Sucesiones de Funciones

Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr, un sucesión de funciones es un colección numerble y ordend de funciones. En generl supondremos que el conjunto de índices es N, unque ocsionlmente usremos los enteros no-negtivos o Z. Usremos l notción (f n ) n 1 o f n : n N} pr indicr un sucesión de funciones. Ejemplos 9.1 1. Ls funciones f n : [, 1] R, n 1 definids por f n (x) = x n formn un sucesión cuyo conjunto de índices es N. 2. Ls funciones f : R R, n Z definids por f n (x) = nx, tmbién formn un sucesión pero con índices en Z. Definición 9.1 Se S R un conjunto y (f n ) n 1 un sucesión de funciones f n : S R y se tmbién f un función de S en R. Decimos que l sucesión (f n ) n 1 converge puntulmente f en S si, pr todo s S, l sucesión (f n (s)) n 1 converge f(s): f(s) = lim n f n(s) y entonces escribimos f n f (puntulmente). Desrrollndo esto en detlle, pr cd s S y cd ɛ > existe N N tl que f n (s) f(s) < ɛ, siempre que n N. Es fundmentl observr que l selección de N se hce luego de conocer s y ɛ, de modo que N puede depender de mbos.

156 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Ejemplos 9.2 1. S = [, 1], f n : S R definid por 1 ns si s 1/n, f n (s) = si 1/n < s 1, y se f : S R definid por f(s) = si < s 1 1 si s =. Es trivil ver que f n () converge f() = 1, mientrs que si < s 1 y ɛ > tenemos f n (s) f(s) = f n (s) = < ɛ si n > 1/s, por lo tnto f n f puntulmente en S. f(x) 1.. f 1 f 2 f 3... 1 1 1 4 3 2... 1 x Figur 9.1: L sucesión f n. 2. S = [, 1] y pr n N, f n : S R está definid por f n (s) = s n. Se f : S R definid por si s < 1, f(s) = 1 si s = 1... f(x). 1. Figur 9.2: L sucesión f n. Es fácil ver que f n (1) f(1) = 1, mientrs que si s < 1, f n (s) f(s) = s n < ɛ si n > log ɛ/ log s. En este cso l dependenci de N en ɛ y s es clr.. 1 x..

9.1. SUCESIONES DE FUNCIONES. 157 3. S = R y pr n N se f n : S R definid por f n (s) = s/n. Definimos f : S R por f(s) = pr s R. De nuevo es clro que f n f puntulmente en R: si s R y ɛ >, f n (s) f(s) = s n < ɛ s si n > ɛ. f(x).. ε ε f 1 f 2. f 3 f 4 f 5... x Figur 9.3: L sucesión f n. Por lo tnto el menor vlor de N pr el cul l firmción: f n (s) f(s) < ɛ cundo n > N es ciert es l prte enter de s /ɛ, y está clro que ddo ɛ > no podemos escoger un único N que hg ciert l firmción nterior pr todo s. 4. Si en el ejemplo nterior tommos S = [, 1] tenemos, por supuesto, que f n f en S, pero en este cso si ɛ > y N = [1/ɛ] entonces f n (s) f(s) < ɛ pr n > N y todo s S. L diferenci es que hor, ddo ɛ podemos hllr un N que sirve pr todo s S. f(x) 1.... f 1 ε. f 2. f 3.. 1. x.. Figur 9.4: L sucesión f n.

158 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES 5. S = [, 1], f n (s) = ns(1 s) n pr n N, entonces f n (s) pr todo s [, 1]. Observmos que f n tiene un máximo locl en s = 1/(n + 1) de modo que, medid que n crece, este máximo se desplz hci l izquierd. Además ( 1 ) ( n ) n+1 f n = e 1 n + 1 n + 1 El problem principl que nos plntemos hor es determinr si cierts propieddes de ls funciones de l sucesión, tmbién son comprtids por l función límite; en prticulr, si ls funciones f n son continus, diferencibles o integrbles, es lo mismo cierto pr f? qué relción hy entre f n y f, o entre ls integrles de ls funciones f n y l de f? Por ejemplo, si f n f puntulmente, decir que f es continu en x quiere decir que lim f(t) = f(x) t x o se lim lim f n(t) = lim f n(x) t x n n de modo que si ls funciones f n son continus en x esto es lim lim f n(t) = lim lim f n(t) t x n n t x y l pregunt que nos estmos hciendo es si d lo mismo tomr los límites en culquier orden. En generl esto no es posible sin fectr el resultdo: en los ejemplos 2.2.1 y 2 vemos funciones discontinus que son límite de sucesiones de funciones continus. Ejemplos 9.3 1. Pr m y n N definimos f m (x) = lim (cos m!πx)2n n Cundo m!x es entero, f m (x) = 1. Pr culquier otro vlor de x, f m (x) =. Se f(x) = lim m f m(x). Pr x irrcionl, f m (x) = y por lo tnto f(x) =. Pr x rcionl, x = p/q digmos, vemos que m!x es entero si m q y entonces f(x) = 1. Por lo tnto lim lim (cos m n m!πx)2n = si x es irrcionl, 1 si x es rcionl.

9.1. SUCESIONES DE FUNCIONES. 159 2. Se f n (x) = 1 n sennx x R, n N f(x) = lim n f n(x) = entonces f (x) = y f n(x) = n cos nx, de modo que f n no converge f, por ejemplo, f n() = n (n ) mientrs que f () =. 3. Se f n (x) = n 2 x(1 x 2 ) n pr x [, 1], n N. Podemos escribir 1 x 2 = 1 x2 1+y donde y = 1 x y por lo tnto 2 Por el teorem binomil (1 x 2 ) n = (1 + y) n = n k= pr culquier j n. Si j > 2 1 (1 + y) n. ( ) n y k > k ( ) n y j j n 2 (1 x 2 ) n n 2 = (1 + y) n < n2 ) = n 2 y j ( n j n! j!(n j)! yj y como j está fijo, j > 2, esto tiende cundo n. Por lo tnto, lim n f n (x) =. Por otro ldo es fácil ver que 1 de modo que x(1 x 2 ) n dx = 1 1 2(n + 1) (1 x2 ) n+1 1 = 1 2n + 2 f n (x)dx = n2 2n + 2. Si en lugr de f n (x) = n 2 x(1 x 2 ) n tenemos nx(1 x 2 ) n entonces lim n 1 n f n (x)dx = lim n 2n + 2 = 1 2.

