loque II. Geometrí 43 loque II. Geometrí
44 mplición de temátics 3º ESO loque II. Geometrí Ndie slg de l enseñnz secundri sin sber lgo de Geometrí Introducción Este bloque está dividido en los siguientes epígrfes: GEO 1. onstrucciones geométrics con GeoGebr. GEO 2. Utilizción de los teorems de itágors y Tles en mediciones indirects. GEO 3. olígonos. efi niciones básics. Resultdos sobre cudriláteros. GEO 4. Geometrí de l circunferenci. GEO 5. Áres y volúmenes de cuerpos geométricos. L Geometrí fue en sus comienzos el rquetipo del pensmiento bstrcto y de l bellez. En el siglo XIX se demostró l existenci de otrs geometrís (no euclídes) y se tmbleron los cimientos de l temátic. urnte el siglo XX, los mtemáticos estuvieron ocupdos en fi jr y reforzr ls bses de su doctrin y evitron ls engñoss imágenes. Se declró l muerte de Euclides. Ls pedgogís de fi nles de siglo se impregnron de ese celo iconoclst y l Geometrí csi llegó desprecer de ls escuels o hcerlo compñd necesrimente del Álgebr y del nálisis. Hor es de devolverl l estrdo, si no con sus ntigus pomps, l menos con el reconocimiento sus métodos y su importnci en l formción del rzonmiento, dentro de lo que hor se llm prender pensr. Si oincré decí que l Geometrí es el rte de pensr bien y dibujr ml, hoy hy softwre que nos permite dibujr bien y pensr mejor. Liberd de un excesiv formlidd, innecesri en est etp, l Geometrí cre un rmónic simbiosis entre form y medid. El teorem de itágors, el teorem de Tles, el áre del círculo, el volumen de l pirámide, el trzdo de tngentes un circunferenci,..., formn prte de l cultur generl exigible l ciuddno medio, y result difícil escuchr lejndro son pronuncir su Ndie entre que sep Geometrí, slvo entendiendo l frse como l poétic e ilus recet de escribir tetro sin tenerse norms concebids. L vriedd de métodos y de geogrfís de l Geometrí provoc lgo de desconcierto en el neófi to l hor de elegir ls rms y el cmino hci l solución de los problems y, unque no es desdeñble el uso de l memori, ést debe ser compñd tnto de recursos nemotécnicos (entre ellos el conocimiento de ls ríces etimológics de los términos) como de imágenes que promuevn por nlogí el uso de fórmuls y rzonmientos, hciendo poco justifi cble el olvido de ciertos resultdos o l confusión entre fórmuls de longitud, áres o volúmenes. Espermos que est pequeñ colección de problems ilustre lgun de ls técnics más usules de est mteri y su vez hg ver su utilidd y su rmoní. Hemos procurdo que ls soluciones (dentro de su necesrimente limitdo espcio) dejen ver el hilo de los rzonmientos y que se pued disfrutr de ellos.
loque II. Geometrí 45 GeoGebr GeoGebr es un progrm de geometrí dinámic libre. Todos los progrms de geometrí dinámic (GeoGebr, bri, Sketchpd, inderell, etc.) permiten, después de hber hecho un construcción geométric, mover lgunos elementos de l construcción y observr cómo se modifi c tod l construcción dinámicmente l lterr los dtos iniciles. odrímos decir que en un progrm de geometrí dinámic se utilizn un serie de objetos elementles: puntos, rects, circunferencis.. prtir de los cules se relizn distints construcciones estbleciendo relciones geométrics entre los elementos que intervienen, de modo que l mover culquier objeto elementl se mntienen ls relciones geométrics existentes entre los elementos de l construcción. Un crcterístic común de todos los progrms de geometrí dinámic es l fcilidd con l que se pueden utilizr, de mner que prtir de uns breves indicciones y uns pocs instrucciones se pueden relizr ls primers construcciones. Todos los problems presentdos se pueden trbjr con culquier de los progrms nteriormente citdos, hemos elegido GeoGebr por ser un progrm de uso libre muy fácil de mnejr. Un mnul básico pr utilizrlo se puede obtener en: http://www.geogebr.org/ demás de hcer l construcción geométric con GeoGebr en todos los problems propuestos se trt de encontrr el rzonmiento mtemático decudo pr su demostrción.
