Cpítulo IV Integrción Numéric IV.1. Cudrturs: Regls Simples L fórmuls de cudrtur o regls simples se obtienen por medio de interpolción polinomil: l función integrr se muestre, es decir, se tomn puntos de l función (x, y ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) donde y k = f(x k ) pr k =,..., n, se determin el polinomio interpolnte p n (x) de grdo lo más n pr esos puntos, y finlmente se integr. Intuitivmente, si p n (x) es un buen proximción de f(x), entonces su integrl p n(x)dx debe ser un buen proximción de f(x)dx. Regl del Trpecio Pr comenzr, sólo dos puntos (, f()) y (b, f(b)) e interpolción linel result en f(x)dx b (f() + f(b)) Est es l regl del trpecio: proxim l integrl por medio del áre bjo el trpecio determindo por l interpolción linel. Cso Generl Pr el cso generl, es conveniente usr el método de interpolción de Lgrnge. Pr los puntos (x, y ),..., (x n, y n ), con y k = f(x k ) el polinomio de interpolción está ddo por donde p n (x) = L n,k (x) = n y k L n,k (x) k= j k (x x j) j k (x k x j ) IV.1
IV. CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA De est representción, integrndo, obtenemos f(x)dx = = = p n (x)dx ( n ) y k L n,k (x) dx k=1 n ( k= n w k y k k= ) L n,k (x)dx y k donde w k = L n,k (x)dx. Note que estos pesos w k dependen sólo de los nodos, no de l función. L sum Q[f] = n w k f k k= se llm un fórmul de cudrtur. Regl de Simpson Consideremos el cso de interpolción cudrátic. Se tienen tres nodos x =, x 1 = ( + b)/ y x = b. Por convenienci, se h = (b )/, de tl form que x k = + kh, k =, 1,. Entonces los tres pesos w, w 1, w están ddos por w = w 1 = w = x (x x 1 )(x x ) x (x x 1 )(x x ) dx = x (x x )(x x ) x (x 1 x )(x 1 x ) dx = x (x x )(x x 1 ) x (x x )(x x 1 ) dx = h h h (x h)(x h) dx ( h)( h) = 1 [ ] x 3 h h 3 x 3h + h x = 1 3 h x(x h) (h)( h) dx = 1 [ ] x 3 h h 3 x h = 4 3 h x(x h) (h)(h) dx = 1 [ ] x 3 h h 3 x h = 1 3 h (ls segunds integrles se hn obtenido por medio de un trnslción). Un form lterntiv de obtenerlos w k, que result más fácil de sistemtizr pr obtener regls de más lto orden, es l siguiente. Primero, como l trnslción de l integrl rrib lo demuestr, podemos sumir que el intervlo de interés es [, b] = [, h] y x k = kh, k =, 1,. Como estmos usndo interpolción
IV.1. CUADRATURAS: REGLAS SIMPLES IV.3 cudrátic, l interpolción y por lo tnto l integrl obtenid con l fórmul de cudrtur deben ser excts. Así que pr f(x) = x k, k =, 1, se debe tener que, pr j =, 1,, h [ x w k x j k = x j j+1 dx = j + 1 k= Ests tres ecuciones explícitmente son y cncelndo h s ] h w +w 1 +w = h +w 1 h +w (h) = h +w 1 h +w (h) = 8 3 h3 w +w 1 +w = h +w 1 +w = h +w 1 +4w = 8h 3 = (h)j+1 j + 1 L solución es w = h/3, w 1 = 4h/3 y w = h/3, igul lo obtenido por medio de ls integrles nteriormente. L cudrtur que se obtiene se llm l regl de Simpson: x x f(x)dx h 3 (f + 4f 1 + f ) Solución Generl Generlizndo, con x k = kh, k =, 1,..., n, obtenemos, pr j =, 1,..., n, n nh [ ] x w k x j k = x j j+1 nh dx = = (nh)j+1 j + 1 j + 1 y de quí, k= n k= w k (kh) j = (nh)j+1 j + 1. Cncelndo h j y con w k = w k /h, se obtiene el sitem de ecuciones n k= w k k j = nj+1, pr j =, 1,..., n, j + 1 que en form expndid es 1 1 1 1 1 n 1 4 n....... 1 n n n w w 1 w. w n = n n n 3 3. n n+1 n+1
IV.4 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Note que l mtriz de coeficientes es un mtriz de Vndermonde. Podemos usr Mtlb pr solucionr estos sistems de ecuciones. Con l siguiente función function cudrtur(n) for n=1:n nn=(n+1):-1:1; b=((n.^nn)./nn) ; V= (vnder(:1:n)) ; c= (V\b) end obtenemos >> cudrtur(6) c = 1/ 1/ c = 1/3 4/3 1/3 c = 3/8 9/8 9/8 3/8 c = 14/45 64/45 8/15 64/45 14/45 c = 95/88 15/96 15/144 15/144 15/96 95/88 c = 41/14 54/35 7/14 68/35 7/14 54/35 41/14 Ls dos primers soluciones son ls regls del trpecio y de Simpson. Ls dos siguientes se llmn regls de Simpson de 3/8 y de Boole: Regl de Simpson-3/8 x3 x f(x)dx = 3h 8 (f + 3f 1 + 3f + f 3 ) Regl de Boole x4 x f(x)dx = h 45 (7f + 3f 1 + 1f + 3f 3 + 7f 4 ) Ejemplo. En este ejemplo desemos proximr ln 5 por medio de l integrl 5 dx. Ls 1 x gráfics muestrn ls interpolciones de grdos 1 4. Los resultdos obtenidos con Mtlb muestrn pr cd vlor de n, el vlor de h y de l cudrtur, y un tbl con los vlores del índice k y x k, y k w k y w k y k. El vlor de l cudrtur es, pr cd n, l sum de l últim column (vlores w k y k ) multiplicd por h.
