Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto. Criterios de divisibilidad por -a).. Propiedades de divisibilidad... Polinomios irreducibles... Número de raíces y divisores primer grado de un polinomio.. Descomposición factorial de un polinomio. Máimo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. Fracciones algebraicas.. Definición.. Simplificación.. Reducción a común denominador.. Operaciones
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones Un monomio es una epresión del tipo a n donde: - a R y se denomina coeficiente - : es la variable puede ser otra letra y z ). Esta letra puede tomar cualquier valor real - n N es el grado del monomio - n se denomina parte literal Ejemplos: - y z -π - Coeficiente Grado Variable - y - y z z -π -π - - 0 -- Los monomios de grado 0 son los números reales -- 0 Definición: monomios semejantes son todos aquellos que tiene misma parte literal es decir misma variable y grado. Ejemplo: - π -.. Operaciones con monomios Suma y resta: sólo se pueden sumar los monomios semejantes sumándose y restándose los coeficientes: a n ±b n a±b) n Ejemplo: -7 - -6 ; 8 8 ) ) Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los eponentes de las variables iguales: a n ) b m )a b) nm Ejemplos: - )- 6 ; -y )-6 y 6 6 y y ) y y 08 y ; División: se dividen los coeficientes y se restan los eponentes de variables iguales: a n ):b m )a:b) n-m Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejemplo: : ) 6 Potencia: se eleva el coeficiente y se multiplica el eponente por el grado del número. a n ) m n m a m Ejemplos: ) 6 ; -y) -7y. Polinomios.. Definiciones Definición: se llama polinomio de variable a la epresión algebraica que resulta de sumar o más monomios de variable siendo del tipo: P)a n n a a a 0 Donde: - a 0 a a n R y son los coeficientes y a 0 término independiente - n es el grado del polinomio el grado mayor de los monomios) - a n n a a 0 son los términos del polinomio Ejemplo: P)-6 - es un polinomio de variable de grado con coeficientes a -6 a a 0 a - a y a0. Siendo el término independiente. Observa las siguientes epresiones que no son polinomios: ; ; -y Otras definiciones: - polinomio de grado cero: son los números reales - polinomio nulo: es el cero 0)0 - polinomio completo: es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayor grado al término independiente son distintos de cero. Ejemplo: P)- - Valor numérico de un polinomio: resulta de sustituir una variable por un número obteniendo el correspondiente valor numérico. Ejemplo: P) - - P) - -- ; P0)0-0 0-- Raíz de un polinomio P): es todo número real a R tal que su valor numérico es cero es decir Pa)0 Ejemplo: P)7 - el - es una raíz de P) P-)-7-0. En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces polinomios. de los Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas.. Operaciones con polinomios Suma y diferencia: se suman y restan los monomios semejantes como vimos en el apartado anterior. Ejemplo: P) - - y Q)6-6- P)Q) - -6-6-)6 - - 9-7 P)-Q) - --6-6-) - --6-6 -6 7 - - Definición: polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomio nulo. El opuesto de P) se denota como P). Ejemplo: P) - -P)- - Multiplicación: la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo. Ejemplo: -) -7 )- - -- - -0 Potencia de polinomios: la potencia n-esima de un polinomio P) se denota como P)) n y resulta de multiplicar P) n veces por si mismo: P)) n P) P) P) n-veces Ejemplo: P) ) P)) ) ) ) Identidades notables: 6 7 90 8 - Cuadrado de la suma de monomios: ab) a abb. Demostración: ab) ab) ab)a abbab a abb Ejemplo: ) ) 09 - Cuadrado de la diferencia de monomios: a-b) a -abb. Demostración: a-b) a-b) a-b)a -ab-bab a -abb Ejemplo: -) ) - -09 - Suma por diferencia: ab) a-b)a -b Demostración: ab) a-b)a -abba-b a -b Ejemplo: -) )) - -9 Ejercicio. Calcular a) ) b) a /) c) -) d) a b ) a -b ) e) -) Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Sacar factor común: cuando todos los términos del polinomio P) son múltiplos de un monomio m) podemos sacarlo factor común. Ejemplo: 6-9 - - -) Ejercicio. Sacar factor común: a) 90-0 90 b) / -/0 / División de polinomios: veamos como se divide a partir de un