9. Solucios d l cució d Schrödigr 9. SOLUCIONS D L CUCIÓN D SCHRÖDINGR Itroducció st Cpítulo plicrmos l formlismo d Schrödigr d l Mcáic Cuátic pr studir ls solucios d lguos problms scillos u dimsió. l propósito d stos jmplos s qu l lctor s fmiliric co ls técics d cálculo y qu v l orig d lgus d ls curioss propidds d ls solucios d l cució d Schrödigr. Comzrmos por l cso más scillo, qu s l prtícul libr. Lugo cosidrrmos l potcil scló y l brrr d potcil, pr por vidci u importt fómo qu s purmt cuático: l ptrció d u brrr o fcto túl. Filmt trtrmos l oscildor rmóico simpl y mostrrmos qu sus ivls d rgí stá cutificdos, d u form ligrmt difrt d l qu rsult dl Postuldo d Plck d l Torí Cuátic tigu. todos los csos vmos mplr l rprstció coordds. L prtícul libr l Hmiltoio d u prtícul libr u dimsió spcil x s H p m (9.) Clrmt p comut co H, d modo qu l impulso s costt dl movimito. L cució d Schrödigr idpdit dl timpo s d ψ ψ (9.) m dx h y como sbmos ti solucios pr culquir vlor d. Por lo tto l spctro d utovlors d H s cotiuo y ls corrspodits utofucios d l rgí (ormlizds l dlt d Dirc) so ls ods pls ψ k, π Ls corrspodits fucios d od so ikx k p, m m h (9.3) Ψ k, it / h k, ikx ( ω t ) ψ π, ω h k m h (9.4) Cd utovlor d l rgí s doblmt dgrdo, pus corrspod dos vlors dl impulso: p hk ± m (9.5) l sigo + l (9.5) corrspod u prtícul qu s muv hci l drch y l sigo u prtícul qu s muv hci l izquird. Pusto qu los stdos stciorios (9.4) ti u impulso bi dfiido, l posició d l prtícul stá totlmt idtrmid y s igulmt probbl cotrrl culquir prt. 3
9. Solucios d l cució d Schrödigr Ls fucios d od (9.4) form u sistm complto, d modo qu culquir stdo Ψ ( xt, ) solució d l cució d Schrödigr xt ih Ψ (, ) HΨ ( x, t) (9.6) t s pud rprstr como u suprposició d ls (9.4) d l form dod Pusto qu + Ψ( xt, ) k ( ) Ψ, dk k ( ) ikx ( t) k ω dk (9.7) π + + k ( ) ( Ψk, ) ikx t, Ψ ( ω ) Ψ( xtdx, ) (9.8) π + ( ΨΨ, ) ( )* k kdk ( ) (9.9) l Ψ ( xt, ) stá ormlizd si l distribució spctrl k ( ) lo stá. Mdit pquts d ods d l form (9.7) podmos dscribir stdos los culs l prtícul stá loclizd y studir su movimito, como y hicimos triormt. Si o qurmos trbjr co ls utofucios dl cotiuo, podmos ormlizr ls utofucios d l rgí u itrvlo d logitud L. Ls solucios prmitids ormlizds l itrvlo ( x, x + L) qu stisfc ψ ( x ) ψ ( x + L) (ormlizció u cj) so ods stcioris d l form / ψ( x x ) ( / L) s [ k ( x x )], k π / L,,, 3, (9.) y los corrspodits utovlors discrtos d l rgí so π / ml,,, 3, (9.) h Si usmos cmbio l codició d cotoro priódic ψ( x) ψ( x + L), ls solucios prmitids (ormlizds l itrvlo ( x, x + L)) so ods vijrs d l form / ik ( x x ) ψ( x x ) ( / L), k ± π / L,,,, (9.) y los utovlors discrtos d l rgí so h π / ml,,,, (9.3) Mitrs L s mucho myor qu l tmño d l rgió d itrés, stos procdimitos o ti fctos sigifictivos y L o prc los rsultdos d los cálculos d ls ctidds d itrés físico. 4