IV.1. CUADRATURAS: REGLAS SIMPLES IV.5 Figur IV.1: Integrción con ls regls del trpecio, Simpson, Simpson 3/8 y Boole. >> cudrturf(8) n = 1 h = 4 cud = 1/5 [k x y w w*y] = 1 1 1/ 1/ 1 5 1/5 1/ 1/1 n = h = cud = 76/45 [k x y w w*y] = 1 1 1/3 1/3 1 3 1/3 4/3 4/9 5 1/5 1/3 1/15 n = 3 h = 4/3 cud = 636/385 [k x y w w*y] = 1 1 3/8 3/8 1 7/3 3/7 9/8 7/56 11/3 3/11 9/8 7/88 3 5 1/5 3/8 3/4 n = 4 h = 1 cud = 364/5 [k x y w w*y] =
IV.6 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 1 1 14/45 14/45 1 1/ 64/45 3/45 3 1/3 8/15 8/45 3 4 1/4 64/45 16/45 4 5 1/5 14/45 14/5 n = 5 h = 4/5 cud = 83/19 [k x y w w*y] = 1 1 95/88 95/88 1 9/5 5/9 15/96 65/864 13/5 5/13 15/144 65/187 3 17/5 5/17 15/144 65/448 4 1/5 5/1 15/96 65/16 5 5 1/5 95/88 19/88 n = 6 h = /3 cud = 66/411 [k x y w w*y] = 1 1 41/14 41/14 1 5/3 3/5 54/35 16/175 7/3 3/7 7/14 81/98 3 3 1/3 68/35 68/15 4 11/3 3/11 7/14 81/154 5 13/3 3/13 54/35 16/455 6 5 1/5 41/14 41/7 n = 7 h = 4/7 cud = 75/179 [k x y w w*y] = 1 1 173/357 173/357 1 11/7 7/11 81/559 59/55 15/7 7/15 343/64 6/399 3 19/7 7/19 649/536 1113/495 4 3/7 7/3 649/536 646/1753 5 7/7 7/7 343/64 467/3361 6 31/7 7/31 81/559 551/1684 7 5 1/5 173/357 193/317 n = 8 h = 1/ cud = 433/69 [k x y w w*y] = 1 1 499/1788 499/1788 1 3/ /3 1183/71 1183/168 1/ -353/1348-353/696 3 5/ /5 388/131 776/655 4 3 1/3-1317/18-439/18 5 7/ /7 388/131 765/94 6 4 1/4-353/1348-353/539 7 9/ /9 1183/71 1183/34 8 5 1/5 499/1788 97/531 Finlmente, l tbl siguiente muestr ls cudrturs y el error resultntes pr n = 1,,..., 1.
IV.. ERROR DE LAS REGLAS SIMPLES IV.7 n cudrtur error 1.4.7956875659 1.688888888888889.7945976454788 3 1.651948519485.45113951395 4 1.617777777777775.8339865343675 5 1.6147866493345.597145945 6 1.61741641999.1663398589 7 1.61988311895.8637683995 8 1.69665164576.71418661 9 1.69598154738391.1643491 1 1.6948778174419.4486574318 11 1.694675831611.96758 1 1.694411461854.1379746 IV.. Error de ls Regls Simples Dd un cudrtur el error de truncmiento es Q[f] = M w k f(x k ), k= E[f] = f(x)dx Q[f] IV..1. Grdo de Precisión El grdo de precisión de un fórmul de cudrtur es el entero positivo n tl que E[p] = pr todo polinomio p(x) de grdo n pero E[p n+1 ] pr lgún polinomio p n+1 (x) de grdo n + 1. Vemos el grdo de precisión de ls regls simples ntes derivds. En cd cso, obvimente, el grdo de precisión es l menos el grdo de l interpolción pr el cul se derivó l regl. Trpecio Por un prte Por otr prte h x dx = h3 3. Q T [x ] = h ( + h ) = h3 Puesto que estos dos resultdos son diferentes, el grdo de precisión de l regl del trpecio es 1.