16 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Ejercicios 9.1 1. Hlle el límite puntul (si existe) de l sucesión (f n ) de funciones de S en R en cd uno de los siguientes csos: i) S = R, f n (x) = nx 1 + n 2 x 2 ii) S = R, f n (x) = n si n x n, si x > n 1 si n x n, iii) S = [, 1], f n (x) = nx(1 x 2 ) n iv) S = R, f n (x) = si x > n v) S = [, 1], f n(x) = xn nx si x 1/n vi) S = [, 1], f n(x) = n(1 x) n si 1/n < x 1 n 1 vii) S = [, 1], f n (x) = ix) S = [, 1], f n(x) = xn 1 + x n viii) S = [, ), f n (x) = xn n + x n x n x) S = R, f n(x) = x2 + nx x si x n 1 si x > n 2. Se f : I R un función continu slvo en un único punto c del intervlo I. Obteng un sucesión de funciones continus f n : I R que converj puntulmente f. Generlice pr un función f con un número finito de discontinuiddes. 9.2. Convergenci Uniforme. Definición 9.2 Se S R un conjunto, (f n ) n 1 un sucesión de funciones de S en R y f : S R. Decimos que l sucesión (f n ) n 1 converge uniformemente f en S si pr cd ɛ > existe N N tl que f n (s), f(s) < ɛ si n > N y s S. (9.1) Decimos que f es el límite uniforme de (f n ) y que f n f uniformemente en S. Es importnte observr que en este cso el vlor de N prtir del cul vle l relción (9.1) es el mismo pr todo s S. Ejemplo 9.4 1. Se S = s: s > } y pr n N definimos f n (s) = s ; f(s) =. 1 + ns

9.2. CONVERGENCIA UNIFORME. 161 Si s S tenemos f n (s) f(s) = s 1 + ns < s ns = 1 n < ɛ pr n > 1/ɛ. Por lo tnto (f n ) converge uniformemente f en S. Si Y R podemos ilustrr l noción de convergenci uniforme con un digrm. Si f n : [, b] R converge uniformemente f, ddo ɛ > existe N tl que f(x) ɛ < f n (x) < f(x) + ɛ siempre que x [, b] y n > N. Esto quiere decir que si n > N l gráfic de l función f n debe estr dentro de l bnd del digrm. f(x).. f(x)........... f(x) ε f(x) + ε............. Figur 9.5: Convergenci Uniforme. x... Es evidente prtir de ls definiciones que si (f n ) n 1 converge uniformemente f entonces tmbién converge puntulmente. Teorem 9.1 (Condición uniforme de Cuchy) L sucesión de funciones (f n ) definids en S con vlores en R converge uniformemente en S si y sólo si pr cd ɛ > existe un entero N tl que si m N, n N, y s S entonces f n (s) f m (s) < ɛ. (9.2) Demostrción. Supongmos que f n f uniformemente en S, entonces existe N N tl que si n N y s S de modo que f n (s) f(s) ɛ 2 f n (s) f m (s) f n (s) f(s) + f(s) f m (s) ɛ siempre que n N, m N y s S. Supongmos hor que l condición de Cuchy es válid. Por l completitud de los números reles, pr cd s S l sucesión (f n (s)) converge un límite en R que llmremos f(s). Por lo tnto l sucesión (f n ) converge f en S. Flt ver que l convergenci es uniforme.

162 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Se ɛ > ddo y tomemos N de modo que (9.2) se cierto. Fijndo n y hciendo m obtenemos f n (s) f(s) < ɛ pr todo n N y todo s S. Teorem 9.2 Supongmos que f n f puntulmente en S y se M n = sup s S f n (s) f(s). Entonces f n f uniformemente en S si y sólo si M n cundo n. Demostrción. Inmedito prtir de l definición. Ejercicios 9.2 1. En cd uno de los csos del ejercicio 2.1 determine si l convergenci es uniforme o no. 2. Estudie l convergenci uniforme de l sucesión f n (x) = x n i) en X = [, η] pr < η < 1; ii) en X = [, 1]; iii) en [, 1). 3. Verifique que l convergenci uniforme sobre un intervlo I de un sucesión de funciones es equivlente l condición siguiente: Existe un sucesión ( n) de números reles que tienden tl que pr n suficientemente grnde y pr todo x I se tiene que f n(x) n. 4. Supong que f n f uniformemente en S y g n g uniformemente en S. Demuestre que f n + g n f + g uniformemente en S. 5. Supong que f : R R es uniformemente continu y pr n N definimos f n(x) = f(x + 1/n) sobre R. Demuestre que (f n) converge uniformemente. 6. Se K un conjunto compcto y (f n) un sucesión de funciones reles continus definids sobre K que convergen puntulmente en K l función continu f. Si f n+1(x) f n(x) pr todo x K y todo n N entonces f n converge uniformemente f. 7. Definimos ls siguientes sucesiones de funciones f n (x) = x(1 + 1 ), si x R, n 1, n g n (x) = 1, n b + 1 n, si x = o x es irrcionl, si x es rcionl, x =, b >,, b primos reltivos. b Demuestre que (f n) y (g n) convergen uniformemente en todo intervlo finito pero su producto h n (x) = f n (x) g n (x) no converge uniformemente en ningún intervlo finito. 8. Supong que f n f uniformemente en S y g n g uniformemente en S. Se h n (x) = f n (x) g n (x), h(x) = f(x) g(x). El ejercicio nterior muestr que, en generl, no es cierto que h n h uniformemente en S. Demuestre que bjo l hipótesis dicionl de que ls funciones f n y g n son cotds, el resultdo sí es válido.

9.3. CONVERGENCIA UNIFORME Y CONTINUIDAD. 163 9.3. Convergenci Uniforme y Continuidd. Teorem 9.3 Si (f n ) es un sucesión de funciones continus de S R en R que convergen uniformemente f : S R entonces f es continu. Demostrción. Tenemos que mostrr que si x S y ɛ > entonces pr lgún δ > f(x) f(t) < ɛ si x t < δ. Supongmos que x S y ɛ >, como f n f uniformemente en S, existe N N tl que f n (t) f(t) < ɛ si n > N y t S. 3 Escogemos n > N, como f n es continu existe δ > tl que f n (x) f n (t) < ɛ 3 si x t < δ. Por lo tnto, si d x t < δ f(x) f(t) f(x) f n (x) + f n (x) f n (t) + f n (t) f(t) y cd uno de los términos de l derech es menor que ɛ/3, el primero y el último por (9.3), y que n > N, y el segundo por (9.3), y que x t < δ. Por lo tnto f(x) f(t) < ɛ si x t < δ. y esto concluye l demostrción. Observción 9.1 En el ejemplo 9.2.3 l convergenci no es uniforme pero l función límite es continu. Esto muestr que l condición del teorem es suficiente pero no necesri. Pr S R llmremos C(S) l fmili de ls funciones reles continus y cotds definids en S. Si S es compcto entonces bst con pedir que ls funciones sen continus. Pr cd función f C(S) definimos l norm supremo de f por f = sup f(x). x S Como hemos supuesto que f es cotd, f <. Además, f = si y sólo si f(x) = pr todo x S. Finlmente, si g C(S) y definimos h(x) = f(x) + g(x) entonces h C(S) y tenemos h(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g pr culquier x S. Por lo tnto f + g f + g. Ests tres propieddes muestrn que l función : C(S) R + es un norm.