46 loque II. Geometrí GEO 1. onstrucciones geométrics mplición con de GeoGebr temátics Enuncidos 3º ESO loque II. Enuncidos GEO 1. onstrucciones geométrics con GeoGebr 1. dos dos segmentos de longitudes m y n, respectivmente, construye el segmento medi geométric de longitud m n. Indic cómo usr el resultdo nterior pr hllr ls medids n, donde n es un número nturl positivo. Us tmbién l construcción pr obtener un cudrdo equivlente (de igul áre) l rectángulo de ldosm y n. m n 2. do un rectángulo de ldos m y n, construye un rectángulo equivlente de ldo p. p n m 3. En un triángulo culquier, construye el ortocentro H, el bricentro G y el circuncentro F. omprueb que están linedos (l rect que ps por G, F y H se llm rect de Euler). ide los segmentos HG y GF y clcul el cociente de sus medids. Tir hor de uno de los vértices del triángulo y observ que se mntiene l proporción. Fij de nuevo un triángulo y construye el triángulo definido por sus puntos medios. Rzon en el nuevo dibujo ls relciones observds de F, G y H. 4. roblem de Npoleón. do un triángulo culquier, sobre cd ldo construye triángulos equiláteros hci fuer, y. omprueb que los centros de los equiláteros formn sí mismo un triángulo equilátero. omprueb que ls circunferencis circunscrits estos equiláteros se cortn en un punto T. omprueb que T es tmbién l intersección de los segmentos, y. omprueb tmbién que desde T se ven los ldos de con un ángulo de 120º. 5. roblem de Fermt. Seguimos en el dibujo del problem nterior. Tir de un vértice pr que el triángulo no teng un ángulo myor de 120º. ibuj un punto dentro del triángulo, y clcul l sum de distncis de y de T los vértices, y. omprueb, moviendo, que l sum de ls distncis es myor que l sum de ls distncis de T.
loque II. Geometrí GEO 1. onstrucciones geométrics con GeoGebr Enuncidos 47 6. do el pentágono convexo E, encuentr un cudrilátero con igul áre. 7. do un triángulo, dibuj un hexágono convexo de igul áre. 8. onstruye un triángulo conociendo su circuncentro F, su bricentro G y un punto G medio de un ldo. E F loque IV. loque III. loque II. loque I. I 9. 1+ 5 onstruye un rectángulo áureo, sbiendo que sus ldos están en proporción =. 2 10. do un cudrdo, construye un triángulo equilátero inscrito en el cudrdo y que teng como vértice. 11. Usndo l iguldd 5 = 2 2 + 1 2, troce un cudrdo y con los trozos form cinco cudrdos igules. 12. Troce un cruz grieg de ldo 1 en cutro trozos y con ellos form un cudrdo. 1
48 loque II. Geometrí GEO 2. Teorems mplición de itágors de temátics y Tles Enuncidos 3º ESO GEO 2. Teorems de itágors y Tles 1. En el rectángulo que se muestr en l figur, E y F son perpendiculres. Si = 18 cm y = 12 cm, clcul l longitud del segmento E y el áre del prlelogrmoef sombredo. F E 2. rolongmos el ldo del triángulo hst un punto de form que el triángulo se semejnte l triángulo. Si = 8, = 7 y = 6, clcul l longitud de. X 6 7 8 3. Un cudrdo de ldo 1 m está inscrito en un triángulo equilátero como se muestr en l figur. uál es l longitud del ldo del triángulo? 4. En un circunferenci de rdio 6 inscribimos el triángulo isósceles QR en el que Q = R. Un segund circunferenci es tngente l primer y tngente l bse QR del triángulo en su punto medio, como se muestr en l figur. Si l longitud deq es 4 5, cuál es el rdio de l circunferenci pequeñ? Q R 5. El triángulo equilátero LN, inscrito en otro triángulo equilátero RQ, tiene un áre igul 7 cm 2. Si el ldo LN es perpendiculr l ldo RQ, cuál es el áre del triángulo grnde RQ? L R N Q 6. En un circunferenci tenemos dos cuerds prlels de longitudes 10 cm y 14 cm que distn 6 cm entre sí. Hll l longitud de l cuerd prlel mbs y que equidist de ells.