IV.8 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Simpson Tenemos que h h x 4 dx = (h)5 5 = 3 5 h5 Q S [x 4 ] = h 3 ( + 4h4 + (h) 4 ) = 3 h5 x 3 dx = (h)4 4 = 4h 4 Q S [x 3 ] = h 3 ( + 4h3 + (h) 3 ) = 4h 4 Así que el grdo de l regl de Simpson es 3. Note que esto es uno más de lo que podímos esperr ddo que se obtuvo con interpolción cudrátic. Simpson 3/8 Tenemos que 3h x 4 dx = (3h)5 5 = 43 5 h5 ; Q S3/8 [x 4 ] = 3h 8 ( + 3h4 + 3(h) 4 + (3h) 4 ) = 99 h5 Así que el grdo de l regl de Simpson 3/8 es 3. Boole Tenemos que 4h x 5 dx = (4h)6 6 = 48 3 h6 ; Q B [x 5 ] = h 45 (7() + 3h5 + 1(h) 5 + 3(3h) 5 + 7(4h) 5 ) = 48 3 h6 4h x 6 dx = (4h)7 7 = 16384 7 h 7 ; Q B [x 6 ] = h 45 (7() + 3h6 + 1(h) 6 + 3(3h) 6 + 7(4h) 6 ) = 74 3 h7 Así que el grdo de l regl de Boole es 5. De nuevo uno más de lo que se podrí esperr ddo que el método se deriv de interpolción de grdo 4. IV... Regls Simples con Error Se puede usr el error de interpolción pr estimr el error de ls regls de cudrtur nteriores. Sin embrgo, procediendo de est mner no se obtiene l mejor estimción posible. Por ejemplo, pr l regl de Simpson se obtendrí que el error es proporcionl f (3) (c)h 4 pr lgún c [x, x ]. Pero hemos obtenido que est regl es exct pr polinomios de grdo 3, y consistente con esto se puede derivr (unque no lo hcemos quí) que el error es proporcionl f (4) (c)h 5 pr lgún c [x, x ], como se enunci en est sección. Regl del Trpecio x1 x f(x)dx = h (f + f 1 ) h3 1 f () (c) pr lgún c [x, x 1 ]
IV.. ERROR DE LAS REGLAS SIMPLES IV.9 Prueb: El error de interpolción linel en x está ddo por E 1 (x) = f(x) p 1 (x) = 1 f (ĉ(x))(x x )(x x 1 ) pr lgún ĉ(x) [x, x 1 ]. Entonces x1 1 E T [f] = x f (ĉ(x))(x x )(x x 1 )dx = 1 f (c) = 1 f (c) = 1 f (c) x1 x h = 1 1 f (c)h 3 (x x )(x x 1 )dx x(x h)dx [ 1 3 x3 1 x h donde en l segund líne se h usdo el teorem del vlor medio pr integrles con un función de peso (l función f (ĉ(x)) puede slir de l integrl como f (c) donde c = ĉ(ξ) pr lgún ξ [x, x 1 ]). Regl de Simpson ] h x x f(x)dx = h 3 (f + 4f 1 + f ) h5 9 f (4) (c) pr lgún c [x, x ] Regl de Simpson-3/8 x3 x f(x)dx = 3h 8 (f + 3f 1 + 3f + f 3 ) 3h5 8 f (4) (c) pr lgún c [x, x 3 ] Regl de Boole x4 x f(x)dx = h 45 (7f +3f 1 +1f +3f 3 +7f 4 ) 8h7 945 f (6) (c) pr lgún c [x, x 4 ] Ejemplo. Considermos de nuevo l proximción de ln 5 por medio de l integrl 5 dx. 1 x Se quiere determinr ls cots de error dds teórics de cuerdo ls fórmuls nteriores. Tenemos f(x) = 1 x ; f (x) = 1 x ; f (x) = x 3 ; f (3) (x) = 6 x 4 f (4) (x) = 4 ; f (5) (x) = 1 ; f (6) (x) = 7 x 5 x 6 x 7
IV.1 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Tods ests son decrecientes en vlor bsoluto y por lo tnto el máximo ocurre en x = 1, en cd cso. Así que E T (1/x, [1, 5]) h3 1 máx f () (x) = 43 x [1,5] 1 = 3 3 = 1,666666 E S (1/x, [1, 5]) h5 9 máx f (4) (x) = 5 384 4 = x [1,5] 9 45 = 8,533333 E S3/8 (1/x, [1, 5]) 3h5 8 máx f (4) (x) = 3(4/3)5 4 = 51 x [1,5] 8 135 = 3,7959 E B (1/x, [1, 5]) 8h7 945 máx f (6) (x) = 8 18 7 = x [1,5] 945 1 = 6,9538 Por otr prte, el vlor excto de l integrl es ln 5 = 1,69437914341 y el resultdo de ls regls del trpecio, de Simpson y de Boole son:,4, 1,6888888 y 1,61777777. Así que se observ que l cot de error está lejos del error rel. Esto se debe principlmente que ls derivds decrecen rápidmente pr x > 1 pero tommos el máximo en x = 1 pr l cot. IV.3. Regls Simples Abierts Ls regls nteriores son cerrds porque incluyen los extremos del intervlo como nodos. En ls regls bierts se omiten los extremos. Ls siguientes son ls primers tles regls, pr n nodos, con n = 1,, 3, 4, donde en cd cso = x, b = x n, y x, x, x 1,..., x n dividen [, b] en intervlos igules: x1 f(x)dx = hf(x ) + 1 x 3 f (c)h 3 x f(x)dx = 3h x (f(x ) + f(x 1 )) + 3 4 f (c)h 3 x3 f(x)dx = 4h x 3 (f(x ) f(x 1 ) + f(x )) + 14 45 f (4) (c) x4 f(x)dx = 5h x 4 (11f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) + 11f(x )) + 95 144 f (4) (c) IV.4. Regls Compuests Como ocurre en interpolción, en generl se prefiere dividir el intervlo de integrción en un número de subintervlos y plicr un regl simple de bjo orden en cd uno de ellos. Ls fórmuls resultntes se denominn regls compuests. Se [, b] el intervlo de integrción y M el número de subintervlos. Pr ls regls del trpecio, de Simpson y de Boole se obtienen ls siguientes regls compuests. Escribimos f k = f(x k ).