ejemplo 6 6 P X ) 8 7 7 7 7 0 0 resto 8 R ) Q ) 6 7 C ) cociente P)Q) C)R) Si la división es eacta se cumple R)0 P)Q) C) luego P) múltiplo de Q) y C) o estos divisores de P). Ejercicio. Decir si A) - -- es múltiplo de B) y C). Factorización de un polinomio.. Teorema del resto. Criterio de divisibilidad por -a) Un polinomio P) será múltiplo del polinomio de primer grado de la forma -a) con a Z si se cumple que la división P):-a) es eacta es decir el resto es cero. Eisten diversos teoremas que nos facilitan saber si -a) es divisor de P) sin necesidad de realizar la división. Veámoslos Teorema : Sea P)a n n a a a 0 con coeficientes enteros a n a a 0 Z) para que -a) con a Z sea divisor de P) es necesario que el término independientea 0 sea múltiplo de a. Esta condición es necesaria pero no suficiente es decir a puede ser divisor de a 0 y en cambio -a) no ser divisor. Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejemplo: Sea el polinomio P) - - los posibles divisores de la forma -a) con a nº entero son los siguientes compruébalo dividiendo): - a -) si dividimos la división es eacta -) divisor de P) - a -) si dividimos la división es eacta -) divisor de P) - a -) si dividimos la división no es eacta resto6 - a- ) si dividimos la división no es eacta resto6 - a- ) si dividimos la división es eacta ) divisor de P) - a- ) si dividimos la división no es eacta resto-60 Teorema del resto: el resto de dividir P) entre -a) es igual al valor numérico de Pa) restopa). Ejemplo: comprobémoslo en el polinomio anterior P) - - y los factores anteriores: - a -) restop)0 - a -) restop)0 - a -) restop)6 - a- ) restop-)6 - a- ) restop-)0 - a- ) restop-)-60 A partir del teorema del resto podemos saber si un polinomio es múltiplo de P) de -a) sin necesidad de dividir simplemente calculando Pa): a) Si Pa)0 entonces -a) divisor de P) pues el resto es 0 b) Si Pa) 0 entonces -a) no es divisor de P) pues el resto no es cero. Relación entre raíces de un polinomio soluciones ecuación y divisibilidad por -a): Recordemos todos los teoremas y definiciones vistas anteriormente para relacionarlas entre si sea P) a n n a a a 0 a es raíz si Pa)0 a solución a la ecuación a n n a a a 0 -a) divisor de P) pues el resto de la división rpa)0. Luego todas las siguientes afirmaciones son equivalentes: - a es raíz del polinomio P) - a solución de la ecuación a n n a a a 0 0 - -a) divisor de P) Teorema fundamental del álgebra: sea un polinomio de P) de grado n el número máimo de raíces es n y por tanto el número máimo de polinomios de la forma -a) divisores y de soluciones a la ecuación a n n a a a 0 0 Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 6
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio : Sean el polinomio P) -- Q) - -9 calcular a) Los posibles polinomios -a) con a Z divisores de P) b) El número máimo de ellos que puede ser divisores de P) c) Cuales son los divisores d) Calcular las soluciones de la ecuación de --0 Soluciones cuando a no es un número entero: hasta ahora sólo hemos considerado las raíces enteras habiendo visto que estas deben de ser divisores del término independiente. Pero estás no son las únicas que pueden ser raíces veamos algún ejemplo: Ejemplos: a) P)6 - Las únicas raíces enteras pueden ser a y a- pero estas no son raíces P)6 y P-) entonces -) y ) no son divisores de P). entonces no tiene raíces ni divisores?. Veamos como si. Las raíces de P) serán también soluciones de 6-0 que como bien sabemos podemos calcular a partir de las soluciones de ecuaciones de segundo grado. ± ± Luego /) y -/) son divisores de P) pues P-/)0 y P/)0. b) P) -- Las únicas raíces enteras pueden ser a y a- a y a- pero estas no son raíces P) 0 P-) 0 P) 0 y P-) 0 entonces -) -) ) y -) no son divisores de P). entonces no tiene raíces ni divisores?. Veamos como si. Las raíces de P) serán también soluciones de --0 que como bien sabemos podemos calcular a partir de las soluciones de ecuaciones de segundo grado. ± 9 ± Luego - ) y - y P )0. ) son divisores de P) pues P )0 Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 7