loque II. Geometrí GEO 2. Teorems de itágors y Tles Enuncidos 49 7. En el triángulo QR,R = 14 y Q = 10. Si prolongmos RQ hst que corte en S l perpendiculr S, result que QS = 5. uál es el perímetro del triángulo QR? 8. En un dí soledo, repos sobre un cmpo horizontl un grn esfer. En cierto momento, l sombr de l esfer lleg hst un distnci de 10 m del punto donde dich esfer toc el suelo. En el mismo instnte, un bstón de 1 m, colocdo verticlmente, produce un sombr de 2 m. uál es el rdio de l esfer? (Suponemos que los ryos del Sol son prlelos y que el bstón lo podemos representr por un segmento). 9. Ls tres circunferencis de l figur djunt son tngentes ls rects l 1 e l 2 y demás, cd un de ells es tngente l nterior. Si el rdio de l myor es 9 y el de l menor 4, cuál es el rdio de l del medio? 10 S 5 14 Q R I 1 I 2 loque IV. loque III. loque II. loque I. I 10. Tommos un punto en el ldo de un triángulo en el que = 3 y = 6. Si = = 60º, clcul l longitud del segmento. 3 6 11. El áre del triángulo de l figur es 10. Los puntos, E y F, todos distintos de, y, están, como se observ, en los ldos, y respectivmente, siendo = 2 y = 3. Si el triángulo E y el cudrilátero EF tienen áres igules, cuál es el vlor de est áre? F E 2 3 12. En el triángulo isósceles de l figur, sus ldos igules miden = = 1. or un punto F del ldo, situdo 1 de distnci del vértice, se trz un perpendiculr este ldo y cort l prolongción del ldo en un punto de mner que el triángulo es rectángulo. lcul l longitud de y de. 1 1 1 F
50 loque II. Geometrí GEO 3. olígonos. mplición udriláteros de temátics Enuncidos 3º ESO GEO 3. olígonos. udriláteros 1. Un triángulo culquier puede ser dividido en cutro triángulos igules semejntes l de prtid. Un triángulo equilátero puede ser dividido en tres triángulos isósceles igules, y un triángulo isósceles puede ser dividido en dos triángulos rectángulos igules. ivide cd uno de los tres triángulos equiláteros ddos en veinticutro triángulos rectángulos igules. Hzlo de tres forms diferentes. 2. Unimos en el sentido de vnce de ls gujs del reloj los puntos medios de un cudrilátero convexo (según prece en el dibujo). rueb que el cudrilátero obtenido es un prlelogrmo. N uál es l relción de áres entre los dos cudriláteros? Q 3. ividimos un triángulo en tres trpecios isósceles igules. Llmmos esfinges ls figurs formds por dos de ellos. ivide l primer esfinge de bjo en seis triángulos equiláteros igules, l segund esfinge en cutro esfinges igules y l tercer esfinge en ocho trpecios isósceles. 4. Rzon cómo clculr el ángulo interior de un polígono regulr de n ldos.
loque II. Geometrí GEO 3. olígonos. udriláteros Enuncidos 51 5. Y sbes, y hor queremos que demuestres, que ls tres medins de un triángulo se cortn en un punto G (bricentro) y que l distnci de un vértice G es dos tercios de l longitud de l medin correspondiente. Si el corte de dos medins tiene es propiedd de distnci, l tercer tendrá que psr tmbién por ese punto. r probr es proporción de medids te proponemos usr un triángulo N y el que se obtiene uniendo sus puntos medios. 6. los triángulos isósceles con un ángulo de 36º los llmmos áureos. Los vemos precer en el pentágono regulr. Se llm número de oro (y se denot por l letr grieg ) l rzón entre el ldo grnde y el pequeño. prtir de l descomposición del triángulo áureo de l derech en dos triángulos áureos, clcul el vlor de. 7. ) Igules por ldos perpendiculres En un triángulo cutángulo dibujmos su ortocentro H y lo unimos con segmentos los vértices. rueb que se d l relción de ángulos del dibujo. N G ) 144º 36º 72º N 36º 36º 72º 36º 36º 72º 1 H x loque IV. loque III. loque II. loque I. I b) Igules por relción cíclic lgebric En el mismo triángulo dibujmos su circuncentro F y lo unimos tmbién con los vértices, obteniéndose l relción de ángulos del dibujo. emuestr lgebricmente que: =, = b y =c. b) c c b F b 8. Los tres triángulos de l figur son rectángulos y semejntes. Si el triángulo tiene de áre 12 cm 2 cuál es el áre del trpecio?
52 loque II. Geometrí GEO 3. olígonos. mplición udriláteros de temátics Enuncidos 3º ESO 9. El dibujo de l derech está formdo por dos cudrdos y dos triángulos. Rzon que los dos triángulos tienen igul áre. G F E 10. En un prlelogrmo se une cd vértice con los puntos medios de los ldos no contiguos envolviendo dichos segmentos un octógono. ividiendo este octógono en quesitos, clcul su rzón de áre con el prlelogrmo 11. En un triángulo isósceles, donde, se verific que l meditriz del ldo y l bisectriz de Ĉ se cortn en el ldo. Hll sus ángulos. 12. Rzon prtir del dibujo, l relción entre ls áres del dodecágono regulr y el cudrdo de ldo igul l rdio de l circunferenci circunscrit.