IV.4. REGLAS COMPUESTAS IV.11 Trpecio Se h = (b )/M y x k = + kh, k =, 1,..., M. Se plic l regl simple del trpecio en cd subintervlo [x k, x k+1 ] y se obtiene l regl compuest T (f, h) = h (f + f 1 + f + f 3 + + f M + f M + f M ) ( ) = h M f + f k + f M k=1 E T (f, h) = (b )f () (c) h = O(h ) pr lgún c [, b] 1 Simpson (1/3) Se h = (b )/M y x k = + kh, k =, 1,..., M. Se plic l regl simple del trpecio en cd subintervlo [x k, x k+ ] y se obtiene l regl compuest S(f, h) = h 3 ((f + 4f 1 + f ) + (f + 4f 3 + f 4 ) + + (f M + 4f M + f M )) = h 3 (f + 4f 1 + f + 4f 3 + f 4 + + f M + 4f M + f M ) ( ) = h M M f(x ) + f k + 4 f k+1 + f M 3 k=1 E S (f, h) = (b )f (4) (c) h 4 = O(h 4 ) pr lgún c [, b] 18 Boole k= Se h = (b )/4M y x k = + kh, k =, 1,..., 4M. Se plic l regl simple del trpecio en cd subintervlo [x 4k, x 4k+4 ] y se obtiene l regl compuest B(f, h) = h M (7f 4k + 3f 4k+1 + 1f 4k+ + 3f 4k+3 + 7f 4k+4 ) 45 k= ( = h 45 E B (f, h) = O(h 6 ) Ejemplo. 7f + 14 M k=1 M f 4k + 3 k= (f 4k+1 + f 4k+3 ) + 1 M k= f 4k+ + 7f 4M ) Se quiere proximr l integrl 5 exp( x /)dx por medio de (i) l regl compuest del trpecio con M = 1 y de (ii) l regl compuest de Simpson con
IV.1 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA M = 1. Pr cd cso, (iii) cuál es l cot teóric de error? (iv) cul debe ser el mínimo vlor de M pr grntizr error no myor que 5 1 9? Se f(x) = exp( x /). (i) Con M = 1, tenemos x k = k/, pr k =, 1,..., 1. Tenemos l tbl de vlores Entonces k x k f k 1, 1,5,884969 1,,665365 3 1,5,346546 4,,1353358 5,5,4393693 6 3,,111899 7 3,5,18749 8 4,,33546 9 4,5,46 1 5,,37 T (f,,5) =,5 (1 +,884969 +,665365 +,346546 +,1353358 +,4393693 +,111899 +,18749 +,33546 +,46 +,37) =,5 5,1355 = 1,533136 (ii) Usndo l mism tbl de vlores, tenemos S(f,,5) =,5 (1 + 4,884969 +,665365 + 4,346546 3 +,1353358 + 4,4393693 +,111899 + 4,18749 +,33546 + 4,46 +,37) =,16666667 7,51987997 = 1,5331333 (iii) Pr usr ls cots teórics, obtenemos ls derivds de f(x): f () (x) = exp( x /) f (1) (x) = ( x) exp( x /) f () (x) = ( + x ) exp( x /) f (3) (x) = (3x x 3 ) exp( x /) f (4) (x) = (3 6x + x 4 ) exp( x /) f (5) (x) = (5x + 1x 3 x 5 ) exp( x /)
IV.4. REGLAS COMPUESTAS IV.13 Pr l regl del trpecio E T (f, h) (b )h 1 máx f () (x) x [,5] Pr determinr el mx de f () (x) en [1, 5], encontrmos los puntos críticos de f () (x) igulndo cero f (3) (x): f (3) (x) = (3x x 3 ) exp( x /) = x = ó x = 3. Comprndo entonces f(), f( 3) y f(5), se encuentr que el máximo (en vlor bsoluto) está en x =. Así que máx x [,5] f () (x) = 1, y por lo tnto Pr l regl de Simpson E T (f,,5) 5 (,5) 1 1 =,14 E S (f, h) (b )h4 18 Similrmente, determinmos los puntos críticos máx f (4) (x) x [,5] f (5) (x) = (5x+1x 3 x 5 ) exp( x /) = x = ó x = 5± 1. En el segundo cso se tiene x 1,3556, x,857. Comprndo f (4) () = 3 f (4) (1,3556) =,8549 f (4) (,857) =,3487 se encuentr que máx x [,5] f (4) (x) = 3 y por lo tnto E S (f, h) 5(,5)4 18 3 =,58 (iv) Pr l regl del trpecio M debe ser tl que 5(5/M) 5 1 9 1 de donde 5 M 5 6 14 = 45643,54 Entonces se necesit M = 45644. Pr l regl del trpecio M debe ser tl que (5/M) 4 5 1 9 1 de donde M 5 1 = 159,73 61/4 Entonces se necesit M = 16.