9. Solucios d l cució d Schrödigr st mr d hcr ls coss s útil pr ls pliccios l Mcáic stdístic, ls qu covi trbjr co l spctro discrto pr podr cotr l úmro d stdos u ddo itrvlo d rgí. Co mirs ss pliccios vmos clculr l dsidd d stdos por uidd d itrvlo d l rgí pr u prtícul libr trs dimsios. Normlizrmos ls utofucios d l rgí u cubo d rist L. Ls solucios prmitids stisfc ls codicios d cotoro ψ(, yz, ) ψ( Lyz,, ), ψ( x,, z) ψ( x, L, z), ψ( xy,, ) ψ( xyl,, ), y so ods stcioris d l form co / ψ ( xyz,, ) ( / L) 3 s( kx) s( ky) s( kz) (9.4) x y z k π / L, k π / L, k π / L,,, 3,,, (9.5) x x y y z z x y z y los corrspodits utovlors discrtos d l rgí so π / ml, + + (9.6) h x y z Podmos dr u img gométric d l (9.6) rprstdo cd utovlor como u puto d coordds ( x, y, x ) u spcio d trs dimsios. Clrmt, l úmro N ( ) d stdos co rgí mor o igul cirto vlor s igul l ctidd d putos ( x, y, x) qu cumpl l codició, qu usdo l (9.6) s pud scribir como ml + + (9.7) h π x y z Por lo tto, N ( ) s igul l volum dl primr octt d u sfr dl spcio ( x, y, x) co ctro l orig y rdio ρ( ) ( L/ hπ) m. tocs L V N ( ) 4 ( ) ( m) ( m) 4 8 3 8 4 πρ 3 π 3 π 3 π 3h3 3 h3 3 / 3 / (9.8) dod V L 3 s l volum dl cubo. Difrcido l (9.8) podmos clculr l dsidd d stdos por uidd d itrvlo d l rgí, dfiid por dn f ( ) d: f( ) 4π m V ( m) / (9.9) h3 Usdo l rlció p m, podmos scribir N térmios dl módulo d l ctidd d movimito l form S pud obsrvr qu l ctidd 3 Vp N 4 π (9.) 3 h3 V f 3 4 π pv (9.) 3 5
9. Solucios d l cució d Schrödigr s l volum dl spcio d ls fss ( xyzp,,, x, py, pz ) ccsibl ustr prtícul, qu stá cotid dtro dl cubo d rist L, y cuy ctidd d movimito ti u módulo mor o igul qu p. Por lo tto l (8.9) s pud scribir tmbié l form V f hn 3 (9.) st rsultdo s sul xprsr dicido qu Cd stdo ocup u volum h 3 dl spcio d ls fss. L dsidd d stdos por uidd d itrvlo dl módulo d l ctidd d movimito s dn dp f( p) 4 πpv h3 (8.3) como s pud obtr d imdito difrcido l (9.). Obtuvimos stos rsultdos utilizdo fucios d od ormlizds u cj cúbic d rist L, pro s fácil vrificr qu s obti l mismo rsultdo si s us fucios d od ormlizds co codicios priódics d cotoro u cubo d rist L. Más grl, s pud mostrr qu los rsultdos (9.8)-(9.), (9.) y (9.3) so idpdits d l form d l cj y sólo dpd d su volum V. l potcil scló S u prtícul qu s muv u dimsió y cuy rgí potcil s (Fig. 9.):, x < rgió rgió Vx ( ) V ct., x > V C l Hmiltoio s tocs (9.4) B D x p, x < H m p + m V, x > (9.5) Fig. 9.. Potcil scló. Pr x < (rgió ) l cució d Schrödigr idpdit dl timpo s d ψ ψ (9.6) m dx h cuy solució grl (o ormlizd) pr u ddo vlor d s () ikx ikx ψ B +, k + m /h (9.7) dod y B so costts dtrmir. L corrit d probbilidd d l solució (9.7) s k J () h m ( B ) v ( B ) (9.8) 6
