FUNCIÓN RACIONAL Función Racional. Dados polinomios p( ) q( ) tales que no tienen actores comunes, se deine la unción racional como la unción ormada por el cociente de los polinomios Ejemplos de unciones racionales: ( ) p ( ) q ( ).- La unción ( ) es racional.- La unción ( ) es racional 3.- La unción ( ) es racional 4.- La unción ( ) 3 65 5 es racional. 5.- La unción ( ) es racional. 6.- la unción ( ) ( )( ) ( 3)( 8) El dominio de toda unción racional es igual al conjunto ( ) 0 ( ) 0 D q q al conjunto de valores de para los cuales la unción ( ) 0 también se les llama singularidades de la unción racional: El rango de la unción no puede determinarse de una orma general a que depende de la estructura de su numerador denominador. En el caso en que el comportamiento de la unción cuando & cuando 0 así como el comportamiento de la unción para cada una de las singularidades que tiene. Los ceros del denominador son los valores de que se EXCLUYEN del Dominio, además, representan las asíntotas de la unción = (), las cuales son rectas perpendiculares al eje X que pasan por cada raíz del denominador q ( ) 0 la gráica de
la unción tiene un comportamiento asintótico, es decir conorme un punto de la gráica se aleja del origen a sea en la dirección del eje X o en la del eje Y, la gráica se aproima a la asíntota vertical D R raíces de q( ) r o a la asíntota horizontal k. i Ejemplos.- Consideremos a la unción ( ), observemos que no ha actores comunes entre el numerador el denominador. Para determinar al dominio de la unción debemos ecluir de los números reales los valores en donde el denominador se hace cero, es decir los ceros del polinomio = 0, por lo tanto la asuntota vertical es la recta vertical cua ecuación es 0 la cual corresponde a l eje Y. De donde se obtiene que el dominio 0 D, para obtener el rango observamos el comportamiento la unción cuando se tiene que ( ) 0 lo cual indica que = 0 es una asíntota horizontal de la unción racional, entonces, el rango de la unción es ( ) 0 0 R. unción = () = / X -7-6 -5-4 -3 - - -/ -/4 /99 () -0.48 0.666-0. -0.5-0.3333-0.5 - - -4-99 ( ) 0 Función = () = / 0.00 0.0 0. 3 4 5 6 7 8 () 000 00 0 0.5 0.3333 0.5 0. 0.666 0.48 0.5
cuando se aproima a cero con valores positivos la unción ) tiende a mas ininito se aproima al eje Y Asíntota vertical = 0 (eje Y) tiende a - ininito =() tiende (se aproima) a cero tiende a + ininito =() tiende (se aproima) a cero Asíntota horizontal = 0 (eje X) cuando se aproima a cero con valores negativos la unción () tiende a menos ininito se aproima al eje Y.- consideremos la unción racional ( ), observemos que no ha actores comunes entre el numerador el denominador. Para determinar al dominio de la unción debemos ecluir de los números reales los valores en donde el denominador se hace cero, es decir los ceros del polinomio + = 0, eiste un solo valor, =. Entonces el dominio es: D R. Para obtener al rango, analizamos el comportamiento de la unción en los intervalos (,) (, ) obteniendo los valores que toma la unción para cada valor del dominio dando por lo menos un valor cercano a cada cero determinar el comportamiento de la gráica de la unción. Para esto ormemos las siguientes tablas unción = () = / ( - ) X -7-6 -5-4 -3 - - 0 0.5 0.990 () 0.875 0.857 0.8333 0.8 0.7 0.6667 0.5 0.0.0-99.0
Función = () = / ( - ).00.0. 3 4 5 6 7 8 () 00.00 0.00.0.0.5.3333.5..7. 3 Rango = R - { } = () = / [ - ] Asíntota = -8-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 Dominio = R - { } - - Asíntota -3 Como ejemplo consideremos a la unción racional ( ) 4 3 5 5 5 6 en donde los ceros del denominador son = -3, -, - por lo tanto el dominio es: D R 3,,, ; Las asíntotas verticales de la unción racional son: = -3; = -; = - & =. Para determinar el rango analizaremos el comportamiento de la unción en los intervalos (, 3]; (-3, -); (-, -); (-, ) & (, ) la graica de la unción es: 3 Ceros de la unción 3 4-0 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 0 - = () = / [ ^4 + 5 ³ + 5 ² - 5-6 ] - -3-4 -5