IV.14 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Mtlb A continución ls rutins que implementn ls regls del trpecio y de Simpson compuests. function s = trprl (f,, b, M) % Entrd - f es ei integrndo introducido como cden de crcteres f % - y b son los limites superior e inferior de integrcion % - M es el numero de subintervlos % Slid - s es l sum de l regl trpezoidl (integrl) h = (b - ) / M; s = ; for k = 1:(M-1) x = + h * k; s = s + fevl(f, x); end s = h *(fevl(f, ) + fevl(f, b)) / + h * s; function s = simprl (f,, b, M) % Entrd - f es el integrndo introducido como cden de crcteres f % - y b son los limites superior e inferior de integrcion % - M es el numero de subintervlos % Slid - s es l sum de l regl de simpson h = (b - ) / ( * M); s1 = ; s = ; for k = 1:M x = + h * ( * k - 1); s1 = s1 + fevl(f, x); end for k = 1:(M-1) x = + h * * k; s = s + fevl(f, x); end s = h * (fevl(f, ) + fevl(f, b) + 4 * s1 + * s) / 3; IV.5. Regls Recursivs y Método de Romberg IV.5.1. Regls Recursivs Trpecio. Pr k =, 1,,..., el intervlo [, b] se subdivide en M k = k subintervlos de longitud h k = (b )/ k, y T (k) es el vlor de l regl del trpecio compuest pr estos k subintervlos. Ls bsciss pr T (k) son y los vlores de l función son x k,j = + jh k pr j =, 1,..., k, f k,j = f(x k,j ). Los vlores de ls regls del trpecio T (k) se pueden evlur itertivmente de l siguiente mner: T = h (f() + f(b))
IV.5. REGLAS RECURSIVAS Y MÉTODO DE ROMBERG IV.15 y pr k 1 T k = T (k 1) + h k M k j=1 f k,j. Prueb. Se verific teniendo en cuent que M k = M k y que los nodos de T k son los nodos pres de T k : es decir x k,j = x k,j, y por lo tnto f k,j = f k,j. Con esto, podemos escribir T k = h k = h k ( = 1 h k = T k f k, + f k, + ( + h k M k j=1 M k j=1 f k, + M k j=1 f k,j + f k,mk ) f k,j + f k,mk + h k M k j=1 f k,j. M k f k,j j=1 f k,j + f k,mk ) + h k M k j=1 f k,j Simpson. [, b] se subdivide en k = M, k 1, subintervlos. S k es el vlor de l regl de Simpson compuest con k subintervlos y h k = (b )/ k. Con un cálculo como el nterior, se obtiene l relción S k = 4T k T k 3 pr k = 1,, 3,... Es decir, por medio de está fórmul se obtiene l cudrtur de Simpson con error O(h 4 ) prtir de l del trpecio con error O(h ). Boole. [, b] se subdivide en k = 4M, k, subintervlos. B k es el vlor de l regl de Boole compuest con k subintervlos y h k = (b )/ k. De nuevo, con un cálculo como el nterior, se obtiene l relción B k = 16S k S k 15 pr k =, 3,... Así, se obtiene l cudrtur de Boole con error O(h 6 ) prtir de l de Simpson con error O(h 4 ). Lo nterior es un ejemplo del método de Romberg el cul describimos continución.