9. Solucios d l cució d Schrödigr () dod v h k/ m s l módulo d l vlocidd l rgió. Por lo tto J s l difrci tr l corrit v qu v hci l drch y l corrit v B qu v hci l izquird. Pr x > (rgió ) l cució d Schrödigr idpdit dl timpo s d ψ ( V) ψ (9.9) m dx h quí tmos qu distiguir dos csos, sgú si s myor o mor qu V. Si > V l solució grl d (9.9) s ( ik x ik x ψ ) C + D, k + m( V)/h (9.3) dod C y D so costts dtrmir. L corrit d probbilidd d l solució (9.3) s k J ( ) h m C ( D ) v ( C D ) (9.3) ( dod v h k / m s l módulo d l vlocidd l rgió. Por lo tto J ) s l difrci tr l corrit v C qu v hci l drch y l corrit v D qu v hci l izquird. Si < V l solució grl d (9.9) s u suprposició d ods vscts: ( κx κx ψ ) C + D, κ + m( V )/h (9.3) Pro ustro cso l térmio D κx o s cptbl pus divrg pr x. Dbmos tocs por D l (9.3) y qud ( κx ψ ) C (9.33) L corrit d probbilidd corrspodit l solució (9.33) s ul. hor tmos qu mplmr x l solució d l rgió co l d l rgió. Pr so obsrvmos qu ψ ( x ) y dψ ( x)/ dx db sr cotius, pr qu l corrit d probbilidd s cotiu y por lo tto s cosrv l probbilidd. Dbmos pdir tocs () ( ) () [ ψ ( x) ] [ ψ ( x) d ( ) ] [ ψ ( x) ] [ dx ψ ( x) ] (9.34) x x Vmos cosidrr por sprdo los csos Cso > V, d dx x x > V y < V. st cso ls codicios (9.34) os d dos cucios + B C+ D, k kb k C kd (9.35) pr dtrmir ls cutro costts qu figur ls (9.35). Pro como s db cumplir l codició d ormlizció, rlidd sólo trs d lls so idpdits. Por lo tto hy ifiits mrs d stisfcr ls (9.35). sto corrspod l hcho qu podmos tr u solució qu corrspod qu l prtícul llg l scló viido dsd l izquird, otr solu- 7
9. Solucios d l cució d Schrödigr ció qu corrspod qu llg viido dsd l drch, y tmbié culquir combició lil d mbs. Por lo tto pr > V l spctro d l rgí s cotiuo y cd utovlor > V s doblmt dgrdo. Prtícul qu vi dsd l izquird Pr u prtícul qu llg dsd l izquird dbmos tr D, d modo qu si > V ls (9.35) s rduc Rsolvido st sistm obtmos + B C, k kb k C (9.36) B k k k + k, C k k + k (9.37) R.8.6.4. 3 4 /V 5 l coficit d rflxió dl potcil scló s dfi como l cocit tr l corrit rfljd y l corrit icidt: R v B ( k k ) v ( k + k ) (9.38) l vlor d R (Fig. 9.) dpd solmt dl cocit ρ / V: ( ρ ρ ) R ( ρ + ρ ) (9.39) Fig. 9.. Coficit d rflxió dl potcil scló. l coficit d trsmisió s dfi como Pusto qu B/ > l od icidt y l rfljd stá fs. v C kk T 4 4 ρ ρ v ( k + k ) ( ρ + ρ ) (9.4) s fácil vrificr qu s cumpl R+ T, d mr qu s cosrv l probbilidd. Comprdo co l cso clásico podmos otr u importt difrci, pus u prtícul clásic co > V o sufr rflxió l llgr l scló d Vx ( ): simplmt sigu d lrgo co u difrt vlocidd. cmbio u prtícul cuátic ti u probbilidd o ul d sr rfljd. Prtícul qu vi dsd l drch Si l prtícul llg dsd l drch tmos, d modo qu ls (9.35) s rduc B C+ D, kb k C k D (9.4) 8
9. Solucios d l cució d Schrödigr y tocs B D k k + k C k k, (9.4) D k + k difrci d ts, l od icidt y l rfljd stá cotrfs, pus C/ D<. l coficit d rflxió s: R v C v D ( k k ) (9.43) ( k + k ) y su vlor s l mismo qu pr l cso d prtícul icidt dsd l izquird y otro tto ocurr co l coficit d trsmisió. Cso < V Si < V l solució l rgió s u xpocil dcrcit, y ls codicios (9.34) os d d dod podmos obtr y B ik ik + B C, ik( B) κ C (9.44) + κ i α, α π + rct( k/ κ) (9.45) κ C ik + ik κ y coscuci l solució s ( mos d u fs irrlvt