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Regla de Ruffini: cuando dividimos un polinomio P) entre un binomio de la forma -a) podemos aplicar la regla de Ruffini que es más sencillo que la división Ejemplos: - -):) 0 8 8 6 9 C) -8 r-9 - -):-/) 0 8 9 8 C) - r 9 8.. Propiedades de la divisibilidad... Polinomios irreducibles Definición: un polinomio se dice irreducible cuando no tiene ningún otro polinomio divisor de grado inferior siempre es posible encontrar uno del mismo grado) Teorema: los únicos polinomios irreducibles son los de er grado y los de segundo grado con soluciones no reales. Ejemplos: P)- Q) H) I) - J) Nota: darse cuenta que es divisible por pero este polinomio es del mismo grado. Ejercicio. Decir de los siguientes polinomios cuales son irreducibles: - 6 7-/ Proposición: desde el punto de vista de la divisibilidad todos dos polinomios son equivalentes si son proporcionales P) equivalente a Q) si P)K Q) Ejemplos: 9 6 Nota: de todos los polinomios equivalentes se toma el que tiene el coeficiente de mayor grado igual a la unidad. Ejemplos: / ; - -... Número de raíces y divisores de primer grado de un polinomio. Teorema: un polinomio P) tiene a lo sumo n raíces y por tanto n divisores de primer grado) siendo n el grado del polinomio. Demostración: supongamos que P) n a a 0 tiene n raíces a a a n entonces P) se puede poner como P)-a ) -a n ) y sería entonces de grado n y no degrado n. Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 8
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Definición: una raíz a de un polinomio P) tiene multiplicidad si P) es divisible por -a) multiplicidad si es divisible por -a) etc. Ejemplos: P) ) luego a- es raíz doble Q) - --) luego a es raíz triple. Nota: a la hora de contar el número de raíces las raíces dobles cuentan como raíces triples como etc. De esta forma un polinomio de grado no podrá tener raíces dobles pues sería como raíces).. Descomposición factorial de un polinomio Definición: la descomposición factorial de un polinomio consiste en epresarlo como producto de polinomios irreducibles de er grado y de º sin soluciones). Diferentes métodos de sacar factores a) Sacar factor común: cuando el término independiente es nulo pudiendo sacar factor común m siendo m el grado del monomio de menor grado. De esta forma a0 es raíz de multiplicidad m. Ejemplo: P) - -9 - -9) a0 es raíz doble. b) Buscar divisores de la forma -a) por Ruffini: por Ruffini sólo buscaremos divisores donde la raíz a es entera. Recordar que entonces a debe de ser divisor del término independiente. Ejemplo: Q) - -9 9 6 0 0 P ) ) ) ) ) ) Q)-))-) Luego el polinomio P) del ejemplo anterior es P) -))-) c) A partir soluciones de ecuación de º grado: cuando las raíces no son enteras no es fácil encontrarlas a partir de Ruffini. Si tenemos una ecuación de º grado podemos obtener las raíces a partir de sus soluciones. Ejemplo: P) - - 0 P ) ) ) ± 6 ± -)- )) - )) P)-) - )) - )) Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 9
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio 6. Factorizar: a) P) b) Q) -8- c) H) 0 d) I) -- e) J) f) K) - g) L) h) M) - - Ejercicio 7. A partir de los teoremas visto hasta ahora decir si están bien o mal factorizadas los siguientes polinomios. Decir por que. a) P) - ) ) -) b) Q) - -) ) c) H) - -6-) ) -). d) I) 60) -) ) e) S) ). Ejercicio 8. Decir el polinomio que cumple las siguientes propiedades a) El polinomio P) cumple: i) Solo tiene dos raices: El - es una raiz simple multiplicidad ) El es una raiz doble multiplicidad ) ii) Es de grado iii) El coeficiente de mayor grado es b) El polinomio Q) cumple. i) Solo tiene dos raices: El es una raiz simple multiplicidad ) El - es una raiz simple multiplicidad ) ii) Es divisible por iii)el coeficiente de mayor grado es iv) De todos los posibles es el de menor grado Ejercicio 9. Decir el valor de a para que a sea divisible por ). Máimo común divisor y mínimo común múltiplo.. Máimo común divisor Definición: el máimo común divisor de o más polinomios es otro polinomio que cumple: a) es divisor de todos ellos b) de todos ellos es el de mayor grado con coeficiente de mayor grado la unidad. Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 0