En el intervalo (, 3), para valores de son cercanos a 3, la gráica se acerca a la asíntota hacia la parte negativa del eje Y, por lo que el rango de la unción contiene a los todos los números reales negativos R en el intervalo (, ) la unción toma valores reales positivos para valores cercanos a, por ejemplo =.00, el valor de la unción es mucho mu grande, es decir la tendencia de la gráica es hacia mas ininito acercándose cerradamente a la asíntota, entonces, el rango de la unción contiene a todos los números reales positivos R, por lo tanto el único valor que alta por analizar es el correspondiente a = 0, en este punto, el valor de la unción es igual a cero, por lo tanto el rango de la unción contiene al cero, entonces el rango de la unción es todo el conjunto de los números reales R R R 0. Las unciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, oblicuas o un comportamiento asintótico a una curva en particular o no tener ninguna asíntota. La relación entre los grados de las unciones numerador denominador de la unción racional deine el tipo de asíntota que tiene de acuerdo a la siguiente tabla: p ( ) Función racional ( ) q ( ) Coeiciente principal de p( ) es a 0 coeiciente principal de q( ) es b 0 Grado de p ( ) < grado de q ( ) asíntota horizontal 0 a0 Gradi de p( ) Grado de q( ) asíntota horizontal b0 Grado de grado de p ( ) grado de q() No tiene asíntota horizontal En este último caso se tiene comportamiento asintótico a la unción c ( ) obtenida de la división p( ) r( ) c ( ) q( ) q( ) Ejemplo. Determina las asíntotas verticales horizontales de la unción ( ) 5 4 Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al denominador 4 0 de donde se tiene la ecuación 4 Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador denominador de la unción obtenemos que son iguales por lo tanto, la ecuación de la asíntota a0 horizontal es igual al cociente de los coeicientes principales de los polinomios, el b 0
coeiciente del numerador a 5 el del denominador es b0 entonces la ecuación de la asíntota horizontal es 5 Ejemplo. Determina las asíntotas verticales horizontales de la unción ( ) 4 denominador Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al 4 0 cua solución es 4 4 las cuales representan a las ecuaciones de las asíntotas verticales. Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador denominador de la unción obtenemos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador por lo tanto la ecuación de la asíntota es 0. Ejemplo 3. Determina las asíntotas verticales horizontales de la unción ( ) 3 9 denominador Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al 9 0 cua solución es 3 3 las cuales representan a las ecuaciones de las asíntotas verticales. Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador denominador de la unción obtenemos que el grado del numerador es maor que el grado del denominador por lo tanto la unción no tiene asíntotas horizontales. Es conveniente que antes de obtener las asíntotas verticales de la unción racional analicemos que el numerador denominador no tienen actores comunes, en este caso la unción racional tendrá una simpliicación de dichos actores generando con esta a una nueva unción racional p ( ) g ( ) en donde las unciones ( ) g( ) tienen las mismas asíntotas sus gráicas q ( ) diieren en el punto h correspondiente al actor común de los polinomios, la ordenada de este punto es igual a gh ( ) el punto correspondiente es H[ h, g( h )] al cual se le llama hueco de la unción ( ). El punto H[ h, g( h)] no pertenece a ( ) pero si pertenece a la unción g ( ) en este punto la unción ( ) tiene una discontinuidad removible. Ejemplo 4. Determina las asíntotas verticales horizontales t traza la gráica de la unción ( ) 5 Solución. Antes de tratar de iguales el denominador a cero, actoricemos tanto el numerador como el denominador para determinar si la unción racional tiene actores comunes,.
( ) 5 ( )( ) ( )( ) construimos la unción g ( ) el punto H(, g( )) H(,). observamos que tienen un actor común ( ), cua gráica con respecto a la gráica de ( ) diieren en La asíntota vertical tiene como ecuación la horizontal es ( a0 / b0 / ) el hueco es el punto H(,) Graica: H ( -, ) = = Ejercicios. Para cada uno de los siguientes ejercicios, determina: a. Sus asíntotas verticales b. Sus asíntotas horizonbtales c. Sus huecos ( si tiene) d. Traza su gráica. 6 4. ( ). ( ) 39 5 4 3. ( ) 4. ( ) 3 3 6 5. ( ) 6. ( ) 4