iα / ) i α (9.46) ψ α kx cos, x < α κx cos, x > (9.47) qu rprst u od stciori l rgió y u od vsct l rgió. L od icidt ikx s rflj totlmt (pus B ) y uqu ψ ti u vlor o ulo l rgió, o hy ptrció prmt. L corrit d probbilidd s ul tods prts. l spctro d l rgí pr < V s cotiuo y cd utovlor < V l corrspod u úic utofució, por lo tto o hy dgrció. L solució (9.47) prdic qu l prtícul s pud cotrr l rgió x >, clásicmt iccsibl. Si mbrgo pr obsrvrl s rgió s prciso dtrmir su posició co u icrtz dl ord x /κ, y tocs p> h/ x hκ m( V ) por l pricipio d icrtz. Por lo tto, l icrtz d l rgí s 9
9. Solucios d l cució d Schrödigr p m V (9.48) Lugo si obsrvmos l prtícul l rgió prohibid por l mcáic clásic, rlidd o podmos sbr si su rgí totl s mor qu V. l lctor otrá qu los rsultdos cuáticos dl cso > V so álogos los qu s obti l Óptic pr l rflxió y trsmisió d ods qu icid prpdiculrmt sobr l itrfs qu spr dos mdios d difrt ídic d rfrcció. cmbio, l rsultdo cuático pr < V s álogo l rflxió totl itr. Ls utofucios qu hmos obtido l studir st problm o h sido ú ormlizds. Si s ds s ls pud ormlizr como corrspod ls utofucios dl spctro cotiuo, sto s co l dlt d Dirc. Ptrció d u brrr d potcil S u prtícul qu s muv u dimsió y cuy rgí potcil s (Fig. 9.3): V(x) rgió rgió rgió 3 V, x < Vx ( ) V, < x <, < x (9.49) F Nos itrs studir l cso qu l prtícul llg l brrr dsd l izquird (rgió, B G x < ) co u rgí < V. s cso l Mcáic Clásic prdic qu l prtícul s rflj x y o pud llgr l rgió 3 x ( x > ). Vmos mostrr qu l Mcáic Fig. 9.3. Brrr d potcil. Cuátic prdic cmbio qu l prtícul pud trvsr l brrr. D curdo co lo visto triormt, ls solucios grls d l cució d Schrödigr idpdit dl timpo ls trs rgios qu s divid l j x so: () ( ) rgió : x <, ψ + B, k + m / h ikx κx ikx rgió : < x <, ψ D + C, κ + m( V )/ h ( 3) rgió 3: x >, ψ Fikx + G ikx, k + m / h κx (9.5) Ls codicios d mplm x so y os d () ( ) [ ψ ( x) ] [ ψ ( x) ] x x [ ] [ ], d () d ( ) dx ψ ( x) x dx ψ ( x) x (9.5) κ + B D+ C, B i ( D C) k (9.5) Si rsolvmos l sistm (9.5) pr y B térmios d D y C rsult
9. Solucios d l cució d Schrödigr i D+ + i C B + i D+ i C κ k κ k κ k κ, (9.53) k Ls (9.53) s pud scribir form mtricil: M M D B M M (9.54) C dod M M i M M i κ k κ, + (9.55) k Ls codicios d mplm x y os d so () ψ ( x ) ( ) [ ] [ ψ ( x ) ] x x [ ] [ ], d () dx ψ ( d x ) ( ) x dx ψ ( x ) x (9.56) κ κ ik ik κ κ ik ik D + C F + G, D C i k ( F G ) (9.57) κ Si rsolvmos l sistm (9.57) pr D y C térmios d F y G rsult κ+ ik κ ik D + i k F + i k G κ κ κ+ ik κ ik C i k F + + i k G κ κ (9.58) scribimos ls (9.58) form mtricil: D M C M M M F G (9.59) dod M κ+ ik κ ik M, M + i k κ i k κ i k κ κ+ ik κ ik M, + i k κ (9.6) D l (9.54) y l (9.59) obtmos MF MG F B M M (9.6) G BF BG dod