164 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Pr f, g C(S) definimos l distnci entre ells por ρ(f, g) = f g = sup f(x) g(x). x S Lo nterior muestr que ρ es un métric sobre el espcio C(S) y el Teorem 9.2 nos dice que l sucesión (f n ) en C(S) converge f C(S) si y sólo si f n f uniformemente en S. Teorem 9.4 (C(S), ρ) es un espcio métrico completo. Demostrción. Usr los Teorems 9.1 y 9.3. Ejercicios 9.3 1. Dé contrejemplos que muestren que si l convergenci no es uniforme, el límite no tiene por que ser continuo. 2. Supong que (f n ) es un sucesión de funciones continus de [, 1] en R que converge uniformemente un función f : [, 1] R. Pr n N definimos g n (x) = f n (x + 1/n). Demuestre que l sucesión (g n ) converge puntulmente f. 3. Si (f n ) es un sucesión de funciones continus de R en R que converge uniformemente l función f : R R, entonces pr todo x R y culquier sucesión (x n ) que converj x, se tiene que (f n (x n )) converge f(x). 4. Si ls funciones f n : E R son uniformemente continus en E y f n f uniformemente en E entonces f es uniformemente continu en E. 9.4. Convergenci Uniforme y Diferencición Se I R un intervlo y f n : I R, n N un sucesión de funciones que convergen puntulmente f : I R. Si pr lgún I y pr todo n N, f n es diferencible en, es nturl preguntrse si f es diferencible en y si (f n()) converge f (). Plnteds de est mner, mbs pregunts tienen respuests negtiv. Es posible que f no se diferencible en y si lo es, puede suceder que (f n()) no converj f () o simplemente que no converj en bsoluto. Ejemplos 9.5 1. Se I = R, f n (x) = x 1+nx pr x R y n N, y f(x) = pr x R. 2 Entonces si x, f n (x) 1 n x cundo n y como f n () =, vemos que f n f puntulmente en R. Evidentemente f () = y f n(x) = 1 nx2 (1+nx 2 ), f n() = 1 de modo que f n() no converge f () ún 2 cundo (f n()) converge.

9.4. CONVERGENCIA UNIFORME Y DIFERENCIACIÓN 165 2. Se I = R, f n (x) = nx 1+n 2 x 2 pr x R, n N y f(x) = pr todo x R. Es fácil ver de nuevo que f n f puntulmente en R y que demás f n() = n. En este cso f es diferencible en pero f n() no converge. 3. Se I = (, ), f n (x) = 1 x 1+x n pr x I, n N y f : I R definid por f(x) = 1 x si < x 1, si x > 1 No es difícil ver que f n f puntulmente en I y que f no es diferencible en 1. Como f n(1) = 1/2, (f n(1)) converge pero f no es diferencible en 1. 4. Se I = (, ), f n (x) = xn 1+x n pr x I, n N y si < x < 1, f(x) = 1/2 si x = 1 1 si x > 1. De nuevo es posible mostrr que f n f puntulmente en I y que f n(1) = n/4 de modo que f no es diferencible en 1 y (f n(1)) no converge. Teorem 9.5 Se (f n ) un sucesión de funciones reles que son diferencibles en el intervlo (, b). Supongmos que l menos pr un punto x (, b) l sucesión (f n (x )) converge. Supongmos demás que existe un función g tl que f n g uniformemente en (, b). Entonces i) Existe un función f tl que f n f uniformemente en (, b). ii) Pr todo x (, b) l derivd f (x) existe y es igul g(x). Demostrción. Fijmos z (, b) y definimos un nuev sucesión de funciones g n g n (x) = fn(x) f n(z) x z, si x z, f n(z), si x = z. (9.3) Est sucesión depende de l selección de z. L sucesión g n (z) = f n(z) converge por hipótesis. Vemos que (g n ) converge uniformemente en (, b). Si x z tenemos h(x) h(z) g n (x) g m (x) = x z donde h(x) = f n (x) f m (x). Por hipótesis h (x) existe pr todo x (, b) y vle f n(x) f m(x). Usndo el Teorem del Vlor Medio obtenemos g n (x) g m (x) = f n(ξ) f m(ξ),

166 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES donde ξ está entre x y z. Como, por hipótesis, (f n) converge uniformemente en (, b), podemos usr est relción y el criterio de Cuchy pr deducir que (g n ) converge uniformemente en (, b). Vemos hor que (f n ) converge uniformemente en (, b) Tomemos z = x y recordemos que por hipótesis (f n (x )) converge. A prtir de 9.3 obtenemos f n (x) = f n (x ) + (x x )g n (x) que es válid pr todo x (, b). Por lo tnto f n (x) f m (x) = f n (x ) f m (x ) + (x x )(g n (x) g m (x)). Usndo de nuevo el criterio de Cuchy, est ecución demuestr l convergenci uniforme de (f n ) en (, b). Esto demuestr (i). Pr demostrr (ii) se G(x) = lim n g n (x) donde g n se define por (9.3) pr un punto rbitrrio z (, b) Como por hipótesis l derivd f n existe, se tiene que lim x z g n (x) = g n (z), es decir, ls funciones g n son continus en z. Como g n G uniformemente en (, b), l función límite G tmbién es continu en z. Esto quiere decir que Pero pr x z tenemos G(z) = lim x z G(x), (9.4) G(x) = lim g f n (x) f n (z) n(x) = lim = n n x z f(x) f(z). x z Por lo tnto (9.4) dice que l derivd f (z) existe y es igul G(z). Pero G(z) = lim n g n(z) = lim n f n(z) = g(z), y en consecuenci f (z) = g(z). Como z (, b) es rbitrrio esto concluye l demostrción. Observción 9.2 Ls condiciones del teorem son suficientes pero no necesris. Por ejemplo, en el intervlo [, 1], f n (x) = x n /n converge f(x) = pr todo x [, 1] y f n f puntulmente pero no uniformemente Ejercicios 9.4 1. Pr n N definimos f n : R R por f n (x) = x/(1 + nx 2 ). Muestre que (f n ) converge uniformemente un función f y que l ecución f (x) = lim f n(x) es válid. 2. Estudie l convergenci de l serie Σe n cos n 2 x y demuestre que su sum es un función infinitmente diferencible en R.