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Veamos como calcular el máimo común divisor: ) descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible ) el máimo común divisor es el polinomio cuya descomposición factorial esta formada por los polinomios irreducibles comunes a todos los polinomios con menor eponente. Ejemplo: mcd - )) -)-) ) )).. Mínimo común múltiplo Definición: mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es otro polinomio que cumple: a) es un polinomio múltiplo de todos los polinomios b) de todos los polinomios múltiplos es aquel que tiene menor grado con coeficiente de mayor grado unidad. Veamos como calcular el mínimo común múltiplo: ) descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible ) el mínimo común múltiplo es el polinomio cuya descomposición factorial esta formada por los polinomios irreducibles comunes y no comunes a todos los polinomios con mayor eponente. Ejemplo: mcd - )) -) ) -- -)-) ) )) Ejercicio 0. Calcular el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: a) p) - q) - b) p) - - q) - - Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com). Fracciones algebraicas.. Definición Definición : se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios es decir de la forma ) ) Q P. Ejemplos: Las fracciones algebraicas se comportan de forma semejante a las fracciones numéricas como veremos en siguientes apartados... Simplificación Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se pueden dividir por el mismo polinomio es decir son múltiplos de este polinomio) al dividirlos se simplifica la fracción. Ejemplo: ) : Si dividimos numerador y denominador por el máimo común divisor de los dos polinomios se obtiene la fracción irreducible. Ejemplo: ) ) ) ) ).. Reducción a común denominador Al multiplicar numerador y denominador de una fracción por el mismo polinomio se obtiene una fracción equivalente. Si tenemos varias fracciones y queremos obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador tenemos dos opciones poner como denominador el producto de los dos denominadores o el mínimo común múltiplo de ambos. Ejemplos: 7 8 ) ) 7) 7 6 7 6 7 ) ) ) ) ) ) ) ).. Operaciones Suma y resta:se reduce a común denominador y se suman o restan los numeradores Ejemplo: 7 ) 7 6 ) 7) 7
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Producto: el resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y su denominador el producto de los denominadores. Ejemplo: ) ) ) División: es una fracción algebraica donde el numerador es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. ) Ejemplo: : ) ) 6 Nota: cuando multiplicamos o dividimos muchas veces al igual que con las fracciones numéricas estas pueden ser simplificables. Para que sea más sencilla la simplificación es mejor factorizar primero los polinomios y luego simplificar antes de multiplicar. Veamos un ejemplo: 7 0 ) ) ) ) ) 6 6 ) ) ) ) ) ) ) ) / ) ) ) ) / ) ) ) ) ) ) ) 7 0 Ejercicios finales Ejercicio. Factorizar los siguientes polinomios: a) -6-7 b) c) - d) -9-0 Ejercicio. Comprobar si las siguientes fracciones son equivalentes a) y 6 b) y Ejercicio. A partir de los productos notables simplifica a) ) ) b) 0 ) c) ) ) ) ) Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio. Decir las raíces de los siguientes polinomios a) P)) -) b) Q)-) ) c) R) ) d) S) -7) Ejercicio. Opera y simplifica a) : b) : ) c) Ejercicio 6. Calcular en cada caso el polinomio oculto para que las fracciones sean equivalentes a) b) Ejercicio 7. El lado de un cuadrado aumenta en a cm. Formándose otro cuadrado. Suma las áreas de los rectángulos y cuadrados de la figura y comprueba que obtienes el área del cuadrado de lado a II) IV) a I) III) a Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio 8. Calcula el área del cuadrilátero A B C D mediante un polinomio en sabiendo que ABcm BCcm y AA BB CC DD D D C C A A B B Ejercicio 9. Hallar el mcd y el mcm a) ; -; - b) ; ; - Ejercicio 0. Efectúa: a) b) Ejercicio. Calcula m para que P) -m - sea divisible por ) Ejercicio. Calcular k si el resto de la división de k -76):-) es -8 Ejercicio. Calcular m para que P)m - 9m sea divisible por ) Ejercicio. Escribir los polinomios de segundo grado con siguientes raíces a) y - b) 0 y c) y d) -6 y Ejercicio. Escribir polinomio de segundo grado cuya única raíz sea Ejercicio 6. Escribir polinomio de segundo grado sin raíces Ejercicio 7. Inventa dos polinomios P) y Q) tal que mcmp)q)) -)) Ejercicio 8. Inventa dos polinomios P) y Q) tal que mcdp)q)) - Ejercicio 9. Qué relación eiste entre el mcdp)q)) y mcmp)q))? Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com)