9. Solucios d l cució d Schrödigr M M M + M M, M M M + M M F G M M M + M M, M M M + M M BF BG (9.6) L c. (9.6) vicul ls mplituds d ls ods izquird y drch d l brrr, y por lo tto prmit rsolvr culquir problm d rflxió y trsmisió qu s ds (pr < V, s tid). l prst cso, os itrs studir l trsmisió d u prtícul qu llg l brrr dsd l izquird. Por lo tto podrmos G l (9.6) y tocs rsult F ik M i k F + κ coshκ shκ k κ (9.63) l coficit d trsmisió d l brrr s tocs F T k + κ cosh κ 4 k κ sh κ shκ + 4 V ( ) V (9.64) Si l brrr s lt (o s / V o s muy próximo ) y ch (κ >> ) d modo qu trsmit poco, tocs shκ κ / y l xprsió d T tom u form scill: T 6 κ (9.65) V V L ptrció d l brrr s sul domir fcto túl y s u mifstció dl cráctr odultorio d l prtícul. l mismo fómo prc pr culquir tipo d ods. Óptic s lo cooc co l ombr d rflxió itr totl frustrd. (MV) V mx l fcto túl prmit xplicr u prdoj qu s prst l misió d prtículs α por úclos rdioctivos. Como jmplo, cosidrmos V(r) l lmto 38 U. Mdit l dis- prsió por l úclo dl 38 U d prtículs α d 8.8 MV mitids por l Po s dtrmió 8.8 MV 4. MV l rgí potcil V() r d l prtícul α y s cotró qu coicid co l qu provi d R 3x cm r l ly d Coulomb, por lo mos hst l distci d 3 cm qu s hst dod Fig. 9.4. misió d prticuls por u úclo d 38 U. pud llgr u prtícul α d 8.8 MV. Por otr prt los xprimtos d disprsió d prtículs α por úclos livios mustr qu < (R s l rdio dl úclo), porqu dis- Vr () s dsví dl comportmito /r cudo r R tcis mors ctú ls furzs uclrs qu so trctivs. Cudo s dsrrolló l Mcáic Cuátic o s coocí todví l vlor prciso d R pr los úclos psdos, pro r obvio qu pr l 38 U dbí sr sgurmt mor qu 3 cm. hor bi, l úclo dl 38 U mit ocsiolmt prtículs α. S supuso tocs qu dichs prtículs stá prsts
9. Solucios d l cució d Schrödigr dtro dl úclo, l cul stá ligds por l potcil V(). r prtir d stos rgumtos s cocluyó qu l form d Vr () s l qu s idic culittivmt l Fig. 9.4. Por otr prt l rgí ciétic d ls prtículs α mitids por l 38 U s d 4. MV (mdid muy ljos dl úclo, dod V() r ). Por lo tto s prst u situció prdojl, pus clásicmt s ixplicbl qu u prtícul α s mit co u rgí mor qu l qu corrspod l top d l brrr. L prdoj fu rsult 98 por Gorg Gmow, dwrd Codo y Rold P. Gury térmios dl fcto túl d l Mcáic Cuátic. Pr l rgí potcil d l Fig. 9.4 o s pud plicr l xprsió (9.64) dl coficit d trsmisió, pro s pud mostrr qu b κ ( rdr ) T, κ ( r) + m[ V( r) ]/h (9.66) dod y b so los putos d rtoro clásicos. L probbilidd qu u prtícul α qu llg l brrr l trvis s igul T. Por uidd d timpo, l prtícul α qu v y vi dtro dl úclo, choc co l brrr N v/ R vcs. Por lo tto l probbilidd d misió por uidd d timpo s λ vt / R (9.67) Tomdo v ( / m) / y R 9 3 cm (vlor qu ifiriro dl álisis d Ruthrford d l disprsió d prtículs α por úclos livios) Gmow, Codo y Gury obtuviro vlors d λ qu cocurd rzoblmt co los qu s ifir prtir d los timpos crctrísticos dl dcimito rdioctivo, ps qu pr difrts lmtos hy orms vricios d λ (por jmplo λ 5 8 s pr l 38 U y λ 6 s pr l Po), qu s db qu λ dpd muy furtmt d (l form y l ltur d l brrr so proximdmt ls misms pr todos los misors α). Corrspod mcior quí qu Johs W. Gigr y Joh M. Nuttll propusiro 9 u ly mpíric d l form logλ + blog, pr rlcior l probbilidd