9.5. INTEGRACIÓN DE SUCESIONES DE FUNCIONES. 167 3. Demuestre l convergenci uniforme en R de l serie 1 cos n 2 x n 2. Converge uniformemente l serie de derivds? 4. Considere l sucesión ( 1 f n(x) = n + x2) 1/2 2 Demuestre que f n converge uniformemente en [ 1, 1] un función f(x). Determine si f es diferencible. Pr cuáles vlores de x es cierto que lím n f n(x) = f (x)? 5. Se f n(x) = x/(1 + nx 2 ) pr x R, n 1. Hlle f(x) = lím n f n(x) y g(x) = lím n f n(x) ) Demuestre que f (x) existe pr todo x pero que f () g(). Pr qué vlores de x se tiene que f (x) = g(x)? b) En cuáles subintervlos de R se tiene que f n f uniformemente? c) En cuáles subintervlos de R se tiene que f n g uniformemente? 6. Se f n (x) = e n2 x 2 /n pr x R, n 1. Demuestre que f n uniformemente en R, que f n putulmente en R pero que l convergenci de (f n) no es uniforme en ningún intervlo que conteng l origen. 9.5. Integrción de sucesiones de funciones. Después de l discusión de ls secciones nteriores es nturl plnterse si dd un sucesión f n R[, b] con límite puntul f es cierto que f R[, b] y si lim n f n dx = fdx. Ejemplos 9.6 1. Se q n, n 1} un enumerción de los rcionles en [, 1]. Pr n N definimos f n : [, 1] R por 1 si x q 1,..., q n } f n (x) = si no Pr cd n tenemos que 1 f ndx =, pero l sucesión f n converge puntulmente l función f : [, 1] R definid por 1 si x es rcionl f(x) = si x es irrcionl y f / R[, b].

168 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES 2. Definimos f n : [, 1] R por f n (x) = n si x (, 1/n) si no entonces f n R[, 1] y 1 f ndx = 1. Por otro ldo f n f en [, 1] donde f(x) = pr x [, 1]. En este cso f R[, 1] pero 1 lim n f n dx = 1 1 fdx. Teorem 9.6 Se f n un sucesión en R[, b] que converge uniformemente en [, b] f : [, b] R. Entonces f R[, b] y lim n f n dx = fdx. Demostrción. Se ɛ >, pr lgún N N f n (x) f(x) < ɛ 4(b ) si n N, x [, b], (9.5) de donde obtenemos f(x) < f N (x) + ɛ 4(b ) pr todo x [, b], de modo que f es cotd. Pr n N definimos g n = f f n. A prtir de (9.5) obtenemos que si E [, b] no es vcío, ɛ 4(b ) m(g ɛ n, E) M(g n, E) 4(b ) si n N, donde m(g n, E) = infg n (x): x E} y M(g n, E) = supg n (x): x E}. Por lo tnto pr culquier P P[, b] S(P, g n ) I(P, g n ) ɛ 2 si n N y demás S(P, f n + g n ) S(P, f n ) + S(P, g n ) I(P, f n + g n ) I(P, f n ) + I(P, g n ). Escogemos n N y lo fijmos. Como f n R[, b] existe P P[, b] tl que S(P, f n ) I(P, f n ) < ɛ 2

9.5. INTEGRACIÓN DE SUCESIONES DE FUNCIONES. 169 de donde obtenemos S(P, f) I(P, f) = S(P, f n + g n ) I(P, f n + g n ) S(P, f n ) I(P, f n ) + S(P, g n ) I(P, g n ) < ɛ de modo que f R[, b]. Además, por (9.5) y monotoní, si n N y entonces si n N. Por lo tnto f f n dx (f f n )dx y esto concluye l demostrción. f n dx ɛ 4(b ) dx = ɛ 4 f f n dx < ɛ fdx Corolrio 9.1 Si (f n ) es un sucesión de funciones en C[, b] que converge uniformemente en [, b] f : [, b] R, entonces f R[, b] y lim n f n dx = lim f n dx = n fdx. Ejercicios 9.5 1. Se (f n ) un sucesión de funciones reles y continus que converge uniformemente en [, b] f. Definimos F n y F en [, b] por F n (x) = x f ndt, F (x) = fdt pr x [, b]. Demuestre que Fn converge uniformemente F en [, b]. x 2. Considere ls siguientes sucesiones de funciones en [, 1] () f n (x) = n 2 x si x 1 n ; (b) f n (x) = n 2 (x 2 n ) si 1 n x 2 n : (c) f n(x) = si 2 n x 1. En cd cso dibuje l gráfic de f n, hlle el límite de l sucesión (f n ) y clcule 1 fn(x)dx. Qué concluye? 3. Si g es un función rel y continu definid sobre [, b] y (f n ) es un sucesión de funciones reles y continus que converge uniformemente en [, b] f, entonces lim n f n(x)g(x)dx = f(x)g(x)dx. 4. Supong que g y f n, n N, están definids sobre (, ), son integrbles sobre [t, T ] pr culesquier < t < T <, f n g, f n f uniformemente en culquier subconjunto compcto de (, ) y g(x)dx <. Pruebe que lim n f n (x)dx = f(x)dx.