loque II. Geometrí GEO 4. L circunferenci Enuncidos 53 GEO 4. L circunferenci 1. 2. 3. En el dibujo, trzndo semicircunferencis con centro los puntos medios de un cudrdo de ldo 2 dm, hemos dibujdo un flor de cutro pétlos. uál es su áre? Hciendo centro en los vértices de un triángulo equilátero de ldo 2 dm hemos dibujdo rcos de vértice vértice. L curv sí obtenid es de nchur constnte. Qué áre encierr? En el triángulo rectángulo de ldos 3, 4 y 5, trzmos semicircunferencis con centro en los puntos medios de los ldos como se ve en el dibujo. Ls dos luns formds son conocids como lúnuls de Hipócrtes. uál es l sum de sus áres? 3 5 4 loque IV. loque III. loque II. loque I. I 4. Llmmos rdián l ángulo de un sector circulr cuyo rco mide lo mismo que el rdio. sí l circunferenci mide 2π rdines (es decir, en un circunferenci cben un poco más de 6,28 rdios). Se un sector circulr de rdio r, ángulo rdines y perímetro 4 m. Expres su áre en función de r. Rzon que el áre es máxim cundo r = 1. r r 5. En los tres dibujos podemos ver ls diferentes posiciones del centro O de un circunferenci respecto un ángulo inscrito (dentro, fuer y en un ryo del ángulo). emuestr en los tres csos que el ángulo inscrito mide l mitd en grdos del rco que brc. O O O
54 loque II. Geometrí GEO mplición 4. L circunferenci de temátics Enuncidos 3º ESO 6. onstrucción del rco cpz Hll el lugr geométrico de los puntos del plno desde los cules se ve el segmento bjo un ángulo. 7. robr que los cudriláteros convexos inscritos en un circunferenci, son quellos cuyos ángulos opuestos sumn 180º. 8. ibuj un pentágono convexo E de form que = = = E =, y que = = 90º. 90º 90º E 9. En un triángulo cutángulo trzmos ls lturs, y mrcmos el ortocentro H y los ángulos que formn ls lturs con los ldos. on los pies de ls lturs construimos el llmdo triángulo órtico. rueb que H es el incentro de este nuevo triángulo (incluso se d l relción de ángulos expresd por los dos dibujos) H H 10. En un coron circulr, l cuerd de l circunferenci exterior que es tngente l circunferenci interior mide 10 cm. uánto mide el áre de l coron circulr? 10cm 11. El cudrilátero de l figur está inscrito en un circunferenci y tiene ángulos rectos en y en Q. Tiene dos ldos igules y los otros dos miden 6 y 8 cm. uál es, en cm 2, su áre? Q 6 8
loque II. Geometrí GEO 5. uerpos Geométricos Enuncidos 55 12. otenci de un punto respecto un circunferenci esde un punto exterior un circunferenci, trzmos un secnte que l cort en y N, y un tngente en T dich circunferenci. rueb que se tiene l iguldd de producto de distncis: d(, N) d(, ) = d(, T) 2. Este invrinte métrico se conoce como l potenci de un punto respecto un circunferenci. Expréslo en función del rdio y l distnci del centro l punto. El concepto de potenci de un punto respecto un circunferenci puede ser generlizdo pr puntos interiores y pr puntos de l circunferenci (en estos últimos es nturl definir l potenci como 0) No costrá mucho probr que los triángulos R y NS son semejntes y que por ello N = R S. Este producto con signo menos es igul O 2 - R 2, y es l potenci de con respecto l circunferenci. Su crácter negtivo es interpretdo como debido l distint orientción de los segmentos y N. GEO 5. uerpos Geométricos r l obtención de áres o volúmenes de figurs semejntes cturemos cogiendo figurs con medids lineles cómods pr el cálculo, y luego plicremos l rzón de semejnz l cudrdo o l cubo según el cso. R O O T S N N loque IV. loque III. loque II. loque I. I 1. Áre del triángulo equilátero de ldo l. Áre del hexágono regulr de ldo l. 2. Áre del octógono regulr de ldo l. 3. Áre del dodecágono regulr de ldo l. 4. Áre del triángulo de vértices (2, 7), (6, 1) y (13, 4) 5. Volumen del tetredro regulr de ldo l.
56 loque II. Geometrí GEO 5. mplición uerpos Geométricos de temátics Enuncidos 3º ESO 6. Volumen del octedro regulr de ldo l. 7. Volúmenes de los sólidos obtenidos l girr el triángulo rectángulo de ldos 3, 4 y 5 lrededor de uno de sus ldos. 8. Volumen del tetredro regulr truncdo de ldo l. 9. Volumen del cubo truncdo de ldo l. 10. Volumen del octedro regulr truncdo de ldo l. 11. Volumen del cuboctedro de ldo l. 12. Usndo l fórmul de Euler y l uniformidd de los vértices, clcul el número de crs (triángulos y pentágonos) el número de vértices y el de rists del icosidodecedro.