d misió λ co l rgí d ls prtículs α mitids por difrts sustcis rdioctivs. Dich ly rproduc rzoblmt bi los dtos mdidos, pro l vlor d l costt b implic qu λ dpd d u potci d xtrordirimt lt, lrddor d 9. sos timpos, los fudmtos tóricos d l Ly d Gigr-Nuttll r, por supusto, dscoocidos. Por stos motivos, l plicció xitos d l Mcáic Cuátic l misió d prtículs costituyó uo d los poyos más sólidos l uv torí, dmás d ilustrr muy clrmt l dulidd od-prtícul. Hy muchos otros problms scillos u dimsió (como l pozo cudrdo d potcil, tc.), qu s pud rsolvr fácilmt por mdio d ls técics qu hmos prstdo quí. Por rzos d brvdd o los vmos trtr, pro l lctor itrsdo los pud cotrr dsrrolldos l bibliogrfí. st coclusió fu cofirmd por xprimtos postriors co prtículs α d rgí suficitmt grd como pr ivstigr l potcil pr todo r. 3
9. Solucios d l cució d Schrödigr l oscildor rmóico simpl L rgí potcil d u oscildor rmóico simpl s Vx ( ) mω x (9.68) dod ω s l frcuci clásic dl oscildor y m l ms. L form (9.68) d Vx ( ) s d gr importci práctic, pus s u proximció pr culquir rgí potcil rbitrri l toro d u puto d quilibrio stbl. l oscildor rmóico simpl s tmbié importt porqu l comportmito d sistms tls como ls vibrcios d u mdio lástico y dl cmpo lctromgético u cvidd s pud dscribir como l suprposició d u úmro ifiito d oscildors rmóicos simpls. l cutificr sos sistms os cotrmos tocs co l mcáic cuátic d muchos oscildors rmóicos lils d difrts frcucis. Por tl motivo, tods ls torís d cmpos modrs utiliz los rsultdos qu vmos obtr. l Hmiltoio dl oscildor rmóico simpl s y l cució d Schrödigr idpdit dl timpo s tocs: H p + m x m ω (9.69) h d ψ + mω x ψ ψ (9.7) m dx Pr ligrr ls fórmuls itroducimos lugr d x y p los oprdors dimsiols ξ y η dfiidos por: h x ξ, p η mhω (9.7) mω s fácil vrificr qu ξ y η id/ dξ cumpl l rlció d comutció [ ξη, ] ξη ηξ i (9.7) térmios d ξ y η l Hmiltoio s scrib y l c. (9.7) l form H hωh, H ( η + ξ ) (9.73) d ψ + ( ε ξ) ψ, h ωε (9.74) dξ Vmos l comportmito d ψ( ξ) pr ξ ±. Pr vlors fiitos d ε s fácil vrificr qu ξ / ψξ ( ± ) (9.75) 4
d mr qu ψ ti l comportmito d u Gussi. s imdito vrificr por sustitució dirct l (9.6) qu 9. Solucios d l cució d Schrödigr ξ / ψ ( ξ) (9.76) s u solució d l (9.74) y corrspod l utovlor ε /. fcto, si ε / s cumpl: d ψ dξ + ( ε ξ ) ψ ψ + ξ ψ + ( ε ξ ) ψ (9.77) Pr cotrr ls dmás utofucios y utovlors vmos usr u scill y lgt técic d oprdors, qu s difrt d los métodos qu s mpl hbitulmt los txtos lmtls d Mcáic Cuátic. Hcmos sí porqu st técic s l prototipo d otrs smjts qu s plic u vridd d problms. Nustro método s fud ls propidds d comutció d cirtos oprdors o Hrmitios oportumt dfiidos, y prmit cotrr sistmáticmt mdit u procdimito rcursivo tods ls utofucios y sus corrspodits utovlors prtir d ψ y d ε. Pr so dfiimos l oprdor d ( ξ + iη) ( ξ + ) dξ (9.78) qu por supusto o s Hrmitio, y su djuto d ( ξ iη) ( ξ ) dξ (9.79) térmios d y l oprdor H s xprs como H + (9.8) l comutdor d y s (9.8) Pusto qu H y comut, ls utofucios d H y so ls misms, d modo qu pr cotrr los stdos stciorios s suficit rsolvr l problm d utovlors d. Si llmmos λ (,,, ) los utovlors y ψ ls corrspodits utofucios, l cució qu qurmos rsolvr s ψ λ ψ (9.8) Primro vmos dmostrr qu los utovlors o pud sr gtivos. D l (9.8) obtmos ( ψ, ψ ) ( ψ, ψ ) λ ( ψ, ψ ) (9.83) 5