17 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES 5. Pr ls siguientes sucesiones de funciones f n : [, 1] R clcule lím n f n(x) y determine si l convergenci es uniforme. Determine tmbién si es posible intercmbir límites e integrles. ) f n (x) = nx (1 + n 2 x 2 ), b) f n 2 x n(x) = 2 (1 + n 2 x 2 ) 2 6. Se (f n ) un sucesión de funciones reles continus definids en [, 1] y supong que f n f uniformemente en [, 1]. Es cierto que 1 1/n lím n f n (x) dx = 1 f(x) dx? 9.6. Convergenci Acotd Definición 9.3 Se (f n ) un sucesión de funciones definids en un conjunto E. Decimos que (f n ) es cotd (puntulmente) en E si pr cd x E l sucesión de números reles (f n (x)) es cotd, es decir, existe un función φ : E R tl que f n (x) φ(x), x E, n 1. Decimos que (f n ) es uniformemente cotd en E si existe un número M tl que f n (x) M, x E, n 1. Definición 9.4 Un sucesión de funciones (f n ) converge cotdmente en T si (f n ) converge puntulmente y es uniformente cotd. Teorem 9.7 (Arzelá) Se (f n ) un sucesión que converge cotdmente f en [, b] y supongmos que cd f n es integrble según Riemnn en [, b] y tmbién f R[, b]. Entonces lim n f n (x) dx = lim f n(x) dx = n f(x) dx. Demostrción. Se g n (x) = f n (x) f(x), demostrremos que lim n g n (x) dx =. Pr esto vmos definir un nuev sucesión de funciones (h n ) de l siguiente mner: Observmos que h n (x) = supg n (x), g n+1 (x),... } si x [, b], n 1. g n (x) h n (x), h n+1 (x) h n (x), lim n h n(x) =.

9.6. CONVERGENCIA ACOTADA 171 Por lo tnto g n (x) dx = g n (x) dx h n (x) dx I n. Est últim integrl inferior existe porque ls h n son funciones cotds en [, b]. Sin embrgo, h n puede no ser integrble según Riemnn. Por otro ldo g n sí es integrble según Riemnn. Pr demostrr el teorem bst con ver que I n cundo n. Observmos que est sucesión converge un límite no negtivo y que I n+1 I n. Se I = lim n I n. Vemos que l desiguldd I > nos llev un contrdicción. Supongmos que I >. Como I n I > I/2 pr todo n, existe un prtición P n de [, b] tl que l sum inferior de Riemnn I(P n, h n ) stisfce I(P n, h n ) > I/2. (9.6) Se ε = I/2(M + b ) donde M es un cot uniforme pr (h n ) en [, b]. Entonces l sum inferior I(P n, h n ) se puede dividir en dos prtes de l siguiente mner: I(P n, h n ) = m i (h n ) x i + m i (h n ) x i i A(n) i/ A(n) donde A(n) = i : m i (h n ) > ε}. L ecución (9.6) implic I 2 < i A(n) M x i + ε i / A(n) x i M i A(n) x i + ε(b ), de donde obtenemos que i A(n) x i > ε. Como el refinmiento de un prtición ument ls sums inferiores, no hy pérdid de generlidd en suponer que ls prticiones son monótons: P n P n+1. Se S n l unión de los subintervlos [x i 1, x i ] de P n pr los cules i A(n). Entonces S n es cerrdo y x i > ε. i A(n) Esto implic que hy l menos un x que pertenece infinitos conjuntos S n y pr este x tenemos que h n (x) > ε, lo que contrdice l hipótesis de que h n (x) cundo n pr todo x. Est contrdicción implic que I =. Ejercicios 9.6 1. Supong que l sucesión f n : E R converge uniformemente l función f. Demuestre que f es cotd si y solmente si existe N N tl que f n es cotd pr todo n N. En cso firmtivo demuestre que f = lim n f n. 2. Si l sucesión f n : E R es cotd y f n f uniformemente en E entonces f es cotd y (f n) es un sucesión uniformemente cotd.

172 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES 9.7. Equicontinuidd Nuestro objetivo hor es determinr bjo qué condiciones podemos grntizr que un colección E de funciones continus definids sobre un dominio común, tiene un subsucesión uniformemente convergente. Sbemos que pr un conjunto de números reles E l condición necesri y suficiente pr que tod sucesión x n E teng un subsucesión convergente es que el conjunto E se cotdo. En el cso de funciones est condición no es suficiente. Incluso si (f n ) es un sucesión uniformemente cotd de funciones continus definids sobre un conjunto compcto K, no necesrimente existe un subsucesión que converj puntulmente en K. Ejemplo 9.7 Se f n (x) = sen nx, pr x 2π, n 1. Supongmos que existe un sucesión (n k ) tl que (sen n k x) converge pr todo x [, 2π]. En ese cso se debe tener lim (sen n kx sen n k+1 x) =, pr x 2π. k Por lo tnto tmbién se tiene lim (sen n kx sen n k+1 x) 2 =, pr x 2π. k Por el teorem 9.7 esto implic que 2π lim k Sin embrgo, no es difícil demostrr que 2π lim k (sen n k x sen n k+1 x) 2 =. (sen n k x sen n k+1 x) 2 = 2π. y esto es un contrdicción que viene de suponer que existe un subsucesión convergente. L segund pregunt es si tod tod sucesión convergente contiene un subsucesión uniformemente convergente. El siguiente ejemplo muestr que esto no es cierto en generl, ún si l sucesión es uniformemente cotd en un conjunto compcto. Ejemplo 9.8 Se n 2 x pr x 1/n 2, f n (x) = n2 x n n 1 pr 1/n 2 x 1/n, pr 1/n x 1.

9.7. EQUICONTINUIDAD 173 Pr est sucesión de funciones se tiene que f n (x) 1, de modo que (f n ) es uniformemente cotd en [, 1] y se tiene que lim n f n (x) = pr todo x [, 1]. Sin embrgo, f n ( 1 n 2 ) = 1, n 1, de modo que ningun subsucesión puede converger uniformemente en [, 1]. El concepto que necesitmos pr responder ests pregunts es el de equicontinuidd. Definición 9.5 Se F un conjunto de funciones reles definids sobre un dominio común E. Decimos que F es equicontinu si ddo culquier ε > existe δ > tl que si x, y E pr tod f F x y < δ f(x) f(y) < ε, Como vemos, est condición es más fuerte que continuidd uniforme, porque se pide que ddo ε > exist un δ que sirv pr tods ls funciones de l fmili F. Por lo tnto, tod función en un fmili equicontinu, es uniformemente continu. Ejemplos 9.9 1. L sucesión de funciones continus f n (x) = nx definids en todo R no es equicontinu en ningún punto x R. En efecto, ddo ε = 1/2 pr culquier δ > podemos hllr n N tl que (1/n) < δ y en este cso el punto y = x + (1/n) cumple y x < δ pero f n (y) f n (x) = 1 > ε. 2. Se F un conjunto de funciones derivbles en un intervlo I tles que f (x) c pr ciert constnte c > pr tod f F y todo x I. Entonces F es equicontinu. En efecto, se x I, ddo ε > tomemos δ = ε/c. Si y I con x y < δ entonces por el Teorem del Vlor Medio tenemos que f(y) f(x) c y x < ε pr tod f F. Teorem 9.8 Si un sucesión equicontinu de funciones f n : E R converge puntulmente en un subconjunto denso D E, entonces converge uniformemente en cd subconjunto compcto K E. Demostrción. Ddo ε > demostrremos que existe N N tl que m, n N f m (x) f n (x) < ε x K,