IV.16 IV.5.. Método de Romberg CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA El método de Romberg se origin en l siguiente fórmul del error pr l reg del trpecio: E T (f, h) = 1 h + h 4 + 3 h 6 + Y hbímos visto que este error es O(h ); lo crucil quí es que cundo se derivn los términos de más lto orden no precen potencis impres, y que los coeficientes i son independientes de h. Así que f(x)dx = T (f, h) + 1 h + h 4 + 3 h 6 + Escribiendo l mism relción pr h se obtiene f(x)dx = T (f, h) + 4 1 h + 16 h 4 + 64 3 h 6 + Multiplicndo por 4 l primer ecución y substryendo l segund se obtiene y (4 1) f(x)dx = 4T (f, h) T (f, h) + (4 16) h 4 + (4 64) 3 h 6 + f(x)dx = 4T (f, h) T (f, h) 4 1 + b h 4 + b 3 h 6 con b = (4 16)/(4 1), b 3 = (4 64)/(4 1), etc. De est form se h obtenido un nuev cudrtur con error O(h 4 ). De cuerdo con ls fórmuls recursivs derivds ntes, est nuev regl es simplemente l regl de Simpson, l cul sbemos tiene error O(h 4 ). Se puede continur de l mism mner obteniendo regls de error cd vez menor (l siguiente es l regl de Boole). Generlizndo lo nterior, se obtiene el siguiente procedimiento itertivo pr clculr un secuenci de cudrturs R k,j, j 1 y k j: primero y pr j y k j se tiene l relción R k,1 = T k pr k 1 R k,j = 4j R k,j R k,j 4 j 1 clculd con ls dependencis de l si- Esto corresponde un tbl R k,j guiente mner:
IV.5. REGLAS RECURSIVAS Y MÉTODO DE ROMBERG IV.17 Trpecio Simpson Boole O(h ) O(h 4 ) O(h 6 ) O(h 8 ) O(h 1 ) O(h 1 ) R 1,1 R,1 R, R 3,1 R 3, R 3,3 R 4,1 R 4, R 4,3 R 4,4 R 5,1 R 5, R 5,3 R 5,4 R 5,5 R 6,1 R 6, R 6,3 R 6,4 R 6,5 R 6,6. Se tiene que R k,1 = T k pr k 1 R k, = S k pr k R k,3 = B k pr k 3 Prueb. Vemos como se deduce l regl recursiv pr R k,j en generl. Supongmos que y tenemos ls regls R k,j y R k,j ls cules tienen error O(h (j) k ) y O(h (j) k ) respectivmente: f(x)dx = R k,j + j h (j) k f(x)dx = R k,j + j h (j) k + j h j k + + j h j k + Usdo h k = h k, podemos reescribir l segund ecución como f(x)dx = R k,j + (j) j h (j) k + j j h j k donde los puntos denotn términos de más lto orden. Multiplicndo l primer iguldd por (j) = 4 j y substryendo l segund se tiene que (4 j 1) donde b j = 3 4 j j. Así que f(x)dx = ( 4 j R k,j R k,j ) + bj h j k + f(x)dx = 4j R k,j R k,j 4 j 1 + b j h j k +
IV.18 CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA y por lo tnto podemos definir l cudrtur l cul tiene error O(h j k ). R k,j = 4j R k,j R k,j 4 j 1 Ejemplo. Considermos de nuevo l función f(x) = exp( x /) en [, 5]. >> [R Q err h]=romber(@(x) exp(-x.^/),,5,4,5e-5) R =.593 1.35984699.9797988 1.5331998 1.178198 1.3367885 1.533189 1.53315 1.5567716 1.56633 1.533137 1.533134 1.5331359 1.53768 1.53659 Q = 1.53659 err =.7615 h =.315 Mtlb function [R, qud, err, h] = romber (f,, b, n, tol) % Entrd - f es el integrndo introducido como cden de crcteres f % - y b son los limites superior e inferior de integrcion % - n es el numero mximo de fils en l tbl % - tol es l tolernci % Slid - R es l tbl de Romberg % - qud es el vlor de l cudrtur (integrl) % - err es el error estimdo % - h es el tm~no de pso ms peque~no utilizdo M = 1; h = b - ; err = 1; J = ; R = zeros(4, 4); R(1, 1) = h * (fevl(f, ) + fevl(f, b)) / ; while ((err > tol) & (J < n)) (J < 4) J = J + 1; h = h / ; s = ; for p = 1:M x = + h * ( * p - 1); s = s + fevl(f, x); end R(J+1, 1) = R(J, 1) / + h * s; M = * M; for K = 1:J R(J+1, K+1) = R(J+1, K) + (R(J+1, K) - R(J, K)) / (4 ^ K - 1); end err = bs(r(j, J) - R(J+1, K+1)); end qud = R(J+1, J+1);
IV.6. CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE IV.19 IV.6. Cudrtur de Guss-Legendre Ls regls que hemos estudido hst hor tienen x = y x n = b por lo cul se dice que son cerrds y los nodos están distribuidos uniformemente. Existen regls en ls cules esto no es cierto. En l cudrtur de Guss-Legendre, con n nodos se logr grdo de precisión n 1. Los nodos que se usn son ls ríces del polinomio de Legendre de grdo n. Regl de Guss-Legendre pr dos Puntos. L regl de Guss-Legendre pr dos puntos está dd por 1 ( ) ( ) 1 f(x)dx G (f) = f + f 3 3 con error E G (f) = f (4) (c) 135 pr lgún c [, 1], sumiendo f C 4 [, 1]. Est fórmul se puede derivr prtir de l form G (f) = w 1 f(α 1 ) + w f(α ) trtndo de obtener un cudrtur con el myor grdo de precisión posible. Así, procedemos con los cálculos: 1 1dx = G (1) = w 1 + w 1 xdx = G (x) = w 1 α 1 + w α 1 x dx = 3 G (x ) = w 1 α 1 + w α 1 x3 dx = G (x 3 ) = w 1 α 3 1 + w α 3 De donde se obtienen ls ecuciones w 1 + w = w 1 α 1 + w α = w 1 α1 + w α = 3 w 1 α1 3 + w α 3 = De l segund ecución, se tiene w α = w 1 α 1. Reemplzndo esto en l últim result en w 1 α 1 (α 1 α ) = No puede ser que w 1 x 1 =, por lo tnto α = α 1. Esto en l segund ecución d w 1 = w, y por lo tnto l primer ecución implic que w 1 = w = 1.