9. Solucios d l cució d Schrödigr dod usmos l dfiició d oprdor djuto. Pusto qu l orm d u fució o pud sr gtiv, cocluimos qu λ (9.84) Si ψ k s u utofució d, tocs ψ k s tmbié u utofució; fcto usdo l rlció d comutció (9.8) vmos qu: k k k k ( ) ψ ( + ) ψ ( λ + ) ψ (9.85) Por lo tto ψ s u utofució co utovlor λ k +. Dl mismo modo s obti k k k k k ( ) ψ ( ) ψ ( λ ) ψ (9.86) qu mustr qu ψ k s u utofució d co utovlor λ k. Dbido sts propidds y s domi oprdor d subid y oprdor d bjd, rspctivmt. Oprdo ritrdmt co y sobr u utofució ψ k dd, podmos grr uvs utofucios corrspodits difrts utovlors, dl mismo modo como s sub o s bj los pldños d u sclr. Si mbrgo, l codició (9.84) limit l ctidd d vcs qu s pud plicr l oprdor d bjd, porqu cudo s llg u utovlor λ <, l plicció dl oprdor d bjd o prmit y cotrr u uv utofució, pus srí u utofució corrspodit u utovlor qu viol l codició (9.84). Por lo tto pr l pldño más bjo d l sclr ( ) s db cumplir y tmbié, ψ λ ψ λ < (9.97) ψ (9.88) y por cosiguit l mor utovlor d s λ (9.89) Prtido tocs d ψ y d λ podmos obtr tods ls dmás utofucios y utovlors por plicció ritrd dl oprdor d subid. Pro osotros y coocmos ψ, qu stá ddo por l (9.76): ξ / ψ ( ξ) (9.9) Por cosiguit l -ésim utofució, y su corrspodit utovlor so ξ / ψ d ( ) ψ ( ξ) ( ξ ) dξ, λ (9.9) Usdo l (9.74) y l (9.8) obtmos qu 6
y por lo tto los utovlors d l rgí so 9. Solucios d l cució d Schrödigr Hψ h ω( + ) ψ (9.9) hω( + ),,,, (9.93) Obsrvmos qu difrci dl cso clásico, l rgí dl oscildor o s ul l stdo fudmtl ( ) sio qu todví vl hω /. st rsultdo d l torí d Schrödigr difir dl qu s obtuvo l Torí Cuátic tigu prtir d los postuldos d cutificció Plck y d Wilso-Sommrfld. L rgí hω / s domi rgí d puto cro dl oscildor rmóico y su xistci s u fómo cuático qu s pud tdr bs l pricipio d icrtz. Vmos hor ls xprsios xplícits d ls utofucios (9.9). s fácil vrificr qu ψ ti l form ξ / ψ CH( ξ) (9.94) dod H ( ξ ) s u poliomio d grdo y C s u costt d ormlizció todví o spcificd. Los poliomios H ( ξ ) s domi poliomios d Hrmit y s sul dfiir d modo qu l coficit d l potci más lvd d ξ s. Los primros poliomios d Hrmit so: H ( ξ) H ( ξ) 8ξ ξ H ( ξ) ξ H ( ξ) 6ξ 48ξ + H 3 4 5 ( ξ) 4ξ H ( ξ) 3ξ 6ξ + ξ 3 4 5 3 (9.95) Los poliomios d Hrmit stisfc l cució difrcil U form simpl d dfiir los poliomios d Hrmit s d H dh H dξ ξ + (9.96) dξ H ( ) ξ d dξ ξ (9.97) S pud vr qu los poliomios d Hrmit ti pridd dfiid dd por ( ) y qu sus rícs so tods rls. Por lo tto ψ ti odos. Ls utofucios ormlizds so: ψ ( ξ) mω! πh / 4 H ( ξ) ξ / ω, ξ x m h (9.98) l bibliogrfí citd l lctor pud cotrr gráficos d ls utofucios (9.98). 7