174 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES y por el criterio de Cuchy pr convergenci uniforme esto es suficiente pr demostrr el teorem. Como l sucesión (f n ) converge puntulmente en D, pr todo d D existe N d N tl que m, n N d f m (d) f n (d) < ε 3. (9.7) Por otro ldo l equicontinuidd de l sucesión de funciones implic que pr todo y K existe un intervlo bierto J y de centro y tl que x, z E J y f n (x) f n (z) < ε, n N. (9.8) 3 Como K es c ompcto y y J y es un cubrimiento bierto de K, podemos extrer un subcubrimiento finito: K J 1 J r. Como D es denso en E, en cd bierto J i podemos escoger d i J i D. Se N = máxn d1, N d2,..., N dr }, entonces si m, n N y x K existe i tl que x J i y en consecuenci f m (x) f n (x) f m (x) f m (d i ) + f m (d i ) f n (d i ) + f n (d i ) f n (x) Usndo (9.7) y (9.8) obtenemos que m, n N, x K f m (x) f n (x) < ε. Teorem 9.9 Se E R un conjunto numerble. Tod sucesión cotd de funciones f n : E R tiene un subsucesión que converge puntulmente. Demostrción. Se E = x 1, x 2... }. L sucesión de números reles (f n (x 1 )) n 1 es cotd y por lo tnto posee un subsucesión convergente. Por lo tnto hy un sucesión (n (1) k ) de números nturles tl que existe 1 = lim f k n (1) k (x 1 ). Ahor considermos l sucesión (f (1) n (x 2 )) k 1, que tmbién es un sucesión k cotd de números reles y por lo tnto tiene un subsucesión convergente. Es decir, existe (n (2) k ) subsucesión de (n(1) k ) tl que existe 2 = lim f k n (2) k (x 2 ). Procediendo inductivmente de est mner pr cd nturl i obtenemos un sucesión (n (i) k ), que es subsucesión de (n(i 1) k ), tl que existe i = lim f k n (i) k (x i ).

9.7. EQUICONTINUIDAD 175 Definimos hor un nuev sucesión infinit (m i ) i 1 tomndo como i-ésimo elemento el número n (i) i, es decir, el i-ésimo elemento de l i-ésim sucesión. L sucesión de funciones (f mi ) i 1 converge en todos los puntos de E porque pr culquier punto x r E, l sucesión (f mi (x r )) i 1 es, prtir del r-ésimo elemento, un subsucesión de (f (r) n (x r )) i 1, que converge r. i Teorem 9.1 (Arzelá-Ascoli) Se E R un conjunto compcto. Tod sucesión equicontinu y cotd de funciones f n : E R tiene un subsucesión uniformemente convergente. Demostrción. Como E es compcto tiene un subconjunto numerble y denso D E. Por el teorem 9.9, (f n ) tiene un subsucesión que converge puntulmente en D. Est mism subsucesión converge uniformemente en E por el teorem 9.8. Teorem 9.11 Se F un fmili de funciones continus definids en un conjunto compcto K R. Ls siguientes proposiciones son equivlentes (1) F es equicontinu y uniformemente cotd. (2) F es equicontinu y cotd. (3) Tod sucesión de funciones f n F tiene un subsucesión uniformemente convergente. Demostrción. Es evidente que (1) (2) y por el teorem nterior tenemos que (2) (3). Flt demostrr que (3) (1). Supongmos que esto es flso, entonces: (3) es cierto pero existe un punto x K en el cul F no es equicontinu, es decir, existe ε > pr el cul podemos obtener un sucesión de puntos x n K con x n x < 1/n y funciones f n F tles que f n (x n ) f n (x ) ε, n 1. Psndo un subsucesión si es necesrio, por l hipótesis (3), tenemos que f n f uniformemente en K. Entonces l sucesión (f n ) es equicontinu: Existe δ > tl que x K, x x < δ f n (x) f n (x ) ε pr todo n N. En prticulr, si tommos n > 1/δ obtenemos que x n x < δ, de donde f n (x n ) f n (x ) < ε, lo que es un contrdicción. Por lo tnto (3) implic que F es equicontinu. Finlmente vemos que F es uniformemente cotd. Si no fuese sí, pr cd n podrímos hllr un función f n F tl que sup x K f n (x) > n. En consecuenci ningun subsucesión serí uniformemente cotd, y esto contrdice l hipótesis en virtud del ejercicio 9.6.2.

176 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Ejercicios 9.7 Pr lgunos de los siguientes ejercicios necesitmos l siguiente definición. Un fmili F de funciones reles definids en un conjunto E de un espcio métrico X es equicontinu en un punto x E si ddo ε > existe δ > tl que f(x) f(y) < ε siempre que d(x, y) < δ, y E y f F. Si est condición se cumple en todos los puntos del conjunto E decimos que F es equicontinu puntulmente en E. 1. Si los conjuntos de funciones reles F 1,..., F n definids sobre un dominio común E son equicontinuos en el punto x, entonces l unión F 1 F n es equicontinu en x. 2. Demuestre que l sucesión de funciones del ejemplo 9.8 es equicontinu en todo punto mientrs que l del ejemplo 9.7 no lo es en ningún punto. 3. L sucesión de funciones f n (x) = nx 2 posee derivds cotds en pero no es equicontinu en ese punto. 4. Si un sucesión de funciones continus F n : E R converge uniformemente f : E R, entonces el conjunto F = f, f 1,..., f n,... } es equicontinuo. 5. Un conjunto de polinomios de grdo menor o igul que k uniformemente cotdos en un intervlo compcto es equicontinuo en ese intervlo. 6. Decimos que un sucesión de funciones f n : E R converge debilmente un función f : E R si f n (x) f(x) en todo punto x E en el cul f se continu. Se D R denso. Demuestre que si un sucesión de funciones monótons f n : R R converge puntulmente en D un función f : R R entonces (f n) converge debilmente f en R. 7. Tod sucesión cotd de funciones monótons f n : R R tiene un subsucesión que converge debilmente un función monóton f : R R, l cul se puede tomr continu por l derech. (Sugerenci: use el teorem 9.9). 8. Se (f n ) un sucesión equicontinu y cotd definid en un compcto E R. Si tod subsucesión uniformemente convergente en E tiene el mismo límite f : E R entonces f n f uniformemente en E. 9. Dd un sucesión de funciones dos veces diferencibles f n : E R donde E es un intervlo, supong que f n f puntulmente en E, que (f n(x )) es cotd pr lgún x E y que (f n ) es uniformemente cotd en E. Demuestre que f C 1. 9.8. El Teorem de Aproximción de Weierstrss Definimos l sucesión ϕ n (x) = µ n (1 x 2 ) n si 1 x 1 en otro cso, donde µ n = 1 3 5 7 (2n + 1) 2 2 4 6 2n

