la curvatura, pasando d crcint a dcrcint, sto s porqu s una raíz dobl dl dnominador. Cuando sto ocurr cambia la monotonía pro no la curvatura. José uis ornt Aragón 83
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio 5: san f 3, g 4 y h 5 ; dtrminar si n hay un P.I. o un punto rlativo. a f 3 f f 6 f f 6 f 6 n3 P.I., b g 4 3 g g g g 4 g g 4 4 g 4 4> n4 Punto rlativo Mínimo m, c h 5 4 h h 3 h h 6 h h 4 h 4 h 5 h 5 n5 P.I., y 3 y 4 y 5 84 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada José uis ornt Aragón 85 6. Propidads d las funcions drivabls 6.. Torma d opital Ya hmos visto n l tma antrior qu hay límits qu, para calcularlos, s ncsario utilizar l torma d opital, vamos n qu consist: Torma: San f y g continuas y drivabls n qu vrifican: a g f b ± g f ntoncs s cumpl: g f g f Esta rgla s válida para R, o -. Esta rgla s pud aplicar sucsivas vcs si l límit sigu sindo / o / Ejmplos: a cos sn b cos cos 6 3 sn sn c ln d / ln ln cos cos cos cos sn sn tg tg π π π π π π π π π π π
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. 6.. Torma d Roll Un torma muy important s l dnominado torma d Roll qu nos dmustra qu cuando una función drivabl pasa dos vcs por la misma altura ntoncs tin un punto rlativo ntr stos dos puntos: Torma d Roll: Sa f, qu cumpl las siguints condicions: continua n [a,b] drivabl n a,b fafb ntoncs ist al mnos un punto c a,b, tal qu f c s dcir tin al mnos un máimo o mínimo rlativo Vamos cómo s fácil d intrprtar st torma, si lo hacmos d forma gráfica, s smjant al d Bolzano Intrprtación gráfica: Pud ocurrir qu haya dos o más puntos qu cumplan l torma f c a c c b 86 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada Ejrcicios PAU: Sólo vrmos los qu stán rlacionados con la optimización y con opital, los rlativos al crciminto y a la curvatura s vrán n l tma siguint A Optimización Sptimbr 4. Pruba B. PR.- a Dada la función f/ln dfinida n [,], calcular la rcta tangnt con mayor pndint. Escribir cuación d dicha rcta a pndint d las rctas tangnts vin dada por la drivada d f f -/ /. Como tnmos qu buscar l valor con mayor pndint, la función a optimizar s f, qu llamarmos g, gf. Optimicémosla g - [,] 3 3 Vamos si s máima o mínima: g / 3-6/ 4 g /4-3/8< máimo a pndint máima s m ma gf -/4//4; sta s la pndint d la rcta tangnt n l punto P,f,/ln a rcta tangnt s por tanto: y-/ln/4- y.5 ln Junio 6. Pruba A. PR- Considérns las funcions f, g- -. Para cada rcta r prpndicular al j OX, san A y B los puntos d cort d dicha rcta con las gráficas d f y g, rspctivamnt. Dtrmíns la rcta r para la cual l sgmnto AB s d longitud mínima. as rctas prpndiculars al j OX son dl tipo. Cort con las gráficas a f A, o b g- - B,- -o ongitud sgmnto AB da,b AB, d. Como tin qu sr distancia mínima, calculmos la drivada d d igualmos a cro d -. Vamos si s mínima o máima d d > Mínimo Por tanto la rcta s. Corta con f n,, y con g n,- -,- Así la rcta qu minimiza la distancia ntr las dos funcions s José uis ornt Aragón 87
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. A, B,- - - Sptimbr 8. Pruba B PR-. allar, d ntr los puntos d la parábola d cuación y -, los qu s ncuntran a distancia mínima dl punto A-,-/ os puntos d la parábola son P, -. a distancia ntr P y A s: 4 d A, P AP, 4 4 4 7 d 4 Nota si buscamos l valor qu minimic la distancia s 4 cumplirá también qu para s valor d también srá mínima, sindo la función mucho más sncilla al quitarnos la raíz: fd 4 7 4 4 f 4 3 4 - P-, Vamos qu s mínimo f, f ->, s mínimo 4 88 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada Otros jrcicios optimización: Ejrcicio 6: san las funcions f- y g, d todas las rctas parallas al j OX qu cortan n A a g y a B a f, calcular aqulla qu minimiza las distancias ntr los dos puntos. as rctas parallas al j OX son d la forma yt, qu srá l parámtro libr. os puntos A y B srán: y t A t Alnt,t y y B y t t Bt,t da,b AB t ln t, t ln t t ln t a función qu tnmos qu maimizar srá dtt--lnt: d t t. t Comprobmos qu s un mínimo: d t t ugo la rcta buscada s y. d < Ejrcicio 7: sa la función f, calcular l punto P d la gráfica tal qu la ordnada n l orign d la rcta tangnt a dicha función n P sa máima. os puntos d la gráfica srán Pt,ftt, y las pndints d las rctas tangnts para stos puntos vinn dfinidas por mf t-t. D sta forma las rctas tangnts son: r: y-y m- r: y- -t -t r: y-t t. Por lo tanto la ordnada n l orign s nt t. Calculmos l valor d t qu minimiza la función: José uis ornt Aragón 89
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. n t-t 4t -4t 3 t-4t 3 t-t t, t ± Vamos cuál d stos valors máimiza la función: n t 4t 4-8t n > Mínimo n ± < Máimo. ugo los punto son P, -/, P -, -/ Ejrcicio 8: calcular l rctángulo d ára máima inscrita n una circunfrncia d radio cm: Ára,y4 y función a optimizar y y 4 ligadura Ay4y 4 y 4 y A y4 4 y - 4y 4 y 6 4y 4y 4 y y y cm cm cuadrado Vamos qu s máima: A <. Máimo 9 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada B opital PAU Sptimbr 6. Pruba A C-3. sn sn lncos cos cos tg cos tg sn PAU Junio 6 Pruba A C-3. lncos sn cos tg tg PAU Junio 6 Pruba BC-4. Calcular a y b para qu l límit sa : a b cos a b sn b b para it sn cos a sn cos a cos cos 4 sn a a / PAU Sptimbr 4 Pruba A C-3 tg tg tg π 6 6 6 3 tg π tg π tg 6 PAU Junio 4 Pruba B C- 3 sn sn sn sn cos cos sn cos sn cos PAU Sptimbr 5 Pruba A C-4. Calcular λ para qu l límit valga -: sn cos λ sn cos λ cos 4 sn λ 4 λ cos λ cos λ sn λ cos λ λ λ λ±. José uis ornt Aragón 9
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada. 9 Apunts d Matmáticas II para prparar l amn d la PAU PAU Sptimbr 5 Pruba B C-3 cos cos cos cos ln ln sn sn sn sn sn sn PAU Junio 5 Pruba A C-3 / ln ln PAU Junio 7 Pruba A. C- ln ln ln ln ln ln PAU Sptimbr 7 Pruba B C-4 4 4. PAU Junio 8 Pruba A. C-: 4 8 6 cos 4 3 cos 3 sn sn sn PAU Sptimbr 8 Pruba B. C-3: Calcular a para qu l límit sa 8 8 a a a a a a a a a a a±4
Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada José uis ornt Aragón 93