IV. CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA Finlmente, l tercer ecución implic que α 1 = α = 1 3. Los vlores determindos corresponden l expresión de G dd ntes. El grdo de precisión es 3 porque ( ) 4 ( ) 4 1 x4 dx = G 5 (x 4 ) = 1 3 + 1 3 = Ejemplo. Usmos l cudrtur G pr proximr ln 5 = 5 dx. Primero debemos trsldr l integrl l intervlo [, 1] con el cmbio de vrible x = u + 1 x 3: Entonces ln 5 = 1 5 1 dx x = 1 du u + 3. du u + 3 (/ 3) + 3 + (1/ 3) + 3 = 6 9 4/3 = 36 3 = 1,56517 mientrs que el vlor excto es 1,6943791 9 Regl de Guss-Legendre pr tres Puntos. L regl de Guss-Legendre pr tres puntos está dd por ( ( 1 f(x)dx G 3 (f) = 1 ) ( )) 3 3 5f + 8f() + 5f 9 5 5 con error E G3 (f) = f (6) (c) 1575 pr lgún c [, 1], sumiendo f C 6 [, 1]. Ejemplo. Usmos l cudrtur G 3 pr proximr ln 5 = 5 1 Entonces ln 5 = 5 1 dx 1 x = du u + 3. ( ) ln 5 1 5 9 3/5 + 3 + 8 + 3 + 5 + 3/5 + 3 = (5,689717 + 8,33333333 + 5,1981919) 5 = 9 (3,44635859 +,66666667 + 1,999596) = 1,66936 dx. Y sbemos x
IV.6. CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE IV.1 IV.6.1. Polinomios de Legendre Se puede usr el método nterior (coeficientes indetermindos) pr obtener n nodos y coeficientes de tl mner que l cudrtur resultnte tiene grdo de precisión n 1. Alterntivmente, esos mismos nodos resultn ser ls ríces de los llmdos polinomios de Legendre. En el intervlo [, 1], el conjunto de polinomios form un espcio vectoril con producto interior P (x), Q(x) = P (x)q(x)dx Se puede plicr entonces el proceso de ortogonlizción de Grm-Schmidt pr obtener un sucesión de polinomios ortogonles P n (x), n =, 1,.... Estos son los llmdos polinomios de Legendre. Enuncimos el resultdo que se obtiene. Teorem IV.1 Los polinomios mónicos de Legendre P (x), P 1 (x), P (x),... definidos por l relción de recurrenci P (x) = 1, P 1 (x) = x, P n+1 (x) = xp n (x) n 4n 1 P n(x) stisfcen ls siguientes propieddes: pr cd n =, 1,, 3,... (i) P n (x) tiene n ríces reles diferentes en el intervlo [, 1] (ii) culquier polinomio P (x) de grdo n se puede escribir como combinción linel de P (x), P 1 (x),..., P n (x), es decir, existen números reles c,..., c n (únicos) tl que n P (x) = c i P i (x) (iii) pr todo m n, P n (x) y P m (x) son ortogonles, es decir, i= P n (x)p m (x)dx = (iv) si Q(x) es de grdo menor que n entonces P n (x)q(x)dx =. Como ejemplo, tenemos l siguiente tbl de los primeros polinomios y sus ríces:
IV. CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA n P n (x) ríces 1 1 x x 1 3 ± 1 = ± 3 3 3 3 x 3 3x, ± 3 = 15 5 5 5 ( ) 4 x 4 6x + 3 1 6 ± 3 ± = ± 7 35 7 5 55±7 3 35 Note que ls ríces de los polinomios de grdo y 3 son ls misms obtenids ntes usndo el método de coeficientes indetermindos. IV.6.. Método de Guss-Legendre El método de Guss-Legendre con n nodos pr l integrl f(x)dx es l cudrtur n G n [f] = w i f(x i ) i=1 donde x 1, x,..., x n son ls n ríces de P n (x), y los pesos w i son los correspondientes l integrl exct del polinomio de interpolción pr los dtos (x i, f(x i )), i = 1,,..., n. Más precismente, recordemos que pr estos dtos l interpolción de Lgrnge (un polinomio de grdo n 1) está dd por n I(x) = f(x i ) L n,i (x), donde Entonces I(x)dx = y por lo tnto i=1 L n,i = j i w i = n f(x i ) i=1 x x j x i x j. L n,i (x)dx. L n,i (x)dx, Esto d un método pr clculr los w i de l cudrtur. Equivlentemente, los w i se pueden obtener con el método de coeficientes indetermindos pr los nodos x 1,..., x n y los polinomios 1, x, x,..., x n, de tl mner que l cudrtur es exct pr los polinomios 1, x, x,..., x n. Se obtienen ls n ecuciones, pr k =, 1,,..., n 1, con ls n incógnits w 1, w,..., w n : n w i x k i = i=1 x k dx = 1 ()k+1. k + 1