9.8. EL TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS177 se escoge de modo que ϕ n (x) dx = 1. (9.9) A medid que n crece ests funciones se concentrn más y más lrededor del origen. Lem 9.1 Pr todo ε > y todo δ > existe un entero N tl que pr n N, δ 1 1 ε < δ δ ϕ n (x) dx + ϕ n (x) dx 1, (9.1) 1 δ ϕ n (x) dx < ε. (9.11) Demostrción. Comenzmos con l demostrción de (9.11). Y que l función ϕ n es simétric, bst considerr el cso x. Como 1 x 2 1 x pr x 1, tenemos 1 (1 x 2 ) n dx 1 (1 x) n dx = 1 n + 1 y en consecuenci µ n (n + 1)/2. Por lo tnto tenemos, pr δ x 1 ϕ n (x) ϕ n (δ) n + 1 (1 δ 2 ) n. 2 Pero (n + 1)(1 δ 2 ) n y en consecuenci, pr n suficientemente grnde ϕ n (x) ε/2 pr δ x 1. Ahor (9.11) se obtiene prtir de ls propieddes de l integrl. Ls desigulddes en (9.1) se obtienen restndo (9.11) de (9.9). Un sucesión que stisfce (9.9), (9.1) y (9.11) se conoce como un sucesión de Dirc. Teorem 9.12 (de Aproximción de Weierstrss) Se f : [, b] R un función continu. Pr todo ε > existe un polinomio p(x) tl que p(x) f(x) < ε pr todo x [, b] (9.12) Demostrción. Podemos suponer que < < b < 1 pues en cso contrrio podemos usr un trnsformción de l form x α + βx pr constntes decuds α y β. Luego extendemos f(x) un función continu en [, 1], por ejemplo poniendo f(x) = f() pr x < y f(x) = f(b) pr b < x 1. Ahor, pr ξ [, b] definimos p n (ξ) = 1 1 f(x)ϕ n (x ξ) dx = µ n f(x)(1 (x ξ) 2 ) n dx. (9.13)

178 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Pr clculr el error cometido l proximr f(ξ) por p n (ξ) usmos l desiguldd tringulr f(ξ) p n (ξ) + 1 ξ+δ + f(ξ) f(x)ϕ n (x ξ) dx ξ δ ξ+δ f(x)ϕ n (x ξ) dx ξ δ ξ+δ ξ δ ξ+δ ξ δ f(x)ϕ n (x ξ) dx f(ξ)ϕ n (x ξ) dx ϕ n (x ξ) dx f(ξ). (9.14) Ahor fijmos ε >. Como f es continu en [, 1], es uniformemente continu y por lo tnto existe δ > independiente de ξ tl que x ξ < 2δ f(x) f(ξ) < ε. (9.15) Podemos escoger δ de modo que δ y δ 1 b. Por lo tnto siempre tenemos que [ξ δ, ξ + δ] [, 1]. Además l función f(x) es cotd: existe M tl que f(x) M pr todo x [, 1]. Los tres términos l derech de l ecución (9.14) se pueden cotr de l siguiente mner: Pr el primero usmos l cotción de f y l ecución (9.11): ξ δ 1 f(x)ϕ n (x ξ) dx + δ 1 ξ+δ f(y + ξ) ϕ n (y) dy + f(x)ϕ n (x ξ) dx 1 δ f(y + ξ) ϕ n (y) dy Mε. (9.16) De mner similr se cot el tercer término. Finlmente el segundo término está cotdo por ξ+δ ξ δ En consecuenci tenemos f(x) f(ξ) ϕ n (x ξ) dx ε. f(ξ) p n (ξ) (2M + 1)ε pr n suficientemente grnde. Esto demuestr el teorem. Corolrio 9.2 Pr todo intervlo [, ] existe un sucesión (p n ) de polinomios reles que converge x uniformemente en [, ] pr los cules se tiene que p n () =. Demostrción. Por el teorem nterior existe un sucesión de polinomios (p n) que converge x uniformemente en [, ]. En prticulr p n() cundo n. Los polinomios p n (x) = p n(x) p n() tienen ls propieddes deseds.

9.8. EL TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS179 Definición 9.6 Un fmili de funciones reles A definids en un conjunto E es un álgebr si pr f, g A, λ R se tiene que 1. f + g A. 2. fg A. 3. λf A. Si demás se tiene que f A siempre que f se el límite uniforme de l sucesión (f n ) con f n A decimos que A es uniformemente cerrd. Se B el conjunto de ls funciones que son límite de sucesiones uniformemente convergentes de elementos de A. Decimos que B es l clusur uniforme de A. Por ejemplo, el conjunto de los polinomios es un álgebr y el teorem de proximción de Weierstrss dice que l clse de ls funciones continus en [, b] es l clusur uniforme del conjunto de los polinomios en [, b]. Teorem 9.13 Se B l clusur uniforme de un álgebr A de funciones cotds. Entonces B es un álgebr uniformemente cerrd. Demostrción. Si f, g B existen sucesiones (f n ), (g n ) que convergen uniformemente f y g respectivmente y f n A, g n A. Como ls funciones son cotds es fácil mostrr que f n + g n f + g, f n g n fg, λf n λf, donde λ R y l convergenci es uniforme en todos los csos. En consecuenci f + g B, fg B y λf B, de modo que B es un álgebr. Por lo tnto, B es uniformemente cerrd. Definición 9.7 Se A un fmili de funciones definids sobre un conjunto E. Decimos que A sepr puntos en E si pr todo pr de puntos distintos x, y en E existe un función f A tl que f(x) f(y). Si pr cd punto x E existe un función g A tl que g(x), decimos que A nunc se nul en E. El álgebr de los polinomios de un vrible tiene ests propieddes en R. Un ejemplo de un álgebr que no sepr puntos en el conjuntos de los polinomios de grdo pr en [ 1, 1], y que f( x) = f(x) pr tod función pr f. Teorem 9.14 Se A un álgebr de funciones en un conjunto E tl que A sepr puntos en E y A no se nul en ningún punto de E. Se x, y puntos distintos de E y λ, µ constntes. Entonces A contiene un función f tl que f(x) = λ, f(y) = µ.

18 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Demostrción. Por hipótesis podemos encontrr funciones g, h y k tles que Ponemos g(x) g(y), h(x), k(y). u = gk g(x)k, v = gh g(y)h. Entonces u, v A, u(x) = v(y) =, u(y) y v(x). Por lo tnto f = λv v(x) + µu u(y) tiene ls propieddes que buscmos. Teorem 9.15 (Stone-Weierstrss) Se A un álgebr de funciones reles continus sobre un conjunto compcto K. Si A sepr puntos en K y si A no se nul en ningún punto de K, entonces l clusur uniforme B de A consiste de tods ls funciones reles y continus sobre K. Demostrción. Dividimos l prueb en cutro psos. Pso 1. Si f B entonces f B. Demostrción. Se = sup x K f(x) y se ε > ddo. Por el corolrio 9.2 existen números reles c 1,..., c n tles que n c i y i y < ε, pr y. (9.17) i=1 Como B es un álgebr, l función g(x) = n c i f i (x) i=1 pertenece B. Por l definición de y (9.17) tenemos g(x) f(x) < ε pr x K. Como B es uniformemente cerrd esto muestr que f B. Pso 2. Si f, g B entonces máx(f, g) B y min(f, g) B. Demostrción. El pso 2 sigue del pso 1 y ls identiddes máx(f, g) = f + g f g +, 2 2 min(f, g) = f + g f g. 2 2 Iterndo el resultdo puede extenderse culquier conjunto finito de funciones: Si f 1,... f n B entonces máx(f 1,..., f n ) B y min(f 1,..., f n ) B.

9.8. EL TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS181 Pso 3. Dd un función rel f, continu sobre K, un punto x K, y ε >, existe un función g x B tl que g x (x) = f(x) y g x (t) > f(t) ε pr todo t K. (9.18) Demostrción. Como A B y A stisfce ls hipótesis del teorem 9.14, tmbién ls stisfce B. Por lo tnto pr todo y K podemos hllr un función h y B tl que h y (x) = f(x), h y (y) = f(y). (9.19) Por l continuidd de h y existe un conjunto bierto J y que contiene y tl que h y (t) > f(t) ε pr t J y. (9.2) Como K es compcto, existe un conjunto finito de puntos y 1,..., y n tl que Ponemos K J y1 J yn. (9.21) g x = máx(h y1,..., h yn ). Por el segundo pso, g B y ls relciones (9.19) (9.21) muestrn que g x tiene ls demás propieddes. Pso 4. Dd un función rel f continu en K, y ε >, existe un función h B tl que h(x) f(x) < ε pr todo x K (9.22) Como B es uniformemente cerrd, esto es equivlente l conclusión del teorem. Demostrción. Consideremos ls funciones g x pr x K que construimos en el pso nterior. Por l continuidd de g x existen conjuntos biertos V x que contienen x tles que g x (t) < f(t) + ε pr todo t V x. (9.23) Como K es compcto, existe un conjunto finito de puntos x 1,..., x m tles que K V x1 V xm. (9.24) Ponemos h = min(g x1,..., g xm ). Por el pso 2, h B y por (9.18) mientrs que (9.23) y (9.24) implicn h(t) > f(t) ε pr t K, (9.25) h(t) < f(t) + ε pr t K. (9.26) Finlmente (9.22) sigue de (9.25) y (9.26).

182 CAPÍTULO 9. SUCESIONES DE FUNCIONES Ejemplo 9.1 El siguiente ejemplo muestr que l hipótesis de compcidd en K es importnte. Consideremos un conjunto K que no se compcto, por ejemplo K = R y se x n un sucesión que no tiene ningun subsucesión convergente, por ejemplo x n = n. Considermos A = f C(R) : lim n f(x n ) existe }. Si b son números reles escogemo N N tl que n siempre que n > N y definmos el conjunto E = b} x n : n > N} y l función f(x) = dist(x, E) dist(x, ) + dist(x, E) entonces f() = 1, f(b) =, f C(R y lim n f(x n ) =. Por lo tnto f A y A sepr puntos. Por otro ldo, como A contiene l función 1, A no se nul en ningún punto de R. Vemos que l clusur uniforme de A no es C(R). Se S = x 2k, k N}, T = x 2k 1, k N} y g(x) = dist(x, T ) dist(x, T ) + dist(x, S). Entonces g (R) y g(x) = 1 si x S mientrs que g(x) = si x T, de modo que l sucesión g(x n ) no converge cundo n y por lo tnto no puede proximrse de mner uniforme por un función en A. De hecho, g f 1/2 pr tod f A. Ejercicios 9.8 1. Demuestre que ϕ n (x) = ( n ) 1/2 e nx2, n 1, π es un sucesión de Dirc, es decir, stisfce ls condiciones (9.9), (9.1) y (9.11). Est fue l sucesión que Weierstrss usó en su demostrción. 2. Se ϕ n(x) = n si x 1/2n, en otro cso. Demuestre que pr tod función continu f(x) se tiene pr todo ξ (, b). lim n 3. Se p = y defin pr n ϕ n(x ξ)f(x)dx = f(ξ) p n+1(x) = p n(x) + 1 2 (x2 p n(x)). Demuestre que p n (x) x uniformemente en [ 1, 1]. (Ayud: Use l identidd x p n+1 (x) = ( x p n (x) )( 1 1 ) 2 ( x + p n(x))

9.8. EL TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS183 pr demostrr que p n(x) p n+1(x) x si x 1, y que si x 1). ( x p n (x) x 1 x 2 ) n < 2 n + 1 4. Use el Teorem de Aproximción de Weierstrss e inducción pr demostrr que si f tiene k derivds continus en un intervlo [, b] entonces existe un sucesión de polinomios (p n) que stisfcen p n f uniformemente en [, b] p n f uniformemente en [, b]. p (k) n f (k) uniformemente en [, b] 5. Se A un conjunto y 1 A l función indicdor de A: 1 si x A 1 A (x) = si x / A Decimos que l función g es simple si se puede escribir como g(x) = n c j 1 Aj, j=1 con A j = [ j, b j]. Demuestre que un función continu en el intervlo [, b] es el límite uniforme de funciones simples. 6. Si f es un función continu en [, b] y si f(x)p(x) dx = pr todo polinomio p, demuestre que f debe ser idénticmente igul cero.