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONES Ejercicio. a) ) 9 6 b) a /) a a/ c) -) - 9 d) a b ) a -b ) a 6 -b e) -) -) -) 6 8 - - Ejercicio. a) 90-0 900 9-9)07-) b) / -/0 // -/) Ejercicio. Dividiendo tenemos que la división entre ) la división no es eacta no múltiplo La división entre ) la división es eacta es múltiplo Ejercicio P) -- a) Pueden ser a -); a -); a- ); a- ) b) Como mucho sólo pueden ser divisores de P) c) No hace falta dividir simplemente calcular el resto es decir Pa): - -) rp)--0 divisor - -) rp)88-- no divisor - ) rp-)--0 divisor - ) rp-)-88-0 divisor d) El número máimo de soluciones de la ecuación es de son - - Q) - -9 a) Pueden ser a -); a -); a -); a9-9); -) a- ); a- ); a- ); a-9 9); - ) b) Como mucho sólo pueden ser divisores de P) c) No hace falta dividir simplemente calcular el resto es decir Pa): - -) rp)7 no divisor - -) rp)0 divisor - -) rp)0 divisor - -) rp)806 no divisor - ) rp-)8 no divisor - ) rp-)0 divisor - ) rp-)-60 no divisor - ) rp-)-00800 no divisor d) El número máimo de soluciones de la ecuación es de son - Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 6
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio. - ± 9 ± - divisores -- )- - No al ser de tercer grado divisores raíz ) - ± 6 no sol Irreducible no raíces ni divisores - 7-/ es irreducible al ser de primer grado Ejercicio 6. a) P) P) ) ) raíz - b) Q) -8- Q) )-)) raíz ± c) H) 0 H) )/) raíz - y -/ d) I) -- I) ) -) ) raíz - y - e) J) J) ) raíz 0 f) K) - K)-) ) raíz g) L) L) ) raíz 0 y - doble ) h) M) - - M) ) - )) - )) raíz 0- Ejercicio 7. a) P) - ) ) -) Falso y no son divisores de b) Q) - -) ) Falso raíces dos multiplicidad doble) y grado c) H) - -6-) ) -). Verdadero raíces H)H-)H)0 d) I) 60) -) ) Falso. I-)--60 0 e) S) ). Falso falta multiplicar por. Ejercicio 8. a) P) ) -) b) Q)-) ) ) Ejercicio 9. Ejercicio 0. P-)-- a0 a a) p) - q) - p) -) ) q)-) ) mcmp)q))-) ) - - mcdp)q))-) ) - Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 7
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 8 b) p) - - q) - - p)) -) ) q) ) -) -) mcmp)q)) ) -) -) ) 6 - - - mcdp)q))) -) - Ejercicio. a) -6-7) -7) b) ) 7) c) - -) ) d) -9-0 ) -) Ejercicio. Dos métodos haremos cada apartado por uno. a) 6 y si son equivalentes se cumple -) -6) -6-6. Si son equivalentes b) y factorizamos y simplificamos y ) No son equivalentes Ejercicio. a) P)) -) 0 -doble) y / b) Q)-) ) c) R) ) 0 d) S) -7) 0 doble) y 7 Ejercicio. Opera y simplifica a) ) ) ) ) ) ) 9 : 9 : b) ) : ) : ) : ) ) ) ) ) ) c) ) ) ) ) ) ) 8 ) 7 )
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 9 Ejercicio 6. a) P ) ) ) ) b) P ) ) ) Ejercicio 7. Área cuadrado I) Área cuadrado IV) a Área rectángulo II)a Área rectángulo III)a Área total aa a) Ejercicio 8. área A B C D )areaabcd)- areabb C )- areacc D ) - -)- -)-- )-- )-8 Ejercicio 9. a) ; -; - ; - -); -) -) mcd ; -; -) mcm ; -; -) -) ) - b) ; ; - ; /); - -/) /) -/) mcd; ; -) mcm; ; -) /) -/) - Ejercicio 0. a) ) ) ) ) ) ) a) ) Ejercicio. Si es divisible por ) entonces- es raíz de P) es decir P-)--m--0 m-8 Ejercicio. RestoP)8k-6-8 8k- k- Ejercicio. Si P) divisible por ) entonces P-)0-8m--09m0 m
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas Ejercicio. a) y - P)-) ) - b) 0 y P) -) - c) y P)-) -) -6 d) -6 y P)6) -) -6 Ejercicio. P)-) Ejercicio 6. P) 7 Ejercicio 7. Inventa dos polinomios P) y Q) tal que mcmp)q)) -)) P) -) Q) -) Ejercicio 8. Inventa dos polinomios P) y Q) tal que mcdp)q)) - P) -) ; Q) -) ) Ejercicio 9. Qué relación eiste entre el mcdp)q)) y mcmp)q))? El mcmp)q)) es múltiplo del mcdp)q)). Ya que el mcm tiene los polinomios irreducibles comunes y no comunes con mayor eponente y el mcd sólo los comunes y con menor eponente. Página realizada por José Luis Lorente lorentejl@gmail.com) 0