IV.6. CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE IV.3 Este método se h implementdo en el progrm Mtlb que se incluye delnte. Ahor justificmos el grdo de precisión del método de Guss-Legendre. Teorem IV. El método de Guss-Legendre es excto pr todo polinomio de grdo menor que n. Prueb. Se P (x) un polinomio de grdo menor que n. Si el grdo de P (x) es menor que n entonces l cudrtur es exct (por l construcción de los w i ). Si P (x) tiene grdo l menos n y menor que n, entonces tomndo el cociente con P n (x) podemos escribir P (x) = Q(x)P n (x) + R(x) donde los grdos del cociente Q(x) y del residuo R(x) son menores que n. Por lo tnto, por el cso y considerdo, l cudrtur pr R es exct, es decir Por otr prte P (x)dx = R(x)dx = G n [R]. Q(x)P n (x)dx + R(x)dx = R(x)dx porque Q(x)P n(x)dx = por l propiedd (iv) de los polinomios de Legendre en el teorem nterior. Además puesto que x 1, x,..., x n son ls ríces de P n (x), es decir P n (x i ) =, se tiene que P (x i ) = Q(x)P n (x i ) + R(x i ) = R(x i ), y por lo tnto ls cudrturs de P (x) y de R(x) son igules, G n [P ] = G n [R]. Así que P (x)dx = R(x)dx = G n [R] = G n [P ]. Hemos obtenido que l cudrtur es exct pr P (x) donde P (x) es culquier polinomio de grdo menor que n. Finlmente, en generl l integrl de interés es sobre un intervlos [, b]. Pr su evlución, se us un cmbio de vrible (1 t) + b(1 + t) x = Con esto, f(x)dx = b ( ) (1 t) + b(1 + t) f dt y por lo tnto l cudrtur de f en [, b] con n nodos está dd por G n [f] = b n ( ) (1 xi ) + b(1 + x i ) w i f i=1 donde los x i son ls ríces en [, 1] como ntes, y los coeficietes w i son los mismos que ntes.
IV.4 IV.6.3. Progrm Mtlb CAPÍTULO IV. INTEGRACIÓN NUMÉRICA El siguiente progrm Mtlb cálcul ls ríces del polinomio de Legendre necesrio y los coeficiente de l cudrtur. Por supuesto, si est función se v usr repetidmente serí más eficiente preclculr estos, tenerlos disponibles y simplemente usrlos. El cálculo de ls ríces se bs en l observción de que el polinomio de Legendre P n (x) es igul l polinomio crcterístico de l siguiente mtriz, llmd mtriz de Jcobi: 1/ 3 1/ 3 / 15 / 15 3/ 35 3/ 35 4/ 65.......... n 4(n ) n 4(n). n 4(n). Esto se puede comprobr de l ecución de recurreci de los polinomios. L evlucíon de los coeficientes se bs en el método de coeficientes indetermindos. function [qud, rices, nodos, coefs] = GussLegendre( f,, b, N) % Entrd - f es el integrndo introducido como un cden de crcters f % - y b limites superior e inferior de integrcion % - N es el numero de nodos en l cudrtur % Slid - qud es el vlor de cudrtur % - rices es el vector de rices del polinomio de Legendre N % - nodos es el vector de nodos de l cudrtur e [,b] % - coefs es el vector de pesos de l cudrtur % evlucion de ls N rices del polinomio de Legendre P_N de grdo N, % usndo el hecho de que P_N es el polinomio crcteristico de l % mtriz de Jcobi J v = fevl(@(n) n./sqrt(4*n.^-1), 1:N-1); J = dig(v,-1)+dig(v,+1); rices = eig(j); % evlucion de los nodos por medio de trnsformcion linel nodos = (*(1-rices)+b*(1+rices))/; % evlucion de los coeficientes de l cudrtur por el metodo de % coeficientes indetermindos V = (vnder(rices)) ; z = (fevl(@(k) (1-(-1).^k)./k, N:-1:1)) ; coefs = V\z; % evlucion de l cudrtur qud = ((b-)/) * sum(coefs.*fevl(f, nodos)); end
IV.6. CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE IV.5 Ejemplo. Usmos l rutin pr evlur 5 exp( x /)dx con 8 nodos: >> [qud, rices, nodos, coefs] = GussLegendre(@(x) exp(-x.^/),,5,8) qud = 1.533151654644 rices = -.9689856497536 -.79666647741367 -.55534991639 -.1834346449565.1834346449565.55534991639.79666647741367.9689856497536 nodos =.9975358756159.5833386465933 1.1861689759178.4141339376875.958586663916 3.8138314798 4.49166619353466 4.97464143841 coefs =.1185369375.38134453377.31376645877884.36683783378367.36683783378358.3137664587789.38